第五章 时域离散系统的基本网络结构主要内容,
● 引言
● 用信号流图表示网络结构
●无限长脉冲响应基本网络结构
●有限长脉冲响应基本网络结构引言时域离散系统或网络的描述
N
k
k
M
k
k knybknxany
10
)()()(
N
k
k
k
M
k
k
k
zb
za
zH
1
0
1
)(
差分方程,
传递函数,
给定一个差分方程，不同的算法有很多种。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。
用信号流图表示网络结构数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。
用信号流图表示网络结构整个运算结构可用这些基本运算支路组成，如下图所示：
图中圆点为节点输入 x(n)的节点称源节点或输入节点,输出 y(n)
称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量，
和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在上图中有：
用信号流图表示网络结构
12
'
22
'
2 1 2 2 1
'
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
w n w n
w n w n
w n x n a w n a w n
y n b w n b w n b w n
从上例中看出，用信号流图表示系统的运算情况（网络结构）
比较简明。以下我们均用信号流图表示网络结构。
基本信号流图满足以下条件：
（ 1）信号流图中所有支路都是基本的,即支路增益是常数或者是
（ 2）流图环路中必须存在延迟支路
（ 3）节点和支路的数目是有限的
1?z
用信号流图表示网络结构根据信号流图可求出网络的系统函数，列出各个节点变量方程，
推导出输出与输入间的关系。
例：求上面信号流图决定的系统函数 H（ z）。
解：对前面一组式子进行 Z变换，得到：
1
12
'1
22
'
2 1 2 2 1
'
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
联立求解得：
12
0 1 2
12
12
()()
( ) 1
b b z b zYzHz
X z a z a z
用信号流图表示网络结构网络结构分类,
01
( ) ( ) ( )MNkk
kk
y n a x n k b y n k
0
1
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
az
Hz
bz
(1) 如果 bk中至少有一个不为零，这类滤波器常采用递归计算方法。这类滤波器的单位采样响应的持续个数是无限的，故称为无限长脉冲响应网络,IIR网络。
(2) 如果 bk全为零，这时计算 y(n)不需要递归的方法。 ak起单位冲激响应 h(n)的作用，长度为 M+1，是有限的，故称为有限长脉冲响应网络,FIR网络。
无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点：信号流图中含有反馈支路，即含有环路，
其单位脉冲响应是无限长的。基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n x n i y n iab
z1? z1?
a0 a1 a2
a1M?
aM b1
b2
bN
x(n)
y(n)
z1? z1? z1? z1?
直接型
0
1
()
1
M
i
i
i
N
i
i
i
az
Hz
bz
无限长脉冲响应基本网络结构
直接 Ⅰ 型
0
1
1
M
i
i
i
N
i
i
i
Hz
a z
b z
z1?
a0
a1
a2
a1M?
aM
b1
b2
bN
b1N?
x(n) y(n)
1y1(n)
z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
无限长脉冲响应基本网络结构直接 Ⅰ 型结构可看成是两个独立网络的级联，
第一个网络实现了滤波器的零点：
M
0i i1
)in(x)n( ay
M
0i
i
i
1
1 zaX
YH
)z(
)z()z(
第二个网络实现了滤波器的极点：
1 1( ) ( ) ( )
N
iiy n n y n iy b 2
1
1
( ) 1()
() 1 N i
i
i
Yzz
zYH b z?
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H z H z H z H z H z
交换两个子网络的级联次序总的输入输出关系没有变,可得直接 Ⅱ 型。
无限长脉冲响应基本网络结构
z1?
a0
a1
a 1M?
aM
b1
bN
b1N?
y(n)x(n) y2(n)
z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
交换次序后的直接 Ⅰ 型 的两行传输比为 的支路有相同的输入，都是,合并后可节省一半的延时单元。称为直接 Ⅱ
型。
1z?
ny2
交换次序后的直接 Ⅰ 型
a0
z1?
z1?
z1?
z1?
a1
a2
a 1M?
b1
b2
b 1N?
bN aM
x(n) y(n)?直接 Ⅱ 型特征,最少延迟单元无限长脉冲响应基本网络结构
z1?
z1?
z1?
z1?
a0
a1
a2
a 1M?
b1
b2
b 1N?
bNaM
x(n) y(n)
利用转置定理还可得到另一种结构
直接 Ⅱ 型的转置形式无限长脉冲响应基本网络结构
21
21
125.075.01
21)(
zz
zzzH
直接 I型 直接 II型
0,1 2 5-
z z
0,7 5 2
z z
1-1-
1-1-
][][ n ynx例题,
0.125-
z
20.75
z
][[
1-
1-
nynx
无限长脉冲响应基本网络结构
级联型,
N
1i
i
i
M
0i
i
i
zb1
za
zH
i,i ba 为实数分子分母进行因式分解可写成以零极点表示的形式
N
1i
1
i
M
1i
1
i
)zd1(
)zc1(A
)z(H
零点 与极点 或是实根，或是共轭复根，ic
id
无限长脉冲响应基本网络结构
12
12
*1 1 1
11
*1 1 1
11
(1 ) (1 ) (1 )
()
(1 ) (1 ) (1 )
MM
i ii
ii
NN
i ii
ii
H z A
ppc z z z
qqd z z z
每对共轭因子可以合并成一实系数的二阶因子
12
12
1 1 2
12
11
1 1 2
12
11
(1 ) (1 )
()
(1 ) (1 )
MM
i i i
ii
NN
i ii
ii
H z A
c z z z
d z z z
无限长脉冲响应基本网络结构将一次因式视为二次因式的退化结，即将两个一次因式组合为二次因式；
设则可得级联型结构：
0i2i2
12
12
12
1 12
1()
1
cN
ii
i ii
H z A zzzz
zz1
zz1)z(H
2
i2
1
i1
2
i2
1
i1
i
1
( ) ( )c
N
i
i
H z A H z
无限长脉冲响应基本网络结构级联型
zHi
)n(x11
21
21
11z1?
z1?
)n(y
)21N(1z1?
z1?
)21N(1
)21N(2 )21N(2
)n(xi )n(yi
i1
i2?i2
i1z1?
z1?
zH
在级联实现中，可以用极点和零点配对的方法，把共扼的零极点或相近的零极点组合在一个二阶滤波器中，这对于降低有限字长系数的敏感程度十分有效。交换级联次序也是减少有限字长效应的一个十分有效的方法。在数字滤波器实现中，广泛采用了级联形式和零极点配对的方法。
无限长脉冲响应基本网络结构例：设系统函数 H(z)如下：
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1,2 5 0,7 5 0,1 2 5
z z zHz
z z z
试画出其级联型网络结构解：将 H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：
1 1 2
1 1 2
( 2 0,3 7 9 ) ( 4 1,2 4 5,2 6 4 )()
(1 0,2 5 ) (1 0,5 )
z z zHz
z z z
为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。
无限长脉冲响应基本网络结构并联型可以将 H(z)表示成部分分式展开式，并将共轭复根合并为二阶实系数的部分分式，可得：
12
1
0 1* 11
11
(1 )()
1 (1 ) (1 )p
NN
iii
ii
i ii
H z A cBzA
z p pzz
Z1?
Z1?
Z1?
Z1?
Z1?
01r
p1?
A1
0A
11r
M2
11
M0r
M1r
21
M1
x(n) y(n)
无限长脉冲响应基本网络结构例：画出上例中 H(z)的并联型结构解：将 H(z)展成部分分式形式：
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0,5 1 0,5
zHz
z z z
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如下图：
并联结构的特点：每一个一阶网络单独决定一个实数极点，
每一个二阶网络单独决定一对共扼极点。分别调整各自的系数，可以独立地调整一个实数极点或一对共扼极点的位置。并联型的各个基本环节是并联的，各自的运算误差互不影响。但并联型的零点不方便调整无限长脉冲响应基本网络结构级联（串联）：方便调整零点，极点不方便。各个环节的误差串连在一起，相互影响。级联形式运算的误差比级联形式的要大。
FIR 的系统函数,
特点,零点分布在复平面各处,与之对应阶数的极点在
z = 0处
M
k
k
k zbzH
0
)(
)1,.,,,,1,0()( Nn bnh n
1
0
)()()(
N
i
inxihny
有限长脉冲响应基本网络结构
直接型：
z1? z1? z1? z1?x(n)
y(n)
h(0) h(1) h(2) h(N-1)h(N-2)
有限长脉冲响应基本网络结构
级联型,
)0(,22110 Mkzbzbb kkk
第一节 第二节 第 M节
x(n) y(n)
1?z
1?z1?z
1?z
1?z
1?z
01b
11b
21b
02b
12b
22b
Mb0
Mb1
Mb2
有限长脉冲响应基本网络结构
有限长脉冲响应基本网络结构例：设 FIR网络系统函数 H(z)如下：
1 2 3( ) 0,9 6 2,0 2,8 1,5H z z z z
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构解：将 H(z)进行因式分解，得到：
1 1 2( ) ( 0,6 0,5 ) (1,6 2 3 )H z z z z
其级联型结构和直接型结构如下图所示：
级联型结构 直接型结构级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但 H(z)中的系数比直接型多，因此需要的乘法器多。另外，当 H(z)的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。
● 引言
● 用信号流图表示网络结构
●无限长脉冲响应基本网络结构
●有限长脉冲响应基本网络结构引言时域离散系统或网络的描述
N
k
k
M
k
k knybknxany
10
)()()(
N
k
k
k
M
k
k
k
zb
za
zH
1
0
1
)(
差分方程,
传递函数,
给定一个差分方程，不同的算法有很多种。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。
用信号流图表示网络结构数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。
用信号流图表示网络结构整个运算结构可用这些基本运算支路组成，如下图所示：
图中圆点为节点输入 x(n)的节点称源节点或输入节点,输出 y(n)
称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量，
和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在上图中有：
用信号流图表示网络结构
12
'
22
'
2 1 2 2 1
'
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
w n w n
w n w n
w n x n a w n a w n
y n b w n b w n b w n
从上例中看出，用信号流图表示系统的运算情况（网络结构）
比较简明。以下我们均用信号流图表示网络结构。
基本信号流图满足以下条件：
（ 1）信号流图中所有支路都是基本的,即支路增益是常数或者是
（ 2）流图环路中必须存在延迟支路
（ 3）节点和支路的数目是有限的
1?z
用信号流图表示网络结构根据信号流图可求出网络的系统函数，列出各个节点变量方程，
推导出输出与输入间的关系。
例：求上面信号流图决定的系统函数 H（ z）。
解：对前面一组式子进行 Z变换，得到：
1
12
'1
22
'
2 1 2 2 1
'
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
联立求解得：
12
0 1 2
12
12
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( ) 1
b b z b zYzHz
X z a z a z
用信号流图表示网络结构网络结构分类,
01
( ) ( ) ( )MNkk
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M
k
k
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N
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Hz
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(1) 如果 bk中至少有一个不为零，这类滤波器常采用递归计算方法。这类滤波器的单位采样响应的持续个数是无限的，故称为无限长脉冲响应网络,IIR网络。
(2) 如果 bk全为零，这时计算 y(n)不需要递归的方法。 ak起单位冲激响应 h(n)的作用，长度为 M+1，是有限的，故称为有限长脉冲响应网络,FIR网络。
无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点：信号流图中含有反馈支路，即含有环路，
其单位脉冲响应是无限长的。基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n x n i y n iab
z1? z1?
a0 a1 a2
a1M?
aM b1
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y(n)
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直接型
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1
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i
i
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i
i
i
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无限长脉冲响应基本网络结构
直接 Ⅰ 型
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1
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a0
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z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
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无限长脉冲响应基本网络结构直接 Ⅰ 型结构可看成是两个独立网络的级联，
第一个网络实现了滤波器的零点：
M
0i i1
)in(x)n( ay
M
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i
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1
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第二个网络实现了滤波器的极点：
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i
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Yzz
zYH b z?
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H z H z H z H z H z
交换两个子网络的级联次序总的输入输出关系没有变,可得直接 Ⅱ 型。
无限长脉冲响应基本网络结构
z1?
a0
a1
a 1M?
aM
b1
bN
b1N?
y(n)x(n) y2(n)
z1?
z1?
z1?
z1?
z1?
交换次序后的直接 Ⅰ 型 的两行传输比为 的支路有相同的输入，都是,合并后可节省一半的延时单元。称为直接 Ⅱ
型。
1z?
ny2
交换次序后的直接 Ⅰ 型
a0
z1?
z1?
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a1
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x(n) y(n)?直接 Ⅱ 型特征,最少延迟单元无限长脉冲响应基本网络结构
z1?
z1?
z1?
z1?
a0
a1
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a 1M?
b1
b2
b 1N?
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x(n) y(n)
利用转置定理还可得到另一种结构
直接 Ⅱ 型的转置形式无限长脉冲响应基本网络结构
21
21
125.075.01
21)(
zz
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直接 I型 直接 II型
0,1 2 5-
z z
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1-1-
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][][ n ynx例题,
0.125-
z
20.75
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1-
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无限长脉冲响应基本网络结构
级联型,
N
1i
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za
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i,i ba 为实数分子分母进行因式分解可写成以零极点表示的形式
N
1i
1
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M
1i
1
i
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零点 与极点 或是实根，或是共轭复根，ic
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无限长脉冲响应基本网络结构
12
12
*1 1 1
11
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11
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每对共轭因子可以合并成一实系数的二阶因子
12
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(1 ) (1 )
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MM
i i i
ii
NN
i ii
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H z A
c z z z
d z z z
无限长脉冲响应基本网络结构将一次因式视为二次因式的退化结，即将两个一次因式组合为二次因式；
设则可得级联型结构：
0i2i2
12
12
12
1 12
1()
1
cN
ii
i ii
H z A zzzz
zz1
zz1)z(H
2
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N
i
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H z A H z
无限长脉冲响应基本网络结构级联型
zHi
)n(x11
21
21
11z1?
z1?
)n(y
)21N(1z1?
z1?
)21N(1
)21N(2 )21N(2
)n(xi )n(yi
i1
i2?i2
i1z1?
z1?
zH
在级联实现中，可以用极点和零点配对的方法，把共扼的零极点或相近的零极点组合在一个二阶滤波器中，这对于降低有限字长系数的敏感程度十分有效。交换级联次序也是减少有限字长效应的一个十分有效的方法。在数字滤波器实现中，广泛采用了级联形式和零极点配对的方法。
无限长脉冲响应基本网络结构例：设系统函数 H(z)如下：
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1,2 5 0,7 5 0,1 2 5
z z zHz
z z z
试画出其级联型网络结构解：将 H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：
1 1 2
1 1 2
( 2 0,3 7 9 ) ( 4 1,2 4 5,2 6 4 )()
(1 0,2 5 ) (1 0,5 )
z z zHz
z z z
为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。
无限长脉冲响应基本网络结构并联型可以将 H(z)表示成部分分式展开式，并将共轭复根合并为二阶实系数的部分分式，可得：
12
1
0 1* 11
11
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1 (1 ) (1 )p
NN
iii
ii
i ii
H z A cBzA
z p pzz
Z1?
Z1?
Z1?
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01r
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A1
0A
11r
M2
11
M0r
M1r
21
M1
x(n) y(n)
无限长脉冲响应基本网络结构例：画出上例中 H(z)的并联型结构解：将 H(z)展成部分分式形式：
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0,5 1 0,5
zHz
z z z
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如下图：
并联结构的特点：每一个一阶网络单独决定一个实数极点，
每一个二阶网络单独决定一对共扼极点。分别调整各自的系数，可以独立地调整一个实数极点或一对共扼极点的位置。并联型的各个基本环节是并联的，各自的运算误差互不影响。但并联型的零点不方便调整无限长脉冲响应基本网络结构级联（串联）：方便调整零点，极点不方便。各个环节的误差串连在一起，相互影响。级联形式运算的误差比级联形式的要大。
FIR 的系统函数,
特点,零点分布在复平面各处,与之对应阶数的极点在
z = 0处
M
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0
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N
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有限长脉冲响应基本网络结构
直接型：
z1? z1? z1? z1?x(n)
y(n)
h(0) h(1) h(2) h(N-1)h(N-2)
有限长脉冲响应基本网络结构
级联型,
)0(,22110 Mkzbzbb kkk
第一节 第二节 第 M节
x(n) y(n)
1?z
1?z1?z
1?z
1?z
1?z
01b
11b
21b
02b
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22b
Mb0
Mb1
Mb2
有限长脉冲响应基本网络结构
有限长脉冲响应基本网络结构例：设 FIR网络系统函数 H(z)如下：
1 2 3( ) 0,9 6 2,0 2,8 1,5H z z z z
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构解：将 H(z)进行因式分解，得到：
1 1 2( ) ( 0,6 0,5 ) (1,6 2 3 )H z z z z
其级联型结构和直接型结构如下图所示：
级联型结构 直接型结构级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但 H(z)中的系数比直接型多，因此需要的乘法器多。另外，当 H(z)的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。
