第10章 稳恒磁场
10-1 由毕—沙定律可得
点，
点，
点，
点，
点，
10-2 在X轴上P点的磁感应强度如图示，可得
显然x=0处为B的最大值
10-3 解法（一）由直电流磁场公式
可得A点的磁感（见图示）
的方向由右手定则知为垂直纸面向外。
解法（二） P点的磁感应强度大小为
b为场点P到载流直导线的垂直距离。
第1段载流直导线在A点产生的。
第2段载流直导线在A点产生的B2。
则
10-4
方向垂直纸面向外。
10-5 （1）P点的磁感应强度为（利用课本P74（10-18）结论）
（2）据题设，则P点的B为
令
则
当x=0时，u=v,∴
这表明a=R,x=0处的o点磁场最为均匀。将上述条件代入B中，可得o点磁感
10-6 在薄金属板上距边界O点为l处取一元电流dI，其宽度dl，见图示，则此元电流在P点产生的磁感为
故整个电流I在P点产生的磁感为
的方向垂直平面向外。
10-7 在半球面上任意取一圆形元电流，如图所示，设此元电流半径为r，宽为
，故。dI对球心O的半张角为，其中心与球心O相距为x，则，则此元电流dI在O点产生磁感为：
由此可得O点的磁感应强度
的方向沿x轴线向右。
10-8 在半圆形金属薄片上取一直元电流，如图示，此元电流dI在P点产生的磁感
由对称性分析知，半圆柱面上的电流在P点产生的磁感为
的方向沿x轴向右。
10-9 在圆片上取一半径为r，宽为dr的细圆环，此圆环上的运流元电流为
它在x轴上P点产生的磁感为
在P点的磁感强度为
的方向沿x轴线向右。
10-10 （1）该圆环产生运流电流，在轴线上距离环心x处产生的磁感为
的方向沿x轴正向。
（2）此圆环的磁矩为
的方向沿x轴正向。
10-11 带电粒子作圆周运动在轨道中心产生的磁感强度为
其磁矩为
10-12 （1）通过abcd面的磁通量
（2）通过befc面的磁通量
（3）通过aefd面的磁通量
10-13 如图示，取坐标轴ox,在x处取一面元，直电流I1产生的磁场穿过dS面的元磁通量为
穿过该矩形面积的磁通量为
由于，且矩形处于二电流的中心对称位置，故穿过此矩形面积的磁通量为
10-14 穿过S面的磁通量为
∵
10-15 （1），由安培环路定理可得
（2）
（3）
（4）
10-16 （1）如图示，过P点作一半径为r的圆形回路，圆心为O，由安培环路定律可得
故绕线环内磁感强度B的大小与径向距离r成反比。
（2）通过矩形载面的磁通量为
10-17 设有1、2无限大载流平面，各载有反向等值面电流K，如图，先计算载流平面1产生的磁感强度。根据对称性分析，P点的方向应平行于平面，方向向上（沿Y轴），与P点对应的另一侧应与等值反向，故过P点作矩形回路L1，如图示，由安培环路定理可得
即
这表明：无限大载流平面产生均匀磁场，与距离无关。
（1）二平面间P点的磁感应强度载流平面（1）在P点产生方向平行平面向上，载流平面（2）
在P点产生方向也平行平面向上，故P点的合磁感应强度为
（2）二平面之外空间的磁感应强度由分析可得
10-18 内部具有空腔的载流柱体产生的磁场计算，通常采用挖补迭加法。即假定空腔部分通有等值而反向的均匀电流，其电流密度与实体部分的相同。这样取代的结果，其等价磁场分布即为均匀载流圆柱体（半径为R）和反向均匀载流的圆柱体（半径为r）二者磁场的迭加。本题实体部分的电流密度为，故应假设空腔内通地。
设载流的圆柱体产生的磁场为，载流的圆柱体产生的磁场为，则其在空间各点的磁场为
（1）轴线O上的磁感强度由于在的轴线上，故，而O轴在之外相距轴为a，
故得
的方向垂直O轴向上（与I2方向形成右螺旋）。
（2）轴线上的磁感强度
因为，而在的轴线上，且，故
的方向与构成右螺旋，故垂直向上。
P点的磁感强度：
由于和方向相反，P在之左侧，故与反向，即
方向垂直联线向下。
（3）证明空腔内的磁场是均匀的。
在空腔内任取一点A，如图示，则二反向电流在A点产生的磁场为
由于A点既在体内，又在体内，故
且
∴
因为，故的大小为
为一恒量
的方向由定，即垂直联线向上，这表明空腔内为均匀磁场。
10-19 （1）电流元所受磁力由按培定律可得
,方向垂直纸面向外。
方向街纸面向里。
（2）直线电流在均匀磁场中受磁力为，因此
方向垂直纸面向里，
（3）如图示，在圆弧上任取一电流元，它所受到的磁力为
由于bc弧上所有电流元的均指向。
∴
方向垂直纸面向外,
10-20 （1）导轨光滑，垂直圈平面，故ab杆上所受磁场力为
的方向垂直ab向右，故ab杆向右平移，欲保持杆静止，须加一等值反向的外力。
（2）导轨非光滑时，如电路平面与B正交，则杆ab受到摩擦力为，因为，故不能保持杆静止。欲要使杆静止，则应与电路平面斜交，以减少ab所受磁场力的水平分力，当时，即达到平衡，设此时与电路平面法线的交角为,见图示，ab杆上所受磁力的水平分力为
欲保持平衡，则要求
∴
B是的函数，由于B的分子为常数，欲使B值为极小值，则必须满足极值条件
即
∴
此时B的大小为
故的方向必须向左倾斜31°。
10-21 （1）DC边所受磁力为
方向垂直DC向左。
EF边所受磁力为
的方向垂直EF向右。
CE边所受磁力为
方向垂直CE向上。
DE边所受磁力为
（2）线圈所受合力为
合力的大小为
合力的方向垂直DC向左。
线圈所受磁力矩为
由于与方向一致故M=0。
10-22 （1）abc中电流I为顺时针方向，其中ab边所受磁力为
的方向垂直ab指向纸外。
ac边所受磁力 垂直纸面向里。
cb边电流与磁场平行，所以。
（2）线圈的磁矩为
方向垂直线圈平面向外，故线圈所受磁力矩为
磁力矩的方向沿轴向上。
（3）线圈转过角度过程中磁力矩作功
10-23 在圆环左侧任取一电流元，如图示，则该电流元所受电流的磁场力为
根据对称性，左半载流圆环所受磁力应为的合力方向水平向右。同理可分析右半环，其所受合力亦为方向亦水平向右，
故
的方向垂直AB向右。
10-24 设边长为a，其侧视图如右图示，当处于平衡态时其磁力矩与重力矩平衡。三边电流可等效一闭合电流，其磁矩
与构成角，故对水平轴的磁力矩为
三个边的重力对水平轴的重力矩为
m为一个边的铜线质量，即。由平衡条件，即
10-25 题设圆柱体半径为R，长为l，其侧视图如右图，欲使圆柱体静止，其所受磁力矩与重力矩等值反向。圆柱上的载流线圈的磁矩
方向如图示。
故所受磁力矩为
此圆柱体的重力矩为
平衡条件，即
∴
10-26 在圆环盘面上距圆心O为r处取一宽为dr的细圆环，如图示，当盘转动时，细圆环上形成圆形运流电流
又∵
∴
（1）环心O的磁感强度为
方向垂直盘面向外。
（2）环盘受到的磁力矩为
为环盘的等效磁矩，其大小为
的方向由右手定则判定垂直盘面向外。
∴
的方向过O点竖直向上。
10-27 （1）如图示，电子束e由南（S）向北（N）运动，即其速度v指向N。地磁场垂直分量垂直纸面向里，故电子束受到的洛仑兹力,使电子作顺时针向的圆周运动，因此电子束向东（E）漂移（偏转）。
（2）电子在洛仑兹力作用下作圆周运动，半径其向心加速度为
其向心加速度
为电子的动量，它与电子的动能的关系为∴
∴
（3）当电子沿管轴方向通过d=0.2m时，设此时电子偏转为x（见图示）。电子作圆周运动的半径R为
由图示可知
10-28 由题设
10-29 由题设质子沿x,y轴的速度分量分别为，故质子作螺旋运动的半径为
螺距为
10-30 因为霍尔电压为
故待测磁场为
10-31 铁芯中的磁感强度为，故磁场强度为
10-32 （1）当螺绕环中为空气时其内部磁场
（2）管内充满介质时
（3）介质内的磁场为传导电流产生的磁场与分子面电流产生的磁场的叠加，即
由于，故该介质为铁磁质，即与同方向
∴
其中
∴
10-33 磁性材料中的磁感强度和磁场强度分别为
故该磁性材料的相对磁导率为
10-34 （1）在r和R区间的磁介质中，由安培环路定律可计算得出其磁场强度为，故其磁感应强度为
（2）在二圆柱面外，由于二圆柱面通有等值而相反电流，故由安培环路定律可得
10-35 当螺线管内通有电流I时，其内磁场强度为，当，可退磁，故退磁电流为
10-1 由毕—沙定律可得
点，
点，
点，
点，
点，
10-2 在X轴上P点的磁感应强度如图示，可得
显然x=0处为B的最大值
10-3 解法（一）由直电流磁场公式
可得A点的磁感（见图示）
的方向由右手定则知为垂直纸面向外。
解法（二） P点的磁感应强度大小为
b为场点P到载流直导线的垂直距离。
第1段载流直导线在A点产生的。
第2段载流直导线在A点产生的B2。
则
10-4
方向垂直纸面向外。
10-5 （1）P点的磁感应强度为（利用课本P74（10-18）结论）
（2）据题设，则P点的B为
令
则
当x=0时，u=v,∴
这表明a=R,x=0处的o点磁场最为均匀。将上述条件代入B中，可得o点磁感
10-6 在薄金属板上距边界O点为l处取一元电流dI，其宽度dl，见图示，则此元电流在P点产生的磁感为
故整个电流I在P点产生的磁感为
的方向垂直平面向外。
10-7 在半球面上任意取一圆形元电流，如图所示，设此元电流半径为r，宽为
，故。dI对球心O的半张角为，其中心与球心O相距为x，则，则此元电流dI在O点产生磁感为：
由此可得O点的磁感应强度
的方向沿x轴线向右。
10-8 在半圆形金属薄片上取一直元电流，如图示，此元电流dI在P点产生的磁感
由对称性分析知，半圆柱面上的电流在P点产生的磁感为
的方向沿x轴向右。
10-9 在圆片上取一半径为r，宽为dr的细圆环，此圆环上的运流元电流为
它在x轴上P点产生的磁感为
在P点的磁感强度为
的方向沿x轴线向右。
10-10 （1）该圆环产生运流电流，在轴线上距离环心x处产生的磁感为
的方向沿x轴正向。
（2）此圆环的磁矩为
的方向沿x轴正向。
10-11 带电粒子作圆周运动在轨道中心产生的磁感强度为
其磁矩为
10-12 （1）通过abcd面的磁通量
（2）通过befc面的磁通量
（3）通过aefd面的磁通量
10-13 如图示，取坐标轴ox,在x处取一面元，直电流I1产生的磁场穿过dS面的元磁通量为
穿过该矩形面积的磁通量为
由于，且矩形处于二电流的中心对称位置，故穿过此矩形面积的磁通量为
10-14 穿过S面的磁通量为
∵
10-15 （1），由安培环路定理可得
（2）
（3）
（4）
10-16 （1）如图示，过P点作一半径为r的圆形回路，圆心为O，由安培环路定律可得
故绕线环内磁感强度B的大小与径向距离r成反比。
（2）通过矩形载面的磁通量为
10-17 设有1、2无限大载流平面，各载有反向等值面电流K，如图，先计算载流平面1产生的磁感强度。根据对称性分析，P点的方向应平行于平面，方向向上（沿Y轴），与P点对应的另一侧应与等值反向，故过P点作矩形回路L1，如图示，由安培环路定理可得
即
这表明：无限大载流平面产生均匀磁场，与距离无关。
（1）二平面间P点的磁感应强度载流平面（1）在P点产生方向平行平面向上，载流平面（2）
在P点产生方向也平行平面向上，故P点的合磁感应强度为
（2）二平面之外空间的磁感应强度由分析可得
10-18 内部具有空腔的载流柱体产生的磁场计算，通常采用挖补迭加法。即假定空腔部分通有等值而反向的均匀电流，其电流密度与实体部分的相同。这样取代的结果，其等价磁场分布即为均匀载流圆柱体（半径为R）和反向均匀载流的圆柱体（半径为r）二者磁场的迭加。本题实体部分的电流密度为，故应假设空腔内通地。
设载流的圆柱体产生的磁场为，载流的圆柱体产生的磁场为，则其在空间各点的磁场为
（1）轴线O上的磁感强度由于在的轴线上，故，而O轴在之外相距轴为a，
故得
的方向垂直O轴向上（与I2方向形成右螺旋）。
（2）轴线上的磁感强度
因为，而在的轴线上，且，故
的方向与构成右螺旋，故垂直向上。
P点的磁感强度：
由于和方向相反，P在之左侧，故与反向，即
方向垂直联线向下。
（3）证明空腔内的磁场是均匀的。
在空腔内任取一点A，如图示，则二反向电流在A点产生的磁场为
由于A点既在体内，又在体内，故
且
∴
因为，故的大小为
为一恒量
的方向由定，即垂直联线向上，这表明空腔内为均匀磁场。
10-19 （1）电流元所受磁力由按培定律可得
,方向垂直纸面向外。
方向街纸面向里。
（2）直线电流在均匀磁场中受磁力为，因此
方向垂直纸面向里，
（3）如图示，在圆弧上任取一电流元，它所受到的磁力为
由于bc弧上所有电流元的均指向。
∴
方向垂直纸面向外,
10-20 （1）导轨光滑，垂直圈平面，故ab杆上所受磁场力为
的方向垂直ab向右，故ab杆向右平移，欲保持杆静止，须加一等值反向的外力。
（2）导轨非光滑时，如电路平面与B正交，则杆ab受到摩擦力为，因为，故不能保持杆静止。欲要使杆静止，则应与电路平面斜交，以减少ab所受磁场力的水平分力，当时，即达到平衡，设此时与电路平面法线的交角为,见图示，ab杆上所受磁力的水平分力为
欲保持平衡，则要求
∴
B是的函数，由于B的分子为常数，欲使B值为极小值，则必须满足极值条件
即
∴
此时B的大小为
故的方向必须向左倾斜31°。
10-21 （1）DC边所受磁力为
方向垂直DC向左。
EF边所受磁力为
的方向垂直EF向右。
CE边所受磁力为
方向垂直CE向上。
DE边所受磁力为
（2）线圈所受合力为
合力的大小为
合力的方向垂直DC向左。
线圈所受磁力矩为
由于与方向一致故M=0。
10-22 （1）abc中电流I为顺时针方向，其中ab边所受磁力为
的方向垂直ab指向纸外。
ac边所受磁力 垂直纸面向里。
cb边电流与磁场平行，所以。
（2）线圈的磁矩为
方向垂直线圈平面向外，故线圈所受磁力矩为
磁力矩的方向沿轴向上。
（3）线圈转过角度过程中磁力矩作功
10-23 在圆环左侧任取一电流元，如图示，则该电流元所受电流的磁场力为
根据对称性，左半载流圆环所受磁力应为的合力方向水平向右。同理可分析右半环，其所受合力亦为方向亦水平向右，
故
的方向垂直AB向右。
10-24 设边长为a，其侧视图如右图示，当处于平衡态时其磁力矩与重力矩平衡。三边电流可等效一闭合电流，其磁矩
与构成角，故对水平轴的磁力矩为
三个边的重力对水平轴的重力矩为
m为一个边的铜线质量，即。由平衡条件，即
10-25 题设圆柱体半径为R，长为l，其侧视图如右图，欲使圆柱体静止，其所受磁力矩与重力矩等值反向。圆柱上的载流线圈的磁矩
方向如图示。
故所受磁力矩为
此圆柱体的重力矩为
平衡条件，即
∴
10-26 在圆环盘面上距圆心O为r处取一宽为dr的细圆环，如图示，当盘转动时，细圆环上形成圆形运流电流
又∵
∴
（1）环心O的磁感强度为
方向垂直盘面向外。
（2）环盘受到的磁力矩为
为环盘的等效磁矩，其大小为
的方向由右手定则判定垂直盘面向外。
∴
的方向过O点竖直向上。
10-27 （1）如图示，电子束e由南（S）向北（N）运动，即其速度v指向N。地磁场垂直分量垂直纸面向里，故电子束受到的洛仑兹力,使电子作顺时针向的圆周运动，因此电子束向东（E）漂移（偏转）。
（2）电子在洛仑兹力作用下作圆周运动，半径其向心加速度为
其向心加速度
为电子的动量，它与电子的动能的关系为∴
∴
（3）当电子沿管轴方向通过d=0.2m时，设此时电子偏转为x（见图示）。电子作圆周运动的半径R为
由图示可知
10-28 由题设
10-29 由题设质子沿x,y轴的速度分量分别为，故质子作螺旋运动的半径为
螺距为
10-30 因为霍尔电压为
故待测磁场为
10-31 铁芯中的磁感强度为，故磁场强度为
10-32 （1）当螺绕环中为空气时其内部磁场
（2）管内充满介质时
（3）介质内的磁场为传导电流产生的磁场与分子面电流产生的磁场的叠加，即
由于，故该介质为铁磁质，即与同方向
∴
其中
∴
10-33 磁性材料中的磁感强度和磁场强度分别为
故该磁性材料的相对磁导率为
10-34 （1）在r和R区间的磁介质中，由安培环路定律可计算得出其磁场强度为，故其磁感应强度为
（2）在二圆柱面外，由于二圆柱面通有等值而相反电流，故由安培环路定律可得
10-35 当螺线管内通有电流I时，其内磁场强度为，当，可退磁，故退磁电流为
