第9章 静电场
9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T，重力mg以及库仑力F的作用，则有和,∴,由于θ很小，故
∴
9-2 设q1,q2在C点的场强分别为和，则有
方向沿AC方向
方向沿CB方向
∴ C点的合场强的大小为：
设E的方向与CB的夹角为α，则有
9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元，它在圆心O处的场强为
，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两带电圆弧中对应电荷元在圆心O处产生的dE1和dE2在x方向分量相互抵消。
，圆心O处场强E的y分量为
方向沿y轴正向。
9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d1的P点为坐标原点,x轴向右为正。设带电细棒电荷元至P点的距离x，它在P点的场强大小为
方向沿x轴正向
各电荷元在P点产生的场强方向相同，于是
方向沿x轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元与Q点距离为r，电荷元在Q点所产生的场强，由于对称性，场dE的x方向分量相互抵消，所以Ex=0,场强dE的y分量为
因
∴
其中
代入上式得
方向沿y轴正向。
9-5 带电圆弧长,电荷线密度。带电圆弧在圆心O处的场强等价于一个闭合带电圆环（线密度为）和一长为d、电荷线密度为-的小段圆弧在O处场强的矢量和。带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d<<R,∴小段带电圆弧可视为点电荷，所带电量，故圆心处的场强，,方向由圆心指向空隙中心。
9-6 （1）点电荷q位于一立方体中心，则通过立方体每一面的电通量相等，∴ 通过每一面的电通量为总通量的,即
（2）如果这点电荷移到立方体的一个角上，则电荷q所在顶角的三个面上，因为各点平行于该面，所以这三个面的电通量均为零，另三个面的电通量相等。如果要把q全部包围需要有8个立方体，相当于有24个面，每一面上通过的电通量为总通量的，即
9-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A为球心，为半径，以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积，通过整个球面的电通量，所以通过该球冠面的电通量为
解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r，宽为dr,此面元的面积。设此面元对A点的半张角为，见图所示，由通量公式可得
9-8 通过此半球面的电通量与通过以O为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点的场强为，∴ 通过该球面的电通量为
9-9 设想地球表面为一均匀带电球面，则它所带总电量为
9-10 设均匀带电球壳内、外半径分别为R1和R2，它所产生的电场具有球对称性，以任意半径r作一与均匀带电球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得
∴
当时，,∴
∴
9-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得
∴
（1）当r<R1，
（2）当时
∴ ;
（3）当时，,∴
9-12 见题9-12图所示，由于平面无限大，电荷分布均匀，且对中心面S0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P点或板外Q点作轴线与x轴平行，两底面积为S且相对中心面S0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得：
（1）平板内
∴
方向垂直板面向外
（2）平板外
∴
方向垂直板面向外。
9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r，厚度dr，长l，见右图示，根据高斯定理可得
∴
9-14 设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为的两种电荷，则原带电荷等价于一个半径为R，电荷体密度为的均匀带电球体和一个半径为r，电荷体密度为的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O处，，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以
方向由O指向。
对于球心处，
∴
方向由O指向。
对于空腔内的任一点P，位置如图所示。
以上计算表明空腔任意点的场强大小均为且方向均由O指向，所以，空腔内为匀强电场。
9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为
为电矩
与两方向间的夹角，当时，外电场作用于电偶极子上的力矩最大
9-16 外力所作的功为
9-17 （1）氢原子内负电荷的总电量为
（2）由于负电荷呈球状对称分布，故可采用高斯定理计算负电荷产生的电场强度的大小为
正电荷在球心，其产生的电场强度的大小为
则在距球心r处的总电场强度为，其大小为
的方向沿径向向外。
9-18 电场力的功
9-19 由高斯定理可求得是空间场强分布（略）
离球心为处的电势
9-20 （1）电荷线密度，坐标如题9-20图(a)所示，距原点O为x处取电荷元，它在P点的电势
∴ P点的总电势
（2）坐标如题9-20图(b)所示，电荷元在Q点的电势
Q点的总电势
9-21 半圆环中心O的场强（或电势）是两段带电直线和带电半圆环在该处场强（或电势）的迭加，由于两直线对O对称，所以两带电直线在O处的场强大小相等，方向相反，相互抵消，因而O处的场强就是带电半圆环在O处的场强，取电荷元,它在O处场强，由于对称性，各的x分量相互抵消。∴ 的y分量为
∴
O处的电势
9-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为，所以两圆柱面间的电势差
9-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以内表面均匀分布有-q电荷，外表面均匀分布+q电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r作一与球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得
当 ∴
∴
∴
由电势定义式可求得电势分布
9-24 （1）内球电荷q均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q，外表面均匀分布电荷q+Q，由高斯定理可求得电场分布（略）
由电势定义可求得内球电势
（2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外球的外表面带有q+Q电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等势体，其电势均为原外球壳电势270V。
（3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势
9-25 由于带电系统具有轴对称性，所以电荷分布和电场分布也应具有轴对称，静电平衡时，圆柱形导体电荷均匀分布在其外表面，单位长度电量为，导体圆筒内表面均匀分布有感应电荷，其单位长度的电量为，外表面电荷均匀分布，单位长度的电量为。以任意半径r作同轴封闭圆柱面为高斯面，则由高斯定理得：
当 ∴
∴
∴
∴
9-26 （1）A板带正电荷q分布在左右两表面上，设B板感应电荷为-q1，C板感应电荷为-q2，则
AB、AC间均可视为匀强电场
依题意
可得
∴
即B板上感应电荷为,C板上感应电荷为
A板的电势
（2）当AB间充以电介质时，则有下列关系
仍可解得 ,
所以B板上的感应电荷为
C板上感应电荷为
A板上电势
9-27 设AB两板各面上的电荷面密度分别为，空间各处场强方向应与板面垂直，作如题9-27图所示的闭合圆柱面为高斯面，由于导体内场强处处为零，A、B两板间场强方向平行于圆柱侧面，所以通过高斯面的电通量为零，由高斯定理
∴ （1）
A板内的P点场强为
∴ （2）
若A板带电QA，B板带电QB，板面积为S，则有
（3）
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式可得
9-28 点电荷q使金属球上产生感应电荷，由于金属球与地相联，其电势为零，球心处的电势应是点电荷q和球上感应电荷在此处产生电势之和，即
∴
即金属球上感应q/3的负电荷。
9-29 （1）
（2）
（3）
（4）
（5） 设极化电荷产生的场强为，则，其中为极板上极化电荷面密度，，则极化电荷
（6）
或
9-30 （1）以任意r为半径作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理得
当
（2）由电势定义式可得
（3）
9-31 （1）
（2）
（3）
（4）
9-32 设A、B两导体球分别带有电荷Q和-Q，则两球的电势差为
9-33 用导线连接二导体，这相当将电容C1和C2并联，此时等效电容和总电量分别为
根据电容，故联接二导体后它们的电势为
这时电容上的电量为
则由导体1流向导体2的电量为
9-34 （1）以任意半径r作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可得：
当
（2）电势分布：
（3）这相当于内外半径分别为R与a的球形空气电容器C1与内外半径分别为a与b的球形介质电容器C2，二者相串联，其等效电容为
其中
将C1、C2代入上式
9-35 （1）在介质中以任意半径r作圆柱体同轴的闭合圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得
∴
（2）设介质内表面上单位长度的极化电荷为，则对上述高斯面应用高斯定理
则介质内表面上的极化电荷面密度为
介质外表面上的极化电荷密度为
9-36 （1）设两电介质中的电位移和场强分别为D1、D2和E1、E2，两板板间的电势差
∴
则两介质中各点的能量体密度为
（2）
（3）
9-37 （1）由高斯定理可求得电场分布
整个电场储存的能量
（2）导体球壳接地，导体球壳外表面不带电，球壳外场强为零，这时电场的能量
由 得
9-38 （1）平行板电容器抽出金属板后的电容为，插入金属板时的电容为，当充电到后拆去电源，然后抽出金属板，除金属板秘在位置外的空间场强不变，均为
（2） 抽出金属板需作功
9-39 由高斯定理可求得带球体内、外的场强为（略）
其电场所储存的能量
9-40 由于并联前后电量不变，所以有
由此可得
能量减少为
9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T，重力mg以及库仑力F的作用，则有和,∴,由于θ很小，故
∴
9-2 设q1,q2在C点的场强分别为和，则有
方向沿AC方向
方向沿CB方向
∴ C点的合场强的大小为：
设E的方向与CB的夹角为α，则有
9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元，它在圆心O处的场强为
，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两带电圆弧中对应电荷元在圆心O处产生的dE1和dE2在x方向分量相互抵消。
，圆心O处场强E的y分量为
方向沿y轴正向。
9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d1的P点为坐标原点,x轴向右为正。设带电细棒电荷元至P点的距离x，它在P点的场强大小为
方向沿x轴正向
各电荷元在P点产生的场强方向相同，于是
方向沿x轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元与Q点距离为r，电荷元在Q点所产生的场强，由于对称性，场dE的x方向分量相互抵消，所以Ex=0,场强dE的y分量为
因
∴
其中
代入上式得
方向沿y轴正向。
9-5 带电圆弧长,电荷线密度。带电圆弧在圆心O处的场强等价于一个闭合带电圆环（线密度为）和一长为d、电荷线密度为-的小段圆弧在O处场强的矢量和。带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d<<R,∴小段带电圆弧可视为点电荷，所带电量，故圆心处的场强，,方向由圆心指向空隙中心。
9-6 （1）点电荷q位于一立方体中心，则通过立方体每一面的电通量相等，∴ 通过每一面的电通量为总通量的,即
（2）如果这点电荷移到立方体的一个角上，则电荷q所在顶角的三个面上，因为各点平行于该面，所以这三个面的电通量均为零，另三个面的电通量相等。如果要把q全部包围需要有8个立方体，相当于有24个面，每一面上通过的电通量为总通量的，即
9-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A为球心，为半径，以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积，通过整个球面的电通量，所以通过该球冠面的电通量为
解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r，宽为dr,此面元的面积。设此面元对A点的半张角为，见图所示，由通量公式可得
9-8 通过此半球面的电通量与通过以O为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点的场强为，∴ 通过该球面的电通量为
9-9 设想地球表面为一均匀带电球面，则它所带总电量为
9-10 设均匀带电球壳内、外半径分别为R1和R2，它所产生的电场具有球对称性，以任意半径r作一与均匀带电球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得
∴
当时，,∴
∴
9-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得
∴
（1）当r<R1，
（2）当时
∴ ;
（3）当时，,∴
9-12 见题9-12图所示，由于平面无限大，电荷分布均匀，且对中心面S0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P点或板外Q点作轴线与x轴平行，两底面积为S且相对中心面S0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得：
（1）平板内
∴
方向垂直板面向外
（2）平板外
∴
方向垂直板面向外。
9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r，厚度dr，长l，见右图示，根据高斯定理可得
∴
9-14 设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为的两种电荷，则原带电荷等价于一个半径为R，电荷体密度为的均匀带电球体和一个半径为r，电荷体密度为的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O处，，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以
方向由O指向。
对于球心处，
∴
方向由O指向。
对于空腔内的任一点P，位置如图所示。
以上计算表明空腔任意点的场强大小均为且方向均由O指向，所以，空腔内为匀强电场。
9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为
为电矩
与两方向间的夹角，当时，外电场作用于电偶极子上的力矩最大
9-16 外力所作的功为
9-17 （1）氢原子内负电荷的总电量为
（2）由于负电荷呈球状对称分布，故可采用高斯定理计算负电荷产生的电场强度的大小为
正电荷在球心，其产生的电场强度的大小为
则在距球心r处的总电场强度为，其大小为
的方向沿径向向外。
9-18 电场力的功
9-19 由高斯定理可求得是空间场强分布（略）
离球心为处的电势
9-20 （1）电荷线密度，坐标如题9-20图(a)所示，距原点O为x处取电荷元，它在P点的电势
∴ P点的总电势
（2）坐标如题9-20图(b)所示，电荷元在Q点的电势
Q点的总电势
9-21 半圆环中心O的场强（或电势）是两段带电直线和带电半圆环在该处场强（或电势）的迭加，由于两直线对O对称，所以两带电直线在O处的场强大小相等，方向相反，相互抵消，因而O处的场强就是带电半圆环在O处的场强，取电荷元,它在O处场强，由于对称性，各的x分量相互抵消。∴ 的y分量为
∴
O处的电势
9-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为，所以两圆柱面间的电势差
9-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以内表面均匀分布有-q电荷，外表面均匀分布+q电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r作一与球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得
当 ∴
∴
∴
由电势定义式可求得电势分布
9-24 （1）内球电荷q均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q，外表面均匀分布电荷q+Q，由高斯定理可求得电场分布（略）
由电势定义可求得内球电势
（2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外球的外表面带有q+Q电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等势体，其电势均为原外球壳电势270V。
（3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势
9-25 由于带电系统具有轴对称性，所以电荷分布和电场分布也应具有轴对称，静电平衡时，圆柱形导体电荷均匀分布在其外表面，单位长度电量为，导体圆筒内表面均匀分布有感应电荷，其单位长度的电量为，外表面电荷均匀分布，单位长度的电量为。以任意半径r作同轴封闭圆柱面为高斯面，则由高斯定理得：
当 ∴
∴
∴
∴
9-26 （1）A板带正电荷q分布在左右两表面上，设B板感应电荷为-q1，C板感应电荷为-q2，则
AB、AC间均可视为匀强电场
依题意
可得
∴
即B板上感应电荷为,C板上感应电荷为
A板的电势
（2）当AB间充以电介质时，则有下列关系
仍可解得 ,
所以B板上的感应电荷为
C板上感应电荷为
A板上电势
9-27 设AB两板各面上的电荷面密度分别为，空间各处场强方向应与板面垂直，作如题9-27图所示的闭合圆柱面为高斯面，由于导体内场强处处为零，A、B两板间场强方向平行于圆柱侧面，所以通过高斯面的电通量为零，由高斯定理
∴ （1）
A板内的P点场强为
∴ （2）
若A板带电QA，B板带电QB，板面积为S，则有
（3）
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式可得
9-28 点电荷q使金属球上产生感应电荷，由于金属球与地相联，其电势为零，球心处的电势应是点电荷q和球上感应电荷在此处产生电势之和，即
∴
即金属球上感应q/3的负电荷。
9-29 （1）
（2）
（3）
（4）
（5） 设极化电荷产生的场强为，则，其中为极板上极化电荷面密度，，则极化电荷
（6）
或
9-30 （1）以任意r为半径作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理得
当
（2）由电势定义式可得
（3）
9-31 （1）
（2）
（3）
（4）
9-32 设A、B两导体球分别带有电荷Q和-Q，则两球的电势差为
9-33 用导线连接二导体，这相当将电容C1和C2并联，此时等效电容和总电量分别为
根据电容，故联接二导体后它们的电势为
这时电容上的电量为
则由导体1流向导体2的电量为
9-34 （1）以任意半径r作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可得：
当
（2）电势分布：
（3）这相当于内外半径分别为R与a的球形空气电容器C1与内外半径分别为a与b的球形介质电容器C2，二者相串联，其等效电容为
其中
将C1、C2代入上式
9-35 （1）在介质中以任意半径r作圆柱体同轴的闭合圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得
∴
（2）设介质内表面上单位长度的极化电荷为，则对上述高斯面应用高斯定理
则介质内表面上的极化电荷面密度为
介质外表面上的极化电荷密度为
9-36 （1）设两电介质中的电位移和场强分别为D1、D2和E1、E2，两板板间的电势差
∴
则两介质中各点的能量体密度为
（2）
（3）
9-37 （1）由高斯定理可求得电场分布
整个电场储存的能量
（2）导体球壳接地，导体球壳外表面不带电，球壳外场强为零，这时电场的能量
由 得
9-38 （1）平行板电容器抽出金属板后的电容为，插入金属板时的电容为，当充电到后拆去电源，然后抽出金属板，除金属板秘在位置外的空间场强不变，均为
（2） 抽出金属板需作功
9-39 由高斯定理可求得带球体内、外的场强为（略）
其电场所储存的能量
9-40 由于并联前后电量不变，所以有
由此可得
能量减少为
