第六章习题解答
6-1 解：首先写出S点的振动方程
若选向上为正方向，则有：
即 或
初始相位
则
再建立如图题6-1(a)所示坐标系，坐标原点选在S点，沿x轴正向取任一P点，该点振动位相将落后于S点，滞后时间为：
则该波的波动方程为：
若坐标原点不选在S点，如习题6-1图（b）所示，P点仍选在S点右方，则P点振动落后于S点的时间为：
则该波的波方程为：
若P点选在S点左侧，P点比S点超前时间为,如习题6-1图(c)所示，则
∴不管P点在S点左边还是右边，波动方程为：
6-2 解（1）由习题6-2图可知，
波长
振幅 A=0.5m
频率
周期
（2）平面简谐波标准波动方程为：
由图可知，当t=0,x=0时，y=A=0.5m，故。
将代入波动方程，得：
(3) x=0.4m处质点振动方程.
6-3 解（1）由习题6-3图可知，对于O点，t=0时，y=0，故
再由该列波的传播方向可知，
取
由习题6-3图可知，且u=0.08m/s，则
可得O点振动表达式为：
(2) 已知该波沿x轴正方向传播，u=0.08m/s,以及O点振动表达式，波动方程为：
(3) 将代入上式，即为P点振动方程：
(4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形，由图可知，a点向下运动，b点向上运动。
6-4 解（1）平面谐波标准波动方程为：
由图可知，A=0.2m
对于图中O点，有：
代入标准波动方程:
故
对于O点，t=0时的初始相位
图中P点位相始终落后O点时间，即相位落后，故t=0时，P点初相位。
（2）由知，
故根据平面谐波的标准波动方程可知，该波的波动方程为：
6-5 解习题6-5图(a)中，根据波的传播方向知，O点振动先于P点，故O点振动的方程为：
则波动方程为,
习题6-5图(b)中，根据波的传播方向知，O占振动落后于P点，故O点振动的方程为：
则波动方程为：
习题6-5图(c)中，波沿x轴负方向传播，P点振动落后于O点，故O点振动的方程为：
则波动方程为：
此时，式中x与L自身为负值。
6-6 (1)
（2）
波峰：
t=4.2s代入()
6-7
(1)
(2)
A:
任取一点P(如图)，则P点落后A点时间
故波动方程
6-8 解（1）由题可知，垂直于波传播方向的面积为：
据能量密度
平均能量密度
波的强度
得：
最大能量密度为：
(2) 两相邻同相面间，波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量，因能量密度
故
6-9 (1) 为单位时间通过截面的平均能量，有：
(2) I为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，有：
(3) 据平均能量密度和I与u的关系，有：
6-10 解 设P点为波源S1外侧任意一点，相距S1为r1，相距S2为r2，则S1、S2的振动传到P点的相位差为：
或由课本P213(6-24)，知
合振幅
故 Ip=0
设Q点为S2外侧的任意一点，同理可求得S1、S2的振动传到Q的相位差为：
合振动
合成波的强度与入射波强度之比为：
即
6-11 解（1）因合成波方程为：
故细绳上的振动为驻波式振动。
(2) 由得,
故波节位置为,
由得,
故波腹位置
(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为：
在x=1.2m处的振幅为：
6-12 (1)
(2) 驻波方程
(3) 波节
波腹
∴ 波节：x=2,6,10,14
波腹：x=0,4,8,12
6-13 解（1）据题意可知，S点的振动表达式为：
故平面波的表达式为：
(2) 反射点的振动表达式为：
考虑反射面的半波损失，则反射面的振动表达式为：
故反射波的表达式为：
（2）另解：设SP之间有任一点B，波经过反射后传到B点，所经过的距离为（2D-x），则反射波在B点落后于O点的时间为,并考虑半波损失。
∴
(3) 合成波的表达式为：
(4) 距O点为处的一点的合振动方程为：
6-14 解（1）由第一列波在Q点的振动和第二列波在O点振动的相位比，第一列波Q的相位超前，得到第二列波在O点的振动为：
由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为：
将l=1,x=xp代入，得到两列波在P点处的振动表达式为：
上述两个振动在P点引起的合振动为：
(2) 当波的频率=400Hz,波速u=400m/s时，由u=λ可知，波长。
将代入（1）式，（1）式中的xp换成变量x，得驻波方程为：
为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:
即
得
在O与Q之间(包括O、Q两点在内)，因干涉而静止的点的位置为：
x=0,,m,1m
6-15 解（1）因为波源的振动方程为：
故波源向反射面发出的沿x轴负方向的行波波动表达式为：
沿x轴正方向传播的行波表达式为：
(2) 因为沿x轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为：
将代入上式，得：
因为反射面有半波损失，故作为反射波波源的振动表达式为：
故反射波的行波波动方程分别为：
在MN-yO区域内
或
在x>0区域内
由此可见，反射波波源所发生的沿x轴正方向传播的行波，无论在MN-yO区域，还是在x>0区域，其波动议程皆可表示为：
另解：在区域内波从O点经过MN传播到P点所经过的距离为,则P点落后于O点的时间
故
在x>0区域内
P点落后于O点的时间
则同理可证
(3) 在MN-yO区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：
这是驻波方程。
干涉极大条件为： （波腹）
即干涉极大的坐标为：
x=0,
干涉极小条件为： (波节)
即干涉极的坐标为：
(4) 在x>0区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：
这是振幅为2A的沿x轴正方向传播的行波。
6-16 解（1）由波源的振动表达式：
知，入射波的波动表达式为：
因反射点有半波损失，将x=2m入射波动表达式，则反射波的振动表达式为：
反射波的波动表达式为：
另解：反射波从O点经过墙反射到P点经过的距离为4－x，则落后的时间为
∴
(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流，波动表达式为：
即为驻波的波动表达式。
(3) 因
因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,8
则波节为
波腹：
因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,7
波腹：
波腹坐标为：
即波腹坐标为x=0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m
6-17 解（1）波源远离观察者运动，故应取负值，观察者听到的声音频率为：
(2) 波源向着悬崖运动，应取正值，从悬崖反射的声音频率为：
（3）拍频
现论上应有58.9拍，但因为强弱相差太悬殊，事实上可能听不出拍频。
6-1 解：首先写出S点的振动方程
若选向上为正方向，则有：
即 或
初始相位
则
再建立如图题6-1(a)所示坐标系，坐标原点选在S点，沿x轴正向取任一P点，该点振动位相将落后于S点，滞后时间为：
则该波的波动方程为：
若坐标原点不选在S点，如习题6-1图（b）所示，P点仍选在S点右方，则P点振动落后于S点的时间为：
则该波的波方程为：
若P点选在S点左侧，P点比S点超前时间为,如习题6-1图(c)所示，则
∴不管P点在S点左边还是右边，波动方程为：
6-2 解（1）由习题6-2图可知，
波长
振幅 A=0.5m
频率
周期
（2）平面简谐波标准波动方程为：
由图可知，当t=0,x=0时，y=A=0.5m，故。
将代入波动方程，得：
(3) x=0.4m处质点振动方程.
6-3 解（1）由习题6-3图可知，对于O点，t=0时，y=0，故
再由该列波的传播方向可知，
取
由习题6-3图可知，且u=0.08m/s，则
可得O点振动表达式为：
(2) 已知该波沿x轴正方向传播，u=0.08m/s,以及O点振动表达式，波动方程为：
(3) 将代入上式，即为P点振动方程：
(4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形，由图可知，a点向下运动，b点向上运动。
6-4 解（1）平面谐波标准波动方程为：
由图可知，A=0.2m
对于图中O点，有：
代入标准波动方程:
故
对于O点，t=0时的初始相位
图中P点位相始终落后O点时间，即相位落后，故t=0时，P点初相位。
（2）由知，
故根据平面谐波的标准波动方程可知，该波的波动方程为：
6-5 解习题6-5图(a)中，根据波的传播方向知，O点振动先于P点，故O点振动的方程为：
则波动方程为,
习题6-5图(b)中，根据波的传播方向知，O占振动落后于P点，故O点振动的方程为：
则波动方程为：
习题6-5图(c)中，波沿x轴负方向传播，P点振动落后于O点，故O点振动的方程为：
则波动方程为：
此时，式中x与L自身为负值。
6-6 (1)
（2）
波峰：
t=4.2s代入()
6-7
(1)
(2)
A:
任取一点P(如图)，则P点落后A点时间
故波动方程
6-8 解（1）由题可知，垂直于波传播方向的面积为：
据能量密度
平均能量密度
波的强度
得：
最大能量密度为：
(2) 两相邻同相面间，波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量，因能量密度
故
6-9 (1) 为单位时间通过截面的平均能量，有：
(2) I为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，有：
(3) 据平均能量密度和I与u的关系，有：
6-10 解 设P点为波源S1外侧任意一点，相距S1为r1，相距S2为r2，则S1、S2的振动传到P点的相位差为：
或由课本P213(6-24)，知
合振幅
故 Ip=0
设Q点为S2外侧的任意一点，同理可求得S1、S2的振动传到Q的相位差为：
合振动
合成波的强度与入射波强度之比为：
即
6-11 解（1）因合成波方程为：
故细绳上的振动为驻波式振动。
(2) 由得,
故波节位置为,
由得,
故波腹位置
(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为：
在x=1.2m处的振幅为：
6-12 (1)
(2) 驻波方程
(3) 波节
波腹
∴ 波节：x=2,6,10,14
波腹：x=0,4,8,12
6-13 解（1）据题意可知，S点的振动表达式为：
故平面波的表达式为：
(2) 反射点的振动表达式为：
考虑反射面的半波损失，则反射面的振动表达式为：
故反射波的表达式为：
（2）另解：设SP之间有任一点B，波经过反射后传到B点，所经过的距离为（2D-x），则反射波在B点落后于O点的时间为,并考虑半波损失。
∴
(3) 合成波的表达式为：
(4) 距O点为处的一点的合振动方程为：
6-14 解（1）由第一列波在Q点的振动和第二列波在O点振动的相位比，第一列波Q的相位超前，得到第二列波在O点的振动为：
由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为：
将l=1,x=xp代入，得到两列波在P点处的振动表达式为：
上述两个振动在P点引起的合振动为：
(2) 当波的频率=400Hz,波速u=400m/s时，由u=λ可知，波长。
将代入（1）式，（1）式中的xp换成变量x，得驻波方程为：
为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:
即
得
在O与Q之间(包括O、Q两点在内)，因干涉而静止的点的位置为：
x=0,,m,1m
6-15 解（1）因为波源的振动方程为：
故波源向反射面发出的沿x轴负方向的行波波动表达式为：
沿x轴正方向传播的行波表达式为：
(2) 因为沿x轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为：
将代入上式，得：
因为反射面有半波损失，故作为反射波波源的振动表达式为：
故反射波的行波波动方程分别为：
在MN-yO区域内
或
在x>0区域内
由此可见，反射波波源所发生的沿x轴正方向传播的行波，无论在MN-yO区域，还是在x>0区域，其波动议程皆可表示为：
另解：在区域内波从O点经过MN传播到P点所经过的距离为,则P点落后于O点的时间
故
在x>0区域内
P点落后于O点的时间
则同理可证
(3) 在MN-yO区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：
这是驻波方程。
干涉极大条件为： （波腹）
即干涉极大的坐标为：
x=0,
干涉极小条件为： (波节)
即干涉极的坐标为：
(4) 在x>0区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：
这是振幅为2A的沿x轴正方向传播的行波。
6-16 解（1）由波源的振动表达式：
知，入射波的波动表达式为：
因反射点有半波损失，将x=2m入射波动表达式，则反射波的振动表达式为：
反射波的波动表达式为：
另解：反射波从O点经过墙反射到P点经过的距离为4－x，则落后的时间为
∴
(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流，波动表达式为：
即为驻波的波动表达式。
(3) 因
因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,8
则波节为
波腹：
因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,7
波腹：
波腹坐标为：
即波腹坐标为x=0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m
6-17 解（1）波源远离观察者运动，故应取负值，观察者听到的声音频率为：
(2) 波源向着悬崖运动，应取正值，从悬崖反射的声音频率为：
（3）拍频
现论上应有58.9拍，但因为强弱相差太悬殊，事实上可能听不出拍频。
