第二章 质点动力学
2-1 （1）对木箱，由牛顿第二定律，在木箱将要被推动的情况下如图所示，
x向：
y向：
还有
解以上三式可得要推动木箱所需力F的最小值为
在木箱做匀速运动情况下，如上类似分析可得所需力F的大小为
（2）在上面的表示式中，如果，则，这意味着用任何有限大小的力都不可能推动木箱，不能推动木箱的条件是
由此得的最小值为
2-2 （1）对小球，由牛顿第二定律
x向：
y向：
联立解此二式，可得
由牛顿第三定律，小球对斜面的压力
（2）小球刚要脱离斜面时N=0，则上面牛顿第二定律方程为
由此二式可解得
2-3 要使物体A与小车间无相对滑动，三物体必有同一加速度a,且挂吊B的绳应向后倾斜。作此时的隔离体受力图如图所示
三物体只有水平方向的运动，只须列出水平方向的牛顿方程及相关方程：
为绳中的雨拉力在水平向的合力
联立（1），（2），（3），（4），（5）解得
（因为三个物体有同一加速度a，且在水平方向只受外力F的作同，所以，可将三个物体看作一个物体：
再与（1），（2），（3）式联立求解即可。）
2-4 由图写出力函数用积分法求解。
(1)
由
得 (2)
在内
(3)
当t=5时,
在5-7s内再用（2）式
(4)
当t=7时：
再用积分法：
(5)
在0-5s内，由（3）式积分
0
即
再由（4）式
求5得
得
2-5 设两物体未用绳连接则由牛顿第二定律，沿x方向，对A，有
对于B，有
由此得
（1）如图所示，A在下，B在上。由于。所以绳被拉紧，二者一起下滑，而。以分别表示绳对A和B的拉力，则由牛顿第二定律，
沿x方向对A,
对B,
由此得
（2）图中绳中张力为
（3）如果互换位置，A在上，B在下，则由于，连接绳子将松弛，因而T=0，此时AB的加速度即
2-6 当漏斗转速较小时，m有下滑趋势，小物体受最大静摩擦力方向向上，如图所示。对小物体，由牛顿第二定律
x向：
y向：
还有
联立解以上各式，可得
或
当n足够大时，小物体将有上滑趋势，它将受到向下的静摩擦力，即的方向与图2.6中所示的方向相反。与上类似分析可得最大转速为
总起来讲，小物体在漏斗壁上不动，转速n应满足的条件是
2-7 设圆柱与绳索间的摩擦力为f，绳对重物m1的拉力T1，m1和m2对地加速度分别为a1、a2，对m1、m2列出方程
联立解出：
2-8 质点在x、y两个方向都是匀加速直线运动。
2-9
（1）积分得
（2）
积分得
（3）利用（1）的结果，令v=0
得
代入（2）的结果中得
（4）将代入（1）的结果中得
2-10 初始时刻，t时刻受力如图所示，设x为该时刻入水长度，棒的横截面积为s，有
当时有
即
（1）
（1）当时
（2）
（2）当时，（2）式无意义，即此条件将使棒不可能全部没入液体中，但（1）式仍然成立，当棒到达最大深度xm时v=0，由（1）式得：
即为所求
（3）由（1）式求极值得：当时有
2-11 以M和m分别表示木星和木卫三的质量，则由万有引力定律和牛顿第二定律，可得
2-12 （1）设链条的质量线密度为，链条开始下滑时，其下垂直度为，应满足的条件是其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力，即：
（2）据功能原理开始下滑时在桌面部分的长度为当链条的A端从O点沿y轴运动到y0点过程中，摩擦力作功为
设桌面为势能零点，则链开始下滑到A端离桌面时的机机械能分别为
于是有
化简可得
2-13 由于，故冲量的大小由图所示可得
I与水平方向的夹角为
球受到的平均冲力
2-14 （1）4秒内力的冲量
（2）由动量定量可得
（3）据题设,
即
2-15 忽略轨道阻力，故在加载过程中列车与矿砂系统在水平方向动量守恒，即
由此得t时速度
t时加速度为
2-16 以分钟计，枪对子弹的平均推力为
枪视作静止，此力也等于肩对枪托的平均推力，由牛顿第三定律可知，枪托对肩的压力就等于11.6N.
2-17 原子核蜕变过程应满足动量守恒定律.以p3表示蜕变后原子核的动量，应有
由图可知，p3的大小为
p3的方向应p1和p2所在的平面内，而且与p1的夹角为
2-18 对太空惯性系，以的方向为正方向，以v1和v2分别表示火箭壳和仪器舱分开后各自的速度.由火箭壳和仪器舱的总动量守恒给出
由于仪器舱应在前，所以,即.将此式代入上式得
由此得
v1,v2均为正值，故二速度皆沿正向，即与未分开前的方向相同.
2-19 两车相撞后的加速度为,由此可知刚撞后二者扣在一起时的速率为
如果两车均未超限制，并都以最大允许速率v1开行，则由两车的动量守恒可得(如图所示)
由此可得撞后速度应
由于实际撞后的初速，所以两个司机的话并不都可信，至少一人撒谎.
2-20 (1)如图所示，沿竖直方向，分别对M和m用牛顿第二定律可得
由此可得
(2)在加速的过程，起重间上升的距离为,这也就是电动机拖动钢缆的距离，电动机做的功为
（3）起重间匀速上升时，滑轮两侧钢缆中的张力分别为.拖动钢缆的距离为时电动机又做的功是
2-21 如图所示，以F表示马拉雪橇的力，则对雪橇，由牛顿第二定律
切向：
法向：
再由可解得
由此得马拉雪橇做功
重力对雪橇做的功为
摩擦力对雪橇做的功为
2-22 设加速度为a,AB=S在B点速度为,在c点速度为，整个运动分为三个分过程
:匀加速直线运动
(1)
：机械能守恒
(2)
在C点,重力提供向心力
(3)
：平抛运动
(4)
(5)
联立(1)、（2）、（3）、（4）、（5）,可解得
.
2-23 设.如图所示，写出各个过程的相应方程.
：机械能守恒
(1)
B点碰撞：动量、机械能守恒
：平抛运动
m2在C点时:
：以上述速度作斜抛运动，但其加速度由下式确定
由(8)、（9）、（10）可确定射程CD为
联立（1）至（11）式可解证
2-24 在C开始运动之前，A、B有同一加速度a,对A、B作受力分析（如图所示）有
(1)
B, (2)
由（1）、（2）解证
设BC间绳长为l,，在t时间内B作匀加速运动.
则
证
B和C之间绳子刚要拉紧时，A和B所达到的速度为
BC间绳拉紧前后，由动量原理有
(∵作用时间短，重力的冲量可忽略，故可看作动量守恒.)
联立（3）、（4）、（5）解证
2-25 设在t秒时，盒内已落有的石子质量为mt
(1)
而石子落入盒内时速度为
(2)
在此后dt时间内，将有质量dmt的石子落入盒内
(3)
对这些石子用动量定理,设的石子受到盒对它的作用力为dN,以向下为正则
而已有的质量为mt的石子受到盒对它的作用力的大小等于石子的重力.mtg=N.
∴秤的读数为
2-26 用动量定理求解A到B的时间为
重力的冲量为
方向向下(如图所示)
小球动量增量为
其中R由小球的动力学方程
求证
由动量定理
由图可证
与水平方向的夹角为
2-27 设铁锤与铁钉撞击中能量损耗不计，重力的功不计，由动能定理有
而，对第一次打击
对第二次打击
解证
第二次击入的深度为
2-28 静止时各处T=mg，对两弹簧有
所以，两弹簧的伸长量之比为
两弹簧的弹性势能之比为
2-29 （1）子弹与摆锤碰撞，水平方向动量守恒
(1)
v1为摆锤碰撞后之速度，摆锤获此速度后作圆周运动，在铅直面内机械能守恒
(2)
欲完成一圆周运动，摆锤在最高点必须满足条件
(3)
由（3）式得代入（2）式得，再代入（1）式可得子弹的最小速度
2-30 小球与弹簧振动系统相互碰撞，水平方向动量守恒
(1)
V为弹簧系统的启动速度，它在被压缩过程中机械能守恒，设最大压缩长度为，则有
(2)
将（1）、（2）两式联立求解得
（2）碰撞是非弹性的，其机械能损失为
(3) 小球与M完全非弹性碰撞，碰撞后弹簧被压缩，据此可列式
解得
机械能损失
2-1 （1）对木箱，由牛顿第二定律，在木箱将要被推动的情况下如图所示，
x向：
y向：
还有
解以上三式可得要推动木箱所需力F的最小值为
在木箱做匀速运动情况下，如上类似分析可得所需力F的大小为
（2）在上面的表示式中，如果，则，这意味着用任何有限大小的力都不可能推动木箱，不能推动木箱的条件是
由此得的最小值为
2-2 （1）对小球，由牛顿第二定律
x向：
y向：
联立解此二式，可得
由牛顿第三定律，小球对斜面的压力
（2）小球刚要脱离斜面时N=0，则上面牛顿第二定律方程为
由此二式可解得
2-3 要使物体A与小车间无相对滑动，三物体必有同一加速度a,且挂吊B的绳应向后倾斜。作此时的隔离体受力图如图所示
三物体只有水平方向的运动，只须列出水平方向的牛顿方程及相关方程：
为绳中的雨拉力在水平向的合力
联立（1），（2），（3），（4），（5）解得
（因为三个物体有同一加速度a，且在水平方向只受外力F的作同，所以，可将三个物体看作一个物体：
再与（1），（2），（3）式联立求解即可。）
2-4 由图写出力函数用积分法求解。
(1)
由
得 (2)
在内
(3)
当t=5时,
在5-7s内再用（2）式
(4)
当t=7时：
再用积分法：
(5)
在0-5s内，由（3）式积分
0
即
再由（4）式
求5得
得
2-5 设两物体未用绳连接则由牛顿第二定律，沿x方向，对A，有
对于B，有
由此得
（1）如图所示，A在下，B在上。由于。所以绳被拉紧，二者一起下滑，而。以分别表示绳对A和B的拉力，则由牛顿第二定律，
沿x方向对A,
对B,
由此得
（2）图中绳中张力为
（3）如果互换位置，A在上，B在下，则由于，连接绳子将松弛，因而T=0，此时AB的加速度即
2-6 当漏斗转速较小时，m有下滑趋势，小物体受最大静摩擦力方向向上，如图所示。对小物体，由牛顿第二定律
x向：
y向：
还有
联立解以上各式，可得
或
当n足够大时，小物体将有上滑趋势，它将受到向下的静摩擦力，即的方向与图2.6中所示的方向相反。与上类似分析可得最大转速为
总起来讲，小物体在漏斗壁上不动，转速n应满足的条件是
2-7 设圆柱与绳索间的摩擦力为f，绳对重物m1的拉力T1，m1和m2对地加速度分别为a1、a2，对m1、m2列出方程
联立解出：
2-8 质点在x、y两个方向都是匀加速直线运动。
2-9
（1）积分得
（2）
积分得
（3）利用（1）的结果，令v=0
得
代入（2）的结果中得
（4）将代入（1）的结果中得
2-10 初始时刻，t时刻受力如图所示，设x为该时刻入水长度，棒的横截面积为s，有
当时有
即
（1）
（1）当时
（2）
（2）当时，（2）式无意义，即此条件将使棒不可能全部没入液体中，但（1）式仍然成立，当棒到达最大深度xm时v=0，由（1）式得：
即为所求
（3）由（1）式求极值得：当时有
2-11 以M和m分别表示木星和木卫三的质量，则由万有引力定律和牛顿第二定律，可得
2-12 （1）设链条的质量线密度为，链条开始下滑时，其下垂直度为，应满足的条件是其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力，即：
（2）据功能原理开始下滑时在桌面部分的长度为当链条的A端从O点沿y轴运动到y0点过程中，摩擦力作功为
设桌面为势能零点，则链开始下滑到A端离桌面时的机机械能分别为
于是有
化简可得
2-13 由于，故冲量的大小由图所示可得
I与水平方向的夹角为
球受到的平均冲力
2-14 （1）4秒内力的冲量
（2）由动量定量可得
（3）据题设,
即
2-15 忽略轨道阻力，故在加载过程中列车与矿砂系统在水平方向动量守恒，即
由此得t时速度
t时加速度为
2-16 以分钟计，枪对子弹的平均推力为
枪视作静止，此力也等于肩对枪托的平均推力，由牛顿第三定律可知，枪托对肩的压力就等于11.6N.
2-17 原子核蜕变过程应满足动量守恒定律.以p3表示蜕变后原子核的动量，应有
由图可知，p3的大小为
p3的方向应p1和p2所在的平面内，而且与p1的夹角为
2-18 对太空惯性系，以的方向为正方向，以v1和v2分别表示火箭壳和仪器舱分开后各自的速度.由火箭壳和仪器舱的总动量守恒给出
由于仪器舱应在前，所以,即.将此式代入上式得
由此得
v1,v2均为正值，故二速度皆沿正向，即与未分开前的方向相同.
2-19 两车相撞后的加速度为,由此可知刚撞后二者扣在一起时的速率为
如果两车均未超限制，并都以最大允许速率v1开行，则由两车的动量守恒可得(如图所示)
由此可得撞后速度应
由于实际撞后的初速，所以两个司机的话并不都可信，至少一人撒谎.
2-20 (1)如图所示，沿竖直方向，分别对M和m用牛顿第二定律可得
由此可得
(2)在加速的过程，起重间上升的距离为,这也就是电动机拖动钢缆的距离，电动机做的功为
（3）起重间匀速上升时，滑轮两侧钢缆中的张力分别为.拖动钢缆的距离为时电动机又做的功是
2-21 如图所示，以F表示马拉雪橇的力，则对雪橇，由牛顿第二定律
切向：
法向：
再由可解得
由此得马拉雪橇做功
重力对雪橇做的功为
摩擦力对雪橇做的功为
2-22 设加速度为a,AB=S在B点速度为,在c点速度为，整个运动分为三个分过程
:匀加速直线运动
(1)
：机械能守恒
(2)
在C点,重力提供向心力
(3)
：平抛运动
(4)
(5)
联立(1)、（2）、（3）、（4）、（5）,可解得
.
2-23 设.如图所示，写出各个过程的相应方程.
：机械能守恒
(1)
B点碰撞：动量、机械能守恒
：平抛运动
m2在C点时:
：以上述速度作斜抛运动，但其加速度由下式确定
由(8)、（9）、（10）可确定射程CD为
联立（1）至（11）式可解证
2-24 在C开始运动之前，A、B有同一加速度a,对A、B作受力分析（如图所示）有
(1)
B, (2)
由（1）、（2）解证
设BC间绳长为l,，在t时间内B作匀加速运动.
则
证
B和C之间绳子刚要拉紧时，A和B所达到的速度为
BC间绳拉紧前后，由动量原理有
(∵作用时间短，重力的冲量可忽略，故可看作动量守恒.)
联立（3）、（4）、（5）解证
2-25 设在t秒时，盒内已落有的石子质量为mt
(1)
而石子落入盒内时速度为
(2)
在此后dt时间内，将有质量dmt的石子落入盒内
(3)
对这些石子用动量定理,设的石子受到盒对它的作用力为dN,以向下为正则
而已有的质量为mt的石子受到盒对它的作用力的大小等于石子的重力.mtg=N.
∴秤的读数为
2-26 用动量定理求解A到B的时间为
重力的冲量为
方向向下(如图所示)
小球动量增量为
其中R由小球的动力学方程
求证
由动量定理
由图可证
与水平方向的夹角为
2-27 设铁锤与铁钉撞击中能量损耗不计，重力的功不计，由动能定理有
而，对第一次打击
对第二次打击
解证
第二次击入的深度为
2-28 静止时各处T=mg，对两弹簧有
所以，两弹簧的伸长量之比为
两弹簧的弹性势能之比为
2-29 （1）子弹与摆锤碰撞，水平方向动量守恒
(1)
v1为摆锤碰撞后之速度，摆锤获此速度后作圆周运动，在铅直面内机械能守恒
(2)
欲完成一圆周运动，摆锤在最高点必须满足条件
(3)
由（3）式得代入（2）式得，再代入（1）式可得子弹的最小速度
2-30 小球与弹簧振动系统相互碰撞，水平方向动量守恒
(1)
V为弹簧系统的启动速度，它在被压缩过程中机械能守恒，设最大压缩长度为，则有
(2)
将（1）、（2）两式联立求解得
（2）碰撞是非弹性的，其机械能损失为
(3) 小球与M完全非弹性碰撞，碰撞后弹簧被压缩，据此可列式
解得
机械能损失
