2.3 平面力系的平衡与支座反力的计算
2.3.1 平面汇交力系的合成与平衡力系 —— 作用在物体上的一组力。
平面力系 —— 所有力（外力、约束力）
作用在同一平面，称为平面力系。
平面汇交力系 —— 各力作用线位于同一平面内，且相交于一点的力系。
2.3.2 图解法（几何法）
1、平面汇交力系的合成
在一个物体平面内，作用了一个汇交力系
（ P1,P2,P3,P4）,力的大小及方向如图所示，
求合力 R。
（ 1）、根据力的可传性，将各力作用点沿作用线移至 A点。
（ 2）、利用力的三角形法则。
将合力找出来。A
P1 P2
P3
P4
合力 R的作用线通过汇交点 A,大小和方向由图 (力多边形 )确定。 AP1
P2
P3
P4
a（ 起点）
P1
P2
b
c d
R1 R2
e(终点 )R
R
P3
P4P4
P2
P1 P3
R起点终点由图可见，不需作各分力的合力，直接将力系中各力矢量首尾相连构成开口的力多边形。力多边形的封闭边矢量 R
即为力系的合力。
小结：
平面汇交力系的合成结果是一个力，它的作用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多边形的封闭边表示。即，等于各力系的矢量和。
PPPPPR
n
i
in
1
21?
2、平面汇交力系合成与平衡的几何条件
（力多边形封闭）
当平面汇交力系的合力 R=0时，该力系为平衡力系。
平面汇交力系几何法平衡的必要与充分条件：
力系中各力构成的力多边形自行封闭，各力矢的矢量和为零。
利用以上条件，可以解得平面汇交力系的两个未知量。
3、三力平衡汇交定理（回顾）
作用在刚体上的三个力，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力必与前面两个力共面。且作用线通过此交点，构成平面汇交力系。
此为三个不平行力相互平衡的必要条件。
P1
P2
A
B
O
P3 C
R
例,图示结构，重物 W=15kN。 不计杆重，求各杆受力的大小和性质。
a
b
15kN
c
NAC= 20kN
NBC= -25kN
D
W
NDC
C
N’DC
NAC
NBC
N’ACNAC
N’BC
NBC
5kN
NAC
NBC
例,图示门式刚架，
不计刚架各杆自重，
求支座 A,D的约束反力。
VDRA
θ
a b
c
θ
P
VDRA
10kN
VD=10 kN RA=22.5kN
θ =26.50
例,管道重量 4kN,不计杆重,求 CD杆所受的力和 B
点的支座反力。
N’CD
N’CD
P
NCD
o
RB
φ
a
P
b
c
NCD
RB
NCD=8.4kN RB=6kN
2.3.3 数解法（解析法）
1、平面汇交力系合成
（ 1） 力在轴上的投影
力 P在平面直角坐标系中,P
在 x轴上的投影,等于力 P的大小乘以力与该轴正向夹角的余弦。
记为：
)23(c o s aPP x
在 y轴上的投影为：
)23(s i nc o s bPPPP yy 或
P
x
y
O
b
a1
a2
b1
b2
αβa
若已知 P在直角坐标系上的投影 Px,Py则由此可知：
Px
Py
3a)-(3 22 yx PPP
P 的方向，可根据 Px,Py的正负号大致加以确定：
)33( b
P
P
tg
x
y
P
x
y
O
a
b
a1
a2
b1
b2
α
β
（ 2）、合力投影定理 (P39)
合力在坐标轴上的投影，
等于各分力在该轴上的投影的代数和。
a
P1
P2
b
c d
R
P3
P4
x
y
o
e
yyyyy
xxxxx
PPPPR
PPPPR
4321
4321
yPR
xPR
iyy
ixx (3-4)
A
P1
P2
P3
P4 R
若已知平面汇交力系各力在坐标轴上的投影，可用合理投影定理求出合力的大小和方向。
)53(222222 yxiyix RRyxPPR
由 Rx和 Ry的正负号及其绝对值可求出合力 R
的方向，具体计算可见（ 2-14） 式。
2、平面汇交力系的平衡条件 (P41)
平面汇交力系对刚体体系的作用效应，与其合力对刚体体系的作用效应是等效的。
平面汇交力系平衡的充分且必要条件是其合力等于零，即：
R = 0
)63(0
0
yPR
xPR
iyy
ixx
例,用数解法求汇交力系的合力及方向。
x
y
o
P1
P2
30o
P3
60o
P1=250N P2=200N P3=100N
解,（ 1）求各力在坐标轴的投影。
P1X=0 P2X=P2cos30o=200× cos30o=173.2N
P3X= - P3cos60o=-100× cos60o=-50N
P1y= - 250N P2y= - P2sin30o= - 200× sin30o= -100N
P3y=P3sin60o=100× sin60o=86.6N
（ 2）合力在坐标轴上的投影：
RX=∑X=0+173.2-50=123.2N RY=∑Y=-250-100+86.6=-263.4N
(3) 合力的大小与方向
NRRR yx 8.290)4.263(2.123 2222
R 在第四象限09.641 3 8.22.1 2 3 4.2 6 3
x
y
R
Rtg
R
例,管道重量 4kN,不计杆重，求 CD杆所受的力和 B 点的支座反力。
NCD
o
φ
RB
P
解,OA=AD=0.4 m OB=1.2649 m
cos φ =1.2/1.2649=0.949
sin φ =0.4/1.2649=0.316
∑X=0 NCD cos450-RB cosφ = 0
∑Y=0 NCD sin450-RB sinφ – P = 0
RB= 6.3kN (拉力 )
NCD =8.5kN (拉力 )
A D B
例,起重架如图,A处是定滑轮。不计自重和摩擦，求杆 AB和 AC所受的力 N1，
N2。
解：以 A为研究对象，画受力图。
∑X=0 N1 +N2 cos300-NAD sin40o =0
∑Y=0 N2 sin300-NAD cos40o -W= 0
NAD =15kN
N1 = - 36.3kN （ 拉力）
N2 =53kN （ 压力）
x
y
30o
40o
A
W=15kNN
AD
N1
N2
课堂作业：
P64:
1、对 2- 9(b)所示梁进行受力分析。
2、对 2-10(b)中的结点 A进行受力分析。
做在一张纸上，下课交。
作业：
P65:2- 9(a)
2-10(a)
2.3.1 平面汇交力系的合成与平衡力系 —— 作用在物体上的一组力。
平面力系 —— 所有力（外力、约束力）
作用在同一平面，称为平面力系。
平面汇交力系 —— 各力作用线位于同一平面内，且相交于一点的力系。
2.3.2 图解法（几何法）
1、平面汇交力系的合成
在一个物体平面内，作用了一个汇交力系
（ P1,P2,P3,P4）,力的大小及方向如图所示，
求合力 R。
（ 1）、根据力的可传性，将各力作用点沿作用线移至 A点。
（ 2）、利用力的三角形法则。
将合力找出来。A
P1 P2
P3
P4
合力 R的作用线通过汇交点 A,大小和方向由图 (力多边形 )确定。 AP1
P2
P3
P4
a（ 起点）
P1
P2
b
c d
R1 R2
e(终点 )R
R
P3
P4P4
P2
P1 P3
R起点终点由图可见，不需作各分力的合力，直接将力系中各力矢量首尾相连构成开口的力多边形。力多边形的封闭边矢量 R
即为力系的合力。
小结：
平面汇交力系的合成结果是一个力，它的作用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多边形的封闭边表示。即，等于各力系的矢量和。
PPPPPR
n
i
in
1
21?
2、平面汇交力系合成与平衡的几何条件
（力多边形封闭）
当平面汇交力系的合力 R=0时，该力系为平衡力系。
平面汇交力系几何法平衡的必要与充分条件：
力系中各力构成的力多边形自行封闭，各力矢的矢量和为零。
利用以上条件，可以解得平面汇交力系的两个未知量。
3、三力平衡汇交定理（回顾）
作用在刚体上的三个力，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力必与前面两个力共面。且作用线通过此交点，构成平面汇交力系。
此为三个不平行力相互平衡的必要条件。
P1
P2
A
B
O
P3 C
R
例,图示结构，重物 W=15kN。 不计杆重，求各杆受力的大小和性质。
a
b
15kN
c
NAC= 20kN
NBC= -25kN
D
W
NDC
C
N’DC
NAC
NBC
N’ACNAC
N’BC
NBC
5kN
NAC
NBC
例,图示门式刚架，
不计刚架各杆自重，
求支座 A,D的约束反力。
VDRA
θ
a b
c
θ
P
VDRA
10kN
VD=10 kN RA=22.5kN
θ =26.50
例,管道重量 4kN,不计杆重,求 CD杆所受的力和 B
点的支座反力。
N’CD
N’CD
P
NCD
o
RB
φ
a
P
b
c
NCD
RB
NCD=8.4kN RB=6kN
2.3.3 数解法（解析法）
1、平面汇交力系合成
（ 1） 力在轴上的投影
力 P在平面直角坐标系中,P
在 x轴上的投影,等于力 P的大小乘以力与该轴正向夹角的余弦。
记为：
)23(c o s aPP x
在 y轴上的投影为：
)23(s i nc o s bPPPP yy 或
P
x
y
O
b
a1
a2
b1
b2
αβa
若已知 P在直角坐标系上的投影 Px,Py则由此可知：
Px
Py
3a)-(3 22 yx PPP
P 的方向，可根据 Px,Py的正负号大致加以确定：
)33( b
P
P
tg
x
y
P
x
y
O
a
b
a1
a2
b1
b2
α
β
（ 2）、合力投影定理 (P39)
合力在坐标轴上的投影，
等于各分力在该轴上的投影的代数和。
a
P1
P2
b
c d
R
P3
P4
x
y
o
e
yyyyy
xxxxx
PPPPR
PPPPR
4321
4321
yPR
xPR
iyy
ixx (3-4)
A
P1
P2
P3
P4 R
若已知平面汇交力系各力在坐标轴上的投影，可用合理投影定理求出合力的大小和方向。
)53(222222 yxiyix RRyxPPR
由 Rx和 Ry的正负号及其绝对值可求出合力 R
的方向，具体计算可见（ 2-14） 式。
2、平面汇交力系的平衡条件 (P41)
平面汇交力系对刚体体系的作用效应，与其合力对刚体体系的作用效应是等效的。
平面汇交力系平衡的充分且必要条件是其合力等于零，即：
R = 0
)63(0
0
yPR
xPR
iyy
ixx
例,用数解法求汇交力系的合力及方向。
x
y
o
P1
P2
30o
P3
60o
P1=250N P2=200N P3=100N
解,（ 1）求各力在坐标轴的投影。
P1X=0 P2X=P2cos30o=200× cos30o=173.2N
P3X= - P3cos60o=-100× cos60o=-50N
P1y= - 250N P2y= - P2sin30o= - 200× sin30o= -100N
P3y=P3sin60o=100× sin60o=86.6N
（ 2）合力在坐标轴上的投影：
RX=∑X=0+173.2-50=123.2N RY=∑Y=-250-100+86.6=-263.4N
(3) 合力的大小与方向
NRRR yx 8.290)4.263(2.123 2222
R 在第四象限09.641 3 8.22.1 2 3 4.2 6 3
x
y
R
Rtg
R
例,管道重量 4kN,不计杆重，求 CD杆所受的力和 B 点的支座反力。
NCD
o
φ
RB
P
解,OA=AD=0.4 m OB=1.2649 m
cos φ =1.2/1.2649=0.949
sin φ =0.4/1.2649=0.316
∑X=0 NCD cos450-RB cosφ = 0
∑Y=0 NCD sin450-RB sinφ – P = 0
RB= 6.3kN (拉力 )
NCD =8.5kN (拉力 )
A D B
例,起重架如图,A处是定滑轮。不计自重和摩擦，求杆 AB和 AC所受的力 N1，
N2。
解：以 A为研究对象，画受力图。
∑X=0 N1 +N2 cos300-NAD sin40o =0
∑Y=0 N2 sin300-NAD cos40o -W= 0
NAD =15kN
N1 = - 36.3kN （ 拉力）
N2 =53kN （ 压力）
x
y
30o
40o
A
W=15kNN
AD
N1
N2
课堂作业：
P64:
1、对 2- 9(b)所示梁进行受力分析。
2、对 2-10(b)中的结点 A进行受力分析。
做在一张纸上，下课交。
作业：
P65:2- 9(a)
2-10(a)
