第 四 章应力与应变
§ 4-1 应力的概念一、问题的提出工程问题中，仅知道杆件中的内力大小是不够的，据此不能判断杆件是否破坏。
图示变截面杆，材料相同。全杆各截面内力相同。
若发生破坏，在哪个截面？
因此，仅知道横截面上的内力不能解决杆件的强度问题，还必须了解内力在截面上的分布情况（状态和集度）。
P
应力,杆件受外力作用，其内部横截面上某点分布内力的集度。
应力的大小反应了该点分布内力的强弱程度。所以也称为横截面上的内力分布集度。
二、截面上的应力如图：
⊿ A面积上的合力为 ⊿ P。
B点应力：
P1
P2
P3
P4m
m
P1
P2
m
m
⊿ A
⊿ P
⊿ Q
⊿ N
P1
P2
m
m
p
dA
dP
A
Pp
A
0
lim
B
工程上，一般将一点应力 p分为垂直于截面的正应力 σ和平行于截面的剪应力 τ。
P1
P2
P3
m
m
P4p
σ=dN / dA
垂直于截面的正应力引起材料的分离破坏。
正应力反应内力在截面上各点拉伸（或压缩）
作用的大小程度。正应力拉为正，压为负。
τ= dQ / dA
平行于截面的剪应力引起材料的滑移破坏。
剪应力反应内力在截面上互相剪切（错动）作用的大小程度。剪应力使截面有顺时针转动趋势的为正，反之为负。
应力量纲（单位）
[力 ] / [长度 ]2
国际单位制,帕斯卡 Pa
1 Pa = 1 N/m2
1KPa = 1× 103 Pa
1MPa = 1× 106 Pa
1GPa = 1× 109 Pa
§ 4-2 轴向拉、压时的应力和应变
4.2.1、轴向拉压杆横截面上的应力
1、平截面假定：杆件横截面变形前是平面，变形后仍保持平面，且仍与轴线垂直。
轴向拉（压）变形后，两横截面间的各纵线的伸长（或缩短）变形相同，表明：
横截面上的法向内力是均匀分布的。
（ P115）
2、横截面应力计算公式由正应力公式：
σ=dN/dA dN = σdA
N=∫dN=∫ σdA
由于假定正应力在横截面上各点均相等
N= σ∫ dA = σA
拉 (压 )杆横截面上的正应力计算公式,
σ= N / A
（ 对应教材 4-4式）
注,
拉应力为正；
压应力为负。
+
-
σ
σ
（ 1）、具有最大正应力 σmax的截面称为杆件的危险截面。
（ 2）、在加力点附近,σ= N / A不成立
（ P115-圣维南原理）；在截面突变处附近
σ= N / A不成立。
（ 3）、应力与内力是两个不同的概念，
应注意区分。
σ
σ
例 1:求 AB杆最大工作应力 (掌握 )
解,
1、计算轴力，画轴力图作 1—1截面 N1=30kN （ 拉）
作 2—2截面 N2=20kN （ 拉）
20kN
A
BC
A1=400mm2A
2=200mm2
10kN
1
1
2
230
20
轴力图 (kN)2、计算各段横截面正应力
σ1 =N1 /A1=30× 103 /400× 10 -6 =75× 106 =75MPa
σ2 =N2 /A2=20× 103/200× 10 -6=100× 106=100MPa
危险截面在 CB段，最大工作应力为
σmax=σ2=100 MPa
+
例 2
P115,例 4-1
补充：拉（压）杆斜截面上的应力
1、计算公式
横截面面积,A
斜截面面积,Aα=A/cosα
斜截面内力,Nα=P
设斜截面上的应力分布是均匀的，由 ∑x =0
pα Aα– P = 0
斜截面上的总应力：
pα= Nα/Aα=P/A· cosα
=σ·cosα
斜截面上的正应力：
σα=pα· cosα=σ·cos2α
=σ（ 1+cos2α） / 2
斜截面上的剪应力：
τα=pα· sinα=σ·cosα·sinα
=σ·sin2α / 2
正负号规定：
(1) α — 从横截面转至斜截面（或从 x转至 n）,逆时针为正。
(2) 斜截面上的正应力，剪应力正负号规定同正截面。
ταα
x
n
P σα
2、各方向斜面上应力的变化规律
(1)α= 0o（横截面） σmax=σ,τα= 0
α=90o（纵截面） σmin= 0,τα= 0
(2) α = 45o σα= σ/ 2,τmax=σ / 2
α = - 45o σα = σ/ 2,τmin= -σ/2
斜截面上的正应力：
σα= pα· cosα=σ·cos2α =σ（ 1+cos2α） / 2
斜截面上的剪应力：
τα= pα· sinα=σ·cosα·sinα =σ·sin2α / 2
4-2-2 拉（压）杆的变形，虎克定律一、轴向拉伸（压缩）杆件的纵向线变形和纵向线应变绝对线变形,⊿ l=l1 - l
纵向线应变（单位长度杆件的变形，相对变形）,ε = ⊿ l / l
正负号：线应变的正负号与 ⊿ l一致，拉应变为正，压应变为负。为无量纲数。
二、横向变形系数（泊松比）
横向线变形,⊿ b=b1-b
横向线应变,ε'=(b1-b)/b= ⊿ b/b
横向变形系数（泊松比）：
μ = ε' / ε
或,ε' = - με
三、虎克定律材料在弹性范围内，轴向拉（压）杆件的伸长（缩短） ⊿ l 与轴力和杆长成正比，
与横截面面积 A 成反比。
即,⊿ l ∝ N l / A
引入比例常数 E,则：
⊿ l = N·l /EA (4-7a)
E — 弹性模量。一般通过实验测定。
EA — 杆件的抗拉（压）刚度。
特殊地，如果杆件受多个集中力作用或者杆件截面非恒定（如阶梯状杆），杆件的总伸长量：
⊿ l = ΣNi·li / EAi (4-7b)
E — 弹性模量。一般通过实验测定。
EAi— 杆件的抗拉（压）刚度。
将 (4-7a)式改写,⊿ l / l =1/E·N/A
则,ε = σ/ E (4-8a)
或,σ= E ·ε (4-8b)
式 (4-7),(4-8)所表达的关系称为“虎克定律”。
“虎克定律”是力学中的一个重要定律，它揭示了结构（或构件）中力与变形或应力与应变之间的物理关系。
例 3：阶梯杆 E=2× 105 MPa,求 ΔB 。
解：
1、求轴力
N1=4kN （ 压力）
N2=6kN （拉力）
2、计算各杆段 Δl
因为杆段截面和受力不同，
故分段计算变形后，再叠加。
ΔlDB=NDB lDB / EA1
= -4× 103× 0.5/(2× 105× 106× 2× 10-4)
= - 0.05 × 10 –3m ( 缩短 )
0.5m 0.5m 0.5m
4kN10kN A1=2cm
2A2 =4cm2
1
2
+ 6
4N (kN)
A B
C D
ΔlCD=NCD lCD / EA2
= -4× 103× 0.5/(2× 105× 106× 4× 10-4)
= - 0.025 × 10 –3m ( 缩短 )
ΔlAC=NAC lAC / EA2
= 6× 103× 0.5/(2× 105×
106× 4× 10-4)
= 0.0375 × 10 –3m ( 伸长 )
3、总位移,
ΔB=ΔlDB+ΔlCD +ΔlAC
=(- 0.05-0.025+0.0375)10 -3
= - 0.0375 × 10 –3m ( 缩短 )
0.5m 0.5m 0.5m
4kN10kN A1=2cm
2A2 =4cm2
1
2
+ 6
4N (kN)
A
BC D
例 4：
P118:例 4-2
课堂练习：
P177,4-1
作业,4-2
4-3
§ 4-1 应力的概念一、问题的提出工程问题中，仅知道杆件中的内力大小是不够的，据此不能判断杆件是否破坏。
图示变截面杆，材料相同。全杆各截面内力相同。
若发生破坏，在哪个截面？
因此，仅知道横截面上的内力不能解决杆件的强度问题，还必须了解内力在截面上的分布情况（状态和集度）。
P
应力,杆件受外力作用，其内部横截面上某点分布内力的集度。
应力的大小反应了该点分布内力的强弱程度。所以也称为横截面上的内力分布集度。
二、截面上的应力如图：
⊿ A面积上的合力为 ⊿ P。
B点应力：
P1
P2
P3
P4m
m
P1
P2
m
m
⊿ A
⊿ P
⊿ Q
⊿ N
P1
P2
m
m
p
dA
dP
A
Pp
A
0
lim
B
工程上，一般将一点应力 p分为垂直于截面的正应力 σ和平行于截面的剪应力 τ。
P1
P2
P3
m
m
P4p
σ=dN / dA
垂直于截面的正应力引起材料的分离破坏。
正应力反应内力在截面上各点拉伸（或压缩）
作用的大小程度。正应力拉为正，压为负。
τ= dQ / dA
平行于截面的剪应力引起材料的滑移破坏。
剪应力反应内力在截面上互相剪切（错动）作用的大小程度。剪应力使截面有顺时针转动趋势的为正，反之为负。
应力量纲（单位）
[力 ] / [长度 ]2
国际单位制,帕斯卡 Pa
1 Pa = 1 N/m2
1KPa = 1× 103 Pa
1MPa = 1× 106 Pa
1GPa = 1× 109 Pa
§ 4-2 轴向拉、压时的应力和应变
4.2.1、轴向拉压杆横截面上的应力
1、平截面假定：杆件横截面变形前是平面，变形后仍保持平面，且仍与轴线垂直。
轴向拉（压）变形后，两横截面间的各纵线的伸长（或缩短）变形相同，表明：
横截面上的法向内力是均匀分布的。
（ P115）
2、横截面应力计算公式由正应力公式：
σ=dN/dA dN = σdA
N=∫dN=∫ σdA
由于假定正应力在横截面上各点均相等
N= σ∫ dA = σA
拉 (压 )杆横截面上的正应力计算公式,
σ= N / A
（ 对应教材 4-4式）
注,
拉应力为正；
压应力为负。
+
-
σ
σ
（ 1）、具有最大正应力 σmax的截面称为杆件的危险截面。
（ 2）、在加力点附近,σ= N / A不成立
（ P115-圣维南原理）；在截面突变处附近
σ= N / A不成立。
（ 3）、应力与内力是两个不同的概念，
应注意区分。
σ
σ
例 1:求 AB杆最大工作应力 (掌握 )
解,
1、计算轴力，画轴力图作 1—1截面 N1=30kN （ 拉）
作 2—2截面 N2=20kN （ 拉）
20kN
A
BC
A1=400mm2A
2=200mm2
10kN
1
1
2
230
20
轴力图 (kN)2、计算各段横截面正应力
σ1 =N1 /A1=30× 103 /400× 10 -6 =75× 106 =75MPa
σ2 =N2 /A2=20× 103/200× 10 -6=100× 106=100MPa
危险截面在 CB段，最大工作应力为
σmax=σ2=100 MPa
+
例 2
P115,例 4-1
补充：拉（压）杆斜截面上的应力
1、计算公式
横截面面积,A
斜截面面积,Aα=A/cosα
斜截面内力,Nα=P
设斜截面上的应力分布是均匀的，由 ∑x =0
pα Aα– P = 0
斜截面上的总应力：
pα= Nα/Aα=P/A· cosα
=σ·cosα
斜截面上的正应力：
σα=pα· cosα=σ·cos2α
=σ（ 1+cos2α） / 2
斜截面上的剪应力：
τα=pα· sinα=σ·cosα·sinα
=σ·sin2α / 2
正负号规定：
(1) α — 从横截面转至斜截面（或从 x转至 n）,逆时针为正。
(2) 斜截面上的正应力，剪应力正负号规定同正截面。
ταα
x
n
P σα
2、各方向斜面上应力的变化规律
(1)α= 0o（横截面） σmax=σ,τα= 0
α=90o（纵截面） σmin= 0,τα= 0
(2) α = 45o σα= σ/ 2,τmax=σ / 2
α = - 45o σα = σ/ 2,τmin= -σ/2
斜截面上的正应力：
σα= pα· cosα=σ·cos2α =σ（ 1+cos2α） / 2
斜截面上的剪应力：
τα= pα· sinα=σ·cosα·sinα =σ·sin2α / 2
4-2-2 拉（压）杆的变形，虎克定律一、轴向拉伸（压缩）杆件的纵向线变形和纵向线应变绝对线变形,⊿ l=l1 - l
纵向线应变（单位长度杆件的变形，相对变形）,ε = ⊿ l / l
正负号：线应变的正负号与 ⊿ l一致，拉应变为正，压应变为负。为无量纲数。
二、横向变形系数（泊松比）
横向线变形,⊿ b=b1-b
横向线应变,ε'=(b1-b)/b= ⊿ b/b
横向变形系数（泊松比）：
μ = ε' / ε
或,ε' = - με
三、虎克定律材料在弹性范围内，轴向拉（压）杆件的伸长（缩短） ⊿ l 与轴力和杆长成正比，
与横截面面积 A 成反比。
即,⊿ l ∝ N l / A
引入比例常数 E,则：
⊿ l = N·l /EA (4-7a)
E — 弹性模量。一般通过实验测定。
EA — 杆件的抗拉（压）刚度。
特殊地，如果杆件受多个集中力作用或者杆件截面非恒定（如阶梯状杆），杆件的总伸长量：
⊿ l = ΣNi·li / EAi (4-7b)
E — 弹性模量。一般通过实验测定。
EAi— 杆件的抗拉（压）刚度。
将 (4-7a)式改写,⊿ l / l =1/E·N/A
则,ε = σ/ E (4-8a)
或,σ= E ·ε (4-8b)
式 (4-7),(4-8)所表达的关系称为“虎克定律”。
“虎克定律”是力学中的一个重要定律，它揭示了结构（或构件）中力与变形或应力与应变之间的物理关系。
例 3：阶梯杆 E=2× 105 MPa,求 ΔB 。
解：
1、求轴力
N1=4kN （ 压力）
N2=6kN （拉力）
2、计算各杆段 Δl
因为杆段截面和受力不同，
故分段计算变形后，再叠加。
ΔlDB=NDB lDB / EA1
= -4× 103× 0.5/(2× 105× 106× 2× 10-4)
= - 0.05 × 10 –3m ( 缩短 )
0.5m 0.5m 0.5m
4kN10kN A1=2cm
2A2 =4cm2
1
2
+ 6
4N (kN)
A B
C D
ΔlCD=NCD lCD / EA2
= -4× 103× 0.5/(2× 105× 106× 4× 10-4)
= - 0.025 × 10 –3m ( 缩短 )
ΔlAC=NAC lAC / EA2
= 6× 103× 0.5/(2× 105×
106× 4× 10-4)
= 0.0375 × 10 –3m ( 伸长 )
3、总位移,
ΔB=ΔlDB+ΔlCD +ΔlAC
=(- 0.05-0.025+0.0375)10 -3
= - 0.0375 × 10 –3m ( 缩短 )
0.5m 0.5m 0.5m
4kN10kN A1=2cm
2A2 =4cm2
1
2
+ 6
4N (kN)
A
BC D
例 4：
P118:例 4-2
课堂练习：
P177,4-1
作业,4-2
4-3
