§ 4.6.3 梁 横截面上的切 应 力强度条件梁发生横力弯曲时,虽然横截面上既有正应力,又有切应力 （ 剪应力 ） 。 但一般情况下,切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的切应力,不再用变形,物理和静力关系进行推导,而是在承认正应力公式 （ 4-38） 仍然适用的基础上,假定切应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出切应力的计算公式 。
(1) 矩形 横截面上的 切 应力 (重点 )
(2) 工程中常用横截面上的最大 切 应力
τmax 的计算
(3) 弯曲 切 应力强度计算
(1) 矩形 横截面上的 切 应力
q(x) M
eF
A B
x
y
x dx
m n
m n
dx
m n
m n
截出 dx段
dx
m n
m n
FQ
M M+dM
y
z
FQ
m
m'
n
n
dx
h
bm'
m
o
FQ
M
M+d M
x
y
z
FQ
m
m'
n
n
dx
h
bm'
m
o
FQ x
FQ,FQ引起什么变形？应力？
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ x
FQ 产生切应力 τ
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ''
x
分析 y 处边缘的切应力 τ''
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τy
τz= 0
x
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ
x
y 处边缘的切应力,τ
基于上述分析,可做如下假设：
（ 1） 横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力 。
（ 2） 切应力沿截面宽度均匀分布 。
基于上述假定得到的解（当 h>b时）
与精确解相比有足够的精度 。
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ
τ τ x
y
z
yy
1
m'
b
m'
o
m n
nm
h
FQ
σ1
τ
M
σ2
M+dM
xFs
分析面积 A*上的正应力面积 A*
y
z
yy
1
m' dx
o
nm
τ
τ
σ1
σ2
x
面积 A*
截取距离原点 y 处的体积元素
y
z
yy
1
m' dx
o
nm
τ
τσ1
τ'τ
'
σ2
x
面积 A*
分析 纵面 上的应力
（补：切应力互等定理）
y
z
yy
1
dx
o
nm
F*N1
dF'Q= τ'bdx
F*N2
面积 A*
x
x 方向的内力
σ1dA
σ2dA
静力平衡条件,
ΣFx=0 － F*N1－ dF'Q+F*N2=0
dF'Q= τ'bdx
F*N1= ∫A* σ1dA = ∫A* (My1 /IZ )dA
= M /IZ∫A* y1 dA= MSZ* /IZ
F*N2= ∫A* σ2dA = ∫A*((M+dM )y1/IZ )dA
= ( M +dM ) /IZ∫A* y1 dA
= ( M +dM ) SZ*/IZ
τ'= τ
（ 4-47）
IZ,整个截面对中性轴 z轴的惯性矩；
b,横截面在所求应力点处的宽度；
SZ*,横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积 A*对中性轴的静矩。
z
zQ
bI
SF?
SZ* =∫A* y1 dA
y=h / 2,τ =0
y=0,τmax =3FQ /2A (熟记 )
2
2
2
11 ()24
h
y
bh
y b d y y
2
2
42
y
h
I
F
bI
SF
z
Q
z
zQ
y
z
dx
b
m n
nm
h
τmax
x
FQ
y
z
τmax
τmax
切 应力沿横截面高度分布示意图
FQ
z
zQ
bI
SF?
ma x,
ma x?
(2) 工程中常用横截面上的最大 切 应力 τmax
工字形截面梁 ——由腹板和翼板组成。
z
腹板翼板腹板是狭长矩形，符合矩形截面假设。
仍用矩形公式计算。
z
zQ
bI
SF?
ma x,
ma x?
计算结果表明，在翼缘上切应力很小。
zτmaxτmax
FQ
圆形截面梁,
薄壁圆环截面梁,
τmax
τmax
z
z
FQ
FQ
m a x
4
3
QF
A
m a x 2
QF
A
(3) 弯曲 切 应力强度计算对于某些特殊情形,如梁的跨度较小或荷载靠近支座时,焊接或铆接的薄壁截面梁,或梁沿某一方向的抗剪能力较差
（ 木梁的顺纹方向,胶合梁的胶合层 ） 等,
需进行弯曲切应力强度校核 。
y
z
dx
o FQ
σ
τ
M
M+d M
x
FQ
σmax
τmax
σ
τ
σmax 1
2
3
4
5
σmax 1 σ
max
σ 2
τ'
τ
τ
σ
τ'max
3
τ'max
τmaxτ
max
4
τ'
τ'
τ
τ
σ σ
5 σ
max
σmax
等截面 (矩形、工字形、圆形、
薄壁圆环 )直梁的 τmax发生在截面的中性轴 上，此处弯曲 σ=0正应力，微元体处于 纯剪应力状态 。
纯剪应力状态强度条件为,
τmax? [ τ ]
设 τ max是发生在梁最大剪力处的 工作应力,
则,
上式即为梁弯曲时的 切 应力 强度条件 。
最大工作应力材料的许用应力
m a x
强度条件可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）强度校核
2）设计 (最小 )截面尺寸 (合理性 )
3）确定 (最大 )允许外载荷 [ F ]
m a x
解题的基本过程：
1，分析题意是等直梁，还是变截面梁。
2，是三类问题中的那一类问题。
3，一般先求梁或结构的反力（有时可略） 。
4，求作每一梁的 内力图 （这节是剪力图）
（ 确定危险截面 ）
5，写出公式，再求解（ 确定危险点 ）。
6，正确回答问题。（如：强度够、强度不够）
例 4-16
已知梁由四块木板胶合而成,截面尺寸如图,Iz=478.8× 106mm4,顺纹切应力 [τ]
=1.1MPa，校核梁的强度。
A B
16kN 10kN
C D E1m 1m 1m
10kN
1m
z
y
c 162
20
300
200
505020
300
解：
解得,FA= FB= 36/2=18kN
A B
16kN 10kN
C D E
FA FB
1m 1m 1m
10kN
1m
A B
16kN 10kN
C D E
FA FB
1m 1m 1m
10kN
1m
+
－
FQ
18kN
18kN
8kN
8kN
z
y
c
162
20
300
200
505020
300
计算 τmax 应力 178
d
计算：
m a x
43
178
1 0 0 2 0 1 6 8 2 5 0 1 7 8
2
1 9 2 1 0
z
S
mm
b=2× 50
所以强度够。
3 4 9
,m a x 3 6 1 2
1 8 1 0 1 9 2 1 0 1 0
2 5 0 1 0 4 7 8,8 1 0 1 0
0,7 2 1,1 [ ]
d
M P a M P a
z
zQ
d
bI
SF?
ma x,ma x,
ma x,?
9 / 8
2
工程上应用,
σmax? [ σ ]
τmax? [ τ ]
1）强度校核 σmax? [ σ ]
τmax? [ τ ]
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F]
2）设计（ 最小 ）截面尺寸主要有 两种形式,
I,σmax控制（ 常用 ）
由 σmax? [σ] 求出,尺寸 σ强度?….,.
代入 τmax? [τ] 校核。
II,尺寸 σ强度? ………
尺寸 τ强度? ………
尺寸 = max{尺寸 σ强度,尺寸 τ强度 }
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [ F] 也有两种形式：
I,[Fσ强度 ]? ….,（ 常用 ）
τmax? [τ ] 校核。
II,[Fσ强度 ]?…..
[Fτ强度 ]? …..
[F] = min{[F σ强度 ],[Fτ强度 ] }
§ 4.6.4 梁的合理设计
（ 提高梁 强度 的措施）
如前所述,弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素 。 根据弯曲正应力的强度条件讨论 。
m a x m a x
m a x []
z
My
I
提高梁弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩,提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能 。
1,减小最大弯矩
⑴ 改变加载的位置或加载方式
A
l
B
F
C
M +
M=Fl / 4
A
l
B
F
C
M +
M=5Fl / 36
l/6
A B
F
C
M +
M=Fl / 8
l/2 Dl/4 l/4
辅梁
A B
l
l
q
q
C
+
ql
ql2
ql2 / 2
+M
FQ
⑵ 改变支座类型或位置
A B
l
l
q
q
C
+
ql
ql2 / 2
+M
FQ -
ql
+
ql/2
ql2 / 8
+M
FQ
- - ql/2ql/2 ql2 / 8
-
q
A B
l
l
q
C
FA=ql/2 FC=ql/2
A B
q
l
+
M
ql2 / 8
A B
q
0.2l
+M
ql2 / 50
-
l 0.2l
ql2 / 40
ql2 / 50
2,提高抗弯截面系数选用合理的截面形状：截面积相同的条件下,抗弯截面系数愈大,则梁的承载能力就愈高 。
z
b
h z
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性。
常见截面的值：
0.167h0.125h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁 。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，如阶梯梁、鱼腹梁等。
① 用变截面梁 ——阶梯梁
A
l
B
F
C
M
M=Fl / 4
+
② 用变截面梁 ——加强梁
A
l
B
F
C
M
M=Fl / 4
+
③ 用变截面梁 ——鱼腹梁
A
l
B
F
M +
M=Fl / 4
3,提高材料的力学性能选用力学性能更好的材料,如低合金钢等 。
作业,
P182
4 – 17
4 – 18
课间休息
(1) 矩形 横截面上的 切 应力 (重点 )
(2) 工程中常用横截面上的最大 切 应力
τmax 的计算
(3) 弯曲 切 应力强度计算
(1) 矩形 横截面上的 切 应力
q(x) M
eF
A B
x
y
x dx
m n
m n
dx
m n
m n
截出 dx段
dx
m n
m n
FQ
M M+dM
y
z
FQ
m
m'
n
n
dx
h
bm'
m
o
FQ
M
M+d M
x
y
z
FQ
m
m'
n
n
dx
h
bm'
m
o
FQ x
FQ,FQ引起什么变形？应力？
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ x
FQ 产生切应力 τ
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ''
x
分析 y 处边缘的切应力 τ''
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τy
τz= 0
x
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ
x
y 处边缘的切应力,τ
基于上述分析,可做如下假设：
（ 1） 横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力 。
（ 2） 切应力沿截面宽度均匀分布 。
基于上述假定得到的解（当 h>b时）
与精确解相比有足够的精度 。
y
z
y
m' dx
bm'
o
m n
nm
h
FQ
τ
τ τ x
y
z
yy
1
m'
b
m'
o
m n
nm
h
FQ
σ1
τ
M
σ2
M+dM
xFs
分析面积 A*上的正应力面积 A*
y
z
yy
1
m' dx
o
nm
τ
τ
σ1
σ2
x
面积 A*
截取距离原点 y 处的体积元素
y
z
yy
1
m' dx
o
nm
τ
τσ1
τ'τ
'
σ2
x
面积 A*
分析 纵面 上的应力
（补：切应力互等定理）
y
z
yy
1
dx
o
nm
F*N1
dF'Q= τ'bdx
F*N2
面积 A*
x
x 方向的内力
σ1dA
σ2dA
静力平衡条件,
ΣFx=0 － F*N1－ dF'Q+F*N2=0
dF'Q= τ'bdx
F*N1= ∫A* σ1dA = ∫A* (My1 /IZ )dA
= M /IZ∫A* y1 dA= MSZ* /IZ
F*N2= ∫A* σ2dA = ∫A*((M+dM )y1/IZ )dA
= ( M +dM ) /IZ∫A* y1 dA
= ( M +dM ) SZ*/IZ
τ'= τ
（ 4-47）
IZ,整个截面对中性轴 z轴的惯性矩；
b,横截面在所求应力点处的宽度；
SZ*,横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积 A*对中性轴的静矩。
z
zQ
bI
SF?
SZ* =∫A* y1 dA
y=h / 2,τ =0
y=0,τmax =3FQ /2A (熟记 )
2
2
2
11 ()24
h
y
bh
y b d y y
2
2
42
y
h
I
F
bI
SF
z
Q
z
zQ
y
z
dx
b
m n
nm
h
τmax
x
FQ
y
z
τmax
τmax
切 应力沿横截面高度分布示意图
FQ
z
zQ
bI
SF?
ma x,
ma x?
(2) 工程中常用横截面上的最大 切 应力 τmax
工字形截面梁 ——由腹板和翼板组成。
z
腹板翼板腹板是狭长矩形，符合矩形截面假设。
仍用矩形公式计算。
z
zQ
bI
SF?
ma x,
ma x?
计算结果表明，在翼缘上切应力很小。
zτmaxτmax
FQ
圆形截面梁,
薄壁圆环截面梁,
τmax
τmax
z
z
FQ
FQ
m a x
4
3
QF
A
m a x 2
QF
A
(3) 弯曲 切 应力强度计算对于某些特殊情形,如梁的跨度较小或荷载靠近支座时,焊接或铆接的薄壁截面梁,或梁沿某一方向的抗剪能力较差
（ 木梁的顺纹方向,胶合梁的胶合层 ） 等,
需进行弯曲切应力强度校核 。
y
z
dx
o FQ
σ
τ
M
M+d M
x
FQ
σmax
τmax
σ
τ
σmax 1
2
3
4
5
σmax 1 σ
max
σ 2
τ'
τ
τ
σ
τ'max
3
τ'max
τmaxτ
max
4
τ'
τ'
τ
τ
σ σ
5 σ
max
σmax
等截面 (矩形、工字形、圆形、
薄壁圆环 )直梁的 τmax发生在截面的中性轴 上，此处弯曲 σ=0正应力，微元体处于 纯剪应力状态 。
纯剪应力状态强度条件为,
τmax? [ τ ]
设 τ max是发生在梁最大剪力处的 工作应力,
则,
上式即为梁弯曲时的 切 应力 强度条件 。
最大工作应力材料的许用应力
m a x
强度条件可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）强度校核
2）设计 (最小 )截面尺寸 (合理性 )
3）确定 (最大 )允许外载荷 [ F ]
m a x
解题的基本过程：
1，分析题意是等直梁，还是变截面梁。
2，是三类问题中的那一类问题。
3，一般先求梁或结构的反力（有时可略） 。
4，求作每一梁的 内力图 （这节是剪力图）
（ 确定危险截面 ）
5，写出公式，再求解（ 确定危险点 ）。
6，正确回答问题。（如：强度够、强度不够）
例 4-16
已知梁由四块木板胶合而成,截面尺寸如图,Iz=478.8× 106mm4,顺纹切应力 [τ]
=1.1MPa，校核梁的强度。
A B
16kN 10kN
C D E1m 1m 1m
10kN
1m
z
y
c 162
20
300
200
505020
300
解：
解得,FA= FB= 36/2=18kN
A B
16kN 10kN
C D E
FA FB
1m 1m 1m
10kN
1m
A B
16kN 10kN
C D E
FA FB
1m 1m 1m
10kN
1m
+
－
FQ
18kN
18kN
8kN
8kN
z
y
c
162
20
300
200
505020
300
计算 τmax 应力 178
d
计算：
m a x
43
178
1 0 0 2 0 1 6 8 2 5 0 1 7 8
2
1 9 2 1 0
z
S
mm
b=2× 50
所以强度够。
3 4 9
,m a x 3 6 1 2
1 8 1 0 1 9 2 1 0 1 0
2 5 0 1 0 4 7 8,8 1 0 1 0
0,7 2 1,1 [ ]
d
M P a M P a
z
zQ
d
bI
SF?
ma x,ma x,
ma x,?
9 / 8
2
工程上应用,
σmax? [ σ ]
τmax? [ τ ]
1）强度校核 σmax? [ σ ]
τmax? [ τ ]
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F]
2）设计（ 最小 ）截面尺寸主要有 两种形式,
I,σmax控制（ 常用 ）
由 σmax? [σ] 求出,尺寸 σ强度?….,.
代入 τmax? [τ] 校核。
II,尺寸 σ强度? ………
尺寸 τ强度? ………
尺寸 = max{尺寸 σ强度,尺寸 τ强度 }
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [ F] 也有两种形式：
I,[Fσ强度 ]? ….,（ 常用 ）
τmax? [τ ] 校核。
II,[Fσ强度 ]?…..
[Fτ强度 ]? …..
[F] = min{[F σ强度 ],[Fτ强度 ] }
§ 4.6.4 梁的合理设计
（ 提高梁 强度 的措施）
如前所述,弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素 。 根据弯曲正应力的强度条件讨论 。
m a x m a x
m a x []
z
My
I
提高梁弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩,提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能 。
1,减小最大弯矩
⑴ 改变加载的位置或加载方式
A
l
B
F
C
M +
M=Fl / 4
A
l
B
F
C
M +
M=5Fl / 36
l/6
A B
F
C
M +
M=Fl / 8
l/2 Dl/4 l/4
辅梁
A B
l
l
q
q
C
+
ql
ql2
ql2 / 2
+M
FQ
⑵ 改变支座类型或位置
A B
l
l
q
q
C
+
ql
ql2 / 2
+M
FQ -
ql
+
ql/2
ql2 / 8
+M
FQ
- - ql/2ql/2 ql2 / 8
-
q
A B
l
l
q
C
FA=ql/2 FC=ql/2
A B
q
l
+
M
ql2 / 8
A B
q
0.2l
+M
ql2 / 50
-
l 0.2l
ql2 / 40
ql2 / 50
2,提高抗弯截面系数选用合理的截面形状：截面积相同的条件下,抗弯截面系数愈大,则梁的承载能力就愈高 。
z
b
h z
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性。
常见截面的值：
0.167h0.125h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁 。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，如阶梯梁、鱼腹梁等。
① 用变截面梁 ——阶梯梁
A
l
B
F
C
M
M=Fl / 4
+
② 用变截面梁 ——加强梁
A
l
B
F
C
M
M=Fl / 4
+
③ 用变截面梁 ——鱼腹梁
A
l
B
F
M +
M=Fl / 4
3,提高材料的力学性能选用力学性能更好的材料,如低合金钢等 。
作业,
P182
4 – 17
4 – 18
课间休息
