§ 3.4 静定平面刚架的内力
§ 3.4 静定平面刚架的内力一,静定平面刚架 的组成和受力特点
1、组成和分类组成：平面刚架由若干根直杆（梁和柱）用刚性结点联结组成的平面结构。
刚结点：刚性联结的结点。用刚结点联结的各杆在结点处，各杆的夹角不因任何原因而发生改变。
（ 1）静定刚架，无多余约束，几何不变，反力内力均可由平衡方程求出。
分类,
悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架组合刚架 复杂刚架
（ 2）超静定刚架，有多余约束，几何不变，
反力内力不能仅靠静力平衡方程求出。
2,受力特点组成刚架的杆件为受弯杆。
在刚架杆件内一般存在有弯矩、剪力、轴力。
弯矩起主要作用（设计中起控制作用）。
二,用简支梁（分段）叠加法作弯矩图
MA
MA
MB
MA M
B
FP ab/l
MBFPab/l
+
a b
l
MA
MBA BC
FP
=
1、简支梁弯矩叠加梁上荷载：
跨间荷载 FP(或 q),
杆端力偶,MA,MB。
分为两组,
(1) MA,MB 单独作用,
M图是直线。
(2) FP 单独作用,M0 图是折线。
FP
2,结构中任意直杆段弯矩的叠加法
lAB
qFP
A B
M0
(a)
BA
q QBAQAB
NBANAB
MBAMAB
(b)
A BMAB MBA
VBVA
q
(c)
MAB
MBA
qlAB2/8
取梁的 AB 段跨中荷载 q
杆端力：
弯矩 MAB,MBA
剪力 QAB,QBA
轴力 NAB,NBA 不影响弯矩，可暂不予考虑。
比较相应简支梁跨中荷载 q
杆端弯矩 MAB,MBA
支座反力 VA,VB
作任意直线段弯矩图 归结 作相应简支梁弯矩图。
注：
（ 1）要点：用叠加法作弯矩图，不是弯矩图形的简单拼合，
而是各弯矩图的竖标叠加。
截取受弯结构的任一段，均可等价为相应的简支梁。
（ 2）步骤：
一竖,用 截面法 求杆端弯矩；
二联,将两端杆端弯矩纵标相连；
三叠加,以联线为基础，叠加杆件跨内荷载产生的简支梁弯矩图。
（ 3）同侧弯矩纵标相加，异侧弯矩纵标相减。
（ 4）刚架内力正负号及表达方式杆端弯矩,MAB 不规定正负。绘弯矩图时，竖标标在受拉边。
杆端剪力,QAB 使杆端有顺时针转动趋势的剪力为正。
杆端轴力,NAB 拉力为正，压力为负。
三,静定平面刚架 的的内力计算及内力图
1、悬臂刚架 解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4kN
/m
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
Σ x =0 HA – 1 –0.4× 5=0
HA=3kN ( )
Σ y =0 VA –2=0 VA=2kN ( )
ΣMA=0 MA –0.4× 5× 2.5 –1× 6 –
2× 4=0
MA=19kN?m（ ）
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4k
N/
m
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
B
B
CP1=1kN
P2=2kN
q=
0.4kN
/m
QBCM
BC N
BC
=11 =
=0
QBD
NBD MBD =8
=2
=0
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
QBA
MBA
NBA
=1
=9
= -2
QBC QBD
QBA
MBC
MBD
MBA
(3)、作剪力图、轴力图。
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4kN
/m
A
B
C
D
1
8
9
19
ql2/8=1.25
M图 (kN?m)
1
3
2
Q图（ kN）
2 N图（ kN）
(4)、校核用未用过的平衡条件进行校核。（隔离体平衡条件）
(5)、小结如：
MBC=1
MBA=9
MBD=8
MBA=9
1kN 2kN
QBA=1
NBA=2
*刚结点处必有,ΣMi=0 （ 包括内、外力偶）
*计算顺序,反力 弯矩 剪力 轴力 校核
2、简支刚架
=5kN
VA VB
HB
=27.5kN =52.5kN
解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
Σ x =0 HB –5=0
HB=5kN ( ← )
Σ MB=0 VA × 4–16× 5× 1.5+5× 2=0
VA=27.5kN ( ↑ )
ΣMA=0 VB –16× 5× 2.5 –5× 2 =0
VB=52.5kN ( ↑ )
(3)、作剪力图。轴力图。
A B
C D
E
F2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
16kN/m
F
QDF=16
MDF=8
D
B 5kN
52.5kN
QDB= 5
NDB= -52.5
MDB= 20
A
C5kN
27.5kN
QCA= -5
NCA= -27.5
MCA= 10
C D
QCD NCD
MCD QDC
NDC
MDC
A
C
5kN
27.5
QCD= 27.5
NCD= -5
MCD= 10
B
FD
5
52.5
16kN/m
QDC= -36.5NDC= -5
MDC= 28
=5kNA B
C D
E
F
VA VB
HB
2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
=27.5kN =52.5kN
MDF=8 （ 上拉）
MDB= 20 （ 右拉）
MCA= 10 （ 左拉）
MCD= 10 （ 上拉）
MDC= 28 （ 上拉）
=5kNA B
C D
E
F
VA VB
HB
2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
=27.5kN =52.7kN
10
28
32
20
8
M图 （ kN?m）
QDF=16 QFD=0
QDB= 5 QBD=5
QCA= -5 QAC=0
QCD= 27.5 QDC=-36.5
5
27.5
36.5
16
5
Q图 （ kN）
F
A B
C D
NDF=0 NFD=0
NDB= -52.5 NBD=-52.5
NCA= -27.5 NAC=-27.5
NCD= -5 NDC=-5
27.5
5 5
52.5
N图 （ kN）
3、三铰刚架解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
Σ MB=0 VA × 12–15× 12× 6=0
VA=90kN ( ↑ )
ΣMC=0 HA × 9+15× 6× 3 –90× 6 =0
HA=30kN ( → )
HB = 30kN ( ← )
=30kN
HA
B
C
D E
q=15kN/m
6m 6m
6m
3m α
A
VA
VB
HB
=90kN =90kN
=30kN
Σ x =0 HA –HB=0
Σ MA=0 VB× 12–15× 12× 6=0
VB=90kN ( ↑ )
A
C
D
q=15kN/m
HA
VA=90N
XC
YC
=30kN A B
C
D E
VA V
B
HA HB
q=15kN/m
6m 6m
6m
3m α
=90kN =90kN
=30kN
A
D
90
30
MDA= 180
A
D
90
30
MDC= 180
180
67.5180 67.5
M图 （ kN?m）
180
180
作业：
P108 3-6 (a),(d)
§ 3.4 静定平面刚架的内力一,静定平面刚架 的组成和受力特点
1、组成和分类组成：平面刚架由若干根直杆（梁和柱）用刚性结点联结组成的平面结构。
刚结点：刚性联结的结点。用刚结点联结的各杆在结点处，各杆的夹角不因任何原因而发生改变。
（ 1）静定刚架，无多余约束，几何不变，反力内力均可由平衡方程求出。
分类,
悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架组合刚架 复杂刚架
（ 2）超静定刚架，有多余约束，几何不变，
反力内力不能仅靠静力平衡方程求出。
2,受力特点组成刚架的杆件为受弯杆。
在刚架杆件内一般存在有弯矩、剪力、轴力。
弯矩起主要作用（设计中起控制作用）。
二,用简支梁（分段）叠加法作弯矩图
MA
MA
MB
MA M
B
FP ab/l
MBFPab/l
+
a b
l
MA
MBA BC
FP
=
1、简支梁弯矩叠加梁上荷载：
跨间荷载 FP(或 q),
杆端力偶,MA,MB。
分为两组,
(1) MA,MB 单独作用,
M图是直线。
(2) FP 单独作用,M0 图是折线。
FP
2,结构中任意直杆段弯矩的叠加法
lAB
qFP
A B
M0
(a)
BA
q QBAQAB
NBANAB
MBAMAB
(b)
A BMAB MBA
VBVA
q
(c)
MAB
MBA
qlAB2/8
取梁的 AB 段跨中荷载 q
杆端力：
弯矩 MAB,MBA
剪力 QAB,QBA
轴力 NAB,NBA 不影响弯矩，可暂不予考虑。
比较相应简支梁跨中荷载 q
杆端弯矩 MAB,MBA
支座反力 VA,VB
作任意直线段弯矩图 归结 作相应简支梁弯矩图。
注：
（ 1）要点：用叠加法作弯矩图，不是弯矩图形的简单拼合，
而是各弯矩图的竖标叠加。
截取受弯结构的任一段，均可等价为相应的简支梁。
（ 2）步骤：
一竖,用 截面法 求杆端弯矩；
二联,将两端杆端弯矩纵标相连；
三叠加,以联线为基础，叠加杆件跨内荷载产生的简支梁弯矩图。
（ 3）同侧弯矩纵标相加，异侧弯矩纵标相减。
（ 4）刚架内力正负号及表达方式杆端弯矩,MAB 不规定正负。绘弯矩图时，竖标标在受拉边。
杆端剪力,QAB 使杆端有顺时针转动趋势的剪力为正。
杆端轴力,NAB 拉力为正，压力为负。
三,静定平面刚架 的的内力计算及内力图
1、悬臂刚架 解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4kN
/m
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
Σ x =0 HA – 1 –0.4× 5=0
HA=3kN ( )
Σ y =0 VA –2=0 VA=2kN ( )
ΣMA=0 MA –0.4× 5× 2.5 –1× 6 –
2× 4=0
MA=19kN?m（ ）
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4k
N/
m
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
B
B
CP1=1kN
P2=2kN
q=
0.4kN
/m
QBCM
BC N
BC
=11 =
=0
QBD
NBD MBD =8
=2
=0
HA =3kN
VA =2kN
MA=19kN·m
QBA
MBA
NBA
=1
=9
= -2
QBC QBD
QBA
MBC
MBD
MBA
(3)、作剪力图、轴力图。
A
B
C
D
5m
4m
1m
P1=1kN P2=2kN
q=
0.4kN
/m
A
B
C
D
1
8
9
19
ql2/8=1.25
M图 (kN?m)
1
3
2
Q图（ kN）
2 N图（ kN）
(4)、校核用未用过的平衡条件进行校核。（隔离体平衡条件）
(5)、小结如：
MBC=1
MBA=9
MBD=8
MBA=9
1kN 2kN
QBA=1
NBA=2
*刚结点处必有,ΣMi=0 （ 包括内、外力偶）
*计算顺序,反力 弯矩 剪力 轴力 校核
2、简支刚架
=5kN
VA VB
HB
=27.5kN =52.5kN
解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
Σ x =0 HB –5=0
HB=5kN ( ← )
Σ MB=0 VA × 4–16× 5× 1.5+5× 2=0
VA=27.5kN ( ↑ )
ΣMA=0 VB –16× 5× 2.5 –5× 2 =0
VB=52.5kN ( ↑ )
(3)、作剪力图。轴力图。
A B
C D
E
F2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
16kN/m
F
QDF=16
MDF=8
D
B 5kN
52.5kN
QDB= 5
NDB= -52.5
MDB= 20
A
C5kN
27.5kN
QCA= -5
NCA= -27.5
MCA= 10
C D
QCD NCD
MCD QDC
NDC
MDC
A
C
5kN
27.5
QCD= 27.5
NCD= -5
MCD= 10
B
FD
5
52.5
16kN/m
QDC= -36.5NDC= -5
MDC= 28
=5kNA B
C D
E
F
VA VB
HB
2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
=27.5kN =52.5kN
MDF=8 （ 上拉）
MDB= 20 （ 右拉）
MCA= 10 （ 左拉）
MCD= 10 （ 上拉）
MDC= 28 （ 上拉）
=5kNA B
C D
E
F
VA VB
HB
2m
2m
4m 1m
16kN/m
5kN
=27.5kN =52.7kN
10
28
32
20
8
M图 （ kN?m）
QDF=16 QFD=0
QDB= 5 QBD=5
QCA= -5 QAC=0
QCD= 27.5 QDC=-36.5
5
27.5
36.5
16
5
Q图 （ kN）
F
A B
C D
NDF=0 NFD=0
NDB= -52.5 NBD=-52.5
NCA= -27.5 NAC=-27.5
NCD= -5 NDC=-5
27.5
5 5
52.5
N图 （ kN）
3、三铰刚架解,
(1)、计算支座反力。
(2)、作弯矩图。
先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。
求各杆端弯矩时，用截面法取相应的隔离体。
Σ MB=0 VA × 12–15× 12× 6=0
VA=90kN ( ↑ )
ΣMC=0 HA × 9+15× 6× 3 –90× 6 =0
HA=30kN ( → )
HB = 30kN ( ← )
=30kN
HA
B
C
D E
q=15kN/m
6m 6m
6m
3m α
A
VA
VB
HB
=90kN =90kN
=30kN
Σ x =0 HA –HB=0
Σ MA=0 VB× 12–15× 12× 6=0
VB=90kN ( ↑ )
A
C
D
q=15kN/m
HA
VA=90N
XC
YC
=30kN A B
C
D E
VA V
B
HA HB
q=15kN/m
6m 6m
6m
3m α
=90kN =90kN
=30kN
A
D
90
30
MDA= 180
A
D
90
30
MDC= 180
180
67.5180 67.5
M图 （ kN?m）
180
180
作业：
P108 3-6 (a),(d)
