§ 4-6 弯曲应力小结钢筋混凝土梁，当外力过大时，在梁的下边缘处（弯矩最大）首先出现裂缝，然后裂缝逐渐向上扩展而导致梁的破坏。
P
问题的提出：
钢筋混凝土梁通过本章的学习，可以知道其原因为：弯矩引起弯曲变形，使梁下部伸长，下部纤维受拉伸，拉应力超过材料的极限拉应力，引起裂缝，导致梁的破坏。
P P
木质梁跨度较小的木质梁且外力作用点靠近支座，
当外力较大时，端部出现水平裂缝，导致破坏。
通过本章的学习，
可以知道其原因是梁内的最大切（剪）应力超过材料的顺纹切（剪）
应力而引起的。
问题的提出：
一、纯弯曲时梁内的正应力
M M
+
FQ
M
纯弯曲梁 —— 只有弯矩而无剪力的梁称为纯弯曲梁。
横截面上只有正应力 σ，
无剪应力 τ 。
矩形截面等直梁的实验观察将梁设想为由无数纵向纤维组成。M
变形几何规律,
1.梁的纯弯曲实验横向线 (a b,c d ) 变形后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上部分收缩、下部分伸长；横向线与纵向线变形后仍正交。
中性层纵向对称面 中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。
横截面上只有正应力。
2、两个概念
3、基本假设纯弯情况下的正应力计算公式
z
My
I
(4-38)
y — 所求应力点到中性轴的距离。
中性轴将截面分成受拉区和受压区。
正应力的正负号，可根据变形来判断：
凸边应力为正,凹边应力为负。
Wz 称为 弯曲截面系数 （或抗弯截面模量），其量纲为 [长度 ]3，国际单位用 m3或 mm3 。
m a x
m a x
z
My
I
m a x
z
z
I
W
y
m a x
z
M
W
最大正应力：
几种形状截面的抗弯截面模量：
矩形截面：
型钢,可查型钢表。
圆形截面：
2
/ 2 6
z
z
I bhW
h
3
/ 2 3 2
z
z
I dW
d
说明：
如中性轴是截面对称轴，
最大拉（压）应力在数值上相等。
如中性轴不是截面对称轴，最大拉（压）应力在数值上不相等。
σcmax
y1
y2
z
σtmax
二、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广横力弯曲 —— 梁横截面上既有弯矩又有剪力，
梁弯曲后不再满足平面假设。
由于切应力的存在，梁横截面变形后不再是平面，而是在横截面上发生翘曲。但当 h/l＜
1/5时，误差很小，已可满足工程上的需要，因此，可用纯弯曲时的正应力计算公式导出梁正应力强度条件。
梁正应力强度条件：
（对抗拉、抗压强度不同的材料要分别计算最大拉、压应力）
解决三类强度问题：
（ 1）强度校核（验算）：已知梁的截面尺寸，形状和梁所用的材料及梁上荷载，校核其应力。
（ 2）选择截面：已知梁所用的材料及梁上荷载，计算截面 。
（ 3）计算梁所能承受的最大荷载,已知梁材料和截面尺寸，计算许用的 [M]再计算 [P]。
m a x工 作三,梁内切应力，切应力强度条件
（一）矩形截面 梁横截面上的切应力
1、两点假设：
切应力与剪力平行；
距中性轴等距离处切应力相等。
IZ,整个截面对中性轴的惯性矩；
b,横截面在所求应力点处的宽度；
SZ*,横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积 A*对中性轴的静矩。
z
zQ
bI
SF?
（ 4－ 47）
y*
b
h
y
y
z
A**
2、切应力分布规律（矩形截面）
z
y
b
h
A*
τmax
τy
注：
（ 1） τ 沿梁高按二次抛物线变化。
（ 2）上下边缘处 τ = 0 。
（ 3） 中性轴处切应力最大，最大切应力是平均切应力的
1.5倍。
（二） 切应力强度条件弯曲切应力强度条件 （一般做校核时用）,
需校核切应力强度的情况：
1、短梁（剪力大，弯矩相对小） ;
2,木梁,木材顺纹方向（许用切应力很小）,胶合梁的胶合层 。
m a x工 作最大工作应力材料的许用应力
y
z
dx
o
FQ
σ
τ
M
M+dM
x
FQ
σmax
τmax
σ
τ
σmax 1
2
3
4
5
四,横力弯曲时梁横截面上的应力状态
σmax 1 σ
max
σ 2
τ'
τ
τ
σ
τ'max
3
τ'max
τmaxτmax
4
τ'
τ'
τ
τ
σ σ
5 σ
max
σmax
§ 4-7 点的应力状态一、梁上任一点应力状态的分析问题：
① 梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？是否需要校核？
② 在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？
P P
P P
P P
A
A
σx σx
τx
τy
σx σx
τx
τye
f
σx τx
τ
y
n
t
x
α
σaτ
a
1、斜截面上的应力横截面外法线到斜截面外法线成 α角。
α,x→ n 逆时针为正 。
2s i n2c o s22 xxx
2c o s2s i n2 xx
2、主应力及其作用平面
σα,τα 随 α 变化，在连续变化过程中，存在最大值 σα max 和最小值 σα min 。
sin2αo + τx cos2αo ] =0dσαdα = -2 [ σx
2
由：
可知,在 α0和 α0+90° 两面上正应力具有极值，其中一个为最大值，另一个为最小值。
求出 α0 和 α0+90 ° 代入可得,及
00 0
00 90
得：
)159( 22t a n 0
x
x
代回：
注：
（ 1） 主平面,最大正应力和最小正应力的作用面，主平面上的切应力为零。
主应力,主平面上的正应力。（切应力为零对应面上的正应力）。
（ 2）如要知道哪个角（ α0还是 α0+ 90 ° ）是 σmax 的方位角，可求出 α0代回求 σα,如求出的 σα 等于 σmax值，则 σmax
所在平面的方位角为 α0，否则为 α0+90 ° 。
（ 3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。
）（ 169 )2(2 22
m i n
m a x
x
xx
（ 4－ 58）
（ 4－ 59）
σ3
σx σx
τxτ
x τ
y
τy
σ1
σ1 σ3
（ 3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。
梁内取出任一点 A的单元体，求出 σmax和 σmin,一个为正值，一个为负值。同时知 z方向面上的正（主）应力为零
（其面上切应力也是零，可视为一个主平面）。
规定,σ1 ＞ σ2 ＞ σ3
梁单元中,σ1 = σmax,σ2 = 0,σ3 = σmin 。
3、梁内主应力见 162页图 4-108,梁上各点受力情况有三类：
（ 1）梁上下边缘（点 1和点 5），只有正应力而无切应力，是主应力单元，属于单向应力状态。
（ 2）中性轴上的各点（点 3），只有切应力，该点主应力与水平轴成 45° 角，数值均为 τx。
（ 3） 一般平面应力状态下的各点（点 2,4），
有正应力，也有切应力。
注：两个主应力均不等于零的单元称为 二向应力状态 （也称平面应力状态）。
σx
σxτx
qm
m
1
32
4 5
Q 图
M 图
1
2
3
4
5
2
σ1
σ3
α< 450
α>450
α= 450
m
m
σ3
σ1
σ3
拉压
1?3
主应力迹线（ Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线 —— 曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
实线表示主拉应力迹线；
虚线表示主压应力迹线。
x
y
主应力迹线的画法：
1
1
截面
2
2
截面
3
3
截面
4
4
截面
i
i
截面
n
n
截面
ba
c
d
q
3
1
注：
二向应力状态，其强度条件的校核比较复杂，需用强度理论进行。
问题：
①在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？
②梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，
属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？
P P
P
问题的提出：
钢筋混凝土梁通过本章的学习，可以知道其原因为：弯矩引起弯曲变形，使梁下部伸长，下部纤维受拉伸，拉应力超过材料的极限拉应力，引起裂缝，导致梁的破坏。
P P
木质梁跨度较小的木质梁且外力作用点靠近支座，
当外力较大时，端部出现水平裂缝，导致破坏。
通过本章的学习，
可以知道其原因是梁内的最大切（剪）应力超过材料的顺纹切（剪）
应力而引起的。
问题的提出：
一、纯弯曲时梁内的正应力
M M
+
FQ
M
纯弯曲梁 —— 只有弯矩而无剪力的梁称为纯弯曲梁。
横截面上只有正应力 σ，
无剪应力 τ 。
矩形截面等直梁的实验观察将梁设想为由无数纵向纤维组成。M
变形几何规律,
1.梁的纯弯曲实验横向线 (a b,c d ) 变形后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上部分收缩、下部分伸长；横向线与纵向线变形后仍正交。
中性层纵向对称面 中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。
横截面上只有正应力。
2、两个概念
3、基本假设纯弯情况下的正应力计算公式
z
My
I
(4-38)
y — 所求应力点到中性轴的距离。
中性轴将截面分成受拉区和受压区。
正应力的正负号，可根据变形来判断：
凸边应力为正,凹边应力为负。
Wz 称为 弯曲截面系数 （或抗弯截面模量），其量纲为 [长度 ]3，国际单位用 m3或 mm3 。
m a x
m a x
z
My
I
m a x
z
z
I
W
y
m a x
z
M
W
最大正应力：
几种形状截面的抗弯截面模量：
矩形截面：
型钢,可查型钢表。
圆形截面：
2
/ 2 6
z
z
I bhW
h
3
/ 2 3 2
z
z
I dW
d
说明：
如中性轴是截面对称轴，
最大拉（压）应力在数值上相等。
如中性轴不是截面对称轴，最大拉（压）应力在数值上不相等。
σcmax
y1
y2
z
σtmax
二、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广横力弯曲 —— 梁横截面上既有弯矩又有剪力，
梁弯曲后不再满足平面假设。
由于切应力的存在，梁横截面变形后不再是平面，而是在横截面上发生翘曲。但当 h/l＜
1/5时，误差很小，已可满足工程上的需要，因此，可用纯弯曲时的正应力计算公式导出梁正应力强度条件。
梁正应力强度条件：
（对抗拉、抗压强度不同的材料要分别计算最大拉、压应力）
解决三类强度问题：
（ 1）强度校核（验算）：已知梁的截面尺寸，形状和梁所用的材料及梁上荷载，校核其应力。
（ 2）选择截面：已知梁所用的材料及梁上荷载，计算截面 。
（ 3）计算梁所能承受的最大荷载,已知梁材料和截面尺寸，计算许用的 [M]再计算 [P]。
m a x工 作三,梁内切应力，切应力强度条件
（一）矩形截面 梁横截面上的切应力
1、两点假设：
切应力与剪力平行；
距中性轴等距离处切应力相等。
IZ,整个截面对中性轴的惯性矩；
b,横截面在所求应力点处的宽度；
SZ*,横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积 A*对中性轴的静矩。
z
zQ
bI
SF?
（ 4－ 47）
y*
b
h
y
y
z
A**
2、切应力分布规律（矩形截面）
z
y
b
h
A*
τmax
τy
注：
（ 1） τ 沿梁高按二次抛物线变化。
（ 2）上下边缘处 τ = 0 。
（ 3） 中性轴处切应力最大，最大切应力是平均切应力的
1.5倍。
（二） 切应力强度条件弯曲切应力强度条件 （一般做校核时用）,
需校核切应力强度的情况：
1、短梁（剪力大，弯矩相对小） ;
2,木梁,木材顺纹方向（许用切应力很小）,胶合梁的胶合层 。
m a x工 作最大工作应力材料的许用应力
y
z
dx
o
FQ
σ
τ
M
M+dM
x
FQ
σmax
τmax
σ
τ
σmax 1
2
3
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5
四,横力弯曲时梁横截面上的应力状态
σmax 1 σ
max
σ 2
τ'
τ
τ
σ
τ'max
3
τ'max
τmaxτmax
4
τ'
τ'
τ
τ
σ σ
5 σ
max
σmax
§ 4-7 点的应力状态一、梁上任一点应力状态的分析问题：
① 梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？是否需要校核？
② 在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？
P P
P P
P P
A
A
σx σx
τx
τy
σx σx
τx
τye
f
σx τx
τ
y
n
t
x
α
σaτ
a
1、斜截面上的应力横截面外法线到斜截面外法线成 α角。
α,x→ n 逆时针为正 。
2s i n2c o s22 xxx
2c o s2s i n2 xx
2、主应力及其作用平面
σα,τα 随 α 变化，在连续变化过程中，存在最大值 σα max 和最小值 σα min 。
sin2αo + τx cos2αo ] =0dσαdα = -2 [ σx
2
由：
可知,在 α0和 α0+90° 两面上正应力具有极值，其中一个为最大值，另一个为最小值。
求出 α0 和 α0+90 ° 代入可得,及
00 0
00 90
得：
)159( 22t a n 0
x
x
代回：
注：
（ 1） 主平面,最大正应力和最小正应力的作用面，主平面上的切应力为零。
主应力,主平面上的正应力。（切应力为零对应面上的正应力）。
（ 2）如要知道哪个角（ α0还是 α0+ 90 ° ）是 σmax 的方位角，可求出 α0代回求 σα,如求出的 σα 等于 σmax值，则 σmax
所在平面的方位角为 α0，否则为 α0+90 ° 。
（ 3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。
）（ 169 )2(2 22
m i n
m a x
x
xx
（ 4－ 58）
（ 4－ 59）
σ3
σx σx
τxτ
x τ
y
τy
σ1
σ1 σ3
（ 3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。
梁内取出任一点 A的单元体，求出 σmax和 σmin,一个为正值，一个为负值。同时知 z方向面上的正（主）应力为零
（其面上切应力也是零，可视为一个主平面）。
规定,σ1 ＞ σ2 ＞ σ3
梁单元中,σ1 = σmax,σ2 = 0,σ3 = σmin 。
3、梁内主应力见 162页图 4-108,梁上各点受力情况有三类：
（ 1）梁上下边缘（点 1和点 5），只有正应力而无切应力，是主应力单元，属于单向应力状态。
（ 2）中性轴上的各点（点 3），只有切应力，该点主应力与水平轴成 45° 角，数值均为 τx。
（ 3） 一般平面应力状态下的各点（点 2,4），
有正应力，也有切应力。
注：两个主应力均不等于零的单元称为 二向应力状态 （也称平面应力状态）。
σx
σxτx
qm
m
1
32
4 5
Q 图
M 图
1
2
3
4
5
2
σ1
σ3
α< 450
α>450
α= 450
m
m
σ3
σ1
σ3
拉压
1?3
主应力迹线（ Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线 —— 曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
实线表示主拉应力迹线；
虚线表示主压应力迹线。
x
y
主应力迹线的画法：
1
1
截面
2
2
截面
3
3
截面
4
4
截面
i
i
截面
n
n
截面
ba
c
d
q
3
1
注：
二向应力状态，其强度条件的校核比较复杂，需用强度理论进行。
问题：
①在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？
②梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，
属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？
P P
