第六章超静定结构的内力
§ 6.1 超静定结构概述一、超静定结构
1、几何组成：
具有多余约束的几何不变体系。
P1 P2
P1 P2
RB RC RD
2、静力特性超静定结构的反力和内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定。
PA
BH
A
VA
MA
VB
VA V
B
HA
未知力的数目 > 平衡方程的数目
P
二、超静定结构的类型
（ 1）超静定梁
（ 2）超静定刚架
（ 3）超静定拱
（ 4）超静定桁架
（ 5）超静定组合结构、排架三、求解超静定结构的计算方法从历史上讲分,传统方法 和 现代方法 。
从基本方法上讲有两种,力法 和 位移法 。
传统方法,
(1) 精确法：
(1)力法 (Force method),取某些 力 作基本未知量。
(2)位移法 (Displacement method),取某些 位移 作基本未知量。
(3)混合法 (Mixture method),既有 力 的未知量,也有 位移未知量。
(2) 渐近法,
（ 1）建立力学方程组，数学上渐近；
（ 2）从结构的力学模型入手逐步逼近。
现代方法,
矩阵法,（ 1）矩阵力法；
（ 2）矩阵位移法 ;
（ 3）矩阵混合法 。
§ 6.2 力法的基本方程一、基本思路超静定结构 静定结构不会分析 会分析 （反力、内力、位移）
桥梁变形相同受力相同二、力法的三个基本概念
1、力法基本未知量 — （与多余联系相应的） 多余力
2、基本结构（体系） — （去掉多余联系的） 静定结构
3、基本方程 — 变形（位移）条件方程
l
q
EI
原结构
MA
VA V
B
HA
q
基本结构 X1
⊿ 1P
q
X1
⊿ 11
X1=1
δ11
变形（位移）条件方程与基本未知量 X1相应的位移条件：
基本体系沿多余未知力 X1方向的位移 Δ1 应与原结构该方向的位移相同。
即,Δ1 = 0
由叠加原理：
Δ1 = Δ11 +Δ1P = 0
由于 Δ11 = δ11 X1
故 δ11 X1+Δ1P = 0
即为力法方程。
变形条件,⊿ 1 = 0
基本结构 原结构由叠加原理,⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
式中：
⊿ 11 —— 基本体系在未知力 X1单独作用下，沿 X1方向的位移
⊿ 11 =δ11 X1
⊿ 1P —— 基本体系在荷载单独作用下沿 X1方向的位移。
⊿ 1,⊿ 11,⊿ 1P,δ11的方向与 X1方向一致，规定为正。
δ11 X1+Δ1P = 0
1
1
11
PX
三、系数与自由项的计算
EI
ldx
EI
Mdx
EI
MM
3
32
111
11
EI
qldx
EI
MM P
P 8
4
1
1
X1=1l M1图
q
2
2
ql
MP图代入力法方程,得,X1= -⊿ 1P /δ11= 3ql / 8 (↑)
最后弯矩图可用叠加原理 (也可将 X1作用在基本体系上用平衡条件求其余的反力和内力 ),
M= X1M1+MP
ql2/8 ql2/8q
X1=1
四、小结：力法的基本特点
（ 1）、以多余未知力作为基本未知量。
（ 2）、以去掉多余约束的静定结构（也可以是超静定结构）作为基本结构（体系）。
（ 3）、基本结构在解除多余约束处的位移 = 原结构在该处的位移，由此建立力法方程。
五、问题
（ 1）超静定结构有多少个多余约束（联系）？
一个结构的超静定次数？
（ 2）取什么样的体系作为基本结构？
（ 3）对于不同的结构，应如何建立力法方程并求解？
六、基本结构和超静定次数
(一 )、超静定次数的确定方法
1,超静定次数 n — — 多余约束的个数。
n = 把超静定结构变成静定结构，所需撤除约束的个数。
2、撤除多余约束的方式基本上是四种，列表显示,
撤除多余约束的方式与相应多余约束力之间的关系撤除多余约束的方式 撤除多余约束的 个数 多余力的性质
X1
X1 X1
1 反力 V
1 轴力 N
X1
X2 2 反力 H V
X1 X1
X2 X2
2
轴力 N
剪力 Q
撤除多余约束的方式 撤除多余约束的个数多余力的性质
X1
X2
X3 3 反力 H,V,M
X1
X2
X3
3
轴力 N
剪力 Q
弯矩 M
X1
1
X1
1
反力偶 M
弯矩 M
(二 )、基本体系（结构）与基本未知量力法基本体系（结构）：
几何不变 （无多余约束，有多余约束） 体系 ；计算是可能的。几何可变或瞬变体系不能作基本体系。
为计算简便，同一结构可选不同的基本体系。
力法基本未知量：
与去掉的多余约束相应的 多余未知力 。
例：
X1
n = 1
X1X1 X1
X1
n = 1
X1
X1 X1
瞬变思考以下取法正确与否,
X1
X2
X3
X4X5
X1
X2
X3
X4 X5
n = 5
X1
X1 X1
n = 1
X1 X1
n =3× 5=15
拆开一个封闭框，等于去掉三个约束
X1 X2
n = 2
X1 X1 X2 X2
X1 X2 X3 X4
n = 4
作业
P285:
6-1 (e) (g)
6-2 (a)
§ 6.1 超静定结构概述一、超静定结构
1、几何组成：
具有多余约束的几何不变体系。
P1 P2
P1 P2
RB RC RD
2、静力特性超静定结构的反力和内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定。
PA
BH
A
VA
MA
VB
VA V
B
HA
未知力的数目 > 平衡方程的数目
P
二、超静定结构的类型
（ 1）超静定梁
（ 2）超静定刚架
（ 3）超静定拱
（ 4）超静定桁架
（ 5）超静定组合结构、排架三、求解超静定结构的计算方法从历史上讲分,传统方法 和 现代方法 。
从基本方法上讲有两种,力法 和 位移法 。
传统方法,
(1) 精确法：
(1)力法 (Force method),取某些 力 作基本未知量。
(2)位移法 (Displacement method),取某些 位移 作基本未知量。
(3)混合法 (Mixture method),既有 力 的未知量,也有 位移未知量。
(2) 渐近法,
（ 1）建立力学方程组，数学上渐近；
（ 2）从结构的力学模型入手逐步逼近。
现代方法,
矩阵法,（ 1）矩阵力法；
（ 2）矩阵位移法 ;
（ 3）矩阵混合法 。
§ 6.2 力法的基本方程一、基本思路超静定结构 静定结构不会分析 会分析 （反力、内力、位移）
桥梁变形相同受力相同二、力法的三个基本概念
1、力法基本未知量 — （与多余联系相应的） 多余力
2、基本结构（体系） — （去掉多余联系的） 静定结构
3、基本方程 — 变形（位移）条件方程
l
q
EI
原结构
MA
VA V
B
HA
q
基本结构 X1
⊿ 1P
q
X1
⊿ 11
X1=1
δ11
变形（位移）条件方程与基本未知量 X1相应的位移条件：
基本体系沿多余未知力 X1方向的位移 Δ1 应与原结构该方向的位移相同。
即,Δ1 = 0
由叠加原理：
Δ1 = Δ11 +Δ1P = 0
由于 Δ11 = δ11 X1
故 δ11 X1+Δ1P = 0
即为力法方程。
变形条件,⊿ 1 = 0
基本结构 原结构由叠加原理,⊿ 1 = ⊿ 11 + ⊿ 1P= 0
式中：
⊿ 11 —— 基本体系在未知力 X1单独作用下，沿 X1方向的位移
⊿ 11 =δ11 X1
⊿ 1P —— 基本体系在荷载单独作用下沿 X1方向的位移。
⊿ 1,⊿ 11,⊿ 1P,δ11的方向与 X1方向一致，规定为正。
δ11 X1+Δ1P = 0
1
1
11
PX
三、系数与自由项的计算
EI
ldx
EI
Mdx
EI
MM
3
32
111
11
EI
qldx
EI
MM P
P 8
4
1
1
X1=1l M1图
q
2
2
ql
MP图代入力法方程,得,X1= -⊿ 1P /δ11= 3ql / 8 (↑)
最后弯矩图可用叠加原理 (也可将 X1作用在基本体系上用平衡条件求其余的反力和内力 ),
M= X1M1+MP
ql2/8 ql2/8q
X1=1
四、小结：力法的基本特点
（ 1）、以多余未知力作为基本未知量。
（ 2）、以去掉多余约束的静定结构（也可以是超静定结构）作为基本结构（体系）。
（ 3）、基本结构在解除多余约束处的位移 = 原结构在该处的位移，由此建立力法方程。
五、问题
（ 1）超静定结构有多少个多余约束（联系）？
一个结构的超静定次数？
（ 2）取什么样的体系作为基本结构？
（ 3）对于不同的结构，应如何建立力法方程并求解？
六、基本结构和超静定次数
(一 )、超静定次数的确定方法
1,超静定次数 n — — 多余约束的个数。
n = 把超静定结构变成静定结构，所需撤除约束的个数。
2、撤除多余约束的方式基本上是四种，列表显示,
撤除多余约束的方式与相应多余约束力之间的关系撤除多余约束的方式 撤除多余约束的 个数 多余力的性质
X1
X1 X1
1 反力 V
1 轴力 N
X1
X2 2 反力 H V
X1 X1
X2 X2
2
轴力 N
剪力 Q
撤除多余约束的方式 撤除多余约束的个数多余力的性质
X1
X2
X3 3 反力 H,V,M
X1
X2
X3
3
轴力 N
剪力 Q
弯矩 M
X1
1
X1
1
反力偶 M
弯矩 M
(二 )、基本体系（结构）与基本未知量力法基本体系（结构）：
几何不变 （无多余约束，有多余约束） 体系 ；计算是可能的。几何可变或瞬变体系不能作基本体系。
为计算简便，同一结构可选不同的基本体系。
力法基本未知量：
与去掉的多余约束相应的 多余未知力 。
例：
X1
n = 1
X1X1 X1
X1
n = 1
X1
X1 X1
瞬变思考以下取法正确与否,
X1
X2
X3
X4X5
X1
X2
X3
X4 X5
n = 5
X1
X1 X1
n = 1
X1 X1
n =3× 5=15
拆开一个封闭框，等于去掉三个约束
X1 X2
n = 2
X1 X1 X2 X2
X1 X2 X3 X4
n = 4
作业
P285:
6-1 (e) (g)
6-2 (a)
