§ 6.2.2 力法典型方程力法方程即位移条件方程：
基本体系在多余力和荷载（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用点的相应位移应与原结构相应点的位移相同。
1、以一个三次超静定结构为例
位移条件,⊿ 1 = 0 ⊿ 2 = 0 ⊿ 3 = 0
P1
P2
P1
P2
X1
X2
X3
位移条件：
⊿ 1 = 0
⊿ 2 = 0
⊿ 3 = 0
⊿ 1 = 0 基本体系沿 X1方向的位移 =
原结构 B点的水平位移。
⊿ 2 = 0 基本体系沿 X2 方向的位移 =
原结构 B点的竖向位移。
⊿ 3 = 0 基本体系沿 X3方向的位移 =
原结构 B点的转角位移。
应用叠加原理把位移条件分解为：
P1
P2
应用叠加原理把位移条件写成展开式：
（ 1） X1 =1 单独作用于基本体系，相应位移
δ 11 δ 21 δ 31
未知力 X1单独作用于基本体系，相应位移
δ 11 X1 δ 21 X1 δ 31 X1
（ 2） X2 =1 单独作用于基本体系，相应位移
δ 12 δ 22 δ 32
未知力 X2单独作用于基本体系，相应位移
δ 12 X2 δ 22 X2 δ 32 X2
（ 3） X3=1单独作用于基本体系，相应位移
δ 13 δ 23 δ 33
未知力 X3单独作用于基本体系，相应位移
δ 13 X3 δ 23 X3 δ 33 X3
（ 4）荷载单独作用于基本体系，相应位移
⊿ 1P ⊿ 2P ⊿ 3P
X1方向的位移 ⊿ 1
⊿ 1=δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P
X2方向的位移 ⊿ 2
⊿ 2=δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P
X3方向的位移 ⊿ 3
⊿ 3=δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P
三次超静定结构的力法方程,
δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P = 0
δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P = 0
注,方程左边是基本体系的位移 。
方程右边是原结构的相应位移 。
讨论：
（ 1） 力法方程（典型方程）的物理意义：基本体系中，由全部未知力和已知荷载共同作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应位移。
（ 2）同一结构可取不同的力法基本体系和基本未知量，但力法方程的基本形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）
条件的实际含义不同。
（ 3）方程中 δ ij 和 ⊿ iP 是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、
内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。
2,n次超静定结构的 力法典型方程
Δ 11 X1+δ 12 X2+ ……+δ 1n Xn+ ⊿ 1P = 0
Δ 21 X1+δ 22 X2+ ……+δ 2n Xn+ ⊿ 2P = 0 (6-4)
… … … … … …
Δ n1 X1+δ n2 X2+……+ δ nn Xn+ ⊿ nP = 0
(n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程）
基本未知量,n个多余未知力 X1,X2,… Xn；
基本体系：从原结构中去掉相应的 n个多余约束后所得的静定结构；
基本方程,n个多余约束处的 n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
（ 1）（ 6-4）式可写成矩阵形式,
[δ ] {X} + {⊿ P } = {0}
[δ ]—— 系数矩阵、柔度矩阵
（ 2）力法方程 主系数,δ ii≠ 0，恒为正 。
因为 δ ii是 Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移系数，所以不为零，恒为正。
0
0
0
2
1
2
1
21
22221
11211
nP
P
P
Nnnnn
n
n
X
X
X
(3) 副系数,δ ij (i≠j) 可正、可负、可为零。
由位移互等定理可知,δ ij =δ ji
δ ij —— 由单位力 Xj=1作用产生的沿 Xi方向的位移系数。
（ 4） 自由项,⊿ iP 可正、可负、可为零。
⊿ iP —— 由荷载单独作用产生的沿 Xi方向的位移。
（ 5）计算出 X1,X2,… Xn后，由叠加原理
M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP
FQ= FQ1X1+ FQ2X2+…+FQnXn+ FQP
FN=FN1X1+ FN2X2+… +FNnXn+ FNP
力法计算示例类型,单跨超静定梁、多跨超静定梁、
单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。
计算特点,（一般只考虑弯曲变形）
例：用力法计算图示刚架。各杆 EI=常数解：
(1),判定超静定次数,n=2 ；
选定基本体系和基本未知量 ；
可选不同的基本体系，挑选计算比较简便的，
进行分析计算。
力法方程：
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1P = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2P = 0
(2)、作 M i,MP 图，求 δ,⊿ (用第一种基本体系 )
δ 11 =[(1/2× l× l)
(2/3× l)+
(l× l)× l]/EI
= 4 l 3/3EI
δ 22=δ 11= 4l3/3EI
δ 12=δ 21= -[(l× l)
× l]/EI
= - l3/EI
⊿ 1P= -[(1/3× ql2/2× l )× 3/4× l
+( ql2/2× l )× l )/EI = -5ql4/8EI
⊿ 2P=[( ql2/2× l )× l] =ql4/2EI
3、解方程 （求解未知量）
力法方程,（可消去 l3/EI）
4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0
-X1+4/3X2+ ql/2 = 0
解出：
X 1 =3ql/7
X2 = - 3ql/56
4、作内力图
(1)、弯矩图
M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP
MBC=3ql/7× l-3ql/56× 0-ql2/2= - ql2/14
(上边受拉 )
MBD=3ql/7× 0-3ql/56× l+0 = - 3ql2/56
(上边受拉 )
MBA=3ql/7× (-l) -3ql/56× l+ql2/2=ql2/56=MAB
(右边受拉 )
弯矩图：
剪力由杆件平衡计算、轴力由结点平衡计算
24ql/56
4ql2/56
32ql/56
3ql2/56
3ql/563ql/5624ql/56
32ql/56
3ql/56
Q图
QBC=
QBD=
N图
5ql/8
32ql/56 3ql/56
5ql/8NBA=
讨论：
1、一个超静定结构可选不同的基本体系进行计算。当然希望选择计算较为简便的。
本题如选第二个基本体系则有：
δ 12=δ 21= 0
力法方程可写为：
δ 11 X1+⊿ 1P = 0
δ 22 X2+⊿ 2P= 0
2、荷载作用下超静定结构反力、内力的特点：
多余力（反力、内力）的大小只与各杆件的相对刚度有关，而与其绝对刚度无关，同一材料所构成的结构，其反力内力也与材料的性质（弹性模量）无关。
右上图刚架的各杆弯矩值与例题中各杆的弯矩值是否相同？ 如不同，为什么？
3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。
作业：
1、更正讲评作业题并掌握；
2、掌握 P243 例 6-2
力法求解超静定排架和超静定桁架部分内容,P245-249
基本体系在多余力和荷载（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用点的相应位移应与原结构相应点的位移相同。
1、以一个三次超静定结构为例
位移条件,⊿ 1 = 0 ⊿ 2 = 0 ⊿ 3 = 0
P1
P2
P1
P2
X1
X2
X3
位移条件：
⊿ 1 = 0
⊿ 2 = 0
⊿ 3 = 0
⊿ 1 = 0 基本体系沿 X1方向的位移 =
原结构 B点的水平位移。
⊿ 2 = 0 基本体系沿 X2 方向的位移 =
原结构 B点的竖向位移。
⊿ 3 = 0 基本体系沿 X3方向的位移 =
原结构 B点的转角位移。
应用叠加原理把位移条件分解为：
P1
P2
应用叠加原理把位移条件写成展开式：
（ 1） X1 =1 单独作用于基本体系，相应位移
δ 11 δ 21 δ 31
未知力 X1单独作用于基本体系，相应位移
δ 11 X1 δ 21 X1 δ 31 X1
（ 2） X2 =1 单独作用于基本体系，相应位移
δ 12 δ 22 δ 32
未知力 X2单独作用于基本体系，相应位移
δ 12 X2 δ 22 X2 δ 32 X2
（ 3） X3=1单独作用于基本体系，相应位移
δ 13 δ 23 δ 33
未知力 X3单独作用于基本体系，相应位移
δ 13 X3 δ 23 X3 δ 33 X3
（ 4）荷载单独作用于基本体系，相应位移
⊿ 1P ⊿ 2P ⊿ 3P
X1方向的位移 ⊿ 1
⊿ 1=δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P
X2方向的位移 ⊿ 2
⊿ 2=δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P
X3方向的位移 ⊿ 3
⊿ 3=δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P
三次超静定结构的力法方程,
δ 11 X1+δ 12 X2+δ 13 X3+ ⊿ 1P = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+δ 23 X3+ ⊿ 2P = 0
δ 31 X1+δ 32 X2+δ 33 X3+ ⊿ 3P = 0
注,方程左边是基本体系的位移 。
方程右边是原结构的相应位移 。
讨论：
（ 1） 力法方程（典型方程）的物理意义：基本体系中，由全部未知力和已知荷载共同作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应位移。
（ 2）同一结构可取不同的力法基本体系和基本未知量，但力法方程的基本形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）
条件的实际含义不同。
（ 3）方程中 δ ij 和 ⊿ iP 是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、
内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。
2,n次超静定结构的 力法典型方程
Δ 11 X1+δ 12 X2+ ……+δ 1n Xn+ ⊿ 1P = 0
Δ 21 X1+δ 22 X2+ ……+δ 2n Xn+ ⊿ 2P = 0 (6-4)
… … … … … …
Δ n1 X1+δ n2 X2+……+ δ nn Xn+ ⊿ nP = 0
(n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程）
基本未知量,n个多余未知力 X1,X2,… Xn；
基本体系：从原结构中去掉相应的 n个多余约束后所得的静定结构；
基本方程,n个多余约束处的 n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
（ 1）（ 6-4）式可写成矩阵形式,
[δ ] {X} + {⊿ P } = {0}
[δ ]—— 系数矩阵、柔度矩阵
（ 2）力法方程 主系数,δ ii≠ 0，恒为正 。
因为 δ ii是 Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移系数，所以不为零，恒为正。
0
0
0
2
1
2
1
21
22221
11211
nP
P
P
Nnnnn
n
n
X
X
X
(3) 副系数,δ ij (i≠j) 可正、可负、可为零。
由位移互等定理可知,δ ij =δ ji
δ ij —— 由单位力 Xj=1作用产生的沿 Xi方向的位移系数。
（ 4） 自由项,⊿ iP 可正、可负、可为零。
⊿ iP —— 由荷载单独作用产生的沿 Xi方向的位移。
（ 5）计算出 X1,X2,… Xn后，由叠加原理
M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP
FQ= FQ1X1+ FQ2X2+…+FQnXn+ FQP
FN=FN1X1+ FN2X2+… +FNnXn+ FNP
力法计算示例类型,单跨超静定梁、多跨超静定梁、
单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。
计算特点,（一般只考虑弯曲变形）
例：用力法计算图示刚架。各杆 EI=常数解：
(1),判定超静定次数,n=2 ；
选定基本体系和基本未知量 ；
可选不同的基本体系，挑选计算比较简便的，
进行分析计算。
力法方程：
δ 11 X1+δ 12 X2+⊿ 1P = 0
δ 21 X1+δ 22 X2+⊿ 2P = 0
(2)、作 M i,MP 图，求 δ,⊿ (用第一种基本体系 )
δ 11 =[(1/2× l× l)
(2/3× l)+
(l× l)× l]/EI
= 4 l 3/3EI
δ 22=δ 11= 4l3/3EI
δ 12=δ 21= -[(l× l)
× l]/EI
= - l3/EI
⊿ 1P= -[(1/3× ql2/2× l )× 3/4× l
+( ql2/2× l )× l )/EI = -5ql4/8EI
⊿ 2P=[( ql2/2× l )× l] =ql4/2EI
3、解方程 （求解未知量）
力法方程,（可消去 l3/EI）
4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0
-X1+4/3X2+ ql/2 = 0
解出：
X 1 =3ql/7
X2 = - 3ql/56
4、作内力图
(1)、弯矩图
M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP
MBC=3ql/7× l-3ql/56× 0-ql2/2= - ql2/14
(上边受拉 )
MBD=3ql/7× 0-3ql/56× l+0 = - 3ql2/56
(上边受拉 )
MBA=3ql/7× (-l) -3ql/56× l+ql2/2=ql2/56=MAB
(右边受拉 )
弯矩图：
剪力由杆件平衡计算、轴力由结点平衡计算
24ql/56
4ql2/56
32ql/56
3ql2/56
3ql/563ql/5624ql/56
32ql/56
3ql/56
Q图
QBC=
QBD=
N图
5ql/8
32ql/56 3ql/56
5ql/8NBA=
讨论：
1、一个超静定结构可选不同的基本体系进行计算。当然希望选择计算较为简便的。
本题如选第二个基本体系则有：
δ 12=δ 21= 0
力法方程可写为：
δ 11 X1+⊿ 1P = 0
δ 22 X2+⊿ 2P= 0
2、荷载作用下超静定结构反力、内力的特点：
多余力（反力、内力）的大小只与各杆件的相对刚度有关，而与其绝对刚度无关，同一材料所构成的结构，其反力内力也与材料的性质（弹性模量）无关。
右上图刚架的各杆弯矩值与例题中各杆的弯矩值是否相同？ 如不同，为什么？
3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。
作业：
1、更正讲评作业题并掌握；
2、掌握 P243 例 6-2
力法求解超静定排架和超静定桁架部分内容,P245-249
