5.4 结构的位移前面介绍了梁的挠曲线及其挠度、转角的求解，用挠曲线确定梁的位移是很方便的，
但这种方法并不适于求结构的位移 (如图 5-
10)。
下面来讨论 静定结构 在荷载作用下任一点的位移计算。
一、概述建筑结构在施工和使用过程中，常常会发生变形。
结构的位移,结构由于变形，其上各截面位置发生的改变。
1、结构位移的种类
（ 1）,绝对位移,线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截面位置或方向的改变。
（ 2）,相对位移,相对线位移和相对角位移 ——
两个截面位移的差或和。
（ 3）,广义位移,绝对位移和相对位移的统称。
P
图中：
⊿ CH — C截面水平线位移。
⊿ CV — C截面竖向线位移。
φC — C截面转角。
⊿ CD — C,D两截面相对竖向线位移。
φCD — C,D两截面相对转角位移。
A
B C
C’ ⊿ CV
⊿ CH
φCD⊿ DV
⊿ CD
φCD
2、引起位移的原因
（ 1）、荷载作用；
（ 2）、温度变化和材料涨缩；
（ 3）、支座沉陷和制造误差。
3、位移计算的目的
（ 1）、检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。
（ 2）、为超静定结构计算打基础。
（ 3）、其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。
5.4.1 变形体系的虚功原理一、功 功是力与位移的乘积功的两个要素 —— 力和位移
W= P× ⊿ 功 = 力×相应位移
P P
总 位移 S
θ ⊿ =S× cos θ
W=P × S× cos θ
注意：
W=2P× (R× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
P
RA B
P
O
A’
B’
φ
二、实功与虚功
1、外力的实功讨论结构发生变形过程中外力所作的功。
BA
P1 静力加载 P1,0→P1△
1,0→△ 1 缓慢逐渐加载。
设小变形，材料处于弹性阶段,P∝⊿△
1
荷载在梁变形过程中所作的总功为：P
O ⊿ 1
P1
⊿ 112
1 PT
2、外力的虚功
BA
P1
P
O ⊿ 11
P1
⊿
⊿ 11 ⊿ 21
1 2
先加 P1 0→P1
引起位移 ⊿ 11 ⊿ 21
在整个加载过程中所作的功。
后加 P2 0→P2
引起位移 ⊿ 22 ⊿ 12
讨论 P1
P2
⊿ 22⊿ 12
P1在 ⊿ 11上作实功,
11111 2
1 PT
P1在 ⊿ 12上作虚功,12112 PT⊿ 12
力在其他原因引起的位移上所作的功称为“虚功”。
虚功是与实功相比较而存在的，所谓“虚”在这里并不是虚无缥缈的意思，而是强调作功的力与相应的位移彼此独立无关。
位移状态 j
3、两种状态既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态。
力状态 i
同一体系：
BA i j BA i j
Pi
⊿ ij
计算虚功时，从第 i 个状态取力，从第 j个状态取位移。
ijiij PT
虚功：
4、内力的虚功 （变形虚功）
满足力的平衡条件 满足变形连续条件位移边界条件力状态 位移状态
D’’
A’
B’
C’
D’
C’’
dsds
A
B
C
D
M M+dM
Q Q+dQN
N+dN
ds
q
q
M
P1
P2
φ
u
DB
ds
A C
v
可以由任意原因引起
dsQN d uMddW
ds ds ds
dφ γds
du
微段变形（位移状态）
微段内力（力状态）（略去高阶增量 dM,dQ,dN）
弯矩 M 轴力 N 剪力 Q
变形体虚功：
(FN ) (FQ)
dsQN d uMddWW
8)-(5 WT?
变形体总虚功：
三、变形体的虚功方程：
设一个结构在力状态中的外力和内力满足静力平衡条件，在位移状态中的变形和位移，满足变形连续（协调）条件和约束的几何边界条件，则变形连续体系处于平衡的充分必要条件是：外力所作的虚功总和等于体系的变形虚功，即：
在变形体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的应变能满足变形协调条件（包括位移与应变的协调和位移与约束的几何相容），则外力虚功总和等于虚应变能。即：
四、变形体的虚功原理
)105( dsQN d uMdT
变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是：
外力所作虚功总和等于变形虚功。
变形体虚功可写为：
8)-(5 WT?
公式（ 5-8）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质等）因此适用于任意情况。
①、变形类型：弯曲、轴向拉压、剪切变形。
②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定或超静定结构。
④、材料性质：弹性、非弹性。
应用,P206上数第一段。
M
P1
P2 qk
k M
N
Qduγds
dφ
QP
NP
MP
⊿ kP
实际状态（位移状态） 虚拟状态（力状态）
P =1
K
K
实际状态（位移状态）,求 K 截面 k-k 方向上的线位移 ⊿ kP 。
虚拟状态（力状态）,K 截面 k-k 方向上加单位荷载 P =1 。
5.4.2 单位荷载法一、计算公式
lll
kP dsQduNdMP
dsEIMdsd P 1
dsEANdsdu P
dsGAQds P
（ b,c,d）
由虚功原理：
（ b,c,d） →（ a）
（ 5-13）
（ a）
dsGAQQdsEANNdsEIMM PPPkP?
EI,EA和 GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。
μ为截面的剪应力分布不均匀系数，只与截面的形状有关,
矩形截面,μ=1.2
圆形截面,μ=32/27
工字形截面（如果只算腹板的面积） μ=1
注,
1、公式（ 5-13）为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。
2、正负号,⊿ kP 若为正值，则所求位移与虚拟状态中单位力 P =1
的方向相同，反之为负。
3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
其中外力功恰好等于所求位移。
4,单位荷载法 不仅可以用来计算结构的线位移，也可以用来计算结构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的广义单位荷载即可 (P207:图 5-13)。
dsGAQQdsEANNdsEIMM PPPkP?
二、各类结构的位移计算公式
（ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
)145( -dsEIMM PkP
（ 2）、拱：
①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时：
1 5 )-(5 dsEANNdsEIMM PPkP
②通常情况：
dsEIMM PkP
（ 3）、桁架：各杆中只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。
1 6 )-(5 EA lNNdsEANN PPkP
（ 4）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。
1 7 )-(5 EA lNNdsEIMM PPkP
例 1
简支梁的位移计算。
求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 和截面 B的转角 φB。
解：
1,求 C点的竖向位移虚拟状态如图：
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2) / 2 M= x / 2
(因对称，只计算一半 )
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=1
1/2
BA
C
1/2x
)(3 8 45)(2212
4
22/
0
EIqldxxlxqxEIlCVkP
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=M=1
1/l
BA
C
1/lx
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2) / 2 M= - x/l
)( 24)(2)(1
3
2
0 逆时针EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
BkP
2,求 B截面的转角
P210：
例题 5-6
例题 5-8
例题 5-9
5.4.4 图乘法一、图乘法的适用条件计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P
如果所研究的问题满足以下条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：
（ 1） 杆轴为直线；
（ 2） 杆的抗弯刚度 EI = 常数；
（ 3） M 和 MP中至少有一个是直线图形。
图乘法是 维热沙金（ Vereshagin） 于 1925年提出的，
他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、图乘公式图示为 AB杆的两个弯矩图。
M 为直线图形,MP 为任意图形。
该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
MP图
M 图由 M 图可知：
M = y= x tga
BA PBA PBA P dxMxEItgdxMtgxEIdxMMEI11
ddxM P
上式为：
C
B
A
B
A P xEI
tgdx
EI
tgdxMx
EI
tg
tgxy CC?
EI
ytgx
EIdxMMEI
CCB
A P
11
A B
A B
α x
y
x
xC
y yC
ω
O
dω
C
dx
(静矩性质 )
式中：
ω— MP图的面积。
yC — MP图形心 C处所对应的 M 图的纵标。
如结构上所有各段杆均能满足图乘条件，则位移计算公式可简化为：
)185( EI ydxEI MM CPiP?
三、应用图乘公式计算位移时应注意的问题
1、应用条件：
杆段必须是分段等截面； EI 不能是 x的函数；两图形中必有一个是直线图形,yC 取自直线图形中。
2、正负号规定：
ω与 yC同侧，乘积 ω yC 取正； ω与 yC不同侧，则乘积 ω yC 取负。
3、几种常用图形的面积和形心位置：
见教材 P216:图 5-20。
曲线图形要注意图形顶点位置－顶点处切线应与基线平行。
4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC可取自任何一个图形。
5、当 yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行，在折点处分段图乘，然后叠加。
当杆件为阶段变化杆件时（各段 EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。
ω1
y1
ω 2
y2
ω 3
y3
MP
M
MP
EI1 EI2
ω1 ω2
y1M
EI1 EI2
y2
6、把复杂图形分为简单图形
（使其更易于计算面积和判断形心位置）
取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。 比如：
（ 1）、如两图形均为梯形，可不必求梯形形心，
将其分解为两个标准三角形进行计算。
a
A B
C
D
b MP
C1
C2
l
c
d My1 y2
A
C
D
MP'C1a
A B
b MP''C
2
⊿ = l
6EI (2ac+2bd+ab+bc)
dcyal 3132 2 11
dcybl 3231 2 22
2211 yyy C
(2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。
c
d
M
l
yC1
yC2
A B
C
D
a
b
MP
C1
C2
C1a MP’
bC2 MP’’
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
dcyal C 3132 2 11
dcybl C 3231 2 22
2211 CCC yyy
（ 3）、一般情况
右图所示为某一段杆
(AB)的 MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与 M图图乘，
图乘后叠加。
A B
MB
MA
+
+
=
三、例题
1、求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 。
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV
解：
P=1
1/2
BA
1/2
M
8
2ql
MP
)(
3 8 4
5
2)
48
5
()
283
2
(
1
4
2
EI
ql
llql
EICVkP
问：以下图乘是否正确？
)(
48
4
)
83
2
(
1
4
2
EI
ql
l
l
ql
EICVkP
l/4
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
1 l/2ω
5P l/6
例,求悬臂梁中点 C的挠度 ⊿ CV，
EI=常数。
解,
（ 1）、设虚拟力状态如图，作
M和 MP。 由于均为直线图形，
故 ω可任取。
M
MP,yC=5/6× Pl
⊿ CV= ω ·y C /EI
=(l2/8× 5/6× Pl ) /EI
=5P l3/48EI (↓)
M,ω=1/2× l/2× l/2=l2/8
(2),讨论若：
ω=1/2× Pl× l=Pl2/2
yC=1/3× l/2=l/6
⊿ CV= ω·yC /EI
=(Pl2/2× l/6) /EI
=P l3/12EI (↓)
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
ω
1 l/2
Mi
l/6
是否正确？
P
l/2 l/2
⊿ CV
P ω
1 l/2
正确的做法,
ω1=1/2× Pl× l/2=Pl2/4
y1=l/3
ω2=1/2× Pl/2× l/2=P l2/8
y2=l/6
ω3=1/2× Pl/2× l/2=Pl2/8
y3=0
⊿ CV=∑ ω·y C / EI
=(Pl2/4× l/3+ Pl2/8×
l/6+Pl2/8 × 0)/EI
=5P l3/48EI (↓)
Pl
例,已知 EI 为常数，求刚架 C,D两点距离的改变 。CD?
解：作荷载弯矩图和单位力弯矩图。
)(
12
83
21
3
2
EI
qh l
hl
ql
EIEI
y c
CD
hyc?2
例,已知 EI 为常数，求 。Cy?
解：作荷载和单位力的弯矩图
)(
128
]
4
)
83
2
(
3
)
82
1
(
8
3
)
283
1
[(
1
42
22
EI
qll
l
ql
l
l
qlllql
EICy
MP
M
分解
HB=72kN
6m
3m
3m
60kN
12kN
10kN/m
A
C
B
各杆 EI= 常数
VA=72kN
HA=12kN
例,
图示刚架，用图乘法求 B端转角 θB，
各杆 EI=常数。
解,
1、作荷载作用下结构的弯矩图。
A
C
BH
B=72kN
6m
3m
3m
60kN
12kN
10kN/m
A
C
B
各杆 EI= 常数
VA=72kN
HA=12kN
252 45
90
MP (kN·m)
A
C
B
P =M=1
1/6
1/6
1
M
2、作虚拟力状态下的图 M 。
3、求 θB,图乘时注意图形分块。
A
C
B
252 45
90
MP (kN·m)
A
C
B
P =M=1
1/6
1/6
1
Mi
)( 1 7 5 662 5 221 111 同侧与 y
1
)( 1 1 8 064532 222 异侧与 y
1
)( 32 7 5 662 5 221 333 同侧与 y
)( 21 27069021 444 异侧与 y
2/3
1/2
) (
945
)
2
1
270
3
2
75611801756(
1
)(
1
44332211
EI
EI
yyyy
EI
BkP
1,图乘法的适用条件：
（ 1）等截面直杆,EI为常数；
（ 2）两个 M图中应有一个是直线；
（ 3） 应取自直线图中。cy
2,若 与 在杆件的同侧,取正值；
反之，取负值。
cy cy
3,如图形较复杂，可分解为简单图形后叠加。
小结：图乘法注意事项思考题,判断下列图乘是否正确?
图乘结果,
12()
3 h l cEI
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI
思考题,判断下列图乘是否正确?
图乘结果,
12()
3
h l c
EI
1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
EI
一、功的互等定理 贝蒂（ E,Betti 意 1823— 1892）定理比较（ a）、（ b） 两式，右端完全相同。
1
2P
1 ⊿ 21
ds
第一状态
P2
⊿ 12 ds
第二状态内 力 M1 N1 Q1
微段变形 dφ1 dμ1 γ1ds
内 力微段变形
M2 N2 Q2
dφ2 dμ2 γ2ds
( a ) 212121121 dsGA QQdsEA NNdsEI MMP
令第一状态上的力系在第二状态的位移上作虚功令第二状态上的力系在第一状态的位移上作虚功
( b ) 121212212 dsGA QQdsEA NNdsEI MMP
根据变形体虚功原理：
§ 5.5 线弹性体的互等定理功的互等定理,
在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功,等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功 。
则：
212121 PP
即,)205(
2112 -TT?
应用条件：
（ 1）材料弹性，应力与应变成正比。
（ 2）小变形，不影响力的作用 (即为线性弹性体系 )。
二、位移互等定理（位移影响系数互等）
位移互等定理（ Maxwell定理）
功的互等定理的一个特殊情况。
位移互等定理：
在任一线性弹性体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应的位移 (位移影响系数 )δ21,等于由荷载 P2所引起的与 P1相应的位移 (位移影响系数 )δ12。
两种状态如图示
δij— 单位力 Pj=1在 i方向上引起的与 Pi相应的位移，
也称位移系数。
⊿ ij= δij× Pj
由功的互等定理
T12 = T21
P1·δ12= P2·δ21
∵ P1= P2=1
∴ δ12= δ21 (5-21)
注：数值相同，量纲相同。
P1=1
P2=1
δ21
δ12
例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：
θA=FP l2/ 16EI fC= Ml2/ 16EI
现 FP=M=1,
故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力）
θA,单位力引起的角位移；
fC,单位力偶引起的线位移。
位移含义不同，但数值相同，量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）
功的互等定理的一种特殊情况。
用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。
同一线性变形体系中的两种变形状态
rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时，在支座 i处产生的反力，
也称反力影响系数。
rij=Rij /⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
由功的互等定理：
T12 = T21
∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
∴ r12= r21 (5-22)
即为反力互等定理。
反力互等定理,
在任一线性变形体系中，由支座位移 ⊿ 1所引起的，
与支座位移 ⊿ 2相应的反力影响系数 r21,等于由支座位移
⊿ 2所引起的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
注：数值相等，量纲相等。
广义反力系数量纲（单位）：
r12= 反力 R的单位（实际力的单位）
位移 ⊿ 的单位（实际力的单位）
定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。
如图：
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
r12= r21
r13 = r31
r23 = r32
作业 (均用图乘法做 ):
5-2 (a)
5-6 (b)
但这种方法并不适于求结构的位移 (如图 5-
10)。
下面来讨论 静定结构 在荷载作用下任一点的位移计算。
一、概述建筑结构在施工和使用过程中，常常会发生变形。
结构的位移,结构由于变形，其上各截面位置发生的改变。
1、结构位移的种类
（ 1）,绝对位移,线位移和角位移 —— 杆件结构中某一截面位置或方向的改变。
（ 2）,相对位移,相对线位移和相对角位移 ——
两个截面位移的差或和。
（ 3）,广义位移,绝对位移和相对位移的统称。
P
图中：
⊿ CH — C截面水平线位移。
⊿ CV — C截面竖向线位移。
φC — C截面转角。
⊿ CD — C,D两截面相对竖向线位移。
φCD — C,D两截面相对转角位移。
A
B C
C’ ⊿ CV
⊿ CH
φCD⊿ DV
⊿ CD
φCD
2、引起位移的原因
（ 1）、荷载作用；
（ 2）、温度变化和材料涨缩；
（ 3）、支座沉陷和制造误差。
3、位移计算的目的
（ 1）、检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。
（ 2）、为超静定结构计算打基础。
（ 3）、其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。
5.4.1 变形体系的虚功原理一、功 功是力与位移的乘积功的两个要素 —— 力和位移
W= P× ⊿ 功 = 力×相应位移
P P
总 位移 S
θ ⊿ =S× cos θ
W=P × S× cos θ
注意：
W=2P× (R× φ)
= M× φ
力与位移相互对应。
P
RA B
P
O
A’
B’
φ
二、实功与虚功
1、外力的实功讨论结构发生变形过程中外力所作的功。
BA
P1 静力加载 P1,0→P1△
1,0→△ 1 缓慢逐渐加载。
设小变形，材料处于弹性阶段,P∝⊿△
1
荷载在梁变形过程中所作的总功为：P
O ⊿ 1
P1
⊿ 112
1 PT
2、外力的虚功
BA
P1
P
O ⊿ 11
P1
⊿
⊿ 11 ⊿ 21
1 2
先加 P1 0→P1
引起位移 ⊿ 11 ⊿ 21
在整个加载过程中所作的功。
后加 P2 0→P2
引起位移 ⊿ 22 ⊿ 12
讨论 P1
P2
⊿ 22⊿ 12
P1在 ⊿ 11上作实功,
11111 2
1 PT
P1在 ⊿ 12上作虚功,12112 PT⊿ 12
力在其他原因引起的位移上所作的功称为“虚功”。
虚功是与实功相比较而存在的，所谓“虚”在这里并不是虚无缥缈的意思，而是强调作功的力与相应的位移彼此独立无关。
位移状态 j
3、两种状态既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态。
力状态 i
同一体系：
BA i j BA i j
Pi
⊿ ij
计算虚功时，从第 i 个状态取力，从第 j个状态取位移。
ijiij PT
虚功：
4、内力的虚功 （变形虚功）
满足力的平衡条件 满足变形连续条件位移边界条件力状态 位移状态
D’’
A’
B’
C’
D’
C’’
dsds
A
B
C
D
M M+dM
Q Q+dQN
N+dN
ds
q
q
M
P1
P2
φ
u
DB
ds
A C
v
可以由任意原因引起
dsQN d uMddW
ds ds ds
dφ γds
du
微段变形（位移状态）
微段内力（力状态）（略去高阶增量 dM,dQ,dN）
弯矩 M 轴力 N 剪力 Q
变形体虚功：
(FN ) (FQ)
dsQN d uMddWW
8)-(5 WT?
变形体总虚功：
三、变形体的虚功方程：
设一个结构在力状态中的外力和内力满足静力平衡条件，在位移状态中的变形和位移，满足变形连续（协调）条件和约束的几何边界条件，则变形连续体系处于平衡的充分必要条件是：外力所作的虚功总和等于体系的变形虚功，即：
在变形体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的应变能满足变形协调条件（包括位移与应变的协调和位移与约束的几何相容），则外力虚功总和等于虚应变能。即：
四、变形体的虚功原理
)105( dsQN d uMdT
变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是：
外力所作虚功总和等于变形虚功。
变形体虚功可写为：
8)-(5 WT?
公式（ 5-8）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质等）因此适用于任意情况。
①、变形类型：弯曲、轴向拉压、剪切变形。
②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定或超静定结构。
④、材料性质：弹性、非弹性。
应用,P206上数第一段。
M
P1
P2 qk
k M
N
Qduγds
dφ
QP
NP
MP
⊿ kP
实际状态（位移状态） 虚拟状态（力状态）
P =1
K
K
实际状态（位移状态）,求 K 截面 k-k 方向上的线位移 ⊿ kP 。
虚拟状态（力状态）,K 截面 k-k 方向上加单位荷载 P =1 。
5.4.2 单位荷载法一、计算公式
lll
kP dsQduNdMP
dsEIMdsd P 1
dsEANdsdu P
dsGAQds P
（ b,c,d）
由虚功原理：
（ b,c,d） →（ a）
（ 5-13）
（ a）
dsGAQQdsEANNdsEIMM PPPkP?
EI,EA和 GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。
μ为截面的剪应力分布不均匀系数，只与截面的形状有关,
矩形截面,μ=1.2
圆形截面,μ=32/27
工字形截面（如果只算腹板的面积） μ=1
注,
1、公式（ 5-13）为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。
2、正负号,⊿ kP 若为正值，则所求位移与虚拟状态中单位力 P =1
的方向相同，反之为负。
3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
其中外力功恰好等于所求位移。
4,单位荷载法 不仅可以用来计算结构的线位移，也可以用来计算结构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的广义单位荷载即可 (P207:图 5-13)。
dsGAQQdsEANNdsEIMM PPPkP?
二、各类结构的位移计算公式
（ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
)145( -dsEIMM PkP
（ 2）、拱：
①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时：
1 5 )-(5 dsEANNdsEIMM PPkP
②通常情况：
dsEIMM PkP
（ 3）、桁架：各杆中只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。
1 6 )-(5 EA lNNdsEANN PPkP
（ 4）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。
1 7 )-(5 EA lNNdsEIMM PPkP
例 1
简支梁的位移计算。
求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 和截面 B的转角 φB。
解：
1,求 C点的竖向位移虚拟状态如图：
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2) / 2 M= x / 2
(因对称，只计算一半 )
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=1
1/2
BA
C
1/2x
)(3 8 45)(2212
4
22/
0
EIqldxxlxqxEIlCVkP
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=M=1
1/l
BA
C
1/lx
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2) / 2 M= - x/l
)( 24)(2)(1
3
2
0 逆时针EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
BkP
2,求 B截面的转角
P210：
例题 5-6
例题 5-8
例题 5-9
5.4.4 图乘法一、图乘法的适用条件计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P
如果所研究的问题满足以下条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：
（ 1） 杆轴为直线；
（ 2） 杆的抗弯刚度 EI = 常数；
（ 3） M 和 MP中至少有一个是直线图形。
图乘法是 维热沙金（ Vereshagin） 于 1925年提出的，
他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、图乘公式图示为 AB杆的两个弯矩图。
M 为直线图形,MP 为任意图形。
该杆截面抗弯刚度 EI=常数。
MP图
M 图由 M 图可知：
M = y= x tga
BA PBA PBA P dxMxEItgdxMtgxEIdxMMEI11
ddxM P
上式为：
C
B
A
B
A P xEI
tgdx
EI
tgdxMx
EI
tg
tgxy CC?
EI
ytgx
EIdxMMEI
CCB
A P
11
A B
A B
α x
y
x
xC
y yC
ω
O
dω
C
dx
(静矩性质 )
式中：
ω— MP图的面积。
yC — MP图形心 C处所对应的 M 图的纵标。
如结构上所有各段杆均能满足图乘条件，则位移计算公式可简化为：
)185( EI ydxEI MM CPiP?
三、应用图乘公式计算位移时应注意的问题
1、应用条件：
杆段必须是分段等截面； EI 不能是 x的函数；两图形中必有一个是直线图形,yC 取自直线图形中。
2、正负号规定：
ω与 yC同侧，乘积 ω yC 取正； ω与 yC不同侧，则乘积 ω yC 取负。
3、几种常用图形的面积和形心位置：
见教材 P216:图 5-20。
曲线图形要注意图形顶点位置－顶点处切线应与基线平行。
4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC可取自任何一个图形。
5、当 yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行，在折点处分段图乘，然后叠加。
当杆件为阶段变化杆件时（各段 EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。
ω1
y1
ω 2
y2
ω 3
y3
MP
M
MP
EI1 EI2
ω1 ω2
y1M
EI1 EI2
y2
6、把复杂图形分为简单图形
（使其更易于计算面积和判断形心位置）
取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。 比如：
（ 1）、如两图形均为梯形，可不必求梯形形心，
将其分解为两个标准三角形进行计算。
a
A B
C
D
b MP
C1
C2
l
c
d My1 y2
A
C
D
MP'C1a
A B
b MP''C
2
⊿ = l
6EI (2ac+2bd+ab+bc)
dcyal 3132 2 11
dcybl 3231 2 22
2211 yyy C
(2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。
c
d
M
l
yC1
yC2
A B
C
D
a
b
MP
C1
C2
C1a MP’
bC2 MP’’
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
dcyal C 3132 2 11
dcybl C 3231 2 22
2211 CCC yyy
（ 3）、一般情况
右图所示为某一段杆
(AB)的 MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与 M图图乘，
图乘后叠加。
A B
MB
MA
+
+
=
三、例题
1、求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 。
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV
解：
P=1
1/2
BA
1/2
M
8
2ql
MP
)(
3 8 4
5
2)
48
5
()
283
2
(
1
4
2
EI
ql
llql
EICVkP
问：以下图乘是否正确？
)(
48
4
)
83
2
(
1
4
2
EI
ql
l
l
ql
EICVkP
l/4
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
1 l/2ω
5P l/6
例,求悬臂梁中点 C的挠度 ⊿ CV，
EI=常数。
解,
（ 1）、设虚拟力状态如图，作
M和 MP。 由于均为直线图形，
故 ω可任取。
M
MP,yC=5/6× Pl
⊿ CV= ω ·y C /EI
=(l2/8× 5/6× Pl ) /EI
=5P l3/48EI (↓)
M,ω=1/2× l/2× l/2=l2/8
(2),讨论若：
ω=1/2× Pl× l=Pl2/2
yC=1/3× l/2=l/6
⊿ CV= ω·yC /EI
=(Pl2/2× l/6) /EI
=P l3/12EI (↓)
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
ω
1 l/2
Mi
l/6
是否正确？
P
l/2 l/2
⊿ CV
P ω
1 l/2
正确的做法,
ω1=1/2× Pl× l/2=Pl2/4
y1=l/3
ω2=1/2× Pl/2× l/2=P l2/8
y2=l/6
ω3=1/2× Pl/2× l/2=Pl2/8
y3=0
⊿ CV=∑ ω·y C / EI
=(Pl2/4× l/3+ Pl2/8×
l/6+Pl2/8 × 0)/EI
=5P l3/48EI (↓)
Pl
例,已知 EI 为常数，求刚架 C,D两点距离的改变 。CD?
解：作荷载弯矩图和单位力弯矩图。
)(
12
83
21
3
2
EI
qh l
hl
ql
EIEI
y c
CD
hyc?2
例,已知 EI 为常数，求 。Cy?
解：作荷载和单位力的弯矩图
)(
128
]
4
)
83
2
(
3
)
82
1
(
8
3
)
283
1
[(
1
42
22
EI
qll
l
ql
l
l
qlllql
EICy
MP
M
分解
HB=72kN
6m
3m
3m
60kN
12kN
10kN/m
A
C
B
各杆 EI= 常数
VA=72kN
HA=12kN
例,
图示刚架，用图乘法求 B端转角 θB，
各杆 EI=常数。
解,
1、作荷载作用下结构的弯矩图。
A
C
BH
B=72kN
6m
3m
3m
60kN
12kN
10kN/m
A
C
B
各杆 EI= 常数
VA=72kN
HA=12kN
252 45
90
MP (kN·m)
A
C
B
P =M=1
1/6
1/6
1
M
2、作虚拟力状态下的图 M 。
3、求 θB,图乘时注意图形分块。
A
C
B
252 45
90
MP (kN·m)
A
C
B
P =M=1
1/6
1/6
1
Mi
)( 1 7 5 662 5 221 111 同侧与 y
1
)( 1 1 8 064532 222 异侧与 y
1
)( 32 7 5 662 5 221 333 同侧与 y
)( 21 27069021 444 异侧与 y
2/3
1/2
) (
945
)
2
1
270
3
2
75611801756(
1
)(
1
44332211
EI
EI
yyyy
EI
BkP
1,图乘法的适用条件：
（ 1）等截面直杆,EI为常数；
（ 2）两个 M图中应有一个是直线；
（ 3） 应取自直线图中。cy
2,若 与 在杆件的同侧,取正值；
反之，取负值。
cy cy
3,如图形较复杂，可分解为简单图形后叠加。
小结：图乘法注意事项思考题,判断下列图乘是否正确?
图乘结果,
12()
3 h l cEI
1 1 1 3()
2 3 4a c e d a eEI
思考题,判断下列图乘是否正确?
图乘结果,
12()
3
h l c
EI
1 1 2 1 2()
2 3 2 3
a l c b l d
EI
一、功的互等定理 贝蒂（ E,Betti 意 1823— 1892）定理比较（ a）、（ b） 两式，右端完全相同。
1
2P
1 ⊿ 21
ds
第一状态
P2
⊿ 12 ds
第二状态内 力 M1 N1 Q1
微段变形 dφ1 dμ1 γ1ds
内 力微段变形
M2 N2 Q2
dφ2 dμ2 γ2ds
( a ) 212121121 dsGA QQdsEA NNdsEI MMP
令第一状态上的力系在第二状态的位移上作虚功令第二状态上的力系在第一状态的位移上作虚功
( b ) 121212212 dsGA QQdsEA NNdsEI MMP
根据变形体虚功原理：
§ 5.5 线弹性体的互等定理功的互等定理,
在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功,等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功 。
则：
212121 PP
即,)205(
2112 -TT?
应用条件：
（ 1）材料弹性，应力与应变成正比。
（ 2）小变形，不影响力的作用 (即为线性弹性体系 )。
二、位移互等定理（位移影响系数互等）
位移互等定理（ Maxwell定理）
功的互等定理的一个特殊情况。
位移互等定理：
在任一线性弹性体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应的位移 (位移影响系数 )δ21,等于由荷载 P2所引起的与 P1相应的位移 (位移影响系数 )δ12。
两种状态如图示
δij— 单位力 Pj=1在 i方向上引起的与 Pi相应的位移，
也称位移系数。
⊿ ij= δij× Pj
由功的互等定理
T12 = T21
P1·δ12= P2·δ21
∵ P1= P2=1
∴ δ12= δ21 (5-21)
注：数值相同，量纲相同。
P1=1
P2=1
δ21
δ12
例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：
θA=FP l2/ 16EI fC= Ml2/ 16EI
现 FP=M=1,
故,θA= fC= l2/16EI (1/kN=1/力）
θA,单位力引起的角位移；
fC,单位力偶引起的线位移。
位移含义不同，但数值相同，量纲相同。
FP=1
l/2 l/2
C
M=1
δ21=θA δ12=fC
三、反力互等定理反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）
功的互等定理的一种特殊情况。
用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。
同一线性变形体系中的两种变形状态
rij— 支座 j发生单位位移 ⊿ j=1时，在支座 i处产生的反力，
也称反力影响系数。
rij=Rij /⊿ j
⊿ 1=1
r11
⊿ 2=1
r22
r21
r12
由功的互等定理：
T12 = T21
∵ ⊿ 1= ⊿ 2=1
r12·⊿ 1= r21·⊿ 2
∴ r12= r21 (5-22)
即为反力互等定理。
反力互等定理,
在任一线性变形体系中，由支座位移 ⊿ 1所引起的，
与支座位移 ⊿ 2相应的反力影响系数 r21,等于由支座位移
⊿ 2所引起的与位移 ⊿ 1相应的反力影响系数 r12。
注：数值相等，量纲相等。
广义反力系数量纲（单位）：
r12= 反力 R的单位（实际力的单位）
位移 ⊿ 的单位（实际力的单位）
定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。
如图：
Δ1=φ1=1
Δ2=1
Δ3=1
r12
r21r31
r13
r23
r32
r12= r21
r13 = r31
r23 = r32
作业 (均用图乘法做 ):
5-2 (a)
5-6 (b)
