由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象,称为 失效 。 材料的两种失效形式为,
（ 1） 塑性屈服,指材料失效时产生明显的塑性变形,并伴有屈服现象 。 塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志 。
（ 2） 脆性断裂,材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂 。 脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志 。
§ 4.3.4 许用应力，安全系数强度条件 (重点掌握 )
① 许用应力 (或许可应力，允许应力 )记为 [σ],材料在工作状态下所允许承担的最大应力。
[σ] = σu / n
② σu— 极限应力,
塑性材料取 σs,σp0.2,
脆性材料取 σb 。
③ 安全系数 n,n＞ 1 (塑材记 ns,脆材记 n b)
土建工程中，塑性材料取 ns=1.25-2.5，脆性材料取 nb= 2.5-3 。
塑性材料许用应力,[σ] = σs / ns
脆性材料许用应力,[σ] = σb / nb
设 σmax是发生在 杆件 中最大处的 工作应力 则,
上式是杆件轴向拉伸或压缩时的 强度条件 。
m a x工 作左边,计算最大工作应力右边,材料的许用应力强度条件应用主要有两类（习题），每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）。
第一类 —— 单个杆件 (或结构中某杆件 )
第二类 —— 杆系 (或简单结构 )(难点 )
m a xm a x
A
NF
强度条件的应用 (重点掌握 )
每一类可以解决以下三个问题 (或三方面应用）：
1）校核强度
2）设计 (最小 )截面尺寸 (合理性 )
3）确定 (最大 )许用 (允许，许可）外载荷 [F ]
(外力 ) (难点 )。
m a xm a x
A
NF
m a xA NF
m a x ANF
确定许用外载荷 [F ] (难点 ):
FNmax是轴力（内力）,FNmax由 F确定。
回顾前面求内力方法：
已知杆件的外力 F — 再求杆件的内 FN,max 。
因此这里先 假设 杆件 或 结构 的外力 F 为已知（按符号 F求解） —— 去求内力 FN,max 。
m a x ANF
所以轴力 FN,max与外力 F 的关系为：
FN,max是 F 的函数 FN,max( F )? A[σ]
解函数 FN,max(F)? A[σ] 得：
[ F ]?……..
解题的基本过程：
(1)分析题意是单个杆件，还是结构问题。
(2)是三类问题中的那一类问题。
(3)一般而言先求约束杆件或结构的反力。
(有时可略 )
(4)求每一杆件的内力，作内力图 (即轴力图 )。
(5)写出公式，再求解。
(6)正确回答问题。 (如：强度够、强度足够强度不够 )
补例 1:已知杆直径 d=16mm,F=26kN
[σ]=170MPa。试校核杆的强度。
FF
解,（因外力 F 为已知 )
FN=F=26kN
F FN
x
m a xm a x
A
NF
3
6
m a x 32
m a x
2 6 1 0
1 3 0 1 0 1 3 0
( 1 6 1 0 ) / 4
1 3 0 1 7 0 [ ]
N
F
M P a
A
M P a M P a
所 以 强 度 足 够 。
补例 2:已知 F=26kN,[σ]=170MPa。试选择钢拉杆的直径。
FF
解,（因外力 F 为已知）
FN=F=26kN
F FN
x
2
m a x
4
NFd A?
3
m a x
6
4 4 26 10
0.195
3.14 170 10
200
N
F
dm
d m m
取补例 3:已知 A=1086?10-6m2,[σ]=170MPa。
试求许可载荷 [ F ]。
FF
解,(设 杆件的外力 F 为已知 )
FN=F
F FN
x
由 FN=F，
m a xm a x
A
NF
m a x
66
F
A
F A 1 0 8 6 1 0 1 7 0 1 0
184600
F 1 8 4,6
N
kN
所 以例 4-3,已知三铰屋架如图，钢拉杆直径
d=16mm,[σ]=170MPa。试校核杆的强度。
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆图中 q与上图 不 等效 —
（因为 q作用在 AC和 CB长度上）
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
q 不 等效 —— 原图解题分析（思路）,
(1)单个杆件。
(2)校核强度问题。
(3)公式 σmax=FNmax/A? [σ]要求求内力。
(4)要先求结构的支座反力。
注意,求解过程反顺序写 4,3,2。
A BF F
解：
1,求反力
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
FAy
FAx
FBy
ΣFX=0,FAx=0
ΣMA=0,-q× 8.52/2+q× 0.42/2
-q× 0.4× (0.2+8.5)+FBy×
8.5
=0
解得,FBy=19.53kN
同理,ΣMB=0,FAy =19.53kN
2,求内力（二力杆,截面法）
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42
m
钢拉杆F
Ay
FAx FCy
FCx
FN
ΣMC=0
FN× 1.42+ q × 9.3/2 × 9.3/4 -
8.5/2× FAy=0
解得,FN=26.3kN
3,校核强度（ A=πd2 / 4）
σmax=131MPa? [σ]=170MPa
所以拉杆强度足够（或写,满足强度条件）。
3
6
m a x 32
2 6,3 1 0
1 3 1 1 0 1 3 1
( 1 6 1 0 ) / 4
NF N M P a
A
例 4-4,已知钢木组合桁架如图,F=16kN,
[σ]=120MPa。试选择钢拉杆 D I 的直径。
A B
C
6× 3m=18m
4m
F
F
F
F
F
H I
D
E
解,1,2,3杆是二力杆，截面法可求内力。
求杆件内力。
A
B
C
6× 3m=18m
4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
A
C 4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
FAy
ΣMA=0,FN2?6-F?3=0
FN2=8kN
A
C 4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
FAy
3，设计（最小）截面尺寸：
取 d=10mm
2
m a x
4
NFd A?
3
2m a x
6
4 4 8 10
0.92 10
3.14 120 10
NFdm
例 4-5,已知杆 AC由两根等边角钢 80mm?
80mm? 7mm组成，杆 AB由两根 10号工字钢组成,[σ]=170MPa。试求许可载荷 [ F ]。
(重点掌握 )
30°
1m
F
B
A
C
解题分析 (思路 ),
1，杆系 (或称结构 ) 。
2,确定 结构 允许 (许可 )载荷 [F] 。
3，公式 FNmax?A[σ] 要求求每个杆件内力
4，先求杆件内力。 (难点 )
注意,求解过程反顺序写 4,3,2。
B AF
BA FBA
C AFCA FCA
30°
1m
F
B
A
C
1
2
面积值 —— 查 P313表面积值 —— 查 P320表解：
1,查表 P315：
A1= 2? 10.86 cm2=10.86? (10-2)2
= 2? 1086? 10-6m2
查表 P320,A2=2?1430?10-6m2
2,3、求杆件反力 ---就是杆件内力 (二力杆 )
A
F
1
2
FN1
FN2
难点 —— 这里先设 结构 的外力 F为 已知,
求杆件的内力 FN1,FN2 。
ΣFX=0 FN2+ FN1 Cos30o= 0
ΣFY=0 FN1 Sin30o - F = 0
FN1= 2 F （拉）
FN2= -1.732 F（压）
由 FNmax? A[σ]
FN1?A1[σ],2 F?A1[σ]
FN2?A2[σ] 1.732 F? A2[σ]
所以定义 [F1],[F2]
[ F1]= F? A1[σ] /2=184.6kN
[ F2]= F =?A2[σ] /1.732=280.7kN
要同时保证 AB,AC杆的强度，应取较小值。
结构 许可载荷 [F]=min{[ F1],[ F2]}
=184.6kN
补例 4:杆系结构如图所示,已知杆 AB,AC
材料相同,[σ]=160MPa,横截面积分别为
A1=706.9mm2,A2=314mm2,试确定载荷 P
的最大值 。
45°30°
P
B C
A
45°30°
P
B C
A
解：
注意这里求解的 P是结构的 P
45°30°
P
B C
A
45°30°
P
FN1 FN2
A
1 2
对于节点 A:
ΣX=0 FN2sin45o－ F N1 sin30o＝ 0
ΣY=0 F N1 cos30o+FN2cos45o=P
解得 FN1 = 2P/(1+3)=0.732P
FN2 =2P/(1+3)=0.518P
因 F Nmax<A [σ]
所以 F N1 <A1 [σ]
0.732P= 706.9?(10-3)2?160? 106=113.1kN
杆件的 [ P]=[ P1] <154.5kN
同理,FN2<A2[σ]
0.518P= 314?(10-3)2?160? 106=50.2kN
杆件的 [ P]= [ P2] <96.9kN
要同时保证 AB,AC杆的强度,应取小值,
[ P]=min{[ P1],[ P2]}=96.9kN
作业,P178
4 - 6
（ 1） 塑性屈服,指材料失效时产生明显的塑性变形,并伴有屈服现象 。 塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志 。
（ 2） 脆性断裂,材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂 。 脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志 。
§ 4.3.4 许用应力，安全系数强度条件 (重点掌握 )
① 许用应力 (或许可应力，允许应力 )记为 [σ],材料在工作状态下所允许承担的最大应力。
[σ] = σu / n
② σu— 极限应力,
塑性材料取 σs,σp0.2,
脆性材料取 σb 。
③ 安全系数 n,n＞ 1 (塑材记 ns,脆材记 n b)
土建工程中，塑性材料取 ns=1.25-2.5，脆性材料取 nb= 2.5-3 。
塑性材料许用应力,[σ] = σs / ns
脆性材料许用应力,[σ] = σb / nb
设 σmax是发生在 杆件 中最大处的 工作应力 则,
上式是杆件轴向拉伸或压缩时的 强度条件 。
m a x工 作左边,计算最大工作应力右边,材料的许用应力强度条件应用主要有两类（习题），每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）。
第一类 —— 单个杆件 (或结构中某杆件 )
第二类 —— 杆系 (或简单结构 )(难点 )
m a xm a x
A
NF
强度条件的应用 (重点掌握 )
每一类可以解决以下三个问题 (或三方面应用）：
1）校核强度
2）设计 (最小 )截面尺寸 (合理性 )
3）确定 (最大 )许用 (允许，许可）外载荷 [F ]
(外力 ) (难点 )。
m a xm a x
A
NF
m a xA NF
m a x ANF
确定许用外载荷 [F ] (难点 ):
FNmax是轴力（内力）,FNmax由 F确定。
回顾前面求内力方法：
已知杆件的外力 F — 再求杆件的内 FN,max 。
因此这里先 假设 杆件 或 结构 的外力 F 为已知（按符号 F求解） —— 去求内力 FN,max 。
m a x ANF
所以轴力 FN,max与外力 F 的关系为：
FN,max是 F 的函数 FN,max( F )? A[σ]
解函数 FN,max(F)? A[σ] 得：
[ F ]?……..
解题的基本过程：
(1)分析题意是单个杆件，还是结构问题。
(2)是三类问题中的那一类问题。
(3)一般而言先求约束杆件或结构的反力。
(有时可略 )
(4)求每一杆件的内力，作内力图 (即轴力图 )。
(5)写出公式，再求解。
(6)正确回答问题。 (如：强度够、强度足够强度不够 )
补例 1:已知杆直径 d=16mm,F=26kN
[σ]=170MPa。试校核杆的强度。
FF
解,（因外力 F 为已知 )
FN=F=26kN
F FN
x
m a xm a x
A
NF
3
6
m a x 32
m a x
2 6 1 0
1 3 0 1 0 1 3 0
( 1 6 1 0 ) / 4
1 3 0 1 7 0 [ ]
N
F
M P a
A
M P a M P a
所 以 强 度 足 够 。
补例 2:已知 F=26kN,[σ]=170MPa。试选择钢拉杆的直径。
FF
解,（因外力 F 为已知）
FN=F=26kN
F FN
x
2
m a x
4
NFd A?
3
m a x
6
4 4 26 10
0.195
3.14 170 10
200
N
F
dm
d m m
取补例 3:已知 A=1086?10-6m2,[σ]=170MPa。
试求许可载荷 [ F ]。
FF
解,(设 杆件的外力 F 为已知 )
FN=F
F FN
x
由 FN=F，
m a xm a x
A
NF
m a x
66
F
A
F A 1 0 8 6 1 0 1 7 0 1 0
184600
F 1 8 4,6
N
kN
所 以例 4-3,已知三铰屋架如图，钢拉杆直径
d=16mm,[σ]=170MPa。试校核杆的强度。
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆图中 q与上图 不 等效 —
（因为 q作用在 AC和 CB长度上）
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
q 不 等效 —— 原图解题分析（思路）,
(1)单个杆件。
(2)校核强度问题。
(3)公式 σmax=FNmax/A? [σ]要求求内力。
(4)要先求结构的支座反力。
注意,求解过程反顺序写 4,3,2。
A BF F
解：
1,求反力
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42m
钢拉杆
FAy
FAx
FBy
ΣFX=0,FAx=0
ΣMA=0,-q× 8.52/2+q× 0.42/2
-q× 0.4× (0.2+8.5)+FBy×
8.5
=0
解得,FBy=19.53kN
同理,ΣMB=0,FAy =19.53kN
2,求内力（二力杆,截面法）
A B
C
q=4.2kN/m
8.5m
9.3m
0.4m
1.42
m
钢拉杆F
Ay
FAx FCy
FCx
FN
ΣMC=0
FN× 1.42+ q × 9.3/2 × 9.3/4 -
8.5/2× FAy=0
解得,FN=26.3kN
3,校核强度（ A=πd2 / 4）
σmax=131MPa? [σ]=170MPa
所以拉杆强度足够（或写,满足强度条件）。
3
6
m a x 32
2 6,3 1 0
1 3 1 1 0 1 3 1
( 1 6 1 0 ) / 4
NF N M P a
A
例 4-4,已知钢木组合桁架如图,F=16kN,
[σ]=120MPa。试选择钢拉杆 D I 的直径。
A B
C
6× 3m=18m
4m
F
F
F
F
F
H I
D
E
解,1,2,3杆是二力杆，截面法可求内力。
求杆件内力。
A
B
C
6× 3m=18m
4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
A
C 4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
FAy
ΣMA=0,FN2?6-F?3=0
FN2=8kN
A
C 4m
F FN1
H I
D
E
1
2
3
FN2
FN3
FAy
3，设计（最小）截面尺寸：
取 d=10mm
2
m a x
4
NFd A?
3
2m a x
6
4 4 8 10
0.92 10
3.14 120 10
NFdm
例 4-5,已知杆 AC由两根等边角钢 80mm?
80mm? 7mm组成，杆 AB由两根 10号工字钢组成,[σ]=170MPa。试求许可载荷 [ F ]。
(重点掌握 )
30°
1m
F
B
A
C
解题分析 (思路 ),
1，杆系 (或称结构 ) 。
2,确定 结构 允许 (许可 )载荷 [F] 。
3，公式 FNmax?A[σ] 要求求每个杆件内力
4，先求杆件内力。 (难点 )
注意,求解过程反顺序写 4,3,2。
B AF
BA FBA
C AFCA FCA
30°
1m
F
B
A
C
1
2
面积值 —— 查 P313表面积值 —— 查 P320表解：
1,查表 P315：
A1= 2? 10.86 cm2=10.86? (10-2)2
= 2? 1086? 10-6m2
查表 P320,A2=2?1430?10-6m2
2,3、求杆件反力 ---就是杆件内力 (二力杆 )
A
F
1
2
FN1
FN2
难点 —— 这里先设 结构 的外力 F为 已知,
求杆件的内力 FN1,FN2 。
ΣFX=0 FN2+ FN1 Cos30o= 0
ΣFY=0 FN1 Sin30o - F = 0
FN1= 2 F （拉）
FN2= -1.732 F（压）
由 FNmax? A[σ]
FN1?A1[σ],2 F?A1[σ]
FN2?A2[σ] 1.732 F? A2[σ]
所以定义 [F1],[F2]
[ F1]= F? A1[σ] /2=184.6kN
[ F2]= F =?A2[σ] /1.732=280.7kN
要同时保证 AB,AC杆的强度，应取较小值。
结构 许可载荷 [F]=min{[ F1],[ F2]}
=184.6kN
补例 4:杆系结构如图所示,已知杆 AB,AC
材料相同,[σ]=160MPa,横截面积分别为
A1=706.9mm2,A2=314mm2,试确定载荷 P
的最大值 。
45°30°
P
B C
A
45°30°
P
B C
A
解：
注意这里求解的 P是结构的 P
45°30°
P
B C
A
45°30°
P
FN1 FN2
A
1 2
对于节点 A:
ΣX=0 FN2sin45o－ F N1 sin30o＝ 0
ΣY=0 F N1 cos30o+FN2cos45o=P
解得 FN1 = 2P/(1+3)=0.732P
FN2 =2P/(1+3)=0.518P
因 F Nmax<A [σ]
所以 F N1 <A1 [σ]
0.732P= 706.9?(10-3)2?160? 106=113.1kN
杆件的 [ P]=[ P1] <154.5kN
同理,FN2<A2[σ]
0.518P= 314?(10-3)2?160? 106=50.2kN
杆件的 [ P]= [ P2] <96.9kN
要同时保证 AB,AC杆的强度,应取小值,
[ P]=min{[ P1],[ P2]}=96.9kN
作业,P178
4 - 6
