5.2.3 叠加法计算梁 的 挠度和转角在材料服从胡克定律和小变形的条件下，
由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与载荷均成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（教材
P196— 197表 5－ 1)进行叠加得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是 叠加法 。
补例,已知简支梁如图。求 yC,θA 。
A BC
l
qM
e
解,A B
Cl
qMe
A BC
q
A BC
Me ＋
=
A BC
Me
q
A BC
＋
3
4
24
5
384
A
c
ql
EI
ql
w
EI
2
3
16
e
A
e
c
Ml
EI
Ml
w
EI
cy
cy
3
24
24 3
5
384 16
e
A
e
c
Mlql
EI EI
Mlql
w
EI EI
cy
5.3 梁 的刚度校核梁的设计中,除了需要满足强度条件外,
在很多情况下,还要将其弹性变形限制在一定范围内,即满足 刚度条件,
或
－ 结构的最大线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用线位移；
－结构的最大相对线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用相对线位移 。
ff?m a x?
l
f
l
f m a x
l
fmax
lf
maxf
f
每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
(合理性 )
3）确定（ 最大 ）允许外载荷土木工程强度、刚度校核的应用,
σmax? [ σ ]
τ max? [ τ ]
fmax / l? [f / l ]
1）强度，刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F ]
请注意,P199 （ 5－ 7）
提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小,跨度,支座条件,梁横截面的惯性矩,材料的弹性模量有关 。
分析可知：梁上 C点的挠度：
23
1 1 1
..........
C
M l P l q l
a b c
E I E I E I
转 角,
2 3 4
..........
C
M l P l q l
w a b c
E I E I E I
是 梁 的 Hooke 定 律
cy
PF
PF
故提高梁刚度的措施为：
（ 1） 改善结构形式,减小弯矩；
（ 2） 增加支承,减小跨度 （ 效果明显 ） ；
（ 3）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；
（ 4） 选择合理的截面形状,提高惯性矩,如工字形截面,空心截面等 （ 效果明显 ） 。
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性 。
常见截面的 WZ /A值：
0.167h0.125h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与载荷均成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（教材
P196— 197表 5－ 1)进行叠加得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是 叠加法 。
补例,已知简支梁如图。求 yC,θA 。
A BC
l
qM
e
解,A B
Cl
qMe
A BC
q
A BC
Me ＋
=
A BC
Me
q
A BC
＋
3
4
24
5
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A
c
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EI
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5
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A
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Mlql
w
EI EI
cy
5.3 梁 的刚度校核梁的设计中,除了需要满足强度条件外,
在很多情况下,还要将其弹性变形限制在一定范围内,即满足 刚度条件,
或
－ 结构的最大线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用线位移；
－结构的最大相对线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用相对线位移 。
ff?m a x?
l
f
l
f m a x
l
fmax
lf
maxf
f
每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
(合理性 )
3）确定（ 最大 ）允许外载荷土木工程强度、刚度校核的应用,
σmax? [ σ ]
τ max? [ τ ]
fmax / l? [f / l ]
1）强度，刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F ]
请注意,P199 （ 5－ 7）
提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小,跨度,支座条件,梁横截面的惯性矩,材料的弹性模量有关 。
分析可知：梁上 C点的挠度：
23
1 1 1
..........
C
M l P l q l
a b c
E I E I E I
转 角,
2 3 4
..........
C
M l P l q l
w a b c
E I E I E I
是 梁 的 Hooke 定 律
cy
PF
PF
故提高梁刚度的措施为：
（ 1） 改善结构形式,减小弯矩；
（ 2） 增加支承,减小跨度 （ 效果明显 ） ；
（ 3）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；
（ 4） 选择合理的截面形状,提高惯性矩,如工字形截面,空心截面等 （ 效果明显 ） 。
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性 。
常见截面的 WZ /A值：
0.167h0.125h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
