§ 4.6 弯曲应 力
1 梁 横截面上的正 应 力,强度条件 (重点 )
2 梁 横截面上的切 应 力,强度条件 (重点 )
3 梁的合理设计 (提高梁 强度 的措施 )
§ 4.6.1 梁 横截面上的正 应 力强度条件梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，
这种弯曲称为 横力弯曲 。梁内 FQ = 0,M =
常数的这种弯曲称为 纯弯曲。
(1) 纯弯曲时横截面上的正应力
(2) 纯弯曲理论公式推广到横力弯曲
(3) 弯曲正应力的强度计算
(1) 纯弯曲时横截面上的正应力
A B
l
a
C
M
FQ
F
F
F F a
D
FA FB
CD段纯弯曲
Me= MM
e=M
C D
CD段纯弯曲观察 梁受力时的 表面变形 特点提出合理假设 (平面假设 )
几何关系 (变形协调关系 )：推断梁内部变形由 物理关系,推断应力
（截开）由静力平衡条件推导公式静力关系考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线 （ m-m和 n-n） 和与轴线平行的纵线 （ a-a和 b-b） 如图。
变形前,
a
b b
a
m
m
n
n
l
变形后 m n
MM
a
b b
a
m n
变形前
a
b b
a
m
m
n
n
可以发现梁表面变形具有如下特征：
（ 1） 横线 （ m-m和 n-n） 仍是横直线,只是发生相对 转动,仍与纵线
（ 如 a-a,b-b） 正交 。
（ 2） 纵线 （ a-a和 b-b） 弯曲 成曲线,
且梁的一侧伸长,另一侧缩短 。
根据上述梁表面变形的特征,可以作出以下假设：梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直于变形后梁的轴线,只是绕着梁上 某一轴 转过一个角度 。 与扭转时相同,这一假设也称平面假设 。
此外还假设：梁的各纵向纤维
（ 上层的 ） 互不挤压,（ 下层的 ） 互不牵拉,即梁的纵截面上无正应力作用 。
根据上述假设，梁弯曲后，其 纵向层一部分 产生伸长变形,另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层 。如图所示，中性层与横截面的交线为截面的 中性轴 。因此横截面绕着 中性轴 转过一个角度。
中性层纵向对称面中性轴推断内部变形：
由平面假设，横截面绕着中性轴转动，横截面内距中性轴为 y 处的纵向层的每一点（纵向线段）的伸长相同。即,伸长量 ΔL相同,所以 ε 相同。
横截面上 位于中性轴两侧的 各点 （上层各纵向纤维）分别发生拉伸和（下层各纵向纤维）
压缩，中性轴上各点（各纵向纤维）保持原长。
M
中性轴压缩保持原长拉伸纵向纤维
m
m
M
中性层
m
m
压缩保持原长拉伸
M
平面图几何 (变形 )关系中性层 m n
MM
a
b b
a
m ndθ
θ 1/ρ=θ / l
ρ
dx
变形关系中性层
m n
a
A=b B=b
a
m n
dθ
ρ
y
dx O2O
1
B1
dθ
1/ρ=dθ / dx
d1 yBB?
dθ / dx = 1/ρ
y=0,ε =0 ;
y=? ymax,ε =? ε max 。
y
x
y
OO
BB
AB
ABAB
AB
AB
d
d
1
1
1
1
1
1
由 物理关系 推断 应力,
应变 ε 相同、各纵向纤维（下层）互不牵拉，因此每一纵向纤维是 单向应力状态 。
对于线弹性材料，根据胡克定律：
σ = E ε
(c)
y=0,σ =0;
y=? ymax,σ =?σmax 。
y
EE
Me
中性层
m
m
M
平面图
+
-
压应力拉应力
+
-
压应力拉应力弯曲正应力沿横截面高度分布示意图
z 轴是 中性轴
z
y
y
EE
解出 ρ 或 1 / ρ
代入即可。
(考虑静力关系）
Me
x
z
y
z
y
σ
M
dA
m
m
z
y
O
σdA
dA y
zx
静力平衡条件,
注意：横截面上每一点 dA的内力
σdA平行于 x 轴,所以合内力有：
ΣFx=0,FN =0
ΣMy=0,My =0
ΣMz=0,Mz =M
其中,ΣFy? 0
ΣFz? 0
ΣMx? 0
z
y
O
σdA
dA y
zx
FN =∫A σdA = 0
My =∫A zσdA = 0
Mz =∫A yσdA = M
z
N
A
yz
y
A
2 z
z
A
ESE
F y dA = 0
EIE
M z y dA = 0
EIE
M y dA = M
z
y
O
σdA
dA y
zxyEE
SZ=0
z 轴过形心
Iyz=0
y 轴对称轴
(4-37)
EIz 称为截面的 抗弯刚度 。
z
yz
z
ES
0
EI
0
EI
M
z
1M
EI?
(4-37) 式代入 ( C ),
得到纯弯情况下的正应力计算公式
(4-38)
上式中正应力的正负号与弯矩及点坐标 y
的正负号有关 。 实际计算 中,一般根据截面上弯矩的方向,直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生压应力,而不必计及
M和 y的正负 。
z
My
I
yEE
y
z
y
Wz 称为 弯曲截面系数 （或抗弯截面模量），其量纲为 [长度 ]3。国际单位用 m3或 mm3 。
m a x
m a x
z
My
I
m a x
z
z
I
W
y
m a x
z
M
W
对于宽度为 b、高度为 h的矩形截面，抗弯截面系数为
直径为 d的圆截面，抗弯截面系数为
3
2
12
26z
bh bh
W
h
4
3
64
32
2
z
d
d
W
d
内径为 d,外径为 D的空心圆截面,
抗弯截面系数为
轧制型钢 （ 工字钢,槽钢等 ） 的 Iz,
W值可从型钢表中查得 。
4
4
3
4
1
64 1
32
2
z
D
D
W
D
(2) 纯弯曲理论的推广
(横力弯曲 )
梁在横力弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有切应力。由于存在切应力，
横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。
进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁,l / h>5,l为梁长,h为截面高度），
剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（ 4-38）仍然适用。
横力弯曲作用下式 (4-38) 为：
m a x m a x
m a x
z
My
I
一 般 截 面 上 下 不 对 称
m a x
m a x
z
M
W
一 般 截 面 上 下 对 称
z
y
o
y
z
(3) 弯曲正应力的强度计算因截面上的最大正应力作用点处,弯曲剪应力为零,故 该点为单向应力状态 。
为保证梁的安全,梁的最大正应力应满足条件：
m a x工 作设 σmax是发生在梁最大处的 工作应力,则,
上式即为梁弯曲时的 正 应力 强度条件 。
m a x工 作最大工作应力材料的许用应力对于等截面直梁，若材料的 拉、压强度相等 ( 塑性材料 )，则最大弯矩的所在面称为 危险面,危险面上距中性轴最远的点称为 危险点 。此时强度条件可表达为,
m a x m a x
m a x []
z
My
I
对于由 脆性材料 制成的梁，由于其抗拉强度 [ σt] 和抗压强度 [ σc] 相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。
（重点、难点）
m a x m a x
c,m a x c[]
z
My
I
m a x m a x
t,m a x t[]
z
My
I
强度条件可以解决以下三方面的问题：
1）梁的校核强度
2）设计梁的（ 最小 ）截面尺寸
3）确定梁的（ 最大 ）许用外载荷 [ F ] （ 难点 ）。
m a x m a x
m a x []
z
My
I
m a x
m a x []
z
M
W
解题的基本过程：
1，分析题意是等直梁，还是变截面梁 (难点 ),
是塑性材料,还是脆性材料。
2，是三类问题中的那一类问题。
3，一般而言先求梁或结构的反力（有时可略）
4，求作每一梁的 内力图 （这里是弯矩图）
（ 确定危险截面 ）
5，写出公式，再求解。
6，正确回答问题。
（如：强度够、强度不够 … ）
例 4-13,已知楼板主梁由工字钢制成，尺寸如图,[σ]=152MPa。试选择工字钢的号码。
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
2.5m 2.5m 2.5m
解：
解得,FA= FB= 75× 3/2=112.5kN
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
FBF
A
2.5m 2.5m2.5m
M A右 =0;
M C右 = M C左 =112.5× 2.5=281.25kN
M D左 = 112.5× 5－ 75× 2.5=375kN
利用对称性：
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
FA FB
2.5m 2.5m 2.5m
M +
375kNm
m a x
m a x []
z
M
W
3
33m a x
6
3
3 7 5 1 0
2,4 6 1 0
[ ] 1 5 2 1 0
2460
z
M
Wm
cm
查 P321表
56b Wz=2446.69cm3
56c Wz=2551.41cm3
所以选 56c 。
注：
选 56b,σmax=153MPa
（ σmax- [σ] ） / [σ]=0.65?< 5?,故也可 选 56b 。
例 4-14,两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，
但放置分别如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
l
l
解：
m a x 1 1
m a x 1 2
1
[]
/6z
M Pl
W b h
m a x 2 2
m a x 2 2
2
[]
/6z
M Pl
W h b
1
m a x 1 m a x 2
2
[ ],P hPb由 得
-
Pl
例 4-15,已知梁由铸铁材料制成,截面尺寸如图，
Iz=5493× 104mm4,[σt ] =30 Mpa,[σc ]=
90MPa。试求 [ F ]。
C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 m
z
y
c
134
8640
180
20 20
120
解：
ΣMB=0
－ FA× 2b +F× b－ q,b 2 /2=0
FA = F/ 4
A C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 mF
A F
B
M A右 =0;
M C右 = M C左 = F/ 4× b = F b / 4
M D左 =0
M B左 = M B右 =－ q,b 2 /2=－ F b / 2
AC段线性
CB段线性
BD段下凸
A C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 mF
A FB
Fb/4
Fb/2
+
－
M
可能危险横截面为 C,B 截面：
C 截面下拉上压； B 截面下压上拉。
MC?MB,计算比较才能确定 σt,max,σc,max。
z
y
c
134
8640
180
20 20
120
+
-
z
σt,max
σc,max
+
z
-
σc,max
σt,max
C截面 B 截面
C 截面,
B 截面,
61 4
,m a x 8
2 0,1 3 4 3 0 1 0 2 4,6
5 4 9 3 1 0
F
C
t
z
My F k N
I
62 4
,m a x 8
2 0,0 8 6 9 0 1 0 1 1 5
5 4 9 3 1 0
F
C
c
z
My F k N
I
622
,m a x 8
2 0,0 8 6 3 0 1 0 1 9,2
5 4 9 3 1 0
F
B
t
z
My F k N
I
61 2
,m a x 8
2 0,1 3 4 9 0 1 0 3 6,9
5 4 9 3 1 0
F
C
c
z
My F k N
I
所以取 [ F ]=19.2kN
A B
P
C
-M
Pa
a
作业,
P180
4 – 11
4 – 13
课间休息
1 梁 横截面上的正 应 力,强度条件 (重点 )
2 梁 横截面上的切 应 力,强度条件 (重点 )
3 梁的合理设计 (提高梁 强度 的措施 )
§ 4.6.1 梁 横截面上的正 应 力强度条件梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，
这种弯曲称为 横力弯曲 。梁内 FQ = 0,M =
常数的这种弯曲称为 纯弯曲。
(1) 纯弯曲时横截面上的正应力
(2) 纯弯曲理论公式推广到横力弯曲
(3) 弯曲正应力的强度计算
(1) 纯弯曲时横截面上的正应力
A B
l
a
C
M
FQ
F
F
F F a
D
FA FB
CD段纯弯曲
Me= MM
e=M
C D
CD段纯弯曲观察 梁受力时的 表面变形 特点提出合理假设 (平面假设 )
几何关系 (变形协调关系 )：推断梁内部变形由 物理关系,推断应力
（截开）由静力平衡条件推导公式静力关系考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线 （ m-m和 n-n） 和与轴线平行的纵线 （ a-a和 b-b） 如图。
变形前,
a
b b
a
m
m
n
n
l
变形后 m n
MM
a
b b
a
m n
变形前
a
b b
a
m
m
n
n
可以发现梁表面变形具有如下特征：
（ 1） 横线 （ m-m和 n-n） 仍是横直线,只是发生相对 转动,仍与纵线
（ 如 a-a,b-b） 正交 。
（ 2） 纵线 （ a-a和 b-b） 弯曲 成曲线,
且梁的一侧伸长,另一侧缩短 。
根据上述梁表面变形的特征,可以作出以下假设：梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直于变形后梁的轴线,只是绕着梁上 某一轴 转过一个角度 。 与扭转时相同,这一假设也称平面假设 。
此外还假设：梁的各纵向纤维
（ 上层的 ） 互不挤压,（ 下层的 ） 互不牵拉,即梁的纵截面上无正应力作用 。
根据上述假设，梁弯曲后，其 纵向层一部分 产生伸长变形,另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层 。如图所示，中性层与横截面的交线为截面的 中性轴 。因此横截面绕着 中性轴 转过一个角度。
中性层纵向对称面中性轴推断内部变形：
由平面假设，横截面绕着中性轴转动，横截面内距中性轴为 y 处的纵向层的每一点（纵向线段）的伸长相同。即,伸长量 ΔL相同,所以 ε 相同。
横截面上 位于中性轴两侧的 各点 （上层各纵向纤维）分别发生拉伸和（下层各纵向纤维）
压缩，中性轴上各点（各纵向纤维）保持原长。
M
中性轴压缩保持原长拉伸纵向纤维
m
m
M
中性层
m
m
压缩保持原长拉伸
M
平面图几何 (变形 )关系中性层 m n
MM
a
b b
a
m ndθ
θ 1/ρ=θ / l
ρ
dx
变形关系中性层
m n
a
A=b B=b
a
m n
dθ
ρ
y
dx O2O
1
B1
dθ
1/ρ=dθ / dx
d1 yBB?
dθ / dx = 1/ρ
y=0,ε =0 ;
y=? ymax,ε =? ε max 。
y
x
y
OO
BB
AB
ABAB
AB
AB
d
d
1
1
1
1
1
1
由 物理关系 推断 应力,
应变 ε 相同、各纵向纤维（下层）互不牵拉，因此每一纵向纤维是 单向应力状态 。
对于线弹性材料，根据胡克定律：
σ = E ε
(c)
y=0,σ =0;
y=? ymax,σ =?σmax 。
y
EE
Me
中性层
m
m
M
平面图
+
-
压应力拉应力
+
-
压应力拉应力弯曲正应力沿横截面高度分布示意图
z 轴是 中性轴
z
y
y
EE
解出 ρ 或 1 / ρ
代入即可。
(考虑静力关系）
Me
x
z
y
z
y
σ
M
dA
m
m
z
y
O
σdA
dA y
zx
静力平衡条件,
注意：横截面上每一点 dA的内力
σdA平行于 x 轴,所以合内力有：
ΣFx=0,FN =0
ΣMy=0,My =0
ΣMz=0,Mz =M
其中,ΣFy? 0
ΣFz? 0
ΣMx? 0
z
y
O
σdA
dA y
zx
FN =∫A σdA = 0
My =∫A zσdA = 0
Mz =∫A yσdA = M
z
N
A
yz
y
A
2 z
z
A
ESE
F y dA = 0
EIE
M z y dA = 0
EIE
M y dA = M
z
y
O
σdA
dA y
zxyEE
SZ=0
z 轴过形心
Iyz=0
y 轴对称轴
(4-37)
EIz 称为截面的 抗弯刚度 。
z
yz
z
ES
0
EI
0
EI
M
z
1M
EI?
(4-37) 式代入 ( C ),
得到纯弯情况下的正应力计算公式
(4-38)
上式中正应力的正负号与弯矩及点坐标 y
的正负号有关 。 实际计算 中,一般根据截面上弯矩的方向,直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生压应力,而不必计及
M和 y的正负 。
z
My
I
yEE
y
z
y
Wz 称为 弯曲截面系数 （或抗弯截面模量），其量纲为 [长度 ]3。国际单位用 m3或 mm3 。
m a x
m a x
z
My
I
m a x
z
z
I
W
y
m a x
z
M
W
对于宽度为 b、高度为 h的矩形截面，抗弯截面系数为
直径为 d的圆截面，抗弯截面系数为
3
2
12
26z
bh bh
W
h
4
3
64
32
2
z
d
d
W
d
内径为 d,外径为 D的空心圆截面,
抗弯截面系数为
轧制型钢 （ 工字钢,槽钢等 ） 的 Iz,
W值可从型钢表中查得 。
4
4
3
4
1
64 1
32
2
z
D
D
W
D
(2) 纯弯曲理论的推广
(横力弯曲 )
梁在横力弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有切应力。由于存在切应力，
横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。
进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁,l / h>5,l为梁长,h为截面高度），
剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（ 4-38）仍然适用。
横力弯曲作用下式 (4-38) 为：
m a x m a x
m a x
z
My
I
一 般 截 面 上 下 不 对 称
m a x
m a x
z
M
W
一 般 截 面 上 下 对 称
z
y
o
y
z
(3) 弯曲正应力的强度计算因截面上的最大正应力作用点处,弯曲剪应力为零,故 该点为单向应力状态 。
为保证梁的安全,梁的最大正应力应满足条件：
m a x工 作设 σmax是发生在梁最大处的 工作应力,则,
上式即为梁弯曲时的 正 应力 强度条件 。
m a x工 作最大工作应力材料的许用应力对于等截面直梁，若材料的 拉、压强度相等 ( 塑性材料 )，则最大弯矩的所在面称为 危险面,危险面上距中性轴最远的点称为 危险点 。此时强度条件可表达为,
m a x m a x
m a x []
z
My
I
对于由 脆性材料 制成的梁，由于其抗拉强度 [ σt] 和抗压强度 [ σc] 相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。
（重点、难点）
m a x m a x
c,m a x c[]
z
My
I
m a x m a x
t,m a x t[]
z
My
I
强度条件可以解决以下三方面的问题：
1）梁的校核强度
2）设计梁的（ 最小 ）截面尺寸
3）确定梁的（ 最大 ）许用外载荷 [ F ] （ 难点 ）。
m a x m a x
m a x []
z
My
I
m a x
m a x []
z
M
W
解题的基本过程：
1，分析题意是等直梁，还是变截面梁 (难点 ),
是塑性材料,还是脆性材料。
2，是三类问题中的那一类问题。
3，一般而言先求梁或结构的反力（有时可略）
4，求作每一梁的 内力图 （这里是弯矩图）
（ 确定危险截面 ）
5，写出公式，再求解。
6，正确回答问题。
（如：强度够、强度不够 … ）
例 4-13,已知楼板主梁由工字钢制成，尺寸如图,[σ]=152MPa。试选择工字钢的号码。
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
2.5m 2.5m 2.5m
解：
解得,FA= FB= 75× 3/2=112.5kN
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
FBF
A
2.5m 2.5m2.5m
M A右 =0;
M C右 = M C左 =112.5× 2.5=281.25kN
M D左 = 112.5× 5－ 75× 2.5=375kN
利用对称性：
A B
F F=75kN
C D E
10m
F
FA FB
2.5m 2.5m 2.5m
M +
375kNm
m a x
m a x []
z
M
W
3
33m a x
6
3
3 7 5 1 0
2,4 6 1 0
[ ] 1 5 2 1 0
2460
z
M
Wm
cm
查 P321表
56b Wz=2446.69cm3
56c Wz=2551.41cm3
所以选 56c 。
注：
选 56b,σmax=153MPa
（ σmax- [σ] ） / [σ]=0.65?< 5?,故也可 选 56b 。
例 4-14,两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，
但放置分别如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
l
l
解：
m a x 1 1
m a x 1 2
1
[]
/6z
M Pl
W b h
m a x 2 2
m a x 2 2
2
[]
/6z
M Pl
W h b
1
m a x 1 m a x 2
2
[ ],P hPb由 得
-
Pl
例 4-15,已知梁由铸铁材料制成,截面尺寸如图，
Iz=5493× 104mm4,[σt ] =30 Mpa,[σc ]=
90MPa。试求 [ F ]。
C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 m
z
y
c
134
8640
180
20 20
120
解：
ΣMB=0
－ FA× 2b +F× b－ q,b 2 /2=0
FA = F/ 4
A C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 mF
A F
B
M A右 =0;
M C右 = M C左 = F/ 4× b = F b / 4
M D左 =0
M B左 = M B右 =－ q,b 2 /2=－ F b / 2
AC段线性
CB段线性
BD段下凸
A C
F
B D
q=F /b
2 m 2 m2 mF
A FB
Fb/4
Fb/2
+
－
M
可能危险横截面为 C,B 截面：
C 截面下拉上压； B 截面下压上拉。
MC?MB,计算比较才能确定 σt,max,σc,max。
z
y
c
134
8640
180
20 20
120
+
-
z
σt,max
σc,max
+
z
-
σc,max
σt,max
C截面 B 截面
C 截面,
B 截面,
61 4
,m a x 8
2 0,1 3 4 3 0 1 0 2 4,6
5 4 9 3 1 0
F
C
t
z
My F k N
I
62 4
,m a x 8
2 0,0 8 6 9 0 1 0 1 1 5
5 4 9 3 1 0
F
C
c
z
My F k N
I
622
,m a x 8
2 0,0 8 6 3 0 1 0 1 9,2
5 4 9 3 1 0
F
B
t
z
My F k N
I
61 2
,m a x 8
2 0,1 3 4 9 0 1 0 3 6,9
5 4 9 3 1 0
F
C
c
z
My F k N
I
所以取 [ F ]=19.2kN
A B
P
C
-M
Pa
a
作业,
P180
4 – 11
4 – 13
课间休息
