2.4 杆件结构的几何组成分析一,两种体系几何不变体系 — — 在不考虑材料变形的条件下，
体系的位置和几何形状不能改变。
几何可变体系 —— 在不考虑材料变形的条件下，
体系的位置和几何形状可以改变。
2.4.1 基本概念二、几何组成分析的目的
（ 1）、检查并保证结构的几何不变性
（体系是否可做结构，并创造新颖合理的结构形式）
（ 2）,区分静定结构和超静定结构 。
（ 3）,指导结构的内力计算 （ 构造分析与内力分析之间密切联系 ）
几何不变体系几何可变体系
三,体系 —— 杆件 (刚片 )＋约束 (联系 )
1、刚片（杆件）：几何不变的平面刚体，称为刚片。
2,约束 (联系 )：限制刚片运动的装置
（ 1）、链杆：一根两端铰结于体系其它部分的刚性杆。
被约束物体不能沿链杆方向移动，
减少了约束物体的一个运动自由度。
一根链杆 = 一个约束。
(2)、单铰,联结两刚片的圆柱铰。
复铰,联结两个以上刚片的铰。
被约束物体在单铰联结处不能有任何相对移动，减少了被约束物体的两个运动自由度。
一个单铰 = 两个约束 = 两根链杆。
Ⅰ ⅡA
复铰 =（ n -1）个单铰。 n —— 刚片数。
(3)、实铰与虚铰
（瞬铰）。
从瞬时微小运动来看，与 A点有实铰的约束作用一样。
Ⅰ
ⅡA
图 1
Ⅰ
Ⅱ
A
图 2
Ⅰ Ⅱ ∞
P52:
必要约束和多余约束
2.4.1 几何不变体系的基本组成规则
规则一,两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是几何不变的，并且无多余约束。 (二刚片规则 ) Ⅰ
Ⅱ
1 2 3
推论：
两刚片用一个单铰和一根链杆相联结，则组成的体系为几何不变体系，
且无多余约束。
Ⅰ
Ⅱ
A
B
C
规则二,三个刚片用三个铰 两两相连,
且三个铰不在一直线上,则组成几何不变整体，且无多余约束。
（三刚片规则）
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A
B
C
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
三刚片六链杆补充：
一个刚片与一个点用两根链杆（两根相互不平行的链杆）相连，
且三个铰不在一直线上，
则组成几何不变的整体，
并且没有多余约束。 Ⅰ
A
B C
规则三：二元体 (片 )规则
二元体 (片）：由两根相互不平行的链杆联接一个新结点的装置，
称为二元体（片）。 Ⅰ
A
B C
二元体
Ⅰ
二元体 (片 )规则：
在一个体系上加上或减去二元体（片）
时，不改变原体系的几何性质。
（为便于理解，有时也可将与地基连接的两根铰接链杆视为二元体）
Ⅰ
说明：
（ 1）、以上规则（三个规则）虽然表达方式不同，但可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不变的，
且无多余约束。
（ 2）、如果把 Ⅰ （刚片 I）看成为基础，则规则一说明一个刚片的固定方式；
规则二说明两个刚片的固定方式；规则三说明一点的固定方式。（三种基本的装配方式）
（ 3）、每个规律中均有限制条件，
如不加限制，则会有什么现象出现？
Ⅰ
Ⅱ
O
Ⅰ
Ⅱ
瞬变体系三杆不等长 瞬变三杆等长 常变
瞬变体系,某一瞬时可以发生微小运动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。
AB C
A’
瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A B C
三铰在一条直线上。
（ 4）、瞬变体系的力学特性
AB C
A’
l l
① ②
P
N1 N2
θ
受力分析：
由 ∑x= 0 N1=N2=N
∑y= 0 2N sinθ- P = 0
N= P/2sinθ
N= P/2sinθ
在此 θ→ 0,很小。
（ 1）、当 P = 0 时，（称为零载）
N为不定值。
（ 2）、当 P≠0时,N→ ∞。
表明：瞬变体系即使在很小的荷载作用下，也会产生很大的内力，从而导致体系破坏。
结论：在工程中决不能采用瞬变体系作为结构使用。接近瞬变体系的结构也应避免使用。
体系几何组成分析举例例 1：用基本规律分析图示体系的几何构造。
解：因为基础可视为几何不变的刚片，可用减二元体的方法进行分析。
1
2
3
4
5
依次去掉二元体，
1→2→3→4→5,剩下 A
,B两点在基础上。
结论：几何不变体系无多余约束。
注,二元体遇到,可以先去掉。
例 2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的装配方式。
AB部分与基础固结在一起，可视为一扩大的刚片 Ⅰ 。 CD视为刚片 Ⅱ,Ⅰ,Ⅱ 用链杆 1,2,3联结。
A B C D
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
结论：几何不变，无多余约束。
例 3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩大的刚片 Ⅰ,
BC视为刚片 Ⅱ,
用铰 B和链杆 1联结，满足规则 1
（推论），视为扩大的刚片 Ⅰ '，
CD视为刚片 Ⅲ,
与 Ⅰ '，用铰 C和链杆 2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ
1
Ⅰ '
Ⅲ
2 3
有一个多余约束。
结论：有一个多余约束的几何不变体系。
例 4,分析图示体系
解：基础加 AB杆视为刚片 Ⅰ,CE视为刚片 Ⅱ 。 1,2,3链杆交于一点，体系几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ1
2
3
例 5：分析图示体系
解,两刚片装配方式。
从内部出发,
①,支座杆为 3，可先不考虑基础，分析体系本身 。
②,几何不变部分
，可视为一刚片。
Ⅰ Ⅱ
ADC→ Ⅰ,→ Ⅱ,ⅠⅡ 用铰 C和链杆 DE联结，三铰不在一直线上，满足规则 1（推论），组成一大刚片。
上部体系与基础用 3根链杆联结。
结论：体系几何不变，无多余约束。
例 6：分析图示体系
解：
支座杆多于 3，上部体系与基础一起分析。
两点用铰与其他部分联结的曲、直杆均可视为链杆。
基础 → Ⅰ,
CDE→ Ⅱ,两刚片用
1,2,3链杆联结。
Ⅰ
Ⅱ
1 2
3
O
三 链 杆交于一点，由规则 1可得结论：
几何瞬变体系。
例 7：分析图示体系解：
体系有九根杆，
规律 2适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰不共线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ OⅡⅢ
OⅠⅢ
结论：体系内部几何不变，无多余约束。
例 8：分析图示体系解：
体系有九根杆，
规律 3适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰共线。
结论：体系内部几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ
OⅡⅢOⅠⅢ
小结,
（ 1）、应用以上基本规律，可组成各种各样的平面杆件结构（杆系），关键是灵活应用。
（ 2）、用基本规律分析平面杆件结构时，体系中所有杆件（部件）不可重复使用，也不可漏掉，否则有误。
（ 3）、一些在分析中常用的方法，可归纳如下：
支杆数为 3,体系本身先（分析）；
支杆多于 3,地与体系联；
几何不变者，常可作刚片；
曲杆两端铰，可作链杆看；
二元体遇到，可以先去掉。
在解题过程中，同学们可自己总结归纳，提高解题能力和技巧。
2.4.3 静定结构和超静定结构结 构静 定结 构超静定结构几何组成规律 静力特性几何不变，无多余约束（联系）
几何不变，有多余约束（联系）
全部反力，内力可由静力平衡条件唯一地确定全部反力，内力不能用静力平衡条件唯一地确定静定结构：
超静定结构：
重点：掌握用基本规律分析体系几何组成的方法。
要求：
1、明确几何构造分析的目的和分析步骤。
2、掌握用基本规律分析体系的几何构成。
3、了解结构的组成顺序和特点。
4、正确区分静定结构和超静定结构。
本节重点
体系的位置和几何形状不能改变。
几何可变体系 —— 在不考虑材料变形的条件下，
体系的位置和几何形状可以改变。
2.4.1 基本概念二、几何组成分析的目的
（ 1）、检查并保证结构的几何不变性
（体系是否可做结构，并创造新颖合理的结构形式）
（ 2）,区分静定结构和超静定结构 。
（ 3）,指导结构的内力计算 （ 构造分析与内力分析之间密切联系 ）
几何不变体系几何可变体系
三,体系 —— 杆件 (刚片 )＋约束 (联系 )
1、刚片（杆件）：几何不变的平面刚体，称为刚片。
2,约束 (联系 )：限制刚片运动的装置
（ 1）、链杆：一根两端铰结于体系其它部分的刚性杆。
被约束物体不能沿链杆方向移动，
减少了约束物体的一个运动自由度。
一根链杆 = 一个约束。
(2)、单铰,联结两刚片的圆柱铰。
复铰,联结两个以上刚片的铰。
被约束物体在单铰联结处不能有任何相对移动，减少了被约束物体的两个运动自由度。
一个单铰 = 两个约束 = 两根链杆。
Ⅰ ⅡA
复铰 =（ n -1）个单铰。 n —— 刚片数。
(3)、实铰与虚铰
（瞬铰）。
从瞬时微小运动来看，与 A点有实铰的约束作用一样。
Ⅰ
ⅡA
图 1
Ⅰ
Ⅱ
A
图 2
Ⅰ Ⅱ ∞
P52:
必要约束和多余约束
2.4.1 几何不变体系的基本组成规则
规则一,两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是几何不变的，并且无多余约束。 (二刚片规则 ) Ⅰ
Ⅱ
1 2 3
推论：
两刚片用一个单铰和一根链杆相联结，则组成的体系为几何不变体系，
且无多余约束。
Ⅰ
Ⅱ
A
B
C
规则二,三个刚片用三个铰 两两相连,
且三个铰不在一直线上,则组成几何不变整体，且无多余约束。
（三刚片规则）
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A
B
C
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
三刚片六链杆补充：
一个刚片与一个点用两根链杆（两根相互不平行的链杆）相连，
且三个铰不在一直线上，
则组成几何不变的整体，
并且没有多余约束。 Ⅰ
A
B C
规则三：二元体 (片 )规则
二元体 (片）：由两根相互不平行的链杆联接一个新结点的装置，
称为二元体（片）。 Ⅰ
A
B C
二元体
Ⅰ
二元体 (片 )规则：
在一个体系上加上或减去二元体（片）
时，不改变原体系的几何性质。
（为便于理解，有时也可将与地基连接的两根铰接链杆视为二元体）
Ⅰ
说明：
（ 1）、以上规则（三个规则）虽然表达方式不同，但可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不变的，
且无多余约束。
（ 2）、如果把 Ⅰ （刚片 I）看成为基础，则规则一说明一个刚片的固定方式；
规则二说明两个刚片的固定方式；规则三说明一点的固定方式。（三种基本的装配方式）
（ 3）、每个规律中均有限制条件，
如不加限制，则会有什么现象出现？
Ⅰ
Ⅱ
O
Ⅰ
Ⅱ
瞬变体系三杆不等长 瞬变三杆等长 常变
瞬变体系,某一瞬时可以发生微小运动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。
AB C
A’
瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
A B C
三铰在一条直线上。
（ 4）、瞬变体系的力学特性
AB C
A’
l l
① ②
P
N1 N2
θ
受力分析：
由 ∑x= 0 N1=N2=N
∑y= 0 2N sinθ- P = 0
N= P/2sinθ
N= P/2sinθ
在此 θ→ 0,很小。
（ 1）、当 P = 0 时，（称为零载）
N为不定值。
（ 2）、当 P≠0时,N→ ∞。
表明：瞬变体系即使在很小的荷载作用下，也会产生很大的内力，从而导致体系破坏。
结论：在工程中决不能采用瞬变体系作为结构使用。接近瞬变体系的结构也应避免使用。
体系几何组成分析举例例 1：用基本规律分析图示体系的几何构造。
解：因为基础可视为几何不变的刚片，可用减二元体的方法进行分析。
1
2
3
4
5
依次去掉二元体，
1→2→3→4→5,剩下 A
,B两点在基础上。
结论：几何不变体系无多余约束。
注,二元体遇到,可以先去掉。
例 2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的装配方式。
AB部分与基础固结在一起，可视为一扩大的刚片 Ⅰ 。 CD视为刚片 Ⅱ,Ⅰ,Ⅱ 用链杆 1,2,3联结。
A B C D
Ⅰ
Ⅱ1
2 3
结论：几何不变，无多余约束。
例 3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩大的刚片 Ⅰ,
BC视为刚片 Ⅱ,
用铰 B和链杆 1联结，满足规则 1
（推论），视为扩大的刚片 Ⅰ '，
CD视为刚片 Ⅲ,
与 Ⅰ '，用铰 C和链杆 2,3联结。
Ⅰ
Ⅱ
1
Ⅰ '
Ⅲ
2 3
有一个多余约束。
结论：有一个多余约束的几何不变体系。
例 4,分析图示体系
解：基础加 AB杆视为刚片 Ⅰ,CE视为刚片 Ⅱ 。 1,2,3链杆交于一点，体系几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ1
2
3
例 5：分析图示体系
解,两刚片装配方式。
从内部出发,
①,支座杆为 3，可先不考虑基础，分析体系本身 。
②,几何不变部分
，可视为一刚片。
Ⅰ Ⅱ
ADC→ Ⅰ,→ Ⅱ,ⅠⅡ 用铰 C和链杆 DE联结，三铰不在一直线上，满足规则 1（推论），组成一大刚片。
上部体系与基础用 3根链杆联结。
结论：体系几何不变，无多余约束。
例 6：分析图示体系
解：
支座杆多于 3，上部体系与基础一起分析。
两点用铰与其他部分联结的曲、直杆均可视为链杆。
基础 → Ⅰ,
CDE→ Ⅱ,两刚片用
1,2,3链杆联结。
Ⅰ
Ⅱ
1 2
3
O
三 链 杆交于一点，由规则 1可得结论：
几何瞬变体系。
例 7：分析图示体系解：
体系有九根杆，
规律 2适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰不共线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ OⅡⅢ
OⅠⅢ
结论：体系内部几何不变，无多余约束。
例 8：分析图示体系解：
体系有九根杆，
规律 3适用。取三根不相邻的链杆作刚片，相连的三个铰共线。
结论：体系内部几何瞬变。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
OⅠⅡ
OⅡⅢOⅠⅢ
小结,
（ 1）、应用以上基本规律，可组成各种各样的平面杆件结构（杆系），关键是灵活应用。
（ 2）、用基本规律分析平面杆件结构时，体系中所有杆件（部件）不可重复使用，也不可漏掉，否则有误。
（ 3）、一些在分析中常用的方法，可归纳如下：
支杆数为 3,体系本身先（分析）；
支杆多于 3,地与体系联；
几何不变者，常可作刚片；
曲杆两端铰，可作链杆看；
二元体遇到，可以先去掉。
在解题过程中，同学们可自己总结归纳，提高解题能力和技巧。
2.4.3 静定结构和超静定结构结 构静 定结 构超静定结构几何组成规律 静力特性几何不变，无多余约束（联系）
几何不变，有多余约束（联系）
全部反力，内力可由静力平衡条件唯一地确定全部反力，内力不能用静力平衡条件唯一地确定静定结构：
超静定结构：
重点：掌握用基本规律分析体系几何组成的方法。
要求：
1、明确几何构造分析的目的和分析步骤。
2、掌握用基本规律分析体系的几何构成。
3、了解结构的组成顺序和特点。
4、正确区分静定结构和超静定结构。
本节重点
