§ 3.3 梁的内力
§ 3.3.1 梁的概念平面弯曲的梁：
（ 1）梁具有纵向对称轴面；
（ 2）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内，
与杆轴垂直；
（ 3）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。
一、平面弯曲概念
P
梁：以弯曲为主的构件。
工程中一般为等截面直梁。
挠曲线
x
y
q
P
M
VA VB
A B
qP M
l
A B x
y
纵向对称面二、横截面上的内力梁横截面上的内力，主要为弯矩和剪力。
梁横截面上的内力，可以用 截面法 由静力平衡求出。
Q
a
C
m
mA B
P
l/2 l/2VA VB
如图：
求支座反力,VA=VB=P/2
作 m-m 截面，取左半段为隔离体，为保持平衡，必有：
P/2
C
m
m
Q
M
Σy=0 -Q + VA=0
剪力 Q = VA =P/2
ΣMC=0 M –VA? a = 0
弯矩 M = VA? a = Pa/2
右半段亦然。
C
m
m
P/2
P
M
三、剪力、弯矩正负号（规定）
剪力弯矩
Q
dx
Q Q Q Q Q
dx
M M M M M M
四、求指定截面上的剪力和弯矩运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。
规律,
任一截面上的剪力 =截面以左（或右）梁上外力
（包括反力）的代数和。
任一截面上的弯矩 =截面以左（或右）梁上外力
（包括反力）对该截面形心力矩的代数和。
求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正向），然后用平衡方程求出该截面上的剪力和弯矩。
若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果得出的结果为负，则说明假设方向错误。
例 1：求梁跨中截面 C的剪力和弯矩。
6m
A BCD E
VA VB
P=12kN
q=4kN/mm=6kN?m
3m
2m 2m
m=6kN?m q=4kN/m
7kN QC
MC
P=12kN
q=4kN/m
29kN
QC
MC
解：
（ 1）求支座反力
ΣMB=0 -VA× 6-6+4× 6× 3-
12× 2=0
VA =7kN （?）
ΣMA=0 VB× 6-6-4× 6× 3-
12× 8=0
VB =29kN （?）
（ 2）求截面 C的内力左段,Σ y =0
-Qc - 4× 3+7=0 QC = - 5kN
ΣMC=0
MC +4× 3× 1.5- 7× 3 - 6=0
MC = 9kN?m (下侧受拉）
也可用右半段通过以上例题可以找到计算梁内力（弯矩、
剪力）的一些规律。
1、梁内任一截面上剪力 Q 的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上的与截面平行各力（包括外力、反力、内力）的代数和。
2、梁内任一截面上弯矩 M 的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上所有各力
（包括外力、反力、内力）对这个截面形心的力矩代数和。
补充：
剪力,左段为隔离体，此段梁上所有向上的外力使该截面产生正号剪力。
此段梁上所有向下的外力使该截面产生负号剪力。
右段为隔离体，此段梁上所有向下的外力使该截面产生正号剪力。
此段梁上所有向上的外力使该截面产生负号剪力。
弯矩,
无论取左边梁段或右边梁段为隔离体，则梁段上所有向上的力使该截面产生正号弯矩，所有向下的力使该截面产生负号弯矩。
截面左边的力对截面形心的力矩如为顺时针，引起正弯矩。
截面右边的力对截面形心的力矩为如逆时针，引起正弯矩。
剪力：左上右下弯距：左顺右逆例 2：求梁跨中截面 C的剪力和弯矩。
6m
A BCD E
VA VB
P=12kN
q=4kN/mm=6kN?m
3m
2m 2m
如：从截面 C 左边外力计算
QC =7- 4× 3 = - 5kN
MC =6+7× 3 - 4× 3× 1.5= 9kN?m
如：从截面 C 右边外力计算
QC =12- 29 + 4× 3 = - 5kN
MC =29× 3 - 12× 5 - 4× 3× 1.5= 9kN?m
梁的内力图 —— 剪力图和弯矩图一、梁的 剪力图和弯矩图梁上各截面上的剪力（弯矩）值用图形表示出来，统称为内力图 。
剪力图,表示梁上各截面剪力变化规律的图形。
弯矩图,表示梁上各截面弯矩变化规律的图形。
二、剪力方程和弯矩方程梁上各个截面上的剪力和弯矩是不相同的，它们随截面位置的变化而变化，可表示为沿梁长 x 的函数。
剪力方程 Q = Q（ x）
弯矩方程 M = M（ x）
三、列方程绘制梁的剪力图和弯矩图基本做法：
根据 Q=Q（ x）,M=M（ x） 用数学作函数图形的方法进行绘制。
在一直角坐标系中，按照选定的比例尺，以梁轴为 x
坐标，剪力（弯矩）为纵坐标，绘 Q= Q（ x）,M= M（ x）
的图形。
剪力图,正号 剪力画在 x 轴的 上方 ；
负号 剪力画在 x 轴的 下方 。
弯矩图,正号 弯矩画在 x 轴的 下方 ；
负号 弯矩画在 x 轴的 上方 。
例 3 悬臂梁 AB,A端受集中力 P,作 Q,M图。
P
A B
x l
x
x
P
Q(x)
M(x)
xQ
P
Q图
x
M
Pl
M图解：
1、列 Q =Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = - P （ 0<x<l）
M（ x） = - Px （ 0≤x≤l）
2,画剪力图
3、画弯矩图
4,危险截面在固定端附近最大值,｜ Qmax ｜ = P
｜ Mmax ｜ = Pl
x
q x
l
A
B
x Q(x)
M(x)q
xQ
ql
Q图
x
M
ql2 /2
例 4 悬臂梁 AB,受均布荷载作用,作 Q,M图。
解：
1、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = - qx （ 0<x<l）
M（ x） = - qx2 /2 （ 0≤x≤l）
2,画剪力图
3、画弯矩图
4,危险截面在固定端附近最大值,｜ Qmax ｜ = ql
｜ Mmax ｜ = ql2/2
M图
x
Q
ql/2
ql/2 Q图例 5 简支梁 AB,受均布荷载作用,作 Q,M图。
A
Bx
l
x
q
VA VB
x
Q(x)
M(x)q
VA
2、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = VA – qx = ql/2 – qx（ 0<x<l）
M（ x） = VA x – qx2 /2=qlx/2 –qx2 /2
（ 0≤x≤l）3,画剪力图
4、画弯矩图
5、剪力 危险截面在支座附近，
弯矩 危险截面在跨中最大值,｜ Qmax ｜ = ql/2
｜ Mmax ｜ = ql2/8
解：
1、求反力 VA = VB = ql/2
x
M
ql2/8
M图
3ql2/32
A 点作为坐标原点,P作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。
x
Q Pb/l
Pa/l
Q图
x
M Pab/l
M图
xVA
Q(x)
M(x)
1
1
VA x
P
Q(x)
M(x)
2
2
例 6 简支梁 AB,跨中受集中荷载作用,作 Q,M图。
2、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
3,画剪力图
4、画弯矩图
5,弯矩 危险截面在集中力作用点 附近最大值,｜ Mmax ｜ = Pab/l
1、求反力 VA = Pb/l VB =Pa/l
解：
Q（ x） = VA = Pb/l （ 0<x<a）
M（ x） = VA x = Pbx/l （ 0≤x≤a）
AC段
A
Bx
l
x
a b
P
VA VB
1
1
2
2
C
CB段
Q（ x） = VA - P= -VB = - Pa/l （ a<x<l）
M（ x） = -VA x +M =VB(l-x)=Pa(l-x)x/l
（ a≤x≤l）
xQ
M/l
Q图
Mb/l
x
M
Ma/l
M图
x
VA Q(x)
M(x)11
VA x Q(x)
M(x)M
2
2
例 7 简支梁 AB,受集中力偶作用，作 Q,M图。
2、列 Q= Q(x),M=M (x)方程
A 点作为坐标原点,P作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。
3,画剪力图
4、画弯矩图解：
Q (x) = -VA = - M/l （ 0<x<a）
M (x) = -VA x = - Mx/l （ 0≤x≤a）
AC段
CB段
Q (x) = - VA = - M/l （ a<x<l）
M (x) = -VA x +M = - M x / l +M
（ a≤x≤l）
1
1
2
2A
Bx
l
x
a bVA VB
M
C
1、求反力 VA = M/l ( ) VB =M/l ( )
§ 3.3.3 剪力、弯矩和分布荷载集度之间的关系一、荷载集度,剪力和弯矩之间的微分关系
A
Bx
l
x
a b
P
VA VB
y
Mq(x)
dx
取小微段 dx,q,Q,M 均为正。
dx
q(x)
Q(x)+dQ(x)
M(x)+dM(x)
Q(x)
M(x) O
由平衡：
Σ y = 0 Q(x) – [Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0
由此,dQ(x)/dx=q(x)
ΣMO=0
[ M(x)+dM(x)]-M(x)-Q(x)dx-q(x)?(dx)2/2=0
略去二阶微量 dM(x)/dx=Q(x)
由上述公式可得,d2M(x)/dx2 = q(x)
以上公式几何意义,剪力图上某点处切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。
二、根据内力图的规律作梁的 剪力图和弯矩图
1、内力图的形状是直线 （水平、斜）还是曲线。
2、弯矩图有极值的截面位置
3、弯矩图曲线的凹向
4、内力图的突变。
5、梁端铰支座处的内力特点。
6、固定端截面内力特点。
7、自由端邻近截面内力特点剪力图与弯矩图的形状特征 （据上面的各种关系推出）
梁上情况内力图剪力图弯矩图无外力区段常数
(水平线 )
直线变化
(平直线或斜直线 )
均布荷载作用区段斜直线
(自左至右 )
抛物线
(凸出方向向同荷载指向 )
零极值集中荷载作用处有突变
(突变值为 P)
有尖角
(尖角突出方向同 荷载 指向 )
集中力偶作用点处无变化有突变
(突变值为力偶大小 )
铰处为零注,
(１ ) 在铰结点处一侧截面上如无集中力偶作用,M＝ ０ 。
在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩＝此外力偶值。
(２ ) 自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。
自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩 ＝ 此外力偶值 。
144
16
113.6
80
M图 (kN? m)
VA VB
A
B
2m
P=20kNM=160kN?mq=20kN/m
8m
C D
2m
72
88
60 20
Q图 ( kN )
x=5.6m
例 8：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图解,1、求支座反力
2、绘剪力图
3、绘弯矩图控制截面,集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起、
终点，自由端等等。
本题,A右,C左,B左,B右,D
控制截面,集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、终点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。
本题,A,C左,C右,B,D
VA = 72kN（ ） VB = 148kN （ ）
例 9,作图示梁的弯矩图。
3035
20
M图 (kN·m)
FAy =35kN FBy =45kN
FP= 40kN q=20kN/m M=20kN·m
作业,P106
3-2,(c)
3-3,(b)
§ 3.3.1 梁的概念平面弯曲的梁：
（ 1）梁具有纵向对称轴面；
（ 2）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内，
与杆轴垂直；
（ 3）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。
一、平面弯曲概念
P
梁：以弯曲为主的构件。
工程中一般为等截面直梁。
挠曲线
x
y
q
P
M
VA VB
A B
qP M
l
A B x
y
纵向对称面二、横截面上的内力梁横截面上的内力，主要为弯矩和剪力。
梁横截面上的内力，可以用 截面法 由静力平衡求出。
Q
a
C
m
mA B
P
l/2 l/2VA VB
如图：
求支座反力,VA=VB=P/2
作 m-m 截面，取左半段为隔离体，为保持平衡，必有：
P/2
C
m
m
Q
M
Σy=0 -Q + VA=0
剪力 Q = VA =P/2
ΣMC=0 M –VA? a = 0
弯矩 M = VA? a = Pa/2
右半段亦然。
C
m
m
P/2
P
M
三、剪力、弯矩正负号（规定）
剪力弯矩
Q
dx
Q Q Q Q Q
dx
M M M M M M
四、求指定截面上的剪力和弯矩运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。
规律,
任一截面上的剪力 =截面以左（或右）梁上外力
（包括反力）的代数和。
任一截面上的弯矩 =截面以左（或右）梁上外力
（包括反力）对该截面形心力矩的代数和。
求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正向），然后用平衡方程求出该截面上的剪力和弯矩。
若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果得出的结果为负，则说明假设方向错误。
例 1：求梁跨中截面 C的剪力和弯矩。
6m
A BCD E
VA VB
P=12kN
q=4kN/mm=6kN?m
3m
2m 2m
m=6kN?m q=4kN/m
7kN QC
MC
P=12kN
q=4kN/m
29kN
QC
MC
解：
（ 1）求支座反力
ΣMB=0 -VA× 6-6+4× 6× 3-
12× 2=0
VA =7kN （?）
ΣMA=0 VB× 6-6-4× 6× 3-
12× 8=0
VB =29kN （?）
（ 2）求截面 C的内力左段,Σ y =0
-Qc - 4× 3+7=0 QC = - 5kN
ΣMC=0
MC +4× 3× 1.5- 7× 3 - 6=0
MC = 9kN?m (下侧受拉）
也可用右半段通过以上例题可以找到计算梁内力（弯矩、
剪力）的一些规律。
1、梁内任一截面上剪力 Q 的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上的与截面平行各力（包括外力、反力、内力）的代数和。
2、梁内任一截面上弯矩 M 的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上所有各力
（包括外力、反力、内力）对这个截面形心的力矩代数和。
补充：
剪力,左段为隔离体，此段梁上所有向上的外力使该截面产生正号剪力。
此段梁上所有向下的外力使该截面产生负号剪力。
右段为隔离体，此段梁上所有向下的外力使该截面产生正号剪力。
此段梁上所有向上的外力使该截面产生负号剪力。
弯矩,
无论取左边梁段或右边梁段为隔离体，则梁段上所有向上的力使该截面产生正号弯矩，所有向下的力使该截面产生负号弯矩。
截面左边的力对截面形心的力矩如为顺时针，引起正弯矩。
截面右边的力对截面形心的力矩为如逆时针，引起正弯矩。
剪力：左上右下弯距：左顺右逆例 2：求梁跨中截面 C的剪力和弯矩。
6m
A BCD E
VA VB
P=12kN
q=4kN/mm=6kN?m
3m
2m 2m
如：从截面 C 左边外力计算
QC =7- 4× 3 = - 5kN
MC =6+7× 3 - 4× 3× 1.5= 9kN?m
如：从截面 C 右边外力计算
QC =12- 29 + 4× 3 = - 5kN
MC =29× 3 - 12× 5 - 4× 3× 1.5= 9kN?m
梁的内力图 —— 剪力图和弯矩图一、梁的 剪力图和弯矩图梁上各截面上的剪力（弯矩）值用图形表示出来，统称为内力图 。
剪力图,表示梁上各截面剪力变化规律的图形。
弯矩图,表示梁上各截面弯矩变化规律的图形。
二、剪力方程和弯矩方程梁上各个截面上的剪力和弯矩是不相同的，它们随截面位置的变化而变化，可表示为沿梁长 x 的函数。
剪力方程 Q = Q（ x）
弯矩方程 M = M（ x）
三、列方程绘制梁的剪力图和弯矩图基本做法：
根据 Q=Q（ x）,M=M（ x） 用数学作函数图形的方法进行绘制。
在一直角坐标系中，按照选定的比例尺，以梁轴为 x
坐标，剪力（弯矩）为纵坐标，绘 Q= Q（ x）,M= M（ x）
的图形。
剪力图,正号 剪力画在 x 轴的 上方 ；
负号 剪力画在 x 轴的 下方 。
弯矩图,正号 弯矩画在 x 轴的 下方 ；
负号 弯矩画在 x 轴的 上方 。
例 3 悬臂梁 AB,A端受集中力 P,作 Q,M图。
P
A B
x l
x
x
P
Q(x)
M(x)
xQ
P
Q图
x
M
Pl
M图解：
1、列 Q =Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = - P （ 0<x<l）
M（ x） = - Px （ 0≤x≤l）
2,画剪力图
3、画弯矩图
4,危险截面在固定端附近最大值,｜ Qmax ｜ = P
｜ Mmax ｜ = Pl
x
q x
l
A
B
x Q(x)
M(x)q
xQ
ql
Q图
x
M
ql2 /2
例 4 悬臂梁 AB,受均布荷载作用,作 Q,M图。
解：
1、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = - qx （ 0<x<l）
M（ x） = - qx2 /2 （ 0≤x≤l）
2,画剪力图
3、画弯矩图
4,危险截面在固定端附近最大值,｜ Qmax ｜ = ql
｜ Mmax ｜ = ql2/2
M图
x
Q
ql/2
ql/2 Q图例 5 简支梁 AB,受均布荷载作用,作 Q,M图。
A
Bx
l
x
q
VA VB
x
Q(x)
M(x)q
VA
2、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
A 点作为坐标原点
Q（ x） = VA – qx = ql/2 – qx（ 0<x<l）
M（ x） = VA x – qx2 /2=qlx/2 –qx2 /2
（ 0≤x≤l）3,画剪力图
4、画弯矩图
5、剪力 危险截面在支座附近，
弯矩 危险截面在跨中最大值,｜ Qmax ｜ = ql/2
｜ Mmax ｜ = ql2/8
解：
1、求反力 VA = VB = ql/2
x
M
ql2/8
M图
3ql2/32
A 点作为坐标原点,P作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。
x
Q Pb/l
Pa/l
Q图
x
M Pab/l
M图
xVA
Q(x)
M(x)
1
1
VA x
P
Q(x)
M(x)
2
2
例 6 简支梁 AB,跨中受集中荷载作用,作 Q,M图。
2、列 Q=Q（ x）,M=M（ x） 方程
3,画剪力图
4、画弯矩图
5,弯矩 危险截面在集中力作用点 附近最大值,｜ Mmax ｜ = Pab/l
1、求反力 VA = Pb/l VB =Pa/l
解：
Q（ x） = VA = Pb/l （ 0<x<a）
M（ x） = VA x = Pbx/l （ 0≤x≤a）
AC段
A
Bx
l
x
a b
P
VA VB
1
1
2
2
C
CB段
Q（ x） = VA - P= -VB = - Pa/l （ a<x<l）
M（ x） = -VA x +M =VB(l-x)=Pa(l-x)x/l
（ a≤x≤l）
xQ
M/l
Q图
Mb/l
x
M
Ma/l
M图
x
VA Q(x)
M(x)11
VA x Q(x)
M(x)M
2
2
例 7 简支梁 AB,受集中力偶作用，作 Q,M图。
2、列 Q= Q(x),M=M (x)方程
A 点作为坐标原点,P作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。
3,画剪力图
4、画弯矩图解：
Q (x) = -VA = - M/l （ 0<x<a）
M (x) = -VA x = - Mx/l （ 0≤x≤a）
AC段
CB段
Q (x) = - VA = - M/l （ a<x<l）
M (x) = -VA x +M = - M x / l +M
（ a≤x≤l）
1
1
2
2A
Bx
l
x
a bVA VB
M
C
1、求反力 VA = M/l ( ) VB =M/l ( )
§ 3.3.3 剪力、弯矩和分布荷载集度之间的关系一、荷载集度,剪力和弯矩之间的微分关系
A
Bx
l
x
a b
P
VA VB
y
Mq(x)
dx
取小微段 dx,q,Q,M 均为正。
dx
q(x)
Q(x)+dQ(x)
M(x)+dM(x)
Q(x)
M(x) O
由平衡：
Σ y = 0 Q(x) – [Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0
由此,dQ(x)/dx=q(x)
ΣMO=0
[ M(x)+dM(x)]-M(x)-Q(x)dx-q(x)?(dx)2/2=0
略去二阶微量 dM(x)/dx=Q(x)
由上述公式可得,d2M(x)/dx2 = q(x)
以上公式几何意义,剪力图上某点处切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。
二、根据内力图的规律作梁的 剪力图和弯矩图
1、内力图的形状是直线 （水平、斜）还是曲线。
2、弯矩图有极值的截面位置
3、弯矩图曲线的凹向
4、内力图的突变。
5、梁端铰支座处的内力特点。
6、固定端截面内力特点。
7、自由端邻近截面内力特点剪力图与弯矩图的形状特征 （据上面的各种关系推出）
梁上情况内力图剪力图弯矩图无外力区段常数
(水平线 )
直线变化
(平直线或斜直线 )
均布荷载作用区段斜直线
(自左至右 )
抛物线
(凸出方向向同荷载指向 )
零极值集中荷载作用处有突变
(突变值为 P)
有尖角
(尖角突出方向同 荷载 指向 )
集中力偶作用点处无变化有突变
(突变值为力偶大小 )
铰处为零注,
(１ ) 在铰结点处一侧截面上如无集中力偶作用,M＝ ０ 。
在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩＝此外力偶值。
(２ ) 自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。
自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩 ＝ 此外力偶值 。
144
16
113.6
80
M图 (kN? m)
VA VB
A
B
2m
P=20kNM=160kN?mq=20kN/m
8m
C D
2m
72
88
60 20
Q图 ( kN )
x=5.6m
例 8：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图解,1、求支座反力
2、绘剪力图
3、绘弯矩图控制截面,集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起、
终点，自由端等等。
本题,A右,C左,B左,B右,D
控制截面,集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、终点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。
本题,A,C左,C右,B,D
VA = 72kN（ ） VB = 148kN （ ）
例 9,作图示梁的弯矩图。
3035
20
M图 (kN·m)
FAy =35kN FBy =45kN
FP= 40kN q=20kN/m M=20kN·m
作业,P106
3-2,(c)
3-3,(b)
