一,力线平移定理
力线平移定理（ 参见教材 43页叙述，对比理解 ）：当把作用在物体上的力 P平行移至物体上任一点时，必须同时附加一个力偶。此附加力偶矩等于力 P对新作用点的力矩。
P
A
B = P
A
B
P'
P''
= B
P'
M=Ph
2.3.4 平面一般力系向一点的简化逆步骤可证,
力偶矩为 M的力偶，与作用在同一平面内点 B的力 P' 可以合成为一个作用在点 A 的力 P。
力线平移 定理 是平面任意力系简化的依据，
并可用于分析和解决工程实际中的力学问题。
（ 1）、丝锥攻丝：
=
受力均匀
=丝锥易折
P
P
M=P·h
2P2P M=P·h
（ 2）、立柱（厂房）受力：
P — 压缩变形
M— 弯曲变形
M=P·eP P
二、平面一般力系向一点简化平面一般力系 — 力系中的各力都在同一平面内，且 任意 分布。
（作用在同一平面内的各力，既不相交于一点，也不相互平行）
工程中的多数问题都可以简化为平面一般力系来解决。
=
x
y
Ro
Mo
α
简化中心
O
P1
P2
P3
A1
A2
A3 O
P1'
P2'
P3'A1
A2
A3
M1
M2
M3
O
R0 —— 平面一般力系的主矢。
平面一般力系的主矢等于力系中各力的矢量和。
数解法：
)73(321
321
ayPPPPR
xPPPPR
nyyyyoy
nxxxxox
)73()()( 2220200 byxRRR yx
主矢大小,
)73()()( 2220200 byxRRR yx
主矢方向,
)73( c
x
y
tg
Mo—— 平面一般力系相对于简化中心 O的主矩。
平面一般力系对简化中心 O的主矩等于力系中各力对简化中心 O之矩的 代数和 。
)83()(
)()()(
0
02010210
PM
PMPMPMMMMM nn
注意,
（ 1）、主矢量 Ro的大小和方向与简化中心的位置无关。
在一般情况下，不是力系的合力。即：该力系的合力作用线一般情况下不通过 O点。
（ 2）、主矩 Mo的数值和方向与简化中心的位置有关。
二、简化结果的讨论
1、主矢不为零，主矩为零（ Ro≠0,Mo =0）
由于附加力偶系的合力偶为零，原力系只与一个力等效。
在这种特殊情况下，力系简化为一合力。
此合力的矢量为力系的主矢 Ro,合力作用线通过简化中心 O点。
2,主矢为零，主矩不为零（ Ro=0,Mo ≠0）
原力系向 O点简化后得一力偶 Mo,则原力系无合力 R,只有合力偶 Mo 。
当力系简化为一力偶时，主矩与简化中心无关。当力系向平面内任一点简化时，所得主矩是相同的。
3、主矢、主矩均不为零（ Ro≠0,Mo ≠0）
由力的平移法则可知，此时力系与不通过简化中心的一个力等效。平面一般力系可简化为一个合力，合力距离简化中心为 h,合力的大小和方向与主矢相同。
其中：
0
0 RMh?
4、主矢与主矩均为零（ Ro= 0,Mo = 0）
原力系为平衡力系。
总之，对不同的平面一般力系进行简化，
其最终结果只有三种可能：
1、合力矢； 2、合力偶； 3、平衡。
2.3.6 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件，平衡方程
平面一般（任意）力系平衡的必要与充分条件是：主矢量 Ro= 0与主矩 Mo = 0 。
1、平衡方程：
0
0
0
AM
y
x
）（ 9-3
一矩式平衡方程平衡方程的基本形式
表明：平面一般（任意）力系平衡的充分与必要条件是，力系中的各力在直角坐标系
xOy两坐标轴上的投影的代数和为零，且力系中各力对坐标平面内任意点（ A点）力矩的代数和为零。
注：
（ 1）、投影轴和矩心是可以任意选取的。一般说，
矩心选在某些未知力的交点；投影轴则尽可能选那些与该力系中多数力的作用线相平行或垂直。
（ 2）、方程（ 2-27）中有三个独立方程，可求解三个未知量。
0
0
0
B
A
M
M
x
1 0 )-(3
∑x= 0也可写为 ∑y= 0
A B连线不可垂直 Ox轴。
O x
A
B
R
B'
R'
二矩式平衡方程,
三力矩形式平衡方程（三矩式）
A,B,C三点不在一直线上。
0
)113(0
0
C
B
A
M
M
M
A
B
C
R
C
注：平衡方程的三种表达形式，每一组由三个独立的方程组成。求解实际问题时，
可根据具体条件，选取适用的某一种形式。
例：试求图示悬臂梁的支座反力。 (笔记 )
∑X=0 - HB=0
HB=0
∑Y=0
VB - P –ql=0
VB=P+ql=2ql(↑)
∑mB=0
- MB+P·l+q·l·l/2=0
MB=3ql2/2( )
P=ql
l
q
P=ql q
VB
HB
MB
例：求图示简支梁的支座反力，不计自重。
解,(1)画受力图
(2)用两矩式平衡方程
2m 2m 2m
P=20kN
60o
q=10kN/m
P=20kN
60o q=10kN/mHA
VA VB
∑X=0 HA - P cos600 =0
HA=10kN ( )
∑MB=0
-VA·6 +P sin600·4 +q·2·1 =0
VA=14.9kN ( )
∑MA=0
VB·6 -P sin600·2 - q·2·5=0 VB =22.4 kN ( )
例,求三铰刚架支座反力和顶铰 C相互约束力。 (笔记 )
解,
(1) 受力分析，画受力图
分析,
①,支座 A,B,各有两个反力,整体有四个未知反力。
q= 200N/m
HA
VA VB
HB
q= 200N/m? ②、可在铰 C处把体系分为两部分 AC,BC,无论整体和部分均应满足平衡条件。故可有 3× 2=6个独立的平衡方程。
（ 2）列平衡方程，求解
整体 ∑MB=0
- VA× 8+200× 8× 4=0
VA=800 N ( )
VA
HA
XC
YC
VB
HB
X'C
Y'C
∑MA=0
VB× 8 - 200× 8× 4=0
VB=800 N ( )
∑X=0 HA=HB
取 AC部分
∑MC=0
HA× 5 - VA× 4+200× 4× 2=0
HA=320 N ( ) HB=HA=320 N ( )
VA
HA
VB
HB
q= 200N/m
∑X=0 HA - XC=0
XC=HA = 320 N ( )
VA
HA
XC
YC
∑Y=0
VA+YC - 200× 4=0
YC=0
（ 3）、校核可用未使用过的平衡方程，如：
整体 ∑Y=0 ； 或用 BC隔离体验证是否平衡。
补充,平面平行力系的合成与平衡
平面平行力系 —— 当平面内各力的作用线互相平行时，称为平面平行力系。为平面一般力系的特例。
1、平面平行力系的合成
合力：
P1
P2P
3
y
O
h1
h2
h3
RH
n
i
in PPPPPR
1
21?
…
合力：
P1
P2P
3
y
O
h1
h2
h3
RH
n
i
in PPPPPR
1
21?
合力作用线位置：
任选 一个 参考点 O,由合力矩定理
)123(
02211
2211
P
M
R
hPhPhP
H
HRhPhPhP
nn
nn
…
…
2、平面平行力系的平衡条件（平衡方程）
)133(0
0
B
A
M
M
)143(0
0
AM
y
例：求图示两跨梁的支座反力和铰 C相互约束力。 (笔记 )
解：属平行力系，整体三个支座反力。如图。
q=16kN/m P=40kN
VA VB VD
P=40kN
VDYC
q=16kN/m
VA VB
Y’C
在铰 C处将体系分为两部分,ABC和 CD。 画受力图。
先计算 CD 部分，因为 CD部分只有两个未知力。
CD,∑MC=0 VD× 4 - 40× 2=0 VD=20kN ( )
P=40kN
VDYC
q=16kN/m
VA VB
Y'C
∑MD=0 - YC× 4+40× 2=0 YC=20kN ( )
ABC,∑MB=0 - VA× 6 - YC× 2+16× 6× 3=0
VA=41.33kN ( )
∑MA=0 VB× 6 - YC× 8 -16× 6× 3=0
VB = 74.67kN ( )
校核,整体 ∑Y=41.33+74.67+20-16× 6 - 40=0
A
B C
作业：
P65:
2-12(c)
力线平移定理（ 参见教材 43页叙述，对比理解 ）：当把作用在物体上的力 P平行移至物体上任一点时，必须同时附加一个力偶。此附加力偶矩等于力 P对新作用点的力矩。
P
A
B = P
A
B
P'
P''
= B
P'
M=Ph
2.3.4 平面一般力系向一点的简化逆步骤可证,
力偶矩为 M的力偶，与作用在同一平面内点 B的力 P' 可以合成为一个作用在点 A 的力 P。
力线平移 定理 是平面任意力系简化的依据，
并可用于分析和解决工程实际中的力学问题。
（ 1）、丝锥攻丝：
=
受力均匀
=丝锥易折
P
P
M=P·h
2P2P M=P·h
（ 2）、立柱（厂房）受力：
P — 压缩变形
M— 弯曲变形
M=P·eP P
二、平面一般力系向一点简化平面一般力系 — 力系中的各力都在同一平面内，且 任意 分布。
（作用在同一平面内的各力，既不相交于一点，也不相互平行）
工程中的多数问题都可以简化为平面一般力系来解决。
=
x
y
Ro
Mo
α
简化中心
O
P1
P2
P3
A1
A2
A3 O
P1'
P2'
P3'A1
A2
A3
M1
M2
M3
O
R0 —— 平面一般力系的主矢。
平面一般力系的主矢等于力系中各力的矢量和。
数解法：
)73(321
321
ayPPPPR
xPPPPR
nyyyyoy
nxxxxox
)73()()( 2220200 byxRRR yx
主矢大小,
)73()()( 2220200 byxRRR yx
主矢方向,
)73( c
x
y
tg
Mo—— 平面一般力系相对于简化中心 O的主矩。
平面一般力系对简化中心 O的主矩等于力系中各力对简化中心 O之矩的 代数和 。
)83()(
)()()(
0
02010210
PM
PMPMPMMMMM nn
注意,
（ 1）、主矢量 Ro的大小和方向与简化中心的位置无关。
在一般情况下，不是力系的合力。即：该力系的合力作用线一般情况下不通过 O点。
（ 2）、主矩 Mo的数值和方向与简化中心的位置有关。
二、简化结果的讨论
1、主矢不为零，主矩为零（ Ro≠0,Mo =0）
由于附加力偶系的合力偶为零，原力系只与一个力等效。
在这种特殊情况下，力系简化为一合力。
此合力的矢量为力系的主矢 Ro,合力作用线通过简化中心 O点。
2,主矢为零，主矩不为零（ Ro=0,Mo ≠0）
原力系向 O点简化后得一力偶 Mo,则原力系无合力 R,只有合力偶 Mo 。
当力系简化为一力偶时，主矩与简化中心无关。当力系向平面内任一点简化时，所得主矩是相同的。
3、主矢、主矩均不为零（ Ro≠0,Mo ≠0）
由力的平移法则可知，此时力系与不通过简化中心的一个力等效。平面一般力系可简化为一个合力，合力距离简化中心为 h,合力的大小和方向与主矢相同。
其中：
0
0 RMh?
4、主矢与主矩均为零（ Ro= 0,Mo = 0）
原力系为平衡力系。
总之，对不同的平面一般力系进行简化，
其最终结果只有三种可能：
1、合力矢； 2、合力偶； 3、平衡。
2.3.6 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件，平衡方程
平面一般（任意）力系平衡的必要与充分条件是：主矢量 Ro= 0与主矩 Mo = 0 。
1、平衡方程：
0
0
0
AM
y
x
）（ 9-3
一矩式平衡方程平衡方程的基本形式
表明：平面一般（任意）力系平衡的充分与必要条件是，力系中的各力在直角坐标系
xOy两坐标轴上的投影的代数和为零，且力系中各力对坐标平面内任意点（ A点）力矩的代数和为零。
注：
（ 1）、投影轴和矩心是可以任意选取的。一般说，
矩心选在某些未知力的交点；投影轴则尽可能选那些与该力系中多数力的作用线相平行或垂直。
（ 2）、方程（ 2-27）中有三个独立方程，可求解三个未知量。
0
0
0
B
A
M
M
x
1 0 )-(3
∑x= 0也可写为 ∑y= 0
A B连线不可垂直 Ox轴。
O x
A
B
R
B'
R'
二矩式平衡方程,
三力矩形式平衡方程（三矩式）
A,B,C三点不在一直线上。
0
)113(0
0
C
B
A
M
M
M
A
B
C
R
C
注：平衡方程的三种表达形式，每一组由三个独立的方程组成。求解实际问题时，
可根据具体条件，选取适用的某一种形式。
例：试求图示悬臂梁的支座反力。 (笔记 )
∑X=0 - HB=0
HB=0
∑Y=0
VB - P –ql=0
VB=P+ql=2ql(↑)
∑mB=0
- MB+P·l+q·l·l/2=0
MB=3ql2/2( )
P=ql
l
q
P=ql q
VB
HB
MB
例：求图示简支梁的支座反力，不计自重。
解,(1)画受力图
(2)用两矩式平衡方程
2m 2m 2m
P=20kN
60o
q=10kN/m
P=20kN
60o q=10kN/mHA
VA VB
∑X=0 HA - P cos600 =0
HA=10kN ( )
∑MB=0
-VA·6 +P sin600·4 +q·2·1 =0
VA=14.9kN ( )
∑MA=0
VB·6 -P sin600·2 - q·2·5=0 VB =22.4 kN ( )
例,求三铰刚架支座反力和顶铰 C相互约束力。 (笔记 )
解,
(1) 受力分析，画受力图
分析,
①,支座 A,B,各有两个反力,整体有四个未知反力。
q= 200N/m
HA
VA VB
HB
q= 200N/m? ②、可在铰 C处把体系分为两部分 AC,BC,无论整体和部分均应满足平衡条件。故可有 3× 2=6个独立的平衡方程。
（ 2）列平衡方程，求解
整体 ∑MB=0
- VA× 8+200× 8× 4=0
VA=800 N ( )
VA
HA
XC
YC
VB
HB
X'C
Y'C
∑MA=0
VB× 8 - 200× 8× 4=0
VB=800 N ( )
∑X=0 HA=HB
取 AC部分
∑MC=0
HA× 5 - VA× 4+200× 4× 2=0
HA=320 N ( ) HB=HA=320 N ( )
VA
HA
VB
HB
q= 200N/m
∑X=0 HA - XC=0
XC=HA = 320 N ( )
VA
HA
XC
YC
∑Y=0
VA+YC - 200× 4=0
YC=0
（ 3）、校核可用未使用过的平衡方程，如：
整体 ∑Y=0 ； 或用 BC隔离体验证是否平衡。
补充,平面平行力系的合成与平衡
平面平行力系 —— 当平面内各力的作用线互相平行时，称为平面平行力系。为平面一般力系的特例。
1、平面平行力系的合成
合力：
P1
P2P
3
y
O
h1
h2
h3
RH
n
i
in PPPPPR
1
21?
…
合力：
P1
P2P
3
y
O
h1
h2
h3
RH
n
i
in PPPPPR
1
21?
合力作用线位置：
任选 一个 参考点 O,由合力矩定理
)123(
02211
2211
P
M
R
hPhPhP
H
HRhPhPhP
nn
nn
…
…
2、平面平行力系的平衡条件（平衡方程）
)133(0
0
B
A
M
M
)143(0
0
AM
y
例：求图示两跨梁的支座反力和铰 C相互约束力。 (笔记 )
解：属平行力系，整体三个支座反力。如图。
q=16kN/m P=40kN
VA VB VD
P=40kN
VDYC
q=16kN/m
VA VB
Y’C
在铰 C处将体系分为两部分,ABC和 CD。 画受力图。
先计算 CD 部分，因为 CD部分只有两个未知力。
CD,∑MC=0 VD× 4 - 40× 2=0 VD=20kN ( )
P=40kN
VDYC
q=16kN/m
VA VB
Y'C
∑MD=0 - YC× 4+40× 2=0 YC=20kN ( )
ABC,∑MB=0 - VA× 6 - YC× 2+16× 6× 3=0
VA=41.33kN ( )
∑MA=0 VB× 6 - YC× 8 -16× 6× 3=0
VB = 74.67kN ( )
校核,整体 ∑Y=41.33+74.67+20-16× 6 - 40=0
A
B C
作业：
P65:
2-12(c)
