第五章 梁和结构的位移
1 梁 的 位移 — 挠度、转角的概念
2 梁 的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点 )
3 叠加法计算梁 的 挠度和转角
4 梁 的刚度校核、提高梁的刚度措施
5 结构的位移 (重点 )
6 线弹性体的互等定理
1 梁 的 位移 — 挠度、转角的概念弯曲变形,梁在垂直于其轴线的荷载作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形 。
A B x
y
挠度
θ y
C
C'
截面 x 的位移 — 挠度，转角挠曲线转角 θ
x
梁变形前后横截面形心位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。在小变形和忽略剪力影响（ l >> h）的条件下，
略去 x 方向的线位移,y 方向的线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度,用 y 表示,单位 m,mm，向下为正；角位移是横截面变形前后的夹角，称为 转角,
用 θ 表示,单位弧度，顺时针为正。而变形后的轴线是一条 光滑连续平坦 的曲线称为挠曲线 (弹性曲线 )。
注意,挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满足数学上的光滑性、连续性。即：
① 曲线没有间断；
② 曲线没有尖点。
挠曲线在 x— y坐标系中的数学表达式即 挠曲线方程,可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程：
y=f(x) 挠曲线方程
tanθ=y'=f '(x)
在 小变形条件下,
tan θ? θ，因此，
θ(x) =f '(x) 转角方程
A B x
y
挠度 y
θ y
C
C'
x 截面的位移 挠度,转角
y=f(x)
挠曲线方程转角方程 θ(x)= f '(x)
θ
x
梁挠度、转角的求解方法：
① 求解挠曲线 —— 积分法（基本方法）
② 叠加法
③ 图乘法
2 梁 的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点 )
（ 1）梁 的挠曲线近似微分方程
（ 2） 积分法求梁的挠度和转角
（ 1）梁 的挠曲线近似微分方程梁在荷载作用下轴线形状的变化称为变形，一般用 各段梁 曲率的变化表示。
该式称为挠曲线 近似 微分方程 。 显然,挠曲线 近似 微分方程仅适用于小挠度,线弹性范围内的平面弯曲问题 。
若为等截面直梁,EI为常量，上式为：
(5-3)
EI
xM
y
)(
)( xMyEI
（ 2） 积分法求梁的挠度和转角
(熟练掌握 )
将式 （ 5-3） 分别对 x积分一次和二次：
(5-3)
)( xMyEI
CxxMyEI d)(
DCxxxxME I y dd)(
得到梁的转角方程和挠曲线方程：
CxxM
EI
xy d)(
1
)(
DCxxxxM
EI
xy dd)(
1
)(
如果梁的弯矩方程可用一个函数 M(x)来描述：
A B
q
l
-
M
ql 2 / 2
CxxMyEI d)(
DCxxxxME I y dd)(
如果梁的弯矩方程是分段描述的，则挠曲线近似微分方程也应分段建立。如下例：
M +
Fab/ l
21
F
A B
lC
)(11 xMyEI )(22 xMyEI
对各段弯矩方程 M1（ x）,M2（ x）分别建立挠曲线近似微分方程并积分：
其中,C1,D1,C2,D2为积分常数,由 边界条件 和 连续条件 确定 。
1 1 1()E I w M x d x C
1 1 1 1()E I w M x d x d x C x D
2 2 2()EI w M x dx C
2 2 2 2()E I w M x d x d x C x D
1y?
1yEI?
2yEI?
1EIy
2EIy
说明：
1,对于荷载无突变的情形,梁上的弯矩可以用一个函数来描述,则积分式中将仅有两个积分常数,由梁的 边界条件 （ 即支座对梁的挠度和转角提供的限制 ） 确定 。
2,对于载荷有突变 （ 集中力,集中力偶,
分布载荷间断等 ） 的情况,弯矩方程需要分段描述 。 必须分段积分,每增加一段就多出两个积分常数 。 由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线,在分段点处,相邻两段的挠度和转角必须对应相等,于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件,这就是 连续条件 。
补充：常见的梁挠曲线边界条件确定
(重点，难点，要求熟练掌握 )
1、只有正确的写出边界条件，代入积分后转角方程和挠曲线方程，才能求出积分常数 C1,D1,,C2,D2,……
2、边界条件、连续条件的个数与积分常数
C1,D1,C2,D2,…… 个数相等。
x=0,y(0)=0,y '(0) =0
x
y
o
固定端有两个边界条件顺时为正熟记：
x=0,y(0)=0
x
y
o
固定铰一个边界条件
x=0,y(0)=0
x
y
o
活动铰一个边界条件
x= a,y1(a)=y2(a)
x= a,y1 '(a)=y2 '(a)
曲线的光滑性、连续性的保证。
x
y
o
a
M(x)分段处两个连续条件
C
21
M1(x) M2(x)
F
解题的基本过程：
1，选坐标系，一般原点取在梁的两端。
2，一般而言先求梁或结构的反力（ 悬臂梁 可略）。
3，分析：梁的弯矩方程是一个 M(x),还是分段：
M1(x),M2(x)…,求梁的弯矩方程。
4，写出公式，再积分，得 积分方程 。
5，分析并写出 边界条件、连续条件。
6，将 边界条件，连续条件 代入积分方程，
求积分 积分常数,得 挠曲线方程、转角方程 。
7，根据需要求 ymax,θmax等 。
例 5－ 2
已知梁如图。试求转角方程和挠曲线方程、
ymax,θmax。
A
B
l
Fa b
D
解：
解得,FA=Fb /l,FB=Fa /l
A
B
l
Fa b
D
x
y
21
M1(x)
M2(x)
FA FB
M1(x)= Fax =Fbx /l (0?x?a)
M2(x)= FAx － F(x－ a)=Fbx /l － F(x－ a)
(a?x?b)
由,EI y'' =－ M(x)
EI y1'' =－ Fbx /l
EI y2'' = － Fbx /l +F(x－ a)
EI y1'' =－ Fbx /l
(1)
(2)
2
11
3
1 1 1
F b x
EI w = - +C
2
Fb
EI w = - +C
6
l
x
xD
l
y
y
EI w2'' = － Fbx /l+ F(x－ a)
(3)
(4)
22
22
33
2 2 2
F b x F (x - a )
E I w = - + + C
22
F b F (x - a )
E I w = - + + C
66
l
x
xD
l
y
y
y
边界条件,x=0,y1(0)=0 (5)
x=l,y2( l )=0,(6)
连续条件,y1(a) = y2(a) (7)
y' 1(a) = y' 2(a) (8)
边界条件,x=0,y1(0)=0 (5)
x=l,y2(l)=0 (6)
连续条件,y1(a) = y2(a) (7)
y' 1(a) = y' 2(a) (8)
22
22
33
2 2 2
F b x F ( x- a )
EI w = - + +C ( 3 )
22
F b F ( x- a )
EI w = - + +C ( 4)
66
l
x
xD
l
4个方程确定 4
个待定参数：
C1,D1,C2,D2 。
2
11
3
1 1 1
F b x
E I w = - + C (1 )
2
Fb
E I w = - + C ( 2 )
6
l
x
xD
l
y
y
y
y
观察（ 1） — （ 8）式
（ 1）（ 3 ）代入 （ 8）解得,C1=C2。
（ 2）（ 4 ）代入 （ 7）解得,D1=D2。
再由（ 5）代入（ 2）解得,D1=0,D2=0
（ 6）代入（ 4）解得：
33
2
22
21
F b F ( l - a )
0 = - + +C
66
()
CC
6
l
l
l
Fb l b
l
2 2 2
1
3 2 2
1
F b x ( )
E I w = - +
26
F b ( )
E I w = - +
66
F b l b
ll
x F b l b
x
ll
2 2 2 2
2
3 3 2 2
2
F b x F ( x- a ) ( )
EI w = - + +
2 2 6
F b F ( x- a ) ( )
EI w = - + +
6 6 6
Fb l b
ll
x Fb l b
x
ll
y
y
y
y
2 2 2 2
22
3 3 2 2
2
1 F b x F ( x- a ) ( )
( ) =w = ( - + + )
EI 2 2 6
1 F b F ( x- a ) ( )
w ( ) = ( - + + )
EI 6 6 6
Fb l b
x
ll
x Fb l b
xx
ll
得转角方程和挠曲线方程,
2 2 2
11
3 2 2
1
1 F b x ( )
( ) =w = ( - + )
EI 2 6
1 F b ( )
( ) = ( - + )
EI 6 6
Fb l b
x
ll
x Fb l b
w x x
ll
y
y
y
y
因为 a > b,所以 θA < θB =θmax
特别 地,当 a= b,θA = θB
1
()
w ( 0 ) =
6 E I
A
F a b l b
l
2
()
w ( ) = -
6 E I
B
F a b l a
l
l
y
y
2 2 2
1
1 F b x ( )
w = ( - + ) 0
EI 2 6
Fb l b
ll
22
1
( 2 )
()
33
l b a a b
x a a b
22
m a x 1 1
( ) ( )
93
Fb
w w x l b
lE I
得 最 大 挠 度,
y
y y
1 梁 的 位移 — 挠度、转角的概念
2 梁 的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点 )
3 叠加法计算梁 的 挠度和转角
4 梁 的刚度校核、提高梁的刚度措施
5 结构的位移 (重点 )
6 线弹性体的互等定理
1 梁 的 位移 — 挠度、转角的概念弯曲变形,梁在垂直于其轴线的荷载作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形 。
A B x
y
挠度
θ y
C
C'
截面 x 的位移 — 挠度，转角挠曲线转角 θ
x
梁变形前后横截面形心位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。在小变形和忽略剪力影响（ l >> h）的条件下，
略去 x 方向的线位移,y 方向的线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度,用 y 表示,单位 m,mm，向下为正；角位移是横截面变形前后的夹角，称为 转角,
用 θ 表示,单位弧度，顺时针为正。而变形后的轴线是一条 光滑连续平坦 的曲线称为挠曲线 (弹性曲线 )。
注意,挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满足数学上的光滑性、连续性。即：
① 曲线没有间断；
② 曲线没有尖点。
挠曲线在 x— y坐标系中的数学表达式即 挠曲线方程,可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程：
y=f(x) 挠曲线方程
tanθ=y'=f '(x)
在 小变形条件下,
tan θ? θ，因此，
θ(x) =f '(x) 转角方程
A B x
y
挠度 y
θ y
C
C'
x 截面的位移 挠度,转角
y=f(x)
挠曲线方程转角方程 θ(x)= f '(x)
θ
x
梁挠度、转角的求解方法：
① 求解挠曲线 —— 积分法（基本方法）
② 叠加法
③ 图乘法
2 梁 的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点 )
（ 1）梁 的挠曲线近似微分方程
（ 2） 积分法求梁的挠度和转角
（ 1）梁 的挠曲线近似微分方程梁在荷载作用下轴线形状的变化称为变形，一般用 各段梁 曲率的变化表示。
该式称为挠曲线 近似 微分方程 。 显然,挠曲线 近似 微分方程仅适用于小挠度,线弹性范围内的平面弯曲问题 。
若为等截面直梁,EI为常量，上式为：
(5-3)
EI
xM
y
)(
)( xMyEI
（ 2） 积分法求梁的挠度和转角
(熟练掌握 )
将式 （ 5-3） 分别对 x积分一次和二次：
(5-3)
)( xMyEI
CxxMyEI d)(
DCxxxxME I y dd)(
得到梁的转角方程和挠曲线方程：
CxxM
EI
xy d)(
1
)(
DCxxxxM
EI
xy dd)(
1
)(
如果梁的弯矩方程可用一个函数 M(x)来描述：
A B
q
l
-
M
ql 2 / 2
CxxMyEI d)(
DCxxxxME I y dd)(
如果梁的弯矩方程是分段描述的，则挠曲线近似微分方程也应分段建立。如下例：
M +
Fab/ l
21
F
A B
lC
)(11 xMyEI )(22 xMyEI
对各段弯矩方程 M1（ x）,M2（ x）分别建立挠曲线近似微分方程并积分：
其中,C1,D1,C2,D2为积分常数,由 边界条件 和 连续条件 确定 。
1 1 1()E I w M x d x C
1 1 1 1()E I w M x d x d x C x D
2 2 2()EI w M x dx C
2 2 2 2()E I w M x d x d x C x D
1y?
1yEI?
2yEI?
1EIy
2EIy
说明：
1,对于荷载无突变的情形,梁上的弯矩可以用一个函数来描述,则积分式中将仅有两个积分常数,由梁的 边界条件 （ 即支座对梁的挠度和转角提供的限制 ） 确定 。
2,对于载荷有突变 （ 集中力,集中力偶,
分布载荷间断等 ） 的情况,弯矩方程需要分段描述 。 必须分段积分,每增加一段就多出两个积分常数 。 由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线,在分段点处,相邻两段的挠度和转角必须对应相等,于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件,这就是 连续条件 。
补充：常见的梁挠曲线边界条件确定
(重点，难点，要求熟练掌握 )
1、只有正确的写出边界条件，代入积分后转角方程和挠曲线方程，才能求出积分常数 C1,D1,,C2,D2,……
2、边界条件、连续条件的个数与积分常数
C1,D1,C2,D2,…… 个数相等。
x=0,y(0)=0,y '(0) =0
x
y
o
固定端有两个边界条件顺时为正熟记：
x=0,y(0)=0
x
y
o
固定铰一个边界条件
x=0,y(0)=0
x
y
o
活动铰一个边界条件
x= a,y1(a)=y2(a)
x= a,y1 '(a)=y2 '(a)
曲线的光滑性、连续性的保证。
x
y
o
a
M(x)分段处两个连续条件
C
21
M1(x) M2(x)
F
解题的基本过程：
1，选坐标系，一般原点取在梁的两端。
2，一般而言先求梁或结构的反力（ 悬臂梁 可略）。
3，分析：梁的弯矩方程是一个 M(x),还是分段：
M1(x),M2(x)…,求梁的弯矩方程。
4，写出公式，再积分，得 积分方程 。
5，分析并写出 边界条件、连续条件。
6，将 边界条件，连续条件 代入积分方程，
求积分 积分常数,得 挠曲线方程、转角方程 。
7，根据需要求 ymax,θmax等 。
例 5－ 2
已知梁如图。试求转角方程和挠曲线方程、
ymax,θmax。
A
B
l
Fa b
D
解：
解得,FA=Fb /l,FB=Fa /l
A
B
l
Fa b
D
x
y
21
M1(x)
M2(x)
FA FB
M1(x)= Fax =Fbx /l (0?x?a)
M2(x)= FAx － F(x－ a)=Fbx /l － F(x－ a)
(a?x?b)
由,EI y'' =－ M(x)
EI y1'' =－ Fbx /l
EI y2'' = － Fbx /l +F(x－ a)
EI y1'' =－ Fbx /l
(1)
(2)
2
11
3
1 1 1
F b x
EI w = - +C
2
Fb
EI w = - +C
6
l
x
xD
l
y
y
EI w2'' = － Fbx /l+ F(x－ a)
(3)
(4)
22
22
33
2 2 2
F b x F (x - a )
E I w = - + + C
22
F b F (x - a )
E I w = - + + C
66
l
x
xD
l
y
y
y
边界条件,x=0,y1(0)=0 (5)
x=l,y2( l )=0,(6)
连续条件,y1(a) = y2(a) (7)
y' 1(a) = y' 2(a) (8)
边界条件,x=0,y1(0)=0 (5)
x=l,y2(l)=0 (6)
连续条件,y1(a) = y2(a) (7)
y' 1(a) = y' 2(a) (8)
22
22
33
2 2 2
F b x F ( x- a )
EI w = - + +C ( 3 )
22
F b F ( x- a )
EI w = - + +C ( 4)
66
l
x
xD
l
4个方程确定 4
个待定参数：
C1,D1,C2,D2 。
2
11
3
1 1 1
F b x
E I w = - + C (1 )
2
Fb
E I w = - + C ( 2 )
6
l
x
xD
l
y
y
y
y
观察（ 1） — （ 8）式
（ 1）（ 3 ）代入 （ 8）解得,C1=C2。
（ 2）（ 4 ）代入 （ 7）解得,D1=D2。
再由（ 5）代入（ 2）解得,D1=0,D2=0
（ 6）代入（ 4）解得：
33
2
22
21
F b F ( l - a )
0 = - + +C
66
()
CC
6
l
l
l
Fb l b
l
2 2 2
1
3 2 2
1
F b x ( )
E I w = - +
26
F b ( )
E I w = - +
66
F b l b
ll
x F b l b
x
ll
2 2 2 2
2
3 3 2 2
2
F b x F ( x- a ) ( )
EI w = - + +
2 2 6
F b F ( x- a ) ( )
EI w = - + +
6 6 6
Fb l b
ll
x Fb l b
x
ll
y
y
y
y
2 2 2 2
22
3 3 2 2
2
1 F b x F ( x- a ) ( )
( ) =w = ( - + + )
EI 2 2 6
1 F b F ( x- a ) ( )
w ( ) = ( - + + )
EI 6 6 6
Fb l b
x
ll
x Fb l b
xx
ll
得转角方程和挠曲线方程,
2 2 2
11
3 2 2
1
1 F b x ( )
( ) =w = ( - + )
EI 2 6
1 F b ( )
( ) = ( - + )
EI 6 6
Fb l b
x
ll
x Fb l b
w x x
ll
y
y
y
y
因为 a > b,所以 θA < θB =θmax
特别 地,当 a= b,θA = θB
1
()
w ( 0 ) =
6 E I
A
F a b l b
l
2
()
w ( ) = -
6 E I
B
F a b l a
l
l
y
y
2 2 2
1
1 F b x ( )
w = ( - + ) 0
EI 2 6
Fb l b
ll
22
1
( 2 )
()
33
l b a a b
x a a b
22
m a x 1 1
( ) ( )
93
Fb
w w x l b
lE I
得 最 大 挠 度,
y
y y
