5.4 静定结构位移计算在变形体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的应变能满足变形协调条件（包括位移与应变的协调和位移与约束的几何相容），则外力虚功总和等于虚应变能。即：
变形体的虚功原理
)105( dsQN d uMdT
变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是：
外力所作虚功总和等于变形虚功。
变形体虚功可写为：
8)-(5 WT?
公式（ 5-8）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质等）因此适用于任意情况。
①、变形类型：弯曲、轴向拉压、剪切变形。
②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。
④、材料性质：弹性、非弹性。
M
P1
P2 qk
k M
N
Qduγds
dφ
QP
NP
MP
⊿ kP
实际状态（位移状态） 虚拟状态（力状态）
P =1
K
K
实际状态（位移状态）,求 K 截面 k-k 方向上的线位移 ⊿ P 。
虚拟状态（力状态）,K 截面 k-k 方向上加单位荷载 P =1 。
单位荷载法一、计算公式
lll
kP dsQduNdMP
dsEIMdsd P 1
dsEANdsdu P
dsGAQds P
（ b,c,d）
由虚功原理：
（ b,c,d） → （ a）
ds GA Q Q ds EA N N ds EI M MP P P kP
（ 5-13）
（ a）
ds GA Q Q ds EA N N ds EI M MP P P kP
EI,EA和 GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。
μ为截面的剪应力分布不均匀系数。只与截面的形状有关,
矩形截面,μ=1.2
圆形截面,μ=32/27
工字形截面（如果只算腹板的面积） μ=1
注,
1、公式（ 5-13）为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。
2、正负号,⊿ kP 若为正值，则所求位移与虚拟状态中单位力 P =1
的方向相同，反之为负。
3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
其中外力功恰好等于所求位移。
4,单位荷载法 不仅可以用来计算结构的线位移，也可以用来计算结构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的广义单位荷载即可 (P207:图 5-13)。
二、各类结构的位移计算公式
（ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
)145( -dsEIMM PkP
（ 2）、拱：
①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时：
1 5 )-(5 dsEANNdsEIMM PPkP
②通常情况：
dsEIMM PkP
（ 3）、桁架：各杆中只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。
1 6 )-(5 EA lNNdsEANN PPkP
（ 4）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。
1 7 )-(5 EA lNNdsEIMM PPkP
例 1
简支梁的位移计算。
求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 和截面 B的转角 φB。
解,求 C点的竖向位移。
虚拟状态如图：
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
(因对称，只计算一半 )
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=1
1/2
BA
C
1/2x
)(3 8 45)(2212
4
22/
0
EIqldxxlxqxEIlCVkP
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=M=1
1/l
BA
C
1/lx
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)( 24)(2)(1
3
2
0 逆时针EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
BkP
5.4.4 图乘法一、图乘法的适用条件计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P
如果所研究的问题满足以下条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：
（ 1）、杆轴为直线；
（ 2）、杆的抗弯刚度 EI = 常数；
（ 3）,M 和 MP中至少有一个是直线图形。
图乘法是 维热沙金（ Vereshagin） 于 1925年提出的，
他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、图乘公式
MP图
M 图
A B
A B
α
x
y
x
xC
y yC
ω
O
dω
C
dx
式中：
ω— MP图的面积。
yC — MP图形心 C处所对应的 M 图的纵标。
)185( EI ydxEI MM CPiP?
三、应用图乘公式计算位移时应注意的问题
1、应用条件：
杆段必须是分段等截面； EI 不能是 x的函数；两图形中必有一个是直线图形,yC 取自直线图形中。
2、正负号规定：
ω与 yC同侧，乘积 ω yC 取正； ω与 yC不同侧，则乘积 ω yC 取负。
3、几种常用图形的面积和形心位置：
见教材 P216,图 5-20。
4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC可取自任何一个图形。
5、当 yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行，在折点处分段图乘，然后叠加。
当杆件为阶段变化杆件时（各段 EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。
ω1
y1
ω 2
y2
ω 3
y3
MP
M
MP
EI1 EI2
ω1 ω2
y1M
EI1 EI2
y2
6、把复杂图形分为简单图形
（使其更易于计算面积和判断形心位置）
取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。
（ 1）、如两图形均为梯形,不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。
a
A B
C
D
b MP
C1
C2
l
c
d MyC1 yC2
A
C
D
MP’C1a
A B
b MP’’C
2
⊿ = l
6EI (2ac+2bd+ab+bc)
dcyal 3132 2 11
dcybl 3231 2 22
2211 yyy C
(2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。
c
d
M
l
yC1
yC2
A B
C
D
a
b
MP
C1
C2
C1a MP’
bC2 MP’’
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
dcyal C 3132 2 11
dcybl C 3231 2 22
2211 CCC yyy
三、例题
1、求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 。
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV
解：
P=1
1/2
BA
1/2
M
8
2ql
MP
)(
3 8 4
5
2)
48
5
()
283
2
(
1
4
2
EI
ql
llql
EICVkP
l/4
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
1 l/2ω
5P l/6
例,求悬臂梁中点 C的挠度 ⊿ CV，
EI=常数。
解,
（ 1）、设虚拟力状态如图，作
M和 MP。 由于均为直线图形，
故 ωP可任取。
M
MP,yC=5/6× Pl
⊿ CV= ω ·y C /EI
=(l2/8× 5/6× Pl)/EI
=5P l3/48EI (↓)
M,ω=1/2× l/2× l/2=l2/8
例,已知 EI 为常数，求刚架 C,D两点距离的改变 。CD?
解：作荷载弯矩图和单位力弯矩图。
)(
12
83
21
3
2
EI
qh l
hl
ql
EIEI
y c
CD
hyc?2
一、功的互等定理
§ 5.5 线弹性体的互等定理二、位移互等定理三、反力互等定理四、反力位移互等定理
变形体的虚功原理
)105( dsQN d uMdT
变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是：
外力所作虚功总和等于变形虚功。
变形体虚功可写为：
8)-(5 WT?
公式（ 5-8）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质等）因此适用于任意情况。
①、变形类型：弯曲、轴向拉压、剪切变形。
②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。
④、材料性质：弹性、非弹性。
M
P1
P2 qk
k M
N
Qduγds
dφ
QP
NP
MP
⊿ kP
实际状态（位移状态） 虚拟状态（力状态）
P =1
K
K
实际状态（位移状态）,求 K 截面 k-k 方向上的线位移 ⊿ P 。
虚拟状态（力状态）,K 截面 k-k 方向上加单位荷载 P =1 。
单位荷载法一、计算公式
lll
kP dsQduNdMP
dsEIMdsd P 1
dsEANdsdu P
dsGAQds P
（ b,c,d）
由虚功原理：
（ b,c,d） → （ a）
ds GA Q Q ds EA N N ds EI M MP P P kP
（ 5-13）
（ a）
ds GA Q Q ds EA N N ds EI M MP P P kP
EI,EA和 GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。
μ为截面的剪应力分布不均匀系数。只与截面的形状有关,
矩形截面,μ=1.2
圆形截面,μ=32/27
工字形截面（如果只算腹板的面积） μ=1
注,
1、公式（ 5-13）为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。
2、正负号,⊿ kP 若为正值，则所求位移与虚拟状态中单位力 P =1
的方向相同，反之为负。
3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。
其中外力功恰好等于所求位移。
4,单位荷载法 不仅可以用来计算结构的线位移，也可以用来计算结构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的广义单位荷载即可 (P207:图 5-13)。
二、各类结构的位移计算公式
（ 1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。
)145( -dsEIMM PkP
（ 2）、拱：
①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时：
1 5 )-(5 dsEANNdsEIMM PPkP
②通常情况：
dsEIMM PkP
（ 3）、桁架：各杆中只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。
1 6 )-(5 EA lNNdsEANN PPkP
（ 4）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。
1 7 )-(5 EA lNNdsEIMM PPkP
例 1
简支梁的位移计算。
求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 和截面 B的转角 φB。
解,求 C点的竖向位移。
虚拟状态如图：
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M=x/2
(因对称，只计算一半 )
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=1
1/2
BA
C
1/2x
)(3 8 45)(2212
4
22/
0
EIqldxxlxqxEIlCVkP
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV φB
P=M=1
1/l
BA
C
1/lx
实际状态 虚拟状态
MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l
)( 24)(2)(1
3
2
0 逆时针EI
qldxxlxq
l
x
EI
l
BkP
5.4.4 图乘法一、图乘法的适用条件计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
dsEIMM P
如果所研究的问题满足以下条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：
（ 1）、杆轴为直线；
（ 2）、杆的抗弯刚度 EI = 常数；
（ 3）,M 和 MP中至少有一个是直线图形。
图乘法是 维热沙金（ Vereshagin） 于 1925年提出的，
他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、图乘公式
MP图
M 图
A B
A B
α
x
y
x
xC
y yC
ω
O
dω
C
dx
式中：
ω— MP图的面积。
yC — MP图形心 C处所对应的 M 图的纵标。
)185( EI ydxEI MM CPiP?
三、应用图乘公式计算位移时应注意的问题
1、应用条件：
杆段必须是分段等截面； EI 不能是 x的函数；两图形中必有一个是直线图形,yC 取自直线图形中。
2、正负号规定：
ω与 yC同侧，乘积 ω yC 取正； ω与 yC不同侧，则乘积 ω yC 取负。
3、几种常用图形的面积和形心位置：
见教材 P216,图 5-20。
4、如果两个图形均为直线图形，则标距 yC可取自任何一个图形。
5、当 yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行，在折点处分段图乘，然后叠加。
当杆件为阶段变化杆件时（各段 EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。
ω1
y1
ω 2
y2
ω 3
y3
MP
M
MP
EI1 EI2
ω1 ω2
y1M
EI1 EI2
y2
6、把复杂图形分为简单图形
（使其更易于计算面积和判断形心位置）
取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。
（ 1）、如两图形均为梯形,不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。
a
A B
C
D
b MP
C1
C2
l
c
d MyC1 yC2
A
C
D
MP’C1a
A B
b MP’’C
2
⊿ = l
6EI (2ac+2bd+ab+bc)
dcyal 3132 2 11
dcybl 3231 2 22
2211 yyy C
(2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。
c
d
M
l
yC1
yC2
A B
C
D
a
b
MP
C1
C2
C1a MP’
bC2 MP’’
⊿ = l6EI (2ac+2bd-ab-bc)
dcyal C 3132 2 11
dcybl C 3231 2 22
2211 CCC yyy
三、例题
1、求图示简支梁中点 C的竖向位移 ⊿ CV 。
A
B
x
l/2
x
q
C
l/2ql/2 ql/2
⊿ CV
解：
P=1
1/2
BA
1/2
M
8
2ql
MP
)(
3 8 4
5
2)
48
5
()
283
2
(
1
4
2
EI
ql
llql
EICVkP
l/4
P
l/2 l/2⊿ CV
P
MP
Pl
1 l/2ω
5P l/6
例,求悬臂梁中点 C的挠度 ⊿ CV，
EI=常数。
解,
（ 1）、设虚拟力状态如图，作
M和 MP。 由于均为直线图形，
故 ωP可任取。
M
MP,yC=5/6× Pl
⊿ CV= ω ·y C /EI
=(l2/8× 5/6× Pl)/EI
=5P l3/48EI (↓)
M,ω=1/2× l/2× l/2=l2/8
例,已知 EI 为常数，求刚架 C,D两点距离的改变 。CD?
解：作荷载弯矩图和单位力弯矩图。
)(
12
83
21
3
2
EI
qh l
hl
ql
EIEI
y c
CD
hyc?2
一、功的互等定理
§ 5.5 线弹性体的互等定理二、位移互等定理三、反力互等定理四、反力位移互等定理
