§ 6.3 等截面单跨超静定梁的杆端内力
(形常数和载常数 )
（一）常用的单跨梁类型
EI,l
EI,l
EI,l
两端刚结（固定）梁一端刚结（固定）
一端铰支梁一端刚结（固定）
一端定向梁形常数,由单位杆端位移引起的杆端力（杆端弯矩，剪力）。
载常数,由荷载作用产生的杆端力（杆端弯矩，剪力）。
又称：固端弯矩、固端剪力
（二）杆端弯矩、杆端剪力、杆端位移的正负号规定
（ 1）杆端弯矩 MAB,MBA规定对杆端以顺时针方向为正（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。
（ 2）杆端剪力 FQAB,FQBA的正方向规定同前。
A B
C
A
B
C
F
Q A B
F
Q B C
M
AB
M
AB
M
BA
M
BA
M
BC M
BC
F
Q A B
F
Q B A
F
Q B A
F
Q B C
F
Q B C
F
Q B C
( a )
( b)
A
B
C
F
Q A B
F
Q B C
M
AB
M
AB
M
BA
M
BA
M
BC M
BC
F
Q A B
F
Q B A
F
Q B A
F
Q B C
F
Q B C
F
Q B C
( c )
图 6-22
（ 3）、杆端转角 φA,φB,杆端相对线位移 (弦转角 )
βAB = ⊿ AB /l 均以顺时针方向转动为正。 图 6-23和图 6-24中 a
正 b负。 Δ
l
A B
φ
A
φ
A
l
A B
φ
A
φ
A
l
A
B
ψ = Δ /l
( a )
( b) Δ
l
A
Bψ
( a )
( b)
图 6-23 图 6-24
（ 三）应用表 6-1,6-2时应注意的问题
1、形常数中常用到
l
EI
令
ilEI?
为杆件的线抗弯刚度，简称线刚度。
2、形常数中所有杆端位移均为正值，使用中应注意杆件的方向。
3、载常数在使用中应注意杆件方向。如果有多种荷载作用在杆件上，则可分几种情况分别查表，
然后叠加。
表 6-1,6-2（形常数和载常数）
力矩分配法力矩分配法是一种渐进法，由美国的克罗斯（ Cross） 于 1930年提出，其后各国学者又作了不少改进和推广。这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方便。
计算超静定刚架或连续梁，无论采用力法或位移法，
均需建立和求解线性代数方程组。当未知量较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可能完成。为此，提出了力矩分配法，以避免求解联立方程组。
力矩分配法的提出：
§ 6.5 力矩分配法计算连续梁和刚架力矩分配法是渐进法的一种，是位移法的变体。
以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩。其结果的精度随计算轮次的增加而提高,最终收敛于精确解。物理概念生动形象，计算方法单一重复。
一、等截面直杆的 抗弯劲度 （转动刚度）
1,抗弯劲度 S（ 等截面直杆的转动刚度，劲度系数） 。
抗弯劲度表示杆端（件）对转动的抵抗能力，即：使杆端产生 单位 转角所需力矩。
在此规定,
A端 —— 转动端，施力端，近端。
B端 —— 远端。
抗弯劲度 远端支承情况
S=3i (b) 铰支
S= i (c) 滑动
S=0 (d) 自由端
SAB=MAB=4EI/l=4i
SAB=MAB=3EI/l=3i
SAB=MAB=EI/l= i
SAB=MAB=0
S=4i (a) 固定端 (刚结点 )
EI,lEI,l
MBA=2EI/l=2i
MBA=0
MBA= - EI/l= - i
EI,l
EI,l
注意,
（ 1）,远端支承情况不同，转动刚度 S的数值不同。
(见公式 6-12,13,14,15)
（ 2）,转动刚度 S是施力端无线位移条件下的刚度。
（ A端只能转动，不能有线位移）
2,传递系数 C
A结点发生转角 θA（力偶 M加于结点 A）,使结点所联结的各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
远端铰支 MAB=SABθA = 3iABθA MBA= 0 CAB = 0
CAB = MBA /MAB 远端弯矩 /近端弯矩近端弯矩 远端（传递）弯矩 传递系数远端固定 MAB=SABθA = 4iABθA MBA= 2iAB θA CAB = 1/2
远端定向 MAB=SABθA = iABθA MBA= - i ABθA CAB = -1
3,分配系数 μ
以右图所示为例：
转角位移 Z1。
M12=S12 Z1= 4i12 Z1
M13=S13 Z1= i13 Z1 (a)
M14=S14 Z1= 3i14Z1
∑M= 0
M= S12Z1+S13Z1+ S14Z1
Z1=M / (S12+S13+ S14)
=M / ∑S1i
∑S1i —— 杆端转动刚度之和。
φ1 = Z1i14
i13
i121 2
3
4
M
M
M12
M13
M14
代入（ a） 式，可得：
M12=(S12/ ∑ S1i) · M
M13=(S13/ ∑ S1i) · M (b)
M14=(S14/ ∑ S1i) · M
M1i= μ1i · M
μ1i= S1i / ∑ S1i
μ1i —— 分配系数,1i杆 1端的（力矩）分配系数。
即：相当于把结点外力偶按各杆的杆端分配系数分配到各个杆端。
二、基本运算（单结点的力矩分配）
P
2
1
3φ1=Z1
M21
M12
M13
P
1
2 3
FM21 F12M
BM
013?FM
1
FM12
BM
FM13
1
2 3
12M? 31M
21M?
BM Z1
1、锁住结点转角把结构分为 12,13两段，各杆端产生固端弯矩。
∑M1=0 MB = MF12 + MF13
在此，不平衡力矩 MB =固端弯矩之和，也称约束力矩，
顺时针为正。
2、放松结点放松 1处的约束，梁的 1处转角即恢复到原状态。
相当于在结点原有约束力矩的基础上，加上反向的一个力偶荷载 (- MB )，也称为 旋转力矩 。使梁产生新的变形。各杆端产生相应的弯矩，即为分配弯矩。各杆远端产生传递弯矩。
3、两种情况叠加，得出最后的杆端弯矩。
例 6-8：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。
分配系数 0.571 0.429
固端弯矩 -150 150 -90 0
分配传递 -34.3 -25.7
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
-17.2 0
EI EI
200kN 20kN/m
6m3m 3m
A
B C
A B C
AB BA BC CB
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
167.2 115.7
300 90
M 图 ( kN·m )
EI EI
200kN 20kN/m
6m3m 3m
A
B C
补例：用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图解,
计算各杆固端弯矩。
计算 A点各杆端的分配系数。
列表进行力矩分配法计算。
作弯矩图。
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
C
AB D
结 点 B A D C
杆 端 BA AB AC AD DA CA
分配系数 0.3 0.4 0.3
固端弯矩分、传最后弯矩
0 60.0 0 - 48.0 72.0 0
- 3.6 -4.8 - 3.6 -1.8 -2.4 0
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
( 弯矩单位,kN ·m )
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4mC
AB D
最后弯矩杆 端 BA AB AC AD DA CA
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
AB D
C
56.4
60.0
51.6
70.2
120.0
4.8
2.4 M图 （ kN ·m ）
—— 间隔页 ——
§ 6.5.3、多结点力矩分配
A
B C DMAB MBA
MBC
MCD
MDCMCBφB φc
P
A
B C D
PRBP RCP
MFBC MFCB
A
B C D
RBP
M μBA M μBCMCAB MCCB
RCP ’
A
B C D
RCP”RCP’
M μCD MCDCM μCBMCBC
+
+
…
+
例,用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
解：
计算各杆杆端弯矩。
计算汇交于结点 B,C各杆端的分配系数。
列表计算各杆端弯矩。
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
分配系数 0.6 0.4 0.5 0.5
固端弯矩 0 90.0 - 250.0 250.0 -187.5 112.5
B 分、传
C 分、传
B 分、传
C 分、传
B 分、传
C 分、传
96.0 64.0 32.0
-47.2 -47.3 -23.6-23.6
14.2 9.4 4.7
-2.4 -2.3-1.2 -1.2
0.7 0.5 0.3
-0,1 -0.2
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
结 点 A B C D
杆 端 AB BA BC CB CD DC
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
200.9kN·m
120kN·m
237.3kN·m
375kN·m 87.7kN·m
300kN·m
作业,
6-12
6-13
(形常数和载常数 )
（一）常用的单跨梁类型
EI,l
EI,l
EI,l
两端刚结（固定）梁一端刚结（固定）
一端铰支梁一端刚结（固定）
一端定向梁形常数,由单位杆端位移引起的杆端力（杆端弯矩，剪力）。
载常数,由荷载作用产生的杆端力（杆端弯矩，剪力）。
又称：固端弯矩、固端剪力
（二）杆端弯矩、杆端剪力、杆端位移的正负号规定
（ 1）杆端弯矩 MAB,MBA规定对杆端以顺时针方向为正（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。
（ 2）杆端剪力 FQAB,FQBA的正方向规定同前。
A B
C
A
B
C
F
Q A B
F
Q B C
M
AB
M
AB
M
BA
M
BA
M
BC M
BC
F
Q A B
F
Q B A
F
Q B A
F
Q B C
F
Q B C
F
Q B C
( a )
( b)
A
B
C
F
Q A B
F
Q B C
M
AB
M
AB
M
BA
M
BA
M
BC M
BC
F
Q A B
F
Q B A
F
Q B A
F
Q B C
F
Q B C
F
Q B C
( c )
图 6-22
（ 3）、杆端转角 φA,φB,杆端相对线位移 (弦转角 )
βAB = ⊿ AB /l 均以顺时针方向转动为正。 图 6-23和图 6-24中 a
正 b负。 Δ
l
A B
φ
A
φ
A
l
A B
φ
A
φ
A
l
A
B
ψ = Δ /l
( a )
( b) Δ
l
A
Bψ
( a )
( b)
图 6-23 图 6-24
（ 三）应用表 6-1,6-2时应注意的问题
1、形常数中常用到
l
EI
令
ilEI?
为杆件的线抗弯刚度，简称线刚度。
2、形常数中所有杆端位移均为正值，使用中应注意杆件的方向。
3、载常数在使用中应注意杆件方向。如果有多种荷载作用在杆件上，则可分几种情况分别查表，
然后叠加。
表 6-1,6-2（形常数和载常数）
力矩分配法力矩分配法是一种渐进法，由美国的克罗斯（ Cross） 于 1930年提出，其后各国学者又作了不少改进和推广。这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方便。
计算超静定刚架或连续梁，无论采用力法或位移法，
均需建立和求解线性代数方程组。当未知量较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可能完成。为此，提出了力矩分配法，以避免求解联立方程组。
力矩分配法的提出：
§ 6.5 力矩分配法计算连续梁和刚架力矩分配法是渐进法的一种，是位移法的变体。
以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩。其结果的精度随计算轮次的增加而提高,最终收敛于精确解。物理概念生动形象，计算方法单一重复。
一、等截面直杆的 抗弯劲度 （转动刚度）
1,抗弯劲度 S（ 等截面直杆的转动刚度，劲度系数） 。
抗弯劲度表示杆端（件）对转动的抵抗能力，即：使杆端产生 单位 转角所需力矩。
在此规定,
A端 —— 转动端，施力端，近端。
B端 —— 远端。
抗弯劲度 远端支承情况
S=3i (b) 铰支
S= i (c) 滑动
S=0 (d) 自由端
SAB=MAB=4EI/l=4i
SAB=MAB=3EI/l=3i
SAB=MAB=EI/l= i
SAB=MAB=0
S=4i (a) 固定端 (刚结点 )
EI,lEI,l
MBA=2EI/l=2i
MBA=0
MBA= - EI/l= - i
EI,l
EI,l
注意,
（ 1）,远端支承情况不同，转动刚度 S的数值不同。
(见公式 6-12,13,14,15)
（ 2）,转动刚度 S是施力端无线位移条件下的刚度。
（ A端只能转动，不能有线位移）
2,传递系数 C
A结点发生转角 θA（力偶 M加于结点 A）,使结点所联结的各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
远端铰支 MAB=SABθA = 3iABθA MBA= 0 CAB = 0
CAB = MBA /MAB 远端弯矩 /近端弯矩近端弯矩 远端（传递）弯矩 传递系数远端固定 MAB=SABθA = 4iABθA MBA= 2iAB θA CAB = 1/2
远端定向 MAB=SABθA = iABθA MBA= - i ABθA CAB = -1
3,分配系数 μ
以右图所示为例：
转角位移 Z1。
M12=S12 Z1= 4i12 Z1
M13=S13 Z1= i13 Z1 (a)
M14=S14 Z1= 3i14Z1
∑M= 0
M= S12Z1+S13Z1+ S14Z1
Z1=M / (S12+S13+ S14)
=M / ∑S1i
∑S1i —— 杆端转动刚度之和。
φ1 = Z1i14
i13
i121 2
3
4
M
M
M12
M13
M14
代入（ a） 式，可得：
M12=(S12/ ∑ S1i) · M
M13=(S13/ ∑ S1i) · M (b)
M14=(S14/ ∑ S1i) · M
M1i= μ1i · M
μ1i= S1i / ∑ S1i
μ1i —— 分配系数,1i杆 1端的（力矩）分配系数。
即：相当于把结点外力偶按各杆的杆端分配系数分配到各个杆端。
二、基本运算（单结点的力矩分配）
P
2
1
3φ1=Z1
M21
M12
M13
P
1
2 3
FM21 F12M
BM
013?FM
1
FM12
BM
FM13
1
2 3
12M? 31M
21M?
BM Z1
1、锁住结点转角把结构分为 12,13两段，各杆端产生固端弯矩。
∑M1=0 MB = MF12 + MF13
在此，不平衡力矩 MB =固端弯矩之和，也称约束力矩，
顺时针为正。
2、放松结点放松 1处的约束，梁的 1处转角即恢复到原状态。
相当于在结点原有约束力矩的基础上，加上反向的一个力偶荷载 (- MB )，也称为 旋转力矩 。使梁产生新的变形。各杆端产生相应的弯矩，即为分配弯矩。各杆远端产生传递弯矩。
3、两种情况叠加，得出最后的杆端弯矩。
例 6-8：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。
分配系数 0.571 0.429
固端弯矩 -150 150 -90 0
分配传递 -34.3 -25.7
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
-17.2 0
EI EI
200kN 20kN/m
6m3m 3m
A
B C
A B C
AB BA BC CB
最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
167.2 115.7
300 90
M 图 ( kN·m )
EI EI
200kN 20kN/m
6m3m 3m
A
B C
补例：用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图解,
计算各杆固端弯矩。
计算 A点各杆端的分配系数。
列表进行力矩分配法计算。
作弯矩图。
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4m
C
AB D
结 点 B A D C
杆 端 BA AB AC AD DA CA
分配系数 0.3 0.4 0.3
固端弯矩分、传最后弯矩
0 60.0 0 - 48.0 72.0 0
- 3.6 -4.8 - 3.6 -1.8 -2.4 0
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
( 弯矩单位,kN ·m )
100 kN30kN/m
iAD=1.5iAB=2
iAC=2
4m 3m 2m
4mC
AB D
最后弯矩杆 端 BA AB AC AD DA CA
0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4
AB D
C
56.4
60.0
51.6
70.2
120.0
4.8
2.4 M图 （ kN ·m ）
—— 间隔页 ——
§ 6.5.3、多结点力矩分配
A
B C DMAB MBA
MBC
MCD
MDCMCBφB φc
P
A
B C D
PRBP RCP
MFBC MFCB
A
B C D
RBP
M μBA M μBCMCAB MCCB
RCP ’
A
B C D
RCP”RCP’
M μCD MCDCM μCBMCBC
+
+
…
+
例,用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
解：
计算各杆杆端弯矩。
计算汇交于结点 B,C各杆端的分配系数。
列表计算各杆端弯矩。
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
分配系数 0.6 0.4 0.5 0.5
固端弯矩 0 90.0 - 250.0 250.0 -187.5 112.5
B 分、传
C 分、传
B 分、传
C 分、传
B 分、传
C 分、传
96.0 64.0 32.0
-47.2 -47.3 -23.6-23.6
14.2 9.4 4.7
-2.4 -2.3-1.2 -1.2
0.7 0.5 0.3
-0,1 -0.2
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
结 点 A B C D
杆 端 AB BA BC CB CD DC
最后弯矩 0 200.9 -200.9 237.3 -237.3 87.7
A B C
D
80kN 160kN30kN/m
3m 3m 10m 3m 5m
i=2 i=1 i=1
200.9kN·m
120kN·m
237.3kN·m
375kN·m 87.7kN·m
300kN·m
作业,
6-12
6-13
