5.2.3 叠加法计算梁 的 挠度和转角在材料服从 胡克定律 和 小变形 的条件下，
由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与载荷均成线性关系。
因此，当梁承受复杂荷载时，可将其分解成几种简单荷载，利用梁在简单荷载作用下的位移计算结果（教材 P196— 197表 5－ 1
列出了部分结果 )进行叠加得到梁在复杂荷载作用下的挠度和转角，这就是 叠加法 。
补例,已知简支梁如图。求 yC,θA 。
A BC
l
qM
e
解,A B
Cl
qMe
A BC
q
A BC
Me ＋
=
A BC
Me
q
A BC
＋
3
4
24
5
384
A
c
ql
EI
ql
w
EI
2
3
16
e
A
e
c
Ml
EI
Ml
w
EI
cy
cy
3
24
24 3
5
384 16
e
A
e
c
Mlql
EI EI
Mlql
w
EI EI
cy
5.3 梁 的刚度校核梁的设计中,除了需要满足强度条件外,
在很多情况下,还要将其弹性变形限制在一定范围内,即满足 刚度条件,
或
－ 结构的最大线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用线位移；
－结构的最大相对线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用相对线位移 。
ff?m a x?
l
f
l
f m a x
l
fmax
lf
maxf
f
刚度条件应用主要有两类，每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）。
直梁一类 (重点 ) — 单个梁变截面梁 (难点 )
另一类 —— 梁系（或称结构 )。
每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸 (合理性 )
3）确定（ 最大 ）允许外载荷土木工程强度、刚度校核的应用,
σmax? [ σ ]
τ max? [ τ ]
fmax / l? [f / l ]
1）强度，刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F ]
请注意,P199 （ 5－ 7）
补例,已知简支梁如图,[ f / l ] = l / 400,
E=210GPa,I=2× 1780× 108mm4,试校核梁的中点 C的刚度。
A BC
2.4m
120kN
0.4m 0.4m 0.7m 0.3m 0.6m
30kN 40kN 12kN
解,[ f ]= [ f / l ] × l =1/ 400× 2.4=6mm
22
1,1 ( / 2 ) ( 3 4 )48C
Fb
w w l l b
EI
4
22
m a x
1
24
1
( 3 4 )
48
0,0 6 2 5
ii
Ci
i
ii
i
Fb
w w l b
EI
F b l
EI
y y
y y
所以刚度足够
2 244
m a x
11
2
3
98
3 3 3
23
98
3
0.0625 0.0625
0.0625 2.4
( 120 10 0.4
210 10 2 1780 10
30 10 0.8 40 10 0.9 12 10 0.6)
0.0625 2.4 99.36 10
210 10 2 1780 10
4.78 10 4.78 6 [ ]
ii
ii
ii
F b l l
w F b
EI EI
m m m m m w
ma xy
f
5.3.3 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小,跨度,
支座条件,梁横截面的惯性矩,材料的弹性模量有关 。
分析可知：梁上 C点的挠度：
23
1 1 1
..........
C
M l P l q l
a b c
E I E I E I
转 角,
2 3 4
..........
C
M l P l q l
w a b c
E I E I E I
是 梁 的 Hooke 定 律
cy
PF
PF
故提高梁刚度的措施为：
（ 1） 改善结构形式,减小弯矩；
（ 2） 增加支承,减小跨度 （ 效果明显 ） ；
（ 3）选择合理的截面形状，提高惯性矩，如工字形截面、空心截面等（ 效果明显 ） ；
（ 4） 选用合适的材料,增加弹性模量 。 但因各种钢材的弹性模量基本相同,所以为提高梁的刚度而采用高强度钢,效果并不显著 。
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性 。
常见截面的 WZ /A值：
0.167h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
0.125h
A
D
由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角与载荷均成线性关系。
因此，当梁承受复杂荷载时，可将其分解成几种简单荷载，利用梁在简单荷载作用下的位移计算结果（教材 P196— 197表 5－ 1
列出了部分结果 )进行叠加得到梁在复杂荷载作用下的挠度和转角，这就是 叠加法 。
补例,已知简支梁如图。求 yC,θA 。
A BC
l
qM
e
解,A B
Cl
qMe
A BC
q
A BC
Me ＋
=
A BC
Me
q
A BC
＋
3
4
24
5
384
A
c
ql
EI
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A
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A
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5.3 梁 的刚度校核梁的设计中,除了需要满足强度条件外,
在很多情况下,还要将其弹性变形限制在一定范围内,即满足 刚度条件,
或
－ 结构的最大线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用线位移；
－结构的最大相对线位移；
－,建筑规范,规定的最大许用相对线位移 。
ff?m a x?
l
f
l
f m a x
l
fmax
lf
maxf
f
刚度条件应用主要有两类，每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）。
直梁一类 (重点 ) — 单个梁变截面梁 (难点 )
另一类 —— 梁系（或称结构 )。
每一类可以解决以下三个问题（或三方面应用）：
1）刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸 (合理性 )
3）确定（ 最大 ）允许外载荷土木工程强度、刚度校核的应用,
σmax? [ σ ]
τ max? [ τ ]
fmax / l? [f / l ]
1）强度，刚度校核
2）设计（ 最小 ）截面尺寸
3）确定（ 最大 ）允许外载荷 [F ]
请注意,P199 （ 5－ 7）
补例,已知简支梁如图,[ f / l ] = l / 400,
E=210GPa,I=2× 1780× 108mm4,试校核梁的中点 C的刚度。
A BC
2.4m
120kN
0.4m 0.4m 0.7m 0.3m 0.6m
30kN 40kN 12kN
解,[ f ]= [ f / l ] × l =1/ 400× 2.4=6mm
22
1,1 ( / 2 ) ( 3 4 )48C
Fb
w w l l b
EI
4
22
m a x
1
24
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( 3 4 )
48
0,0 6 2 5
ii
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i
ii
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Fb
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F b l
EI
y y
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所以刚度足够
2 244
m a x
11
2
3
98
3 3 3
23
98
3
0.0625 0.0625
0.0625 2.4
( 120 10 0.4
210 10 2 1780 10
30 10 0.8 40 10 0.9 12 10 0.6)
0.0625 2.4 99.36 10
210 10 2 1780 10
4.78 10 4.78 6 [ ]
ii
ii
ii
F b l l
w F b
EI EI
m m m m m w
ma xy
f
5.3.3 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小,跨度,
支座条件,梁横截面的惯性矩,材料的弹性模量有关 。
分析可知：梁上 C点的挠度：
23
1 1 1
..........
C
M l P l q l
a b c
E I E I E I
转 角,
2 3 4
..........
C
M l P l q l
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是 梁 的 Hooke 定 律
cy
PF
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故提高梁刚度的措施为：
（ 1） 改善结构形式,减小弯矩；
（ 2） 增加支承,减小跨度 （ 效果明显 ） ；
（ 3）选择合理的截面形状，提高惯性矩，如工字形截面、空心截面等（ 效果明显 ） ；
（ 4） 选用合适的材料,增加弹性模量 。 但因各种钢材的弹性模量基本相同,所以为提高梁的刚度而采用高强度钢,效果并不显著 。
当截面的形状不同时，可以用比值 WZ /A
来衡量截面形状的合理性和经济性 。
常见截面的 WZ /A值：
0.167h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)h
h
0.125h
A
D
