§ 2.5 非惯性系中的力学 惯性力
§ 2.6 动量和角动量
§ 2.7 机械功和能牛顿运动定律及其应用
4.2
3.2
2.2
1.2
§
§
§
§
第二章 质 点动力学
*预期学时,6学时牛顿运动定律及其应用4.2~1.2§§
一,牛顿运动定律
(一 )牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体如果没有力作用在它上面，
都将保持静止或匀速直线运动状态。
1,定义了惯性参考系 2,定义了物体的惯性和力
(二 )牛顿第二定律 ])([
dt
pd
dt
vmdamF
1.m 是物体惯性的量度 2.力的叠加原理,…
(三 )牛顿第三定律 (作用力与反作用力定律 )
作用力与反作用力,1.大小相等 ;2.方向相反 ;3.作用在一条直线上 ;4.作用在不同物体上 ;5.同时出现,同时消失 ;6.属于同一性质的力。
只在惯性系中成立
*单位制 （ system of units） 和量纲 （ dimention）
1.单位制 （以 SI制为例）
1米等于光在真空中 1 / 299 792
458 秒时间内所通过的路程；
1秒等于铯 -133原子基态两个超精细能级间跃迁对应辐射的 9 192 631 770个周期的持续时间 ;
千克标准原器是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，
它保存在巴黎国际度量衡局的地窖中。
基本量 基本单位长度 米（ m）
时间 秒（ s）
质量 千克（ kg）
导出量 导出单位加速度力
… …
2sm
2 smkg
物理学公式
2.量纲,用物理量间的乘幂关系表示一个物理量和其他物理量的联系。
物理量 长度 时间 质量 速度 加速度 力量纲 L T M 1?LT 2?LT 2?M LT
(1).检验公式的正确性,只有量纲相同的量才能相等、相加或相减 ;
(2).进行不同单位制间的换算 ;
*惯性参照系和力学相对性原理
(1)定义,使 Newton第一定律成立的参照系。
1.惯性参照系 (inertial system)
(2)理想惯性系是完全不受到力作用的参照系。
(3)宇宙中不存在严格的惯性系，只有近似惯性系。
固定在地球表面的实验室系是近似惯性系。
地心参照系是近似惯性系。 (讨论人造地球卫星运动 )
以太阳中心为坐标原点、坐标轴指向其他恒星。研究恒星等天体的运动。日心参照系是近似惯性系。2.力学相对性原理在一个惯性系内进行的任何力学实验都不可能确定该惯性系本身的运动。
一切惯性系在表述力学规律上都是等价的，不存在用力学实验可以定义的、特殊的绝对的惯性系。
3.物理规律的协变性表示物理规律的方程在某种变换下其形式保持不变。(1)协变,
(2)Newton方程是 Galileo变换下的协变式
(3)麦氏电磁场方程在 Galileo变换下形式变由 Galileo变换：
若 S系中,
,,FFmm aa
amF
则 系中：s? amF
二,力学中常见的力
(3)弱相互作用力 ;
(2)电磁相互作用力 ;
基本相互作用力
(4)强相互作用力。
(1)万有引力 ;
存在于原子核内。
(一 )万有引力万有引力定律 (law of universal gravitation)
rr mmGF 3 21 引力质量
gravitational mass?21,mm
G—— 引力常量若规定惯性质量标准件同时也是引力质量的标准件，则引力质量 =惯性质量引力质量和惯性质量意义不同
Einstein建立广义相对论的实验基础之一重力 (gravity),WFF
向引
)2 8 9c o s1(
2
2
R
MmGW
mg
R
MmGW )
1 9 1
c o s1(
:
2
2
考虑地球扁平引F
向F
W
(二 ) 弹性力
1,弹簧及弹性体对连接体的弹力,xkF
2.绳子受到拉伸时其内部的弹性张力 (tension)T
绳子受到重力或加速运动都会影响绳中张力分布。
不受摩擦的轻绳上的张力处处相等 。
3,正压力和支持力 N,对理想光滑面,N方向垂直于接触面。
f
o v
0f
(三 )摩擦力（ friction force）
1.静摩擦力 (static friction force):,0 其它静 Ff Nf sm a x静
— 静摩擦系数 （ coefficient of static friction）,与两物体的质料和s?
接触面的粗糙程度以及干湿程度等有关。
2.滑动摩擦力 (sliding friction force),Nf k动
— 滑动摩擦系数 (coefficient of kinetic friction)，k?
与物体的质料、表面粗糙程度、干湿程度、相对滑动速度的大小有关。一般地说静摩擦系数不小于滑动摩擦系数。
凹凸不平会增大摩擦力，但过于光洁也会增大摩擦力。
静电吸引力也是产生摩擦力的一个原因。
阻力系数 (resistance coefficient)，依赖于流体性质和物体的几何形状。
（四）流体阻力
1.物体速度不太大，流体内只有层流，
阻力主要由粘滞性产生。
2.物体穿过流体的速率超过某一限度 (但一般仍低于声速 )，
形成湍流，阻力与粘滯性无关。
vf
2vf
rvf6
半径为 的圆球在粘度为 的流体中以相对速度 运动时，它所受的摩擦力为v
r
三,牛顿运动定律的应用选对象解题步骤细分析 符号解 验结果 代数据取一个或几个隔离体列方程受力分析运动分析减少中间运算和误差便于对结果进行讨论量纲是否相符令特例是否符合实际注意统一单位正交分解方程个数等于未知量的个数防止漏画力防止多画力要解决的问题就是,
什么物体 在什么力的作用下 做什么样的运动 !
(3)如果 A,B互换位置,(1)(2)的结果又如何？
,85.2,5.1 kgmkgm BA[例一 ]:
21.0,15.0 kBkA
,30
解,1.取隔离 体 A,B;
2.画受力图,… ; BN
gmB
gmA
AN?
,5 0 0.0s i n
,1 3 0.0c o s kA
,182.0c o s kB
物体下滑,绳子绷紧,…
3.列方程
(建立适当坐标系 ) amTgm
amTgm
BkBB
AkAA
)co s(s i n
)co s(s i n
(2)绳中的张力；
求,(1)A,B两物体的加速度 ;
x
y
o
Af
BfT T
4.解方程可得,
c o s)(
c o s( s i n
g
mm
mm
T
mm
mm
ga
kAkB
BA
BA
BA
kBBkAA
）
5.检验结果,量纲正确 ;
:得令 kBkA,0,c o s( s i n Tga ）
:0 得令 kBkA,0,s i n Tga?
:90 得令,0, Tga
6.代入数据计算可得,,51.0,/29.3 2 NTsma
7.若 A,B互换位置,绳子松弛,则
.0,/12.3c o s(s i n
,/64.3c o s(s i n
2
2
Tsmga
smga
kBB
kAA
）
）
x
y
o
BN
gmB
gmA
AN
Af
BfT T
Z
O
[例二 ]:有一质量为 m、半径为 r的小球自高处由静止自由落下。已知空气的粘滞系数为 η,求小球的收尾速度
（流体中运动物体的终极速度） 。
解,,6 rvf
f
,6 dtdvmmgrv
mgv
vt dv
r/mgvdtm
r
00 6
16
,6)16l n ( tm rvmg r
),1(
6
6
t
m
r
e
r
mg
v
终极速度为
(terminal velocity) r
mgv
6
[例三 ] 试讨论单摆的运动规律。 （不计摩擦和空气阻力，最大摆角为 ）0?
,c o s 2 mlmgT mlmg s i n解：
令,/2 lg? 0s i n2 非线性方程?
!5!3s i n
53
5)1(? 02
*也可 用,相图” 描述运动,
o
l
m
mg
T
)c o s ( 00 t
)s i n ( 00 t
相点代表运动状态 ;
相点的集合称为相迹 ;
相点移动代表状态变化 ; 0
)( 速度或动量
)(坐标?
周期性振动的相图相图不提供随时间变化的信息 ;
本次课作业,2.6 ; 2.7 （ 提示 ）
§ 2.6 质点的动量和角动量一,质点的动 量
(一 )动量（ momentum）
定义：,vmp 单位,千克米 /秒 )/( smkg?
(二 )冲量（ impulse）
pddtF
dt
pd
dt
vmd
F
dt
vd
mF
,
)(
,
定义,,dtFId
2
1
t
t
dtFI
单位,牛顿秒 )( SN? 与动量单位量纲相同力的时间积累
(三 )质点的动量定理在某段时间内作用在质点上的合外力的冲量等于质点动量的增量。
12,ppIpdId
1221 ppdtFI tt
关于动量定理,强调：
(1) 该定理是矢量关系，沿任意方向的投影仍然成立。
在直角坐标系中
),,:( zyxi
(2)该定理表示力的时间累积效果与 有关,与力对时间依赖关系的细节无关,从而使问题的解决得以简化。
(3)若 的大小有限，并且作用时间非常短促，即，
则,动量不发生有限的变化。 012 pp
012 ttF?
(4)若 很短，而 可观，则 必然很大，
这种力称为冲击力（ impulsive force）。
12 tt? 12 pp
F?
,12
2
1
ii
t
t
ii ppdtFI
12
12
2
1
2
1
tt
pp
dt
dtF
F t
t
t
t
平均冲力
p
O
Y
[例一 ],一篮球质量 0.58kg，从 2.0m高度自由下落，
到达地面后，以与接地速率同样大小的速率竖直向上反弹，接地时间仅 0.019s，
求：篮球对地的平均冲力？
解：
)/(3.628.9221 smghv
)(108.3019.0 3.658.02)( 212 Nt vvmF
1v
2v
h
,58.0 kgm?,0.2 mh?
st 019.0
)/(3.62 smv? F
)(108.3 2 NF F?9.66?
mg
F
1
[例二 ]:逆风行舟的原理
2 F
帆对风
1
2
Δ?
F风对帆
F横
F进
F横F阻龙骨帆质点的动量定理和动量守恒定律适用于所有的惯性系。
(四 )质点的动量守恒定律
,dtpdF
.:,0 )( 恒矢量则若 合 cpF
,dtdpF ii ).(:,0 恒量则若 iii cpF ),,:( zyxi
角动量也称 动量矩二,质点的角动量
a
r
mv
O
(一 )质点角动量的定义
prvmrL )(
L?
as i n,r m vL?大小
ao r? F
M?
d
F
FrL
, prprL
,prL(二 )力矩 (moment of force)
FrM
rFFd
rFM
as i n:大小
(三 )质点的角动量定理
dt
LdLM
2112 tt dtMLL
角冲量
(angular impulse)
质点相对某固定参考点的 角动量对时间的变化率等于 质点所受合力对同一参考点的 力矩角动量定理的积分形式：
质点角动量的增量等于作用于质点的角冲量。
m
L
[例三 ],在中心力场中，质点所受到的力与其位置矢量共线，这时，力对力心的力矩总为零。因此，质点在此力场中运动时，它对力心的角动量就保持不变，即角动量守恒。这也是为什么行星受到太阳的吸引，但行星不会落到太阳中去的原因。
.:,0,恒矢量则若 LM,dtLdM
若对于某一固定参考点，质点所受的合力矩为零,则质点相对该点的 角动量不变。
a
v rd?
r
[例四 ],证明开普勒第二定律。 方向不变? m在一平面 内 。L?
常量 dtdsmdt rdrmdt rdrmr mv 2s i ns i n
aa
r在相等的时间内扫过相等的面积。
(四 )质点角动量守恒定律作业,2.29 ; 2.33 ; 2.34
上次课回顾质点的动 量,vmP prL
PppdtFtt 122
1
质点的角动 量：
动量定理：
动量守恒定律：
恒矢量则若 合 p:,F 0
角动量定理：
LLLdtMtt 122
1
角动量守恒定律恒矢量则若 L:,M 0
分量式或投影仍然成立！
揭示过程量和状态量的联系！
一,功 (work)和 动能 (kinetic energy)
单位,瓦特 (W)
§ 2.7 机械功 和 机械能
rd?
iF?
A
B?
dsc o siFrdiFiA BABA
单位,J.eV,mNJ 191061111
关于功的概念，强调：
1.功是过程量；功表示力的空间累积；功是标量；
2.功的数值既与始末位置有关，有时也依赖于运动的路径；
dtvFA BAtt
3.合力的功,
ii
B
A
B
A i
B
A iii ArdFrdFrdFA )()(
合合
4.功率 (power):,vF
dt
rdF
dt
dAP
c o sdsiFrdiFidA(一 )功,
[例一 ],光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数?,在外力作用下小物体（ 质量 m ）以速率
v做匀速圆周运动，求,转一周摩擦力做的功。
解,小物体与环带间的正压力为,
摩擦力为,
转一周摩擦力的功为,
rr
vmF 2?
r
vmF 2
2
2
2 mvds
r
vmrdFA
A
BC[例二 ]:有心力的功,
有心力做功与路径无关
C’
dr
解,有 心力,
0)( rrFF
Br
r AACBACB
drrFrdrrFrdFA )()( 0
Br
r ABCABCA
drrFrdrrFrdFA )()( 0
万有引力的功,)
11(
2
BAA
G rrG Mmdrr
MmGA Br
r
重力的功,)( ABg hhmgA
Ar
Br
弹性力的功,
])()[(21)( 20200 rrrrkdrrrkA AB
A
k
Br
r
o
F
r
合外力的功等于质点动能的增量。
)(21 22 AB vvmA
B
A
B
A
v
v
v
v
B
A
dvmvvdvmrdF
vdvmrddtvdmrdF
,dtvdmF
(二 )动能
（ kinetic energy）
2
2
1 mvE
k?
(三 )质点的动能定理
(theorem of kinetic energy)
)(21 22 AB vvmA
功与动能均随所选参照系的不同而异，
但动能定理在所有惯性系中都成立。
合外力的功是动能转化的途径和量度,
单位,与功的单位相同二,保守力 (conservative force)的功 和 势能 (potential energy)
绕任一闭合路径运动时所做的功为零,
做功只与始末 相对 位置有关而与路径无关,
(一 )保守力一对保守作用力和反作用力的功之和与参考系无关,
)11(
BA
G rrG MmA
)( ABg hhmgA
])()[(21 2020 rrrrkA ABk
(二 )势能,在保守力场中引入一个只由位形决定的势能函数，这个函数差值正好等于保守力的功。
1.定义,若规定位形 O的势能为零,则位形 X的势能为
O
XP
rdFXE 保)( 单位和量纲与动能和功相同
2.几种势能重力势能 为零点,0, OP hm g hE
弹性势能 为零点,0,2/2 OP xkxE
引力势能 为零点, OP rrGM mE,/
只有保守力，
才有与之相应的势能势能是属于以保守力相互作用的质点系统
(三 )功能原理
(四 )机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy)
3.保守力的功等于质点势能的减少 。 )11(
BA
G rrG MmA
)( ABg hhmgA
])()[(21 2020 rrrrkA ABk
PPAPB EEEA )(保
KEAA 非保
)( PKPK EEEEA非 机械能
.:,0,恒量则若 非 PK EEA
*质点机械能守恒的条件 是对某惯性系而言的。对非惯性系，因惯性力可能作功，机械能就不一定守恒。
0?非A
保守力等于势能函数的负梯度,
P
PPP EkzEjyEixEF )(
保
[例三 ]:质量为 m的小车自 A点无摩擦地以初速为零沿如
（ 2）求圆形轨道上任意点所受压力的一般表达式。
图所示的轨道滑下。
（ 1）若使小车在运动的全程都不离开轨道滑下，
A点的最小高度 H是多少？
H
A
R
mg
N
v
θ
解,
RmvNmg /s i n 2
2/)s i n1( 2mvm g Rm g H
mgRHN ]s i n32)/2[(
,]s i n)2/3(1[ RH,0N
,)2/5(m i n RH?
mgN )s i n1(3
练习,P56 2.35
作业,2.38 ; 2.39 ; *2.40
§ 2.6 动量和角动量
§ 2.7 机械功和能牛顿运动定律及其应用
4.2
3.2
2.2
1.2
§
§
§
§
第二章 质 点动力学
*预期学时,6学时牛顿运动定律及其应用4.2~1.2§§
一,牛顿运动定律
(一 )牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体如果没有力作用在它上面，
都将保持静止或匀速直线运动状态。
1,定义了惯性参考系 2,定义了物体的惯性和力
(二 )牛顿第二定律 ])([
dt
pd
dt
vmdamF
1.m 是物体惯性的量度 2.力的叠加原理,…
(三 )牛顿第三定律 (作用力与反作用力定律 )
作用力与反作用力,1.大小相等 ;2.方向相反 ;3.作用在一条直线上 ;4.作用在不同物体上 ;5.同时出现,同时消失 ;6.属于同一性质的力。
只在惯性系中成立
*单位制 （ system of units） 和量纲 （ dimention）
1.单位制 （以 SI制为例）
1米等于光在真空中 1 / 299 792
458 秒时间内所通过的路程；
1秒等于铯 -133原子基态两个超精细能级间跃迁对应辐射的 9 192 631 770个周期的持续时间 ;
千克标准原器是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，
它保存在巴黎国际度量衡局的地窖中。
基本量 基本单位长度 米（ m）
时间 秒（ s）
质量 千克（ kg）
导出量 导出单位加速度力
… …
2sm
2 smkg
物理学公式
2.量纲,用物理量间的乘幂关系表示一个物理量和其他物理量的联系。
物理量 长度 时间 质量 速度 加速度 力量纲 L T M 1?LT 2?LT 2?M LT
(1).检验公式的正确性,只有量纲相同的量才能相等、相加或相减 ;
(2).进行不同单位制间的换算 ;
*惯性参照系和力学相对性原理
(1)定义,使 Newton第一定律成立的参照系。
1.惯性参照系 (inertial system)
(2)理想惯性系是完全不受到力作用的参照系。
(3)宇宙中不存在严格的惯性系，只有近似惯性系。
固定在地球表面的实验室系是近似惯性系。
地心参照系是近似惯性系。 (讨论人造地球卫星运动 )
以太阳中心为坐标原点、坐标轴指向其他恒星。研究恒星等天体的运动。日心参照系是近似惯性系。2.力学相对性原理在一个惯性系内进行的任何力学实验都不可能确定该惯性系本身的运动。
一切惯性系在表述力学规律上都是等价的，不存在用力学实验可以定义的、特殊的绝对的惯性系。
3.物理规律的协变性表示物理规律的方程在某种变换下其形式保持不变。(1)协变,
(2)Newton方程是 Galileo变换下的协变式
(3)麦氏电磁场方程在 Galileo变换下形式变由 Galileo变换：
若 S系中,
,,FFmm aa
amF
则 系中：s? amF
二,力学中常见的力
(3)弱相互作用力 ;
(2)电磁相互作用力 ;
基本相互作用力
(4)强相互作用力。
(1)万有引力 ;
存在于原子核内。
(一 )万有引力万有引力定律 (law of universal gravitation)
rr mmGF 3 21 引力质量
gravitational mass?21,mm
G—— 引力常量若规定惯性质量标准件同时也是引力质量的标准件，则引力质量 =惯性质量引力质量和惯性质量意义不同
Einstein建立广义相对论的实验基础之一重力 (gravity),WFF
向引
)2 8 9c o s1(
2
2
R
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mg
R
MmGW )
1 9 1
c o s1(
:
2
2
考虑地球扁平引F
向F
W
(二 ) 弹性力
1,弹簧及弹性体对连接体的弹力,xkF
2.绳子受到拉伸时其内部的弹性张力 (tension)T
绳子受到重力或加速运动都会影响绳中张力分布。
不受摩擦的轻绳上的张力处处相等 。
3,正压力和支持力 N,对理想光滑面,N方向垂直于接触面。
f
o v
0f
(三 )摩擦力（ friction force）
1.静摩擦力 (static friction force):,0 其它静 Ff Nf sm a x静
— 静摩擦系数 （ coefficient of static friction）,与两物体的质料和s?
接触面的粗糙程度以及干湿程度等有关。
2.滑动摩擦力 (sliding friction force),Nf k动
— 滑动摩擦系数 (coefficient of kinetic friction)，k?
与物体的质料、表面粗糙程度、干湿程度、相对滑动速度的大小有关。一般地说静摩擦系数不小于滑动摩擦系数。
凹凸不平会增大摩擦力，但过于光洁也会增大摩擦力。
静电吸引力也是产生摩擦力的一个原因。
阻力系数 (resistance coefficient)，依赖于流体性质和物体的几何形状。
（四）流体阻力
1.物体速度不太大，流体内只有层流，
阻力主要由粘滞性产生。
2.物体穿过流体的速率超过某一限度 (但一般仍低于声速 )，
形成湍流，阻力与粘滯性无关。
vf
2vf
rvf6
半径为 的圆球在粘度为 的流体中以相对速度 运动时，它所受的摩擦力为v
r
三,牛顿运动定律的应用选对象解题步骤细分析 符号解 验结果 代数据取一个或几个隔离体列方程受力分析运动分析减少中间运算和误差便于对结果进行讨论量纲是否相符令特例是否符合实际注意统一单位正交分解方程个数等于未知量的个数防止漏画力防止多画力要解决的问题就是,
什么物体 在什么力的作用下 做什么样的运动 !
(3)如果 A,B互换位置,(1)(2)的结果又如何？
,85.2,5.1 kgmkgm BA[例一 ]:
21.0,15.0 kBkA
,30
解,1.取隔离 体 A,B;
2.画受力图,… ; BN
gmB
gmA
AN?
,5 0 0.0s i n
,1 3 0.0c o s kA
,182.0c o s kB
物体下滑,绳子绷紧,…
3.列方程
(建立适当坐标系 ) amTgm
amTgm
BkBB
AkAA
)co s(s i n
)co s(s i n
(2)绳中的张力；
求,(1)A,B两物体的加速度 ;
x
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4.解方程可得,
c o s)(
c o s( s i n
g
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T
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BA
BA
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5.检验结果,量纲正确 ;
:得令 kBkA,0,c o s( s i n Tga ）
:0 得令 kBkA,0,s i n Tga?
:90 得令,0, Tga
6.代入数据计算可得,,51.0,/29.3 2 NTsma
7.若 A,B互换位置,绳子松弛,则
.0,/12.3c o s(s i n
,/64.3c o s(s i n
2
2
Tsmga
smga
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x
y
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BN
gmB
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Af
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Z
O
[例二 ]:有一质量为 m、半径为 r的小球自高处由静止自由落下。已知空气的粘滞系数为 η,求小球的收尾速度
（流体中运动物体的终极速度） 。
解,,6 rvf
f
,6 dtdvmmgrv
mgv
vt dv
r/mgvdtm
r
00 6
16
,6)16l n ( tm rvmg r
),1(
6
6
t
m
r
e
r
mg
v
终极速度为
(terminal velocity) r
mgv
6
[例三 ] 试讨论单摆的运动规律。 （不计摩擦和空气阻力，最大摆角为 ）0?
,c o s 2 mlmgT mlmg s i n解：
令,/2 lg? 0s i n2 非线性方程?
!5!3s i n
53
5)1(? 02
*也可 用,相图” 描述运动,
o
l
m
mg
T
)c o s ( 00 t
)s i n ( 00 t
相点代表运动状态 ;
相点的集合称为相迹 ;
相点移动代表状态变化 ; 0
)( 速度或动量
)(坐标?
周期性振动的相图相图不提供随时间变化的信息 ;
本次课作业,2.6 ; 2.7 （ 提示 ）
§ 2.6 质点的动量和角动量一,质点的动 量
(一 )动量（ momentum）
定义：,vmp 单位,千克米 /秒 )/( smkg?
(二 )冲量（ impulse）
pddtF
dt
pd
dt
vmd
F
dt
vd
mF
,
)(
,
定义,,dtFId
2
1
t
t
dtFI
单位,牛顿秒 )( SN? 与动量单位量纲相同力的时间积累
(三 )质点的动量定理在某段时间内作用在质点上的合外力的冲量等于质点动量的增量。
12,ppIpdId
1221 ppdtFI tt
关于动量定理,强调：
(1) 该定理是矢量关系，沿任意方向的投影仍然成立。
在直角坐标系中
),,:( zyxi
(2)该定理表示力的时间累积效果与 有关,与力对时间依赖关系的细节无关,从而使问题的解决得以简化。
(3)若 的大小有限，并且作用时间非常短促，即，
则,动量不发生有限的变化。 012 pp
012 ttF?
(4)若 很短，而 可观，则 必然很大，
这种力称为冲击力（ impulsive force）。
12 tt? 12 pp
F?
,12
2
1
ii
t
t
ii ppdtFI
12
12
2
1
2
1
tt
pp
dt
dtF
F t
t
t
t
平均冲力
p
O
Y
[例一 ],一篮球质量 0.58kg，从 2.0m高度自由下落，
到达地面后，以与接地速率同样大小的速率竖直向上反弹，接地时间仅 0.019s，
求：篮球对地的平均冲力？
解：
)/(3.628.9221 smghv
)(108.3019.0 3.658.02)( 212 Nt vvmF
1v
2v
h
,58.0 kgm?,0.2 mh?
st 019.0
)/(3.62 smv? F
)(108.3 2 NF F?9.66?
mg
F
1
[例二 ]:逆风行舟的原理
2 F
帆对风
1
2
Δ?
F风对帆
F横
F进
F横F阻龙骨帆质点的动量定理和动量守恒定律适用于所有的惯性系。
(四 )质点的动量守恒定律
,dtpdF
.:,0 )( 恒矢量则若 合 cpF
,dtdpF ii ).(:,0 恒量则若 iii cpF ),,:( zyxi
角动量也称 动量矩二,质点的角动量
a
r
mv
O
(一 )质点角动量的定义
prvmrL )(
L?
as i n,r m vL?大小
ao r? F
M?
d
F
FrL
, prprL
,prL(二 )力矩 (moment of force)
FrM
rFFd
rFM
as i n:大小
(三 )质点的角动量定理
dt
LdLM
2112 tt dtMLL
角冲量
(angular impulse)
质点相对某固定参考点的 角动量对时间的变化率等于 质点所受合力对同一参考点的 力矩角动量定理的积分形式：
质点角动量的增量等于作用于质点的角冲量。
m
L
[例三 ],在中心力场中，质点所受到的力与其位置矢量共线，这时，力对力心的力矩总为零。因此，质点在此力场中运动时，它对力心的角动量就保持不变，即角动量守恒。这也是为什么行星受到太阳的吸引，但行星不会落到太阳中去的原因。
.:,0,恒矢量则若 LM,dtLdM
若对于某一固定参考点，质点所受的合力矩为零,则质点相对该点的 角动量不变。
a
v rd?
r
[例四 ],证明开普勒第二定律。 方向不变? m在一平面 内 。L?
常量 dtdsmdt rdrmdt rdrmr mv 2s i ns i n
aa
r在相等的时间内扫过相等的面积。
(四 )质点角动量守恒定律作业,2.29 ; 2.33 ; 2.34
上次课回顾质点的动 量,vmP prL
PppdtFtt 122
1
质点的角动 量：
动量定理：
动量守恒定律：
恒矢量则若 合 p:,F 0
角动量定理：
LLLdtMtt 122
1
角动量守恒定律恒矢量则若 L:,M 0
分量式或投影仍然成立！
揭示过程量和状态量的联系！
一,功 (work)和 动能 (kinetic energy)
单位,瓦特 (W)
§ 2.7 机械功 和 机械能
rd?
iF?
A
B?
dsc o siFrdiFiA BABA
单位,J.eV,mNJ 191061111
关于功的概念，强调：
1.功是过程量；功表示力的空间累积；功是标量；
2.功的数值既与始末位置有关，有时也依赖于运动的路径；
dtvFA BAtt
3.合力的功,
ii
B
A
B
A i
B
A iii ArdFrdFrdFA )()(
合合
4.功率 (power):,vF
dt
rdF
dt
dAP
c o sdsiFrdiFidA(一 )功,
[例一 ],光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数?,在外力作用下小物体（ 质量 m ）以速率
v做匀速圆周运动，求,转一周摩擦力做的功。
解,小物体与环带间的正压力为,
摩擦力为,
转一周摩擦力的功为,
rr
vmF 2?
r
vmF 2
2
2
2 mvds
r
vmrdFA
A
BC[例二 ]:有心力的功,
有心力做功与路径无关
C’
dr
解,有 心力,
0)( rrFF
Br
r AACBACB
drrFrdrrFrdFA )()( 0
Br
r ABCABCA
drrFrdrrFrdFA )()( 0
万有引力的功,)
11(
2
BAA
G rrG Mmdrr
MmGA Br
r
重力的功,)( ABg hhmgA
Ar
Br
弹性力的功,
])()[(21)( 20200 rrrrkdrrrkA AB
A
k
Br
r
o
F
r
合外力的功等于质点动能的增量。
)(21 22 AB vvmA
B
A
B
A
v
v
v
v
B
A
dvmvvdvmrdF
vdvmrddtvdmrdF
,dtvdmF
(二 )动能
（ kinetic energy）
2
2
1 mvE
k?
(三 )质点的动能定理
(theorem of kinetic energy)
)(21 22 AB vvmA
功与动能均随所选参照系的不同而异，
但动能定理在所有惯性系中都成立。
合外力的功是动能转化的途径和量度,
单位,与功的单位相同二,保守力 (conservative force)的功 和 势能 (potential energy)
绕任一闭合路径运动时所做的功为零,
做功只与始末 相对 位置有关而与路径无关,
(一 )保守力一对保守作用力和反作用力的功之和与参考系无关,
)11(
BA
G rrG MmA
)( ABg hhmgA
])()[(21 2020 rrrrkA ABk
(二 )势能,在保守力场中引入一个只由位形决定的势能函数，这个函数差值正好等于保守力的功。
1.定义,若规定位形 O的势能为零,则位形 X的势能为
O
XP
rdFXE 保)( 单位和量纲与动能和功相同
2.几种势能重力势能 为零点,0, OP hm g hE
弹性势能 为零点,0,2/2 OP xkxE
引力势能 为零点, OP rrGM mE,/
只有保守力，
才有与之相应的势能势能是属于以保守力相互作用的质点系统
(三 )功能原理
(四 )机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy)
3.保守力的功等于质点势能的减少 。 )11(
BA
G rrG MmA
)( ABg hhmgA
])()[(21 2020 rrrrkA ABk
PPAPB EEEA )(保
KEAA 非保
)( PKPK EEEEA非 机械能
.:,0,恒量则若 非 PK EEA
*质点机械能守恒的条件 是对某惯性系而言的。对非惯性系，因惯性力可能作功，机械能就不一定守恒。
0?非A
保守力等于势能函数的负梯度,
P
PPP EkzEjyEixEF )(
保
[例三 ]:质量为 m的小车自 A点无摩擦地以初速为零沿如
（ 2）求圆形轨道上任意点所受压力的一般表达式。
图所示的轨道滑下。
（ 1）若使小车在运动的全程都不离开轨道滑下，
A点的最小高度 H是多少？
H
A
R
mg
N
v
θ
解,
RmvNmg /s i n 2
2/)s i n1( 2mvm g Rm g H
mgRHN ]s i n32)/2[(
,]s i n)2/3(1[ RH,0N
,)2/5(m i n RH?
mgN )s i n1(3
练习,P56 2.35
作业,2.38 ; 2.39 ; *2.40
