“刚体”
(rigid body)
质点系分立的 质点 组成的质 点系大量微分“质元” (mass
element)
组成的宏观连续体气体液体固体刚体
……
形变可以忽略的物体刚体上各个质元相对位置固定刚体是理想模型第四章 刚体力学概述刚体力学刚体运动学刚体动力学平动
+
转动定轴转动定点转动
§ 4.1
定轴转动动力学定点转动动力学平面运动动力学力矩角动量关系
§ 4.2
§ 4.3
§ 4.4功能关系
*进动 陀螺仪 § 4.5
*§ 4.6
*预期学时,6学时平动时，刚体上各质元的速度和加速度相同 。
§ 4.1 刚体运动学一,刚体的平动 (translation)
刚体上任意两质元的连线在空间的取向始终保持不变
（ 后一时刻的取向总与前一时刻的取向保持平行 ）
通常用刚体质心的运动来代表刚体的平动。
rij
j
i
rij
j
i
o
ri
rj
ji aa
ji vv
jiji rrr;dtd
P点线速度v r r
P点线加速度 vrdt
rdr
dt
d
dt
vda
旋转加速度 向轴加速度瞬时轴
P
刚体
v
r
基点 O
二,刚体的转动 (rotation)
某时刻所有质元绕同一条直线作圆周运动,
轴上各点瞬时静止,
轴外各点的角速度和角加速度相同,
dt
d
反映轴向、转动快慢及轴向的改变,,
ω
在瞬时轴上选一点作为基点,
r
P
刚体
v
r
r
基点 O
ω
定轴转动
（ fixed-axis rotation）
瞬时轴瞬时轴上仅有一点固定不动,
比如陀螺,雷达天线转轴上的各点均固定不动,
比如砂轮、电机转子等,
定点转动 (fixed-pointrotation）
退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且?,?都相同。
,
rv
2?
ra n
rdtdva t
,c o n s t?
)(2
)(
0
2
0
2
2
2
1
0
0
tt
t
θ
α
固定轴参考方向转动平面转动中心
o′
o′
·
·
Δ?
o
Δ?
·
o
基点的平动随基点选取不同而不同
，但是绕基点的转动与基点的选取无关,即角位移与转轴的位置无关,
刚体的一般运动,随基点的 平动 +绕基点的 转动,
三,刚体的平面运动 (plane motion)
各质元都在与某一固定平面相平行的平面内运动,轨迹都是平面曲线,
平动与平面运动有区别刚体沿一条直线滚动不是平动,但是是平面运动,
基基基基 pppp rvvrrr
;
选质心为基点,
pCCp rvv
选瞬心为基点,
瞬PP rv
0 CC Rvv 瞬瞬
R
A
D
E
C Cv
B
0 X
Y
[例 1]:一圆柱体在地面上沿直线作无滑纯滚动,已知质心 C的速度为,圆柱体半径为 R，求边缘上 A,B,E,D四点的速度,Cv?
解,
pCCp rvv
;0 Rvv CE? CvR;2 CA vv?;2 CB vv?;2 CD vv?
求瞬心位置的方法
0;:
CC Rvv 瞬瞬公式法方法一
;:几何法方法二
Av
A
Bv
B
S
一个被约束于曲线上运动的质点有 1个自由度 ;
*刚体运动的自由度一,自由度 (degree of freedom):
二,质点的自由度,
一个自由质点有 3个自由度；
一个被约束于曲面上运动的质点有 2个自由度；
确定一个运动物体位置所需要的独立坐标数目 (直角坐标,球坐标,柱坐标 ).
有 N个自由质点的系统有 3N个自由度,
三,刚体的自由度 (无穷多个质量元,彼此固连,相互约束,并不独立,)
x y
z
o?
三个平动自由度,决定质心位置；
三个转动自由度,二个决定转轴方位 ;
一个决定绕轴自转 ;
定点转动有 3个自由度；
自由刚体有 6个自由度 ;
定轴转动有 1个自由度 ;
平面运动有 3个自由度；
固定轴
ω,αz
§ 4.2,§ 4.3,§ 4.5 刚体转动中的角动量问题一,刚体定轴转动的角动量定理
)( rrdmvrdmLd
O基点
r
v
r?dm
mm krrzdmLdL )( 2
z
m
z
Ik
dmrkL
2
定义,刚体相对轴上一点的角动量沿轴向的分量称为刚体相对转轴的角动量,它与点的位置无关,
m dmrzL 的情况,① 刚体关于转 轴对称 ;② 转轴穿过所有刚体切片的质心 ;③ 刚体关于 z=0平面对称 ;
0L?
(一 )定轴转动中的角动量
)]([)( rkzkrkzdm
][)( rkrkzdm
])[][( rkrrkkzdm
)( 2 krrzdm
mm dmrkdmrz 2
固定轴
ω,αz
O基点
r
v
r?dm
(二 )刚 体绕 Z轴的转动惯量 （ moment of inertia）
2.物理意义,刚体转动惯性的量度,
3.大小规律,
mz
dmrI 21.定义,
对于质点,mrI z 2
对于质点系, iiz mrI 2
对于刚体组, izz II
(1)对形状、大小相同的刚体,
密度越大转动惯量越大 ;
(2)在总质量相同的情况下,
质量分布离轴越远,转动惯量越大 ;
(3)同一刚体,转动惯量的大小决定于转轴的方位,
1,常用的几个 I
均匀圆环：
均匀圆盘：
均匀杆：
4
2
0
2
2
4
122 Rrd rrI
R
m
R
mR
c
R mC
R mC
CA m
l
2
l
2
*转动惯量的计算
)();( 22 连续分布的刚体分立的质点系
mii
dmrIrmI
221 mRI
C?
2mRI C?
32/
2/
2 )(
223
1 l
l
m
l
ml
lC
dxxI
2
12
1 mlI
C?
3
0
2
3
1 ldxxI
l
m
l
ml
A
2
3
1 mlI
A? P104 表 4.2.1
本次课作业：
4.3
4.16
1.定轴转动中的角动量上次课回顾
zmz IkdmrkL
2
2.刚 体绕 Z轴的转动惯量
mz dmrI
2
3.转动惯量的计算
)();( 22 连续分布的刚体分立的质点系
mii
dmrIrmI
4.几个常用均匀物体的 I：
均匀圆环,2mRI C? 均匀圆盘,221 mRI C?
均匀杆,2121 mlI
C? 均匀球：
252 mRI C?
2.计算 I 的几条规律
(1)对同一轴 I具有可叠加性
(2)平行轴定理
=0=m
iii mrIII 2:;,质点系刚体组
mmz dmrdrddmrI )()(2
mmm dmrdmrddmd 22 2
Cz ImdI
2
dC
dm
IC IZ
平行
Z
o
rr
’
(3)对薄平板刚体的正交轴定理
yr
x
z
y
x
dm
mmmz dmydmxdmrI 222
xyz III
[例二 ]:求质量均匀分布的薄圆盘绕任意一条直径转动的转动惯量,
Y
X
Z
圆盘
R
C
m
Z
X
Y
O
R
[例一 ]:求如图示均匀球绕 X轴和 Y轴转动的转动惯量,
解,22
5
2 mRmRII
yx
2
5
7 mRII
yx
2
2
1 mRI
z?
解,
yxz III
yx II?
2
4
1 mRII
yx
(三 )定轴转动中的力矩固定轴
ω,αz
O基点
r
r?
F
θ
F
F
iiiiii FrkFrFkz //
iiiiiz FrkFrM?s i n
横向力矩,有改变转轴方向的趋势,被转轴处的力矩所平衡,
外力相对于转轴上一点的力矩沿转轴方向的分量,称为外力相对于转轴的力矩,
它和参考点在转轴上的位置无关,
改变刚体的转动状态,
)()( // iiiiii FkFrkzFrM 外合外
ii FkzM kFr ii //
(四 )刚体定轴转动的角动量定理
zz IL?
iiiz s i nFrM?;dtLdM
dt
Id
dt
dLM )(
IFrM iii s i n
1212 )()(
2
1
IILLM d t
t
t
dt
dLM z
z?
二,刚 体定轴转动定律?
常量?I
与牛 II比较：
M F
I m
a
~
~
~?
I 描述了刚体的转动惯性
IM?
定轴转动的刚体所受到的合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积,
)dmr(d m vrL Z 2
R =0.2m,[例一 ]已知,m =1 kg,v0 =0,h =1.5 m,
绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s。
求：轮对 O 轴 I =？
解,动力学关系,对轮,TR I (1),
对,m mg T ma (2)
★ 刚体定轴转动定律的应用定轴 O
· R
t h
mv0=0
绳
α
TG
·R
N
mg
T = - T′
ma
运动学关系, aR (3)
h at? 12 2 (4)
2
2
)12( mRhgtI联立求解得,;)(,量纲正确分析 1;,tI,m,h)( 合理一定2
.,gth,I)( 正确22103
代入数据得,214.1 mkgI
m1m2
[例二 ](习题 4.20 )如图所示,固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕同一水平光滑轴转动,设大小圆柱体的半径分别为 R,r，
质量分别为 M,m.绕在圆柱体上的细绳分别与物体 m1,m2
相连,m1,m2挂在圆柱体的两侧,设 R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,
M=10kg,m1= m2=2kg。求,（ 1）柱体转动时的角加速度；
(2)如把 m1,m2都去掉,在两根绳的下端都用 20N的力垂直下拉,
则角加速度又为多少？
m2 m1
T2 T1
m2g m1g
T’2 T’1;1111 amTgm解,;2222 amgmT;)( 2221 2121?mrMRrTRT;1aR,2ar
g
rmmRmM
rmRm
2
2
2
1
21
)()( 2121
(1)
)/(13.6 2sr a d
(2) )/(09.9)(2 2
22 sr a dmrMR
rRF?
三,定轴转动中的角动量守恒定律
;dtdLM zz,,0,,恒量则若 外 zz LM
(一 )定律的适用对象,
dt
LdM z
z
外
(二 ) 固定轴穿过质心,
.::,0 恒量则若 外 zz LM
与质心做何种运动无关大小不变正、负不变
① 单个刚体 ; ② 质点系 ; ③ 刚体组 ;
④ 质点、刚体组 ; ⑤ 非刚体 ;
[例一 ](习题 4.23) 如图，宇宙飞船对于其中心轴的转动惯量为
I=,正以 的角速度绕中心轴旋转。飞船上有两个切向的控制喷管可使它停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是 r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，总共为
q=2kg/s。喷气相对飞船的喷射速率恒为 u=50m/s。
问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转？
23102 mkg sr a d /2.00
解,
u
u
ω
)( 2mrI? ])([)]()([ 2 udrrq d tdrq d tmI
ruq d tdmrI ))(( 2
ruq d tdmrI)( 2;2
0 )( rqtmI
q r u d td
2
0
2
0
0
)(ln
rmI
rqtmI
r
u
seemt u
r
u
r
r
I
qr
I
q 66.2]1[]1)[(
00
2
)(
02
11
本次作业：
4.8 4.11
4.22
2.刚体定轴转动的角动量定理
dt
Id
dt
dLM )(
1212 )()(
2
1
IILLM d t
t
t
1.刚 体定轴转动定律?IM?
3,角动量守恒定律
.,0,,恒量则若 外 zz LM
4,说明,① 必须对同一转 轴；
③ 若穿过质心固定轴的角动量守恒，则 与质心做何种运动无关 。
LIM,、
上次课回顾
mg
θ
O
Z
M×
陀螺 (top):绕支点作高速旋转的刚体的统称,
;gmrM C gmMLM,
*四,陀螺仪的进动 一种相对简单但重要的定点转动
ω∥ L
dL
平衡陀螺,支点与质心重合重力陀螺,支点与质心不重合;dtLdM
;, Ld?;)1( 大小不变L?
.)2( 轴逆时针转动绕 ZL?
进动
▲ 枪膛或炮膛内的来复线与 射弹的进动；
*进动的实例：
▲ 陀螺的进动；
▲ 惯性导航,
( p119图）
§ 4.4 刚体定轴转动的功能关系
(一 )力矩的功
MddA0 MdA
一,刚体定轴转动的动能定理
222 2121
rdmvdmdE k?;dtdIM合外
2
1
2
2 2
1
2
1 IIA
(三 )刚 体定轴转动的动能定理
⊙
d?
z x
ω
轴
r
F
c o s drFrdFdA
本质上仍是力做的功
(二 )刚体定轴转动的动能
22 )(
2
1
mm kk dmrdEE
2
2
1?IE
k?;; dtdIddM 合外
;2121 dIdM 合外?
组成刚体的所有质元动能的总和,
质点系动能定理的特殊表述形式,
二,定轴转动的功能原理
C
hc h
dm
Ep=0
对于包含有刚体的系统,
力矩的功 ← 力的功 ;转动动能 ← 质点系的动能 ;
转动动能定理 ← 质点系的动能定理 ;
适用刚体 ← 保守力的功等于势能增量的负值,
刚体重力势能由质心位置决定
CmmP m g hgd m hd m g hE )(
θ··
ω
轴
O
CA B
l,m
l /4
[例一 ]如图的均匀杆质量为 m,长为 l，
可绕水平光滑轴在竖直平面内转动,
其中,,初始时水平静止。
求,杆下摆到 角时杆的角速度和轴对杆的作用力
4/lAO?
.N?
功能原理和机械能守恒定律仍然成立,
2220 4874121 )( mlmmlI l (2)
aCt
aCl
l
s i ng
7
62
求转轴处的力 CamgmN
练习,P129 4.27
s i n764 2 ga llC (5)
c o s73
c o s4
44 0 gI
mglll
tCa
(6)
,s i n713?mgN lc o s74 mgN t;16s i n1537 2mgN )c t g13
4(tg||tg 11
l
t
N
N
θ··
ω
轴
O
CA B
l,m
l /4
解, s i n00
421 20 lmgI
(1)求角速度
mg
Nt
Nl
N
lCl maNmgs i n (3)
tCt maNmgc o s
(4)
m
P
h
v
m
mg
·O
M
R
[例二 ] 如图示,已知,h,R,M,m,θ.求：碰撞后瞬间刻盘的 ω0=? P转到 x轴时盘的 ω=?α=?
2v21 mm g h
对 (m +M)系统,碰撞由 (1)(2)(3)得, c o s2
2
10 R
gh
mM
m
(4)
对 (m + M +地球 )系统,
由 (3)(4)(5)得, s i n2c o s2
)( 2121
2
22
2
R
g
mM
m
R
gh
mM
m?
RmM
mg
RmM
m gR
I
M
)) 21(21( 2?
θ
m(黏土块 )y
x
h
P
O
M
光滑轴均质圆盘
(水平 )
R
解,m下落 gh2?v (1)
0c o s Im v R?
(2)
(3) 2)( 21 RmMI
22
0 2
1
2
1sin IIm g R(5)
本次作业：
4.28 4.29
4.31
(rigid body)
质点系分立的 质点 组成的质 点系大量微分“质元” (mass
element)
组成的宏观连续体气体液体固体刚体
……
形变可以忽略的物体刚体上各个质元相对位置固定刚体是理想模型第四章 刚体力学概述刚体力学刚体运动学刚体动力学平动
+
转动定轴转动定点转动
§ 4.1
定轴转动动力学定点转动动力学平面运动动力学力矩角动量关系
§ 4.2
§ 4.3
§ 4.4功能关系
*进动 陀螺仪 § 4.5
*§ 4.6
*预期学时,6学时平动时，刚体上各质元的速度和加速度相同 。
§ 4.1 刚体运动学一,刚体的平动 (translation)
刚体上任意两质元的连线在空间的取向始终保持不变
（ 后一时刻的取向总与前一时刻的取向保持平行 ）
通常用刚体质心的运动来代表刚体的平动。
rij
j
i
rij
j
i
o
ri
rj
ji aa
ji vv
jiji rrr;dtd
P点线速度v r r
P点线加速度 vrdt
rdr
dt
d
dt
vda
旋转加速度 向轴加速度瞬时轴
P
刚体
v
r
基点 O
二,刚体的转动 (rotation)
某时刻所有质元绕同一条直线作圆周运动,
轴上各点瞬时静止,
轴外各点的角速度和角加速度相同,
dt
d
反映轴向、转动快慢及轴向的改变,,
ω
在瞬时轴上选一点作为基点,
r
P
刚体
v
r
r
基点 O
ω
定轴转动
（ fixed-axis rotation）
瞬时轴瞬时轴上仅有一点固定不动,
比如陀螺,雷达天线转轴上的各点均固定不动,
比如砂轮、电机转子等,
定点转动 (fixed-pointrotation）
退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且?,?都相同。
,
rv
2?
ra n
rdtdva t
,c o n s t?
)(2
)(
0
2
0
2
2
2
1
0
0
tt
t
θ
α
固定轴参考方向转动平面转动中心
o′
o′
·
·
Δ?
o
Δ?
·
o
基点的平动随基点选取不同而不同
，但是绕基点的转动与基点的选取无关,即角位移与转轴的位置无关,
刚体的一般运动,随基点的 平动 +绕基点的 转动,
三,刚体的平面运动 (plane motion)
各质元都在与某一固定平面相平行的平面内运动,轨迹都是平面曲线,
平动与平面运动有区别刚体沿一条直线滚动不是平动,但是是平面运动,
基基基基 pppp rvvrrr
;
选质心为基点,
pCCp rvv
选瞬心为基点,
瞬PP rv
0 CC Rvv 瞬瞬
R
A
D
E
C Cv
B
0 X
Y
[例 1]:一圆柱体在地面上沿直线作无滑纯滚动,已知质心 C的速度为,圆柱体半径为 R，求边缘上 A,B,E,D四点的速度,Cv?
解,
pCCp rvv
;0 Rvv CE? CvR;2 CA vv?;2 CB vv?;2 CD vv?
求瞬心位置的方法
0;:
CC Rvv 瞬瞬公式法方法一
;:几何法方法二
Av
A
Bv
B
S
一个被约束于曲线上运动的质点有 1个自由度 ;
*刚体运动的自由度一,自由度 (degree of freedom):
二,质点的自由度,
一个自由质点有 3个自由度；
一个被约束于曲面上运动的质点有 2个自由度；
确定一个运动物体位置所需要的独立坐标数目 (直角坐标,球坐标,柱坐标 ).
有 N个自由质点的系统有 3N个自由度,
三,刚体的自由度 (无穷多个质量元,彼此固连,相互约束,并不独立,)
x y
z
o?
三个平动自由度,决定质心位置；
三个转动自由度,二个决定转轴方位 ;
一个决定绕轴自转 ;
定点转动有 3个自由度；
自由刚体有 6个自由度 ;
定轴转动有 1个自由度 ;
平面运动有 3个自由度；
固定轴
ω,αz
§ 4.2,§ 4.3,§ 4.5 刚体转动中的角动量问题一,刚体定轴转动的角动量定理
)( rrdmvrdmLd
O基点
r
v
r?dm
mm krrzdmLdL )( 2
z
m
z
Ik
dmrkL
2
定义,刚体相对轴上一点的角动量沿轴向的分量称为刚体相对转轴的角动量,它与点的位置无关,
m dmrzL 的情况,① 刚体关于转 轴对称 ;② 转轴穿过所有刚体切片的质心 ;③ 刚体关于 z=0平面对称 ;
0L?
(一 )定轴转动中的角动量
)]([)( rkzkrkzdm
][)( rkrkzdm
])[][( rkrrkkzdm
)( 2 krrzdm
mm dmrkdmrz 2
固定轴
ω,αz
O基点
r
v
r?dm
(二 )刚 体绕 Z轴的转动惯量 （ moment of inertia）
2.物理意义,刚体转动惯性的量度,
3.大小规律,
mz
dmrI 21.定义,
对于质点,mrI z 2
对于质点系, iiz mrI 2
对于刚体组, izz II
(1)对形状、大小相同的刚体,
密度越大转动惯量越大 ;
(2)在总质量相同的情况下,
质量分布离轴越远,转动惯量越大 ;
(3)同一刚体,转动惯量的大小决定于转轴的方位,
1,常用的几个 I
均匀圆环：
均匀圆盘：
均匀杆：
4
2
0
2
2
4
122 Rrd rrI
R
m
R
mR
c
R mC
R mC
CA m
l
2
l
2
*转动惯量的计算
)();( 22 连续分布的刚体分立的质点系
mii
dmrIrmI
221 mRI
C?
2mRI C?
32/
2/
2 )(
223
1 l
l
m
l
ml
lC
dxxI
2
12
1 mlI
C?
3
0
2
3
1 ldxxI
l
m
l
ml
A
2
3
1 mlI
A? P104 表 4.2.1
本次课作业：
4.3
4.16
1.定轴转动中的角动量上次课回顾
zmz IkdmrkL
2
2.刚 体绕 Z轴的转动惯量
mz dmrI
2
3.转动惯量的计算
)();( 22 连续分布的刚体分立的质点系
mii
dmrIrmI
4.几个常用均匀物体的 I：
均匀圆环,2mRI C? 均匀圆盘,221 mRI C?
均匀杆,2121 mlI
C? 均匀球：
252 mRI C?
2.计算 I 的几条规律
(1)对同一轴 I具有可叠加性
(2)平行轴定理
=0=m
iii mrIII 2:;,质点系刚体组
mmz dmrdrddmrI )()(2
mmm dmrdmrddmd 22 2
Cz ImdI
2
dC
dm
IC IZ
平行
Z
o
rr
’
(3)对薄平板刚体的正交轴定理
yr
x
z
y
x
dm
mmmz dmydmxdmrI 222
xyz III
[例二 ]:求质量均匀分布的薄圆盘绕任意一条直径转动的转动惯量,
Y
X
Z
圆盘
R
C
m
Z
X
Y
O
R
[例一 ]:求如图示均匀球绕 X轴和 Y轴转动的转动惯量,
解,22
5
2 mRmRII
yx
2
5
7 mRII
yx
2
2
1 mRI
z?
解,
yxz III
yx II?
2
4
1 mRII
yx
(三 )定轴转动中的力矩固定轴
ω,αz
O基点
r
r?
F
θ
F
F
iiiiii FrkFrFkz //
iiiiiz FrkFrM?s i n
横向力矩,有改变转轴方向的趋势,被转轴处的力矩所平衡,
外力相对于转轴上一点的力矩沿转轴方向的分量,称为外力相对于转轴的力矩,
它和参考点在转轴上的位置无关,
改变刚体的转动状态,
)()( // iiiiii FkFrkzFrM 外合外
ii FkzM kFr ii //
(四 )刚体定轴转动的角动量定理
zz IL?
iiiz s i nFrM?;dtLdM
dt
Id
dt
dLM )(
IFrM iii s i n
1212 )()(
2
1
IILLM d t
t
t
dt
dLM z
z?
二,刚 体定轴转动定律?
常量?I
与牛 II比较：
M F
I m
a
~
~
~?
I 描述了刚体的转动惯性
IM?
定轴转动的刚体所受到的合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积,
)dmr(d m vrL Z 2
R =0.2m,[例一 ]已知,m =1 kg,v0 =0,h =1.5 m,
绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s。
求：轮对 O 轴 I =？
解,动力学关系,对轮,TR I (1),
对,m mg T ma (2)
★ 刚体定轴转动定律的应用定轴 O
· R
t h
mv0=0
绳
α
TG
·R
N
mg
T = - T′
ma
运动学关系, aR (3)
h at? 12 2 (4)
2
2
)12( mRhgtI联立求解得,;)(,量纲正确分析 1;,tI,m,h)( 合理一定2
.,gth,I)( 正确22103
代入数据得,214.1 mkgI
m1m2
[例二 ](习题 4.20 )如图所示,固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕同一水平光滑轴转动,设大小圆柱体的半径分别为 R,r，
质量分别为 M,m.绕在圆柱体上的细绳分别与物体 m1,m2
相连,m1,m2挂在圆柱体的两侧,设 R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,
M=10kg,m1= m2=2kg。求,（ 1）柱体转动时的角加速度；
(2)如把 m1,m2都去掉,在两根绳的下端都用 20N的力垂直下拉,
则角加速度又为多少？
m2 m1
T2 T1
m2g m1g
T’2 T’1;1111 amTgm解,;2222 amgmT;)( 2221 2121?mrMRrTRT;1aR,2ar
g
rmmRmM
rmRm
2
2
2
1
21
)()( 2121
(1)
)/(13.6 2sr a d
(2) )/(09.9)(2 2
22 sr a dmrMR
rRF?
三,定轴转动中的角动量守恒定律
;dtdLM zz,,0,,恒量则若 外 zz LM
(一 )定律的适用对象,
dt
LdM z
z
外
(二 ) 固定轴穿过质心,
.::,0 恒量则若 外 zz LM
与质心做何种运动无关大小不变正、负不变
① 单个刚体 ; ② 质点系 ; ③ 刚体组 ;
④ 质点、刚体组 ; ⑤ 非刚体 ;
[例一 ](习题 4.23) 如图，宇宙飞船对于其中心轴的转动惯量为
I=,正以 的角速度绕中心轴旋转。飞船上有两个切向的控制喷管可使它停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是 r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，总共为
q=2kg/s。喷气相对飞船的喷射速率恒为 u=50m/s。
问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转？
23102 mkg sr a d /2.00
解,
u
u
ω
)( 2mrI? ])([)]()([ 2 udrrq d tdrq d tmI
ruq d tdmrI ))(( 2
ruq d tdmrI)( 2;2
0 )( rqtmI
q r u d td
2
0
2
0
0
)(ln
rmI
rqtmI
r
u
seemt u
r
u
r
r
I
qr
I
q 66.2]1[]1)[(
00
2
)(
02
11
本次作业：
4.8 4.11
4.22
2.刚体定轴转动的角动量定理
dt
Id
dt
dLM )(
1212 )()(
2
1
IILLM d t
t
t
1.刚 体定轴转动定律?IM?
3,角动量守恒定律
.,0,,恒量则若 外 zz LM
4,说明,① 必须对同一转 轴；
③ 若穿过质心固定轴的角动量守恒，则 与质心做何种运动无关 。
LIM,、
上次课回顾
mg
θ
O
Z
M×
陀螺 (top):绕支点作高速旋转的刚体的统称,
;gmrM C gmMLM,
*四,陀螺仪的进动 一种相对简单但重要的定点转动
ω∥ L
dL
平衡陀螺,支点与质心重合重力陀螺,支点与质心不重合;dtLdM
;, Ld?;)1( 大小不变L?
.)2( 轴逆时针转动绕 ZL?
进动
▲ 枪膛或炮膛内的来复线与 射弹的进动；
*进动的实例：
▲ 陀螺的进动；
▲ 惯性导航,
( p119图）
§ 4.4 刚体定轴转动的功能关系
(一 )力矩的功
MddA0 MdA
一,刚体定轴转动的动能定理
222 2121
rdmvdmdE k?;dtdIM合外
2
1
2
2 2
1
2
1 IIA
(三 )刚 体定轴转动的动能定理
⊙
d?
z x
ω
轴
r
F
c o s drFrdFdA
本质上仍是力做的功
(二 )刚体定轴转动的动能
22 )(
2
1
mm kk dmrdEE
2
2
1?IE
k?;; dtdIddM 合外
;2121 dIdM 合外?
组成刚体的所有质元动能的总和,
质点系动能定理的特殊表述形式,
二,定轴转动的功能原理
C
hc h
dm
Ep=0
对于包含有刚体的系统,
力矩的功 ← 力的功 ;转动动能 ← 质点系的动能 ;
转动动能定理 ← 质点系的动能定理 ;
适用刚体 ← 保守力的功等于势能增量的负值,
刚体重力势能由质心位置决定
CmmP m g hgd m hd m g hE )(
θ··
ω
轴
O
CA B
l,m
l /4
[例一 ]如图的均匀杆质量为 m,长为 l，
可绕水平光滑轴在竖直平面内转动,
其中,,初始时水平静止。
求,杆下摆到 角时杆的角速度和轴对杆的作用力
4/lAO?
.N?
功能原理和机械能守恒定律仍然成立,
2220 4874121 )( mlmmlI l (2)
aCt
aCl
l
s i ng
7
62
求转轴处的力 CamgmN
练习,P129 4.27
s i n764 2 ga llC (5)
c o s73
c o s4
44 0 gI
mglll
tCa
(6)
,s i n713?mgN lc o s74 mgN t;16s i n1537 2mgN )c t g13
4(tg||tg 11
l
t
N
N
θ··
ω
轴
O
CA B
l,m
l /4
解, s i n00
421 20 lmgI
(1)求角速度
mg
Nt
Nl
N
lCl maNmgs i n (3)
tCt maNmgc o s
(4)
m
P
h
v
m
mg
·O
M
R
[例二 ] 如图示,已知,h,R,M,m,θ.求：碰撞后瞬间刻盘的 ω0=? P转到 x轴时盘的 ω=?α=?
2v21 mm g h
对 (m +M)系统,碰撞由 (1)(2)(3)得, c o s2
2
10 R
gh
mM
m
(4)
对 (m + M +地球 )系统,
由 (3)(4)(5)得, s i n2c o s2
)( 2121
2
22
2
R
g
mM
m
R
gh
mM
m?
RmM
mg
RmM
m gR
I
M
)) 21(21( 2?
θ
m(黏土块 )y
x
h
P
O
M
光滑轴均质圆盘
(水平 )
R
解,m下落 gh2?v (1)
0c o s Im v R?
(2)
(3) 2)( 21 RmMI
22
0 2
1
2
1sin IIm g R(5)
本次作业：
4.28 4.29
4.31
