第二章 热力学第一定律
§ 2.1 准静态过程 功 热量和内能
§ 2.2 热力学第一定律及其对理想气体的应用
§ 2.4 循环过程 卡诺循环热力学方法观察和实验事实能量观点逻辑推理
(数学 )
宏观量,
P,V,T…
宏观量定律
§ 2.3 绝热过程与多方过程一,准静态过程过程,系统状态的变化,
举例 1:气体的压缩,
缓慢压缩,外界总比系统压强大一小量 dP.
§ 2.1 准静态过程 功 热量和内能准静态过程,
弛豫时间 <<
过程进行时间系统内各处宏观量相同弛豫时间约 10 -3 秒,压缩一次时间 1 秒如,
系统内各处的 P,T,n相同系统 T1
T1+dT T1+2dT T1+3dT
T2
准静态过程举例 2:无限小温差热传导,各处 T相同准静态过程
T1 直接与 T2接触达到热平衡不是 准静态过程 。
过程进行得 以至于过程中的无限缓慢,
平衡态,每一中间状态都可当作
V
P
o
等温过程等容过程等压过程循环过程准静态过程可以用系统 中的一条过程曲线表示,状态图系统 中的一条过程曲线代表一个准静态过程,状态图
P— V图,P— T图,V— T图二,功摩擦功,rdfdA r
电场力的功,U d qIU d tdA
准静态过程中气体对外界的体积功,
P dVdA?
2
1
2
1
V
V
P d VdAA
功是过程量
1V 2V
.0:;0:;0:;0:
A
A
A
A
逆时针顺时针压缩膨胀
功的计算,
① 元 功积分法,
与过程有关② 应用热一律,
改变系统状态传热 条件,系统和外界有温差或物态变化,
热量元,;c m d TdQ? 总热量, 2
1
2
1
T
T
c m d TdQQ
系统 的内能是状态量理想气体的内能,RTiMmE 2
内能的变化,
12
2
112
EEdEE
热量是过程量三,热量
热量的计算,
① 温变过程中的热量
Q> 0:吸热 ; Q< 0:放热与过程有关
② 物态变化过程中的热量 ; ③ 应用热一律,
四,内能 对系统内分子
N
i ij
P i j
N
i
ki EEE
11
内与过程无关途径和量度,A与 Q
计算,① 应用 E内函数 ;
② 应用热一律,
摩尔热容量,;)/( dTMm dQC? 总热量, 2
1
T
T
C d TMmQ
改变系统状态;AEQ 对微过程,dAdEdQ
[例 ]:如图所示,打开 阀门,水温一直不变,问,① 气体吸热？ ② 气体做功？
③ 气体内能？ ④ 气体温度？
一,热力学第一定律系统在某一过程中,从外界吸热为 Q,对外界做功为 A，
系统内能的增量为,则,12 EEE
能量守恒定律在热力学中的表述注意各量正负 !
气体 真空阀门水二,热力学第一定律对理想气体准静态过程的应用,
(一 )等容过程,
等容过程
V
P
o V0
P1
P2
T1
T2;0?A
§ 2.2 热力学第一定律及其对理想气体的应用
);(2 12 TTRiMmEQ V;)(2 012 VPPiEQ V定容摩尔热容量 RiC
V 2?
)( 12 TTCMmE V
(二 )等压过程,等压过程
V
P
o
P0
V1 V2
T1 T2
);()( 12120 TTRMmVVPA
);(2)(2 12012 VVPiTTRiMmE
);(2 2)(2 2 12120 TTRMmiVVPiQ P
定压摩尔热容量
RRiC P 2
RCC VP迈耶公式,每摩尔的理气,温度每升高 1K,等压过程比等容过程多吸收热量 R,用于膨胀做功,
比热容比
i
i
C
C
V
P 2
67.13/5单原子分子理想气体,
刚性双原子分子理想气体,40.15/7
33.13/4刚性多原子分子理想气体,
*理论值与实验值的差别 (见 P261表 2.2.1和图 2.2.1)
常温下多原子分子气体的差别较大,理想气体与实际气体有差别
热容量与温度有关,经典理论有缺陷,量子理论能解释等温过程
V
P
o V
1 V2
P1
P2
T0
(三 )等温过程,;0E
2
1
2
1
0
V
V
V
V V
dVRT
M
mP d VAQ
1
20 ln
V
VRT
M
mAQ
,?TC问题 210 ln P
PRT
M
mAQ
[例 1]1mol氧气温度由 10℃ 升到 60℃ 时，求以下过程氧气各吸收多少热量？增加多少内能？对外做多少功？
（ 1）保持体积不变；（ 2）保持压强不变。
解：
（ 1） A=0
JTvRiEQ 31004.15031.81252
（ 2）
0?A
JTRivTvCQ P 31045.15031.827112
JEQA 31041.0
（ 1）
（ 2）
本次作业：
2.3 2.4
[例 2]压强 1atm、温度 27℃,体积 V0的 1mol某双原子分子气体，计算在下述两种过程中气体内能的增量、气体对外所作的功和气体吸收的热量，并作出 p-V图：
[1]等体加热升温到 87℃,再等温膨胀到原体积的 2倍；
[2]等温膨胀至原体积的 2倍，再等体加热升温到 87℃ 。
解,[1]
（ 1）
JTRivTvCE V 31025.16031.82512
JVVv R Tdvvv R TpdvA
b
ccb bCb b 31007.22ln36031.81ln1
JAEQ 31032.3
J
（ 2）
JE 31025.1
JVVv R TA
a
d
a
31073.1ln
JAEQ 31098.2
J [2]
1.热力学第一定律,;AEQ dAdEdQ
RRiC P 2
2.热力学第一定律对理想气体准静态过程的应用,;0?A VPPiTTRiMmEQ V )(2)(2 1212(1)等容过程,
(2)等压过程,)()( 12120 TTRMmVVPA
)(2)(2 12120 TTRiMmVVPiE
)(2 2)(2 2 12120 TTRMmiVVPiQ P
(3)等温过程,;0E
2
10
1
20 lnln
P
PRT
M
m
V
VRT
M
mAQ
3.摩尔热容量 RiC V 2?
上次课回顾一,绝热过程,;0;0 QdQ
dTCdEdQ v,0 0 P d VdTC v?
RTMmPV? 0 V
dV
P
dP?;1CPV ;21 CTV ;31 CTP
从同一状态压缩相同的 ΔV,
(ΔP)Q>(ΔP)T,为什么?
1)(2
2211
21?
VPVPTTRi
M
mEA
,?QC问题泊松公式等温线
(ΔP)Q
(ΔP)T
ΔV
§ 2.3 绝热过程与多方过程
R d TMmP d VV d P
★ 气体的绝热自由膨胀过程气体 V1 真空 V2;0;0 AQ 0 E;21 TT? );(,21211 VVPVP
1
21
1
2,PVV
VP
非平衡过程 !!
二,多方过程常量?nPV 等压过程:0?n
等温过程:1?n
绝热过程:n
等容过程:n
取其它值,多方过程n
)(2)(2 112212 VPVPiTTRiMmTCMmE V
)TT(RMmn)VPVP(ndVVA VV n 12112221 1111
TCMmnnTTRMmn nVPVPn nQ V 1)()1)(1()()1)(1( 121122
VCn
nC
n 1?
[例一 ] (习题 2.7)分析理想气体经历如图各过程时△ E，△ T,A和 Q的正负,
解,△ T>0;→ △ E>0;
d→ e:Q<0;
A<0;
c→e,Q=0;b→e,Q>0; o
P
V
b c
等温线
d
绝热线
T2
T1
e
[例二 ] 1mol双原子分子理想气体作图示准静态过程,求系统,(1) d状态的 P,V,T;
(2) 整个过程中的 A;(3) 整个过程中的 Q.
解,,/111 RVPT?,2 1TTb?,4 1TTc? ;1Td?;64,)2(4 111111 VVVTVT dd;64/,111 PPVPVP ddd;21722527 1111 VPTRTRQQQ bcab ;217 11VPQA
§ 2.4 循环过程 卡诺循环一,循环过程 (简称循环 )
工作物质 (简称工质 )
经一系列变化后回到初始状态的过程,
(一 )正循环和热机
A=Q净 =Q吸 -Q放 ;
(二 )逆循环和致冷机
Q放 =A+Q吸 ;
热机效率,
吸放吸 Q
Q
Q
A 1?
致冷系数,
吸放吸吸
QQ
Q
A
Q
w
[例一 ]试计算如图示理想气体奥托循环的效率,
解,);(1 bcV TTCMmQ );(2 adV TTCMmQ;1211 VTVT dc ;1211 VTVT ab ;/1 12 QQ
1
12
1
2
1
)/(
11)(1
VVV
V
./ 12 称为压缩比VV
[例二 ](习题 2.18)求如图示逆循环的致冷系数,
解,;ln
2
1
11 V
VRT
M
mQ? ;ln
2
1
22 V
VRT
M
mQ?;
21
2
QQ
Qw
;21
2
TT
Tw
;
21
2
QQ
Qw
二,理想气体的卡诺循环工质,理想气体,环境,两个恒温热源,
过程,两个等温过程和两个绝热过程组成循环,;ln
1
2
11 V
VRT
M
mQ? ;ln
4
3
22 V
VRT
M
mQ?;142111 VTVT ;132121 VTVT
;1
1
2
Q
Q? ;1
1
2
T
T
C
(二 )卡诺致冷机用卡诺逆循环
(一 )卡诺热机用卡诺正循环;
21
2
TT
Tw
C
卡诺循环,系统只与两个恒温热源交换热量的准静态循环过程,
提高热机效率的途径,① 降低 T2 ② 升高 T1
[例三 ](习题 2,12） 如图，理想气体所经历的循环过程包括两个等压过程和两个绝热过程。已知 b点和 c点的温度分别为 Tb和 Tc，
求循环效率，并问是否是卡诺循环。
o
P
V
a
d
b
c
ab过程吸热 )(1 abP TTvCQ
)(2 dcP TTvCQ
)1(/)1(111
1
2
d
a
b
c
d
c
ab
dc
T
TT
T
TT
TT
TT
Q
Q
rcrcrbrb TPTP 11
rdrdrara TPTP 11
ab PP? dc PP?
cdba TTTT //?
b
C
T
T 1?
解：
cd过程放热
bc过程
da过程
1Q
2Q
将 代入上两式并将两式相除得：
该循环不是卡诺循环。
[学员练习 ](习题 2,16）效率分别为 η1和 η2的两台卡诺热机串联运行，以第一台热机的低温热源作为第二台热机的高温热源。试证明联合热机的效率为,η=η1+（ 1-η1） η2
本次作业：
2.9 2.13 2.15 2.17
热机 1 热机 21Q 2Q 3Q
1A 2A
1
2
1 1?
2
3
2 1?
)1()( 121
21
232
1
21
1
21
AA
参考证明：
§ 2.1 准静态过程 功 热量和内能
§ 2.2 热力学第一定律及其对理想气体的应用
§ 2.4 循环过程 卡诺循环热力学方法观察和实验事实能量观点逻辑推理
(数学 )
宏观量,
P,V,T…
宏观量定律
§ 2.3 绝热过程与多方过程一,准静态过程过程,系统状态的变化,
举例 1:气体的压缩,
缓慢压缩,外界总比系统压强大一小量 dP.
§ 2.1 准静态过程 功 热量和内能准静态过程,
弛豫时间 <<
过程进行时间系统内各处宏观量相同弛豫时间约 10 -3 秒,压缩一次时间 1 秒如,
系统内各处的 P,T,n相同系统 T1
T1+dT T1+2dT T1+3dT
T2
准静态过程举例 2:无限小温差热传导,各处 T相同准静态过程
T1 直接与 T2接触达到热平衡不是 准静态过程 。
过程进行得 以至于过程中的无限缓慢,
平衡态,每一中间状态都可当作
V
P
o
等温过程等容过程等压过程循环过程准静态过程可以用系统 中的一条过程曲线表示,状态图系统 中的一条过程曲线代表一个准静态过程,状态图
P— V图,P— T图,V— T图二,功摩擦功,rdfdA r
电场力的功,U d qIU d tdA
准静态过程中气体对外界的体积功,
P dVdA?
2
1
2
1
V
V
P d VdAA
功是过程量
1V 2V
.0:;0:;0:;0:
A
A
A
A
逆时针顺时针压缩膨胀
功的计算,
① 元 功积分法,
与过程有关② 应用热一律,
改变系统状态传热 条件,系统和外界有温差或物态变化,
热量元,;c m d TdQ? 总热量, 2
1
2
1
T
T
c m d TdQQ
系统 的内能是状态量理想气体的内能,RTiMmE 2
内能的变化,
12
2
112
EEdEE
热量是过程量三,热量
热量的计算,
① 温变过程中的热量
Q> 0:吸热 ; Q< 0:放热与过程有关
② 物态变化过程中的热量 ; ③ 应用热一律,
四,内能 对系统内分子
N
i ij
P i j
N
i
ki EEE
11
内与过程无关途径和量度,A与 Q
计算,① 应用 E内函数 ;
② 应用热一律,
摩尔热容量,;)/( dTMm dQC? 总热量, 2
1
T
T
C d TMmQ
改变系统状态;AEQ 对微过程,dAdEdQ
[例 ]:如图所示,打开 阀门,水温一直不变,问,① 气体吸热？ ② 气体做功？
③ 气体内能？ ④ 气体温度？
一,热力学第一定律系统在某一过程中,从外界吸热为 Q,对外界做功为 A，
系统内能的增量为,则,12 EEE
能量守恒定律在热力学中的表述注意各量正负 !
气体 真空阀门水二,热力学第一定律对理想气体准静态过程的应用,
(一 )等容过程,
等容过程
V
P
o V0
P1
P2
T1
T2;0?A
§ 2.2 热力学第一定律及其对理想气体的应用
);(2 12 TTRiMmEQ V;)(2 012 VPPiEQ V定容摩尔热容量 RiC
V 2?
)( 12 TTCMmE V
(二 )等压过程,等压过程
V
P
o
P0
V1 V2
T1 T2
);()( 12120 TTRMmVVPA
);(2)(2 12012 VVPiTTRiMmE
);(2 2)(2 2 12120 TTRMmiVVPiQ P
定压摩尔热容量
RRiC P 2
RCC VP迈耶公式,每摩尔的理气,温度每升高 1K,等压过程比等容过程多吸收热量 R,用于膨胀做功,
比热容比
i
i
C
C
V
P 2
67.13/5单原子分子理想气体,
刚性双原子分子理想气体,40.15/7
33.13/4刚性多原子分子理想气体,
*理论值与实验值的差别 (见 P261表 2.2.1和图 2.2.1)
常温下多原子分子气体的差别较大,理想气体与实际气体有差别
热容量与温度有关,经典理论有缺陷,量子理论能解释等温过程
V
P
o V
1 V2
P1
P2
T0
(三 )等温过程,;0E
2
1
2
1
0
V
V
V
V V
dVRT
M
mP d VAQ
1
20 ln
V
VRT
M
mAQ
,?TC问题 210 ln P
PRT
M
mAQ
[例 1]1mol氧气温度由 10℃ 升到 60℃ 时，求以下过程氧气各吸收多少热量？增加多少内能？对外做多少功？
（ 1）保持体积不变；（ 2）保持压强不变。
解：
（ 1） A=0
JTvRiEQ 31004.15031.81252
（ 2）
0?A
JTRivTvCQ P 31045.15031.827112
JEQA 31041.0
（ 1）
（ 2）
本次作业：
2.3 2.4
[例 2]压强 1atm、温度 27℃,体积 V0的 1mol某双原子分子气体，计算在下述两种过程中气体内能的增量、气体对外所作的功和气体吸收的热量，并作出 p-V图：
[1]等体加热升温到 87℃,再等温膨胀到原体积的 2倍；
[2]等温膨胀至原体积的 2倍，再等体加热升温到 87℃ 。
解,[1]
（ 1）
JTRivTvCE V 31025.16031.82512
JVVv R Tdvvv R TpdvA
b
ccb bCb b 31007.22ln36031.81ln1
JAEQ 31032.3
J
（ 2）
JE 31025.1
JVVv R TA
a
d
a
31073.1ln
JAEQ 31098.2
J [2]
1.热力学第一定律,;AEQ dAdEdQ
RRiC P 2
2.热力学第一定律对理想气体准静态过程的应用,;0?A VPPiTTRiMmEQ V )(2)(2 1212(1)等容过程,
(2)等压过程,)()( 12120 TTRMmVVPA
)(2)(2 12120 TTRiMmVVPiE
)(2 2)(2 2 12120 TTRMmiVVPiQ P
(3)等温过程,;0E
2
10
1
20 lnln
P
PRT
M
m
V
VRT
M
mAQ
3.摩尔热容量 RiC V 2?
上次课回顾一,绝热过程,;0;0 QdQ
dTCdEdQ v,0 0 P d VdTC v?
RTMmPV? 0 V
dV
P
dP?;1CPV ;21 CTV ;31 CTP
从同一状态压缩相同的 ΔV,
(ΔP)Q>(ΔP)T,为什么?
1)(2
2211
21?
VPVPTTRi
M
mEA
,?QC问题泊松公式等温线
(ΔP)Q
(ΔP)T
ΔV
§ 2.3 绝热过程与多方过程
R d TMmP d VV d P
★ 气体的绝热自由膨胀过程气体 V1 真空 V2;0;0 AQ 0 E;21 TT? );(,21211 VVPVP
1
21
1
2,PVV
VP
非平衡过程 !!
二,多方过程常量?nPV 等压过程:0?n
等温过程:1?n
绝热过程:n
等容过程:n
取其它值,多方过程n
)(2)(2 112212 VPVPiTTRiMmTCMmE V
)TT(RMmn)VPVP(ndVVA VV n 12112221 1111
TCMmnnTTRMmn nVPVPn nQ V 1)()1)(1()()1)(1( 121122
VCn
nC
n 1?
[例一 ] (习题 2.7)分析理想气体经历如图各过程时△ E，△ T,A和 Q的正负,
解,△ T>0;→ △ E>0;
d→ e:Q<0;
A<0;
c→e,Q=0;b→e,Q>0; o
P
V
b c
等温线
d
绝热线
T2
T1
e
[例二 ] 1mol双原子分子理想气体作图示准静态过程,求系统,(1) d状态的 P,V,T;
(2) 整个过程中的 A;(3) 整个过程中的 Q.
解,,/111 RVPT?,2 1TTb?,4 1TTc? ;1Td?;64,)2(4 111111 VVVTVT dd;64/,111 PPVPVP ddd;21722527 1111 VPTRTRQQQ bcab ;217 11VPQA
§ 2.4 循环过程 卡诺循环一,循环过程 (简称循环 )
工作物质 (简称工质 )
经一系列变化后回到初始状态的过程,
(一 )正循环和热机
A=Q净 =Q吸 -Q放 ;
(二 )逆循环和致冷机
Q放 =A+Q吸 ;
热机效率,
吸放吸 Q
Q
Q
A 1?
致冷系数,
吸放吸吸
Q
A
Q
w
[例一 ]试计算如图示理想气体奥托循环的效率,
解,);(1 bcV TTCMmQ );(2 adV TTCMmQ;1211 VTVT dc ;1211 VTVT ab ;/1 12 QQ
1
12
1
2
1
)/(
11)(1
VVV
V
./ 12 称为压缩比VV
[例二 ](习题 2.18)求如图示逆循环的致冷系数,
解,;ln
2
1
11 V
VRT
M
mQ? ;ln
2
1
22 V
VRT
M
mQ?;
21
2
Qw
;21
2
TT
Tw
;
21
2
Qw
二,理想气体的卡诺循环工质,理想气体,环境,两个恒温热源,
过程,两个等温过程和两个绝热过程组成循环,;ln
1
2
11 V
VRT
M
mQ? ;ln
4
3
22 V
VRT
M
mQ?;142111 VTVT ;132121 VTVT
;1
1
2
Q
Q? ;1
1
2
T
T
C
(二 )卡诺致冷机用卡诺逆循环
(一 )卡诺热机用卡诺正循环;
21
2
TT
Tw
C
卡诺循环,系统只与两个恒温热源交换热量的准静态循环过程,
提高热机效率的途径,① 降低 T2 ② 升高 T1
[例三 ](习题 2,12） 如图，理想气体所经历的循环过程包括两个等压过程和两个绝热过程。已知 b点和 c点的温度分别为 Tb和 Tc，
求循环效率，并问是否是卡诺循环。
o
P
V
a
d
b
c
ab过程吸热 )(1 abP TTvCQ
)(2 dcP TTvCQ
)1(/)1(111
1
2
d
a
b
c
d
c
ab
dc
T
TT
T
TT
TT
TT
Q
Q
rcrcrbrb TPTP 11
rdrdrara TPTP 11
ab PP? dc PP?
cdba TTTT //?
b
C
T
T 1?
解：
cd过程放热
bc过程
da过程
1Q
2Q
将 代入上两式并将两式相除得：
该循环不是卡诺循环。
[学员练习 ](习题 2,16）效率分别为 η1和 η2的两台卡诺热机串联运行，以第一台热机的低温热源作为第二台热机的高温热源。试证明联合热机的效率为,η=η1+（ 1-η1） η2
本次作业：
2.9 2.13 2.15 2.17
热机 1 热机 21Q 2Q 3Q
1A 2A
1
2
1 1?
2
3
2 1?
)1()( 121
21
232
1
21
1
21
AA
参考证明：
