第二章 静电场中的导体和电介质导体或电介质外加场
0E
净电荷衍生场 E总场强 = + E? 0E? E
平衡分布?E? 分布?U
分布?Q
导体晶格点阵 +自由电子气外加场
0E
感应电荷衍生场 E总场强 = + E? 0E? E
静电平衡分布?E? 分布?U
分布?Q
§ 2.1 静电场中的导体 (conductor)
铜的自由电子数密度约
322 / ( c m )105.8 个?
s1314 10~10达到时间一,静电平衡时导体上,,的分布QUE?
(一 ) 分布,E? 内部 ;0?E? 表面外侧 表面,;?E? 0/E
孤立导体 ;曲率
(二 ) 分布,U 导体是等势体,表面是等势面,
(三 ) 分布,Q 内部 ;0 表面,?
导体空腔,若腔内有,则内表面 ;若,则内表面,Q Q? 0?Q 0
二,静电平衡时导体性质的应用
(一 )尖端放电 (point discharge)
(二 )静电屏蔽 (eletrostatic shielding)
Q++
+
-
-
-
q?
0?E?
外场不影响内场
Q++
+
-
-
-
q?
+q
+
- -- +
+
q
-q+
外场不影响内场
q位置变不影响外场
q大小变将影响外场
Q
-
-
-
+q- -q--
外场内场互不影响三,有导体存在时静电场的分析与计算原则,0?内E1.静电平衡的条件 或 ;CU?
2.基本性质方程 和 ;
0/)( 内 iS qsdE
0L ldE
3.电荷守恒定律,c o n s tq i
[例 1](习题 2.4 )三块相同的金属平板 A,B,C
彼此平行,A与 B,B与 C之间的距离分别为 a和 b.
今用导线将外侧两板 A,C相连,并使中间板 B
带电 Q,这三块板的六个面上的电荷各为多少？
A B Ca b
Q
解,设各面的电荷如图 ;
1Aq 2Aq 1Bq 2Bq 1Cq 2Cq;21 Qqq BB ;02121 CCAA qqqq ;0)( 212121 CCBBAA qqqqqq;0212121 CCBBAA qqqqqq ;0)( 212121 CCBBAA qqqqq;)()( 212121212121 bqqqqqqaqqqqqq CCBBAAAACCBB;2121 Qqq CA ;21 ba bQqq AB ;12 ba aQqq CB
[例 2] 半径为,带电量为 的金属球 A与半径分别为,,带电量为 的金属球壳 B同心放置,求,① 电量分布 ;② A和 B的电势,
0R q 1R 2RQ
A q
0R
B
Q
1R
2R
解,① 电量分布,?球 A的表面均匀分布 ;q
球壳 B的内表面均匀分布 ; q?
球壳 B的外表面均匀分布 ; qQ?
② A和 B的电势,qQqq UUUU
);(4 1:
2100
0 R
qQ
R
q
R
qUrR
A
);(4 1:
210
01 R
qQ
R
q
r
qURrR
;4 1)(4 1:
2020
12 R
qQ
R
qQ
r
q
r
qURrR
B
.4 1)(4 1:
00
2 r
qQ
r
qQ
r
q
r
qURr
q? q?;044 0
00
球UUlqRQ
qlRQ
[例 3] 在半径为 的接地导体球附近距离球心为 处放置电量为 的点电荷,求,导体球上感应电荷的电量,
R lq
Q
解,
q
R
o
l
Q
[例 4]两个相距很远的带电导体球,半径分别为 R和 r (R > r).用一根导线将两球相连接,求两球表面的电荷面密度之比,
R r
qQ
两球等势解,相距很远 →忽略相互作用 →电荷均匀分布导线相连 →
22 4,4 rqRQ rR
r
R
q
Q
r
q
R
Q
00 44
R
r
q
r
R
Q
r
R
2
2?
孤立导体表面电荷面密度与曲率半径成反比,
本次作业：
2.2 2.5
1.静电平衡时导体上,,的分布QUE?
(一 ) 分布,E? 内部 ;0?E? 表面外侧 表面,;?E? 0/E
孤立导体 曲率
(二 ) 分布,U 导体是等势体,表面是等势面,
(三 ) 分布,Q 内部 ;0 表面,?
导体空腔,若腔内有,则内表面 ;若,则内表面,Q Q? 0?Q 0
2.有导体存在时静电场的分析与计算原则,0?内E1)静电平衡的条件 或 ;CU?
2)基本性质方程 和 ;
0/)( 内 iS qsdE
0L ldE
3)电荷守恒定律,c o n s tq i
上次课回顾
· 导体对电场的作用,抵消外场 介质对电场的作用电介质 (绝缘体 )
理论上无自由电子外加场
0E
极化 (束缚 )电荷极化场 E
总场强 = + E? 0E? E
§ 2.2,§ 2.3 静电场中的电介质 (dielectric)
与介质性能的关系?
一,电介质的极化 (polarization)
(一 )电介质的微观电结构介质分子原子
…
原子核,带正电核外电子,带负电介质分子
+正电中心负电中心
+ 无极分子
(nonpolar molecules)+l? lqp
有极分子 (polar molecules)
电介质中无外场时,有极分子电介质 无极分子电介质电介质对外呈现电中性
(二 )电介质的极化 (均匀介质 )
1.有极分子电介质的极化,l? 0E
++
+
-
-- ++
--
取向极化 (orientation polarization)
热运动 →分子电矩的紊乱 ;
2.无极分子电介质的极化,+
0E
++
+
-
-- ++
--
位移极化 (displacement~)
极化电荷 (Polarization charges)
束缚电荷 (bound charges)
补充说明,
有极分子电介质的极化中也有位移极化成分 ;
对非均匀电介质 →介质体内有极化电荷,
(三 )极化强度矢量 (polarization intensity vector)
每个分子的电偶极矩 ↑ip?
对所有分子,排列的有序程度 ↑ip? 介质被极化的程度 ↑
宏观小微观大的体积元 V? 0E?
)/(lim 0 VpP i iV1.定义,
][][,/ 2PmC单位,
2.极化强度 与极化电荷的关系P?
P?
nds
l ldsPplqd i ic o s?
设由于极化而越过 ds的电荷为 dq’,则
sdPdsPqdc o s
S sdPQ外移出闭合面 S外的极化电荷为
S
闭合面 S内的极化电荷为 S sdPQ内极化电荷体密度为 P
极化电荷面密度为 nP
① 几何意义,,-”“+” 电荷是 线的“源”和
“汇”。
② 各向同性均匀线性电介质,
.0
3.极化强度 与场强 的关系P? E?
极化电荷产生的场 总是削弱外场,E 0E? 使得介质内的总场强
00 EEEE
,介质内的 取决于总场强,E?P?
均匀介质,在 不很大的情况下,
对各向同性
0E
];[][,
0 EPEP
EP e 0 —— 电极化率,与介质结构有关,)0(?e?
二,介质中的静电场 EEE 0
EE,P?
引入一个辅助矢量 !!
(一 )电位移矢量 (electric displacement vector)
0/ 内 iS qsdE
内内内 qqq fi
内 qsdPS
内 fS qsdPE )( 0?
1.定义,PED 0? 单位,2/mC
2.对各向同性均匀线性电介质,
ED e )1(0
re1
相对介电常数,
与介质结构有关,
EED r 0 电介质的电性质方程
(二 )有介质存在时的 Gauss定理
内 fS qsdD
通过任意封闭曲面的 电位移通量等于 该封闭曲面所包围的 自由电荷的代数和。
★ 对 和 的理解)1(?r? )0(?e?
与介质结构有关的无量纲数各向异性介质,用张量表示非线性介质,随外场而变 ;铁电性描述介质极化 (产生极化电荷或削弱外场 )能力
★ 对 的进一步理解D? 线发自正 自由 电荷，止于负 自由 电荷D
既和 自由 电荷又和 束缚 电荷有关D?
(三 )有电介质时电场的计算解题步骤,
fq D
E?
abU? C
P?
ED baab ldEU abf UqC /?
EP r )1(0 nP
内 fS qsdD
[例 1] 如图示两块带电导体板,中间充满各向同性均匀线性电介质,
求,① 介质 内的场强 ;② 介质表面束缚电荷的面密度,
0? 0
r?
D?
S?
解, ;0 SSDsdDS ;0?D
);/( 00 rE,/ rfEE;/)1()1( 00 rrr E左
./)1()1( 00 rrr E右
[例 2] 如图示带电导体球外包围两层各向同性均匀线性电介质,求,① 场强的分布 ;
② 电介质各表面处的极化电荷,
0R
1R
2R
1r?
2r?
Q
解,①,0;0;0:0 PDERr
;4,20 QrDsdDrR S
;24 rQD?
.;/;,2
1
1
111210110 4
1
4 r
Q
r
Q
r
r
rfr PEEERrR
.;/;,2
2
2
222220221 4
1
4 r
Q
r
Q
r
r
rfr PEEERrR
.0;1/;,332
032 4
PEEErR frQ
②,,2
01
1100
4
1
R
Q
r
rPnPRr
.)(,2
12
2
1
12111
4
11
R
Q
r
r
r
rPPnPRr
.,2
22
2222
4
1
R
Q
r
rPnPRr
解,
[例 3] 如图示无限大各向同性均匀线性介质板内部均匀带电,求,板内、外的,P、E、D
0?
d
r?
xo
面对称,① x=0处 D=E=P=0;②,平板且对称?PED
0s:2/dx ;22
000 xssDsdDS
./)1();/(; 0000 rrr xPxExD
:2/dx ;2 000 dssDsdDS
.0);2/(;2/
:2/
000
PdEdD
dx
.0);2/(;2/
:2/
000
PdEdD
dx
rr
P
/)1(0
★ 的成立条件 rfEE
① 同一种各向同性均匀线性电介质充满全部电场空间 ;
② 电介质按等势面填充 (即把两等势面间的空间全部充满 );
③ 电介质按电力线管填充 (即把两等势面和与等势面正交的两个面围成的管状区域全部充满 ).
·
带电导体 电介质
0)s i ns i n( 2211
EEl
ldEL
fnDD
)(
12
三,静电场的边界条件
(一 )边界条件公式
2211
2
2
2
1
1
1
co sco s
sinsin
DD
DD
2
1
2
1
2
1
ta n
ta n
r
r
1?
2?
1D
2D
S?1n?
2n
n?
f
S
SnDDS
nDnDSsdD
)(
)(
12
1122
1?
1E
1?
2?
2E
2?
l
n? 0)(
12 nEE
:,0 则若?f?
D?
E?
切向分量不连续连续连续不连续法向分量
1.边界两侧 线条数相等 ; D?
2.在界面上 线发生折射 ; D? 1
2?
1?
2?
1D
2D
n?
线条数相等?E?
研究界面两侧 的关系及 的关系D? E?
(二 ) 线在界面上的折射 ( )D? 0?f?
本次作业：
2.10 2.11
1.电介质的极化有极分子 取向极化无极分子 位移极化
4.有介质存在时的 Gauss定理
nP
2.极化强度 与极化电荷的关系P?
)/(l i m 0 VpP i iV
S sdPQ内 P
内 fS qsdD
EED r 05.电介质的电性质方程
EP r )1(03.极化强度 与极化电荷的关系P?
上次课回顾
§ 2.4 电容器的电容
(一 )定义,设电容器两极板分别带等量异号电荷,
电量为 Q,两极板间的电势差为 U,则该电容器的电容定义为 单位,法拉 (F),μF,…./ UQC?
一,电容器 (capacitor)
二,电容 (量 ) (capacity)
(二 )指标,① 电容量 ; ② 耐压值,
储存电荷或电能的装置屏蔽外场
(一 )构成,两块 的金属极板,其间充以 ;靠得很近 电介质提高耐压值电容器的符号
C maxU
C决定于电容器自身结构 (形状,
尺寸,电介质 ),
与 Q和 U无关,孤立导体的电容 (相当于一极板位于无穷远处 ),UQC /?(二 )计算 C的步骤,
fQ
设? D?
内S fS dqsdD
E
ED r 0?
U?
ba ldEU
C?
UQC f /?
1R
2R
r?
r?d
S[例 1]求平行板电容器的电容,;/ SQD f
);/( 0 rSQE
Q?
Q?
E?D?设 Q如图 ;由高斯定理得
);/( 0 rSQdEdU
00 // CdSUQC rr
);2/( rLQD?
;2 )/l n (
0
12
L
RRQU
r
0
12
0
)/l n(
2 C
RR
LC
r
r
1R r?2R
L
[例 2] 求圆柱形电容器的电容,
[解 ] 设内筒带 +Q,外筒带 -Q;由高斯定理得 (忽略边缘效应 )
);2/( 0 rLQE r 方向,沿径向向外
[例 3] 求球形电容器的电容,
Q? Q?
[解 ] 设内外球面均匀带电如图 ;
);11(4
210 RR
QU
r
;4 2
0 r
QE
f ;4 2
0 r
QE
r
方向,沿径向向外
0
12
21
04 CRR
RRC
rr
[解 ]
[例 4] 求孤立导体球的电容,
[解 ]2
12
21
0 ;4
R
RR
RRC
r 104 RC r
!!1 4 0 6)(1094 1,1,1 9
0
1 Er RmRFC 则令
*关于介质击穿与电容器的耐压值二,电容器中充电介质的好处,② 提高耐压值,
一,电介质的击穿,
场强 0EE?①
(一 )热击穿 ;
(二 )电击穿 ;
大量自由电荷碰撞与电场的作用分子正负电荷分离自由电荷 介质击穿介质变为导体介电强度 E0:电介质可承受的最大场强,
② 令介质内
0m ax EE? )( 0EQ ),( 0 rEE
耐压值 )( 0max EU
① 增大电容量 ;
1R
2R
0R
1r?
2r?
[练习 ] 球形电容器中充以如图示两种电介质,
求该电容器的电容,
电容率 0/ CCr
三,电容器的联接
(一 )并联,
(二 )串联,
…
1C 2C nC
0
U;21 nUUUU ;21 nQQQQ
.21 nCCCC并
…
1C 2C nC
0 U;21 nUUUU ;21 nQQQQ
.1111
21 nCCCC
串
§ 2.5 静电场的能量一,电容器储能 q + dq Q
-Q
…
-(q +dq)
q
-q
…
2dq
-2dq
dq
-dq
0
0
t = tt = 0
E?
;
0
Q dAA
dq
C
qdqudA
;2 2CQA 222
22 CUQU
C
QW 注意,大电容千万不能摸 (指极板处 )!!!
;2)(2)(22
22
020
2
VESdEEdd SCUW rr 221 EVWw e
EDEdVdWw e 2121 2?
电容器中的能量就是电场的能量
(一 )平板电容器情形,
(二 )一般情形,电场能量密度
V e dVwW 对存在电场区域的体积分三,能量问题的计算二,电场的能量
(一 )能量的计算 222
22 CUQU
C
QW
V dV
EW
2
2?
1.对电容器,
2对非电容器,
R
Q
r
drQdrr
r
QW
RR 0
2
2
0
2
22
2
0
0
884)4(2
R
dr
rQ
[例 ]求均匀带电球面电场的能量,
[解 ]
(二 )能量变化的计算
1.引起能量变化的原因
2.变化过程中的保持条件
电容器结构情况的变化 ;如
Q
-Q?
Q
-Q
初态 末态
电容器中电介质情况的变化 ;如
Q常
-Q -Q
Q
r
初态 末态
电容器连接情况的变化 ;如 QQ
-Q -Q
0
0?
初态 末态
充电后与电源断开 保持电量不变
始终和电源相连 保持电压不变
[例 1]空气平板电容器,保持电量 Q不变,用力缓慢地将板距由 d拉为
2d,求,(1)电容器中能量的变化 ; (2)外力所作的功,
[解 ]
;2;
0 S
QEdQEdFdFA
下上下上电外外
(2)
.2
0
2
S
dQW
.2
0
2
S
dQA
外练习,上例中电容器始终与端电压为 U的电源相连,再作此题,
能量哪儿去了?
;2;22 0
22
d
SCC
C
Q
C
QW?
末初初末
(1)
.4;4
2
0
2
0
d
SUA
d
SUW
外
[答案 ]
;22;22 0
22
CCCCQCQW 初末初末
[例 2]如图示每个电容器的电容为 C0.
求并联前后电容器组的能量变化,
[解 ]
QQ
-Q -Q
0
0?
初态 末态
.04
0
2
CQW
能量哪儿去了?
电势能相互作用能 电容器储能 电场能有何联系与区别？
本次作业：
2.13 2.19
0E
净电荷衍生场 E总场强 = + E? 0E? E
平衡分布?E? 分布?U
分布?Q
导体晶格点阵 +自由电子气外加场
0E
感应电荷衍生场 E总场强 = + E? 0E? E
静电平衡分布?E? 分布?U
分布?Q
§ 2.1 静电场中的导体 (conductor)
铜的自由电子数密度约
322 / ( c m )105.8 个?
s1314 10~10达到时间一,静电平衡时导体上,,的分布QUE?
(一 ) 分布,E? 内部 ;0?E? 表面外侧 表面,;?E? 0/E
孤立导体 ;曲率
(二 ) 分布,U 导体是等势体,表面是等势面,
(三 ) 分布,Q 内部 ;0 表面,?
导体空腔,若腔内有,则内表面 ;若,则内表面,Q Q? 0?Q 0
二,静电平衡时导体性质的应用
(一 )尖端放电 (point discharge)
(二 )静电屏蔽 (eletrostatic shielding)
Q++
+
-
-
-
q?
0?E?
外场不影响内场
Q++
+
-
-
-
q?
+q
+
- -- +
+
q
-q+
外场不影响内场
q位置变不影响外场
q大小变将影响外场
Q
-
-
-
+q- -q--
外场内场互不影响三,有导体存在时静电场的分析与计算原则,0?内E1.静电平衡的条件 或 ;CU?
2.基本性质方程 和 ;
0/)( 内 iS qsdE
0L ldE
3.电荷守恒定律,c o n s tq i
[例 1](习题 2.4 )三块相同的金属平板 A,B,C
彼此平行,A与 B,B与 C之间的距离分别为 a和 b.
今用导线将外侧两板 A,C相连,并使中间板 B
带电 Q,这三块板的六个面上的电荷各为多少？
A B Ca b
Q
解,设各面的电荷如图 ;
1Aq 2Aq 1Bq 2Bq 1Cq 2Cq;21 Qqq BB ;02121 CCAA qqqq ;0)( 212121 CCBBAA qqqqqq;0212121 CCBBAA qqqqqq ;0)( 212121 CCBBAA qqqqq;)()( 212121212121 bqqqqqqaqqqqqq CCBBAAAACCBB;2121 Qqq CA ;21 ba bQqq AB ;12 ba aQqq CB
[例 2] 半径为,带电量为 的金属球 A与半径分别为,,带电量为 的金属球壳 B同心放置,求,① 电量分布 ;② A和 B的电势,
0R q 1R 2RQ
A q
0R
B
Q
1R
2R
解,① 电量分布,?球 A的表面均匀分布 ;q
球壳 B的内表面均匀分布 ; q?
球壳 B的外表面均匀分布 ; qQ?
② A和 B的电势,qQqq UUUU
);(4 1:
2100
0 R
R
q
R
qUrR
A
);(4 1:
210
01 R
R
q
r
qURrR
;4 1)(4 1:
2020
12 R
R
r
q
r
qURrR
B
.4 1)(4 1:
00
2 r
r
r
q
r
qURr
q? q?;044 0
00
球UUlqRQ
qlRQ
[例 3] 在半径为 的接地导体球附近距离球心为 处放置电量为 的点电荷,求,导体球上感应电荷的电量,
R lq
Q
解,
q
R
o
l
Q
[例 4]两个相距很远的带电导体球,半径分别为 R和 r (R > r).用一根导线将两球相连接,求两球表面的电荷面密度之比,
R r
两球等势解,相距很远 →忽略相互作用 →电荷均匀分布导线相连 →
22 4,4 rqRQ rR
r
R
q
Q
r
q
R
Q
00 44
R
r
q
r
R
Q
r
R
2
2?
孤立导体表面电荷面密度与曲率半径成反比,
本次作业：
2.2 2.5
1.静电平衡时导体上,,的分布QUE?
(一 ) 分布,E? 内部 ;0?E? 表面外侧 表面,;?E? 0/E
孤立导体 曲率
(二 ) 分布,U 导体是等势体,表面是等势面,
(三 ) 分布,Q 内部 ;0 表面,?
导体空腔,若腔内有,则内表面 ;若,则内表面,Q Q? 0?Q 0
2.有导体存在时静电场的分析与计算原则,0?内E1)静电平衡的条件 或 ;CU?
2)基本性质方程 和 ;
0/)( 内 iS qsdE
0L ldE
3)电荷守恒定律,c o n s tq i
上次课回顾
· 导体对电场的作用,抵消外场 介质对电场的作用电介质 (绝缘体 )
理论上无自由电子外加场
0E
极化 (束缚 )电荷极化场 E
总场强 = + E? 0E? E
§ 2.2,§ 2.3 静电场中的电介质 (dielectric)
与介质性能的关系?
一,电介质的极化 (polarization)
(一 )电介质的微观电结构介质分子原子
…
原子核,带正电核外电子,带负电介质分子
+正电中心负电中心
+ 无极分子
(nonpolar molecules)+l? lqp
有极分子 (polar molecules)
电介质中无外场时,有极分子电介质 无极分子电介质电介质对外呈现电中性
(二 )电介质的极化 (均匀介质 )
1.有极分子电介质的极化,l? 0E
++
+
-
-- ++
--
取向极化 (orientation polarization)
热运动 →分子电矩的紊乱 ;
2.无极分子电介质的极化,+
0E
++
+
-
-- ++
--
位移极化 (displacement~)
极化电荷 (Polarization charges)
束缚电荷 (bound charges)
补充说明,
有极分子电介质的极化中也有位移极化成分 ;
对非均匀电介质 →介质体内有极化电荷,
(三 )极化强度矢量 (polarization intensity vector)
每个分子的电偶极矩 ↑ip?
对所有分子,排列的有序程度 ↑ip? 介质被极化的程度 ↑
宏观小微观大的体积元 V? 0E?
)/(lim 0 VpP i iV1.定义,
][][,/ 2PmC单位,
2.极化强度 与极化电荷的关系P?
P?
nds
l ldsPplqd i ic o s?
设由于极化而越过 ds的电荷为 dq’,则
sdPdsPqdc o s
S sdPQ外移出闭合面 S外的极化电荷为
S
闭合面 S内的极化电荷为 S sdPQ内极化电荷体密度为 P
极化电荷面密度为 nP
① 几何意义,,-”“+” 电荷是 线的“源”和
“汇”。
② 各向同性均匀线性电介质,
.0
3.极化强度 与场强 的关系P? E?
极化电荷产生的场 总是削弱外场,E 0E? 使得介质内的总场强
00 EEEE
,介质内的 取决于总场强,E?P?
均匀介质,在 不很大的情况下,
对各向同性
0E
];[][,
0 EPEP
EP e 0 —— 电极化率,与介质结构有关,)0(?e?
二,介质中的静电场 EEE 0
EE,P?
引入一个辅助矢量 !!
(一 )电位移矢量 (electric displacement vector)
0/ 内 iS qsdE
内内内 qqq fi
内 qsdPS
内 fS qsdPE )( 0?
1.定义,PED 0? 单位,2/mC
2.对各向同性均匀线性电介质,
ED e )1(0
re1
相对介电常数,
与介质结构有关,
EED r 0 电介质的电性质方程
(二 )有介质存在时的 Gauss定理
内 fS qsdD
通过任意封闭曲面的 电位移通量等于 该封闭曲面所包围的 自由电荷的代数和。
★ 对 和 的理解)1(?r? )0(?e?
与介质结构有关的无量纲数各向异性介质,用张量表示非线性介质,随外场而变 ;铁电性描述介质极化 (产生极化电荷或削弱外场 )能力
★ 对 的进一步理解D? 线发自正 自由 电荷，止于负 自由 电荷D
既和 自由 电荷又和 束缚 电荷有关D?
(三 )有电介质时电场的计算解题步骤,
fq D
E?
abU? C
P?
ED baab ldEU abf UqC /?
EP r )1(0 nP
内 fS qsdD
[例 1] 如图示两块带电导体板,中间充满各向同性均匀线性电介质,
求,① 介质 内的场强 ;② 介质表面束缚电荷的面密度,
0? 0
r?
D?
S?
解, ;0 SSDsdDS ;0?D
);/( 00 rE,/ rfEE;/)1()1( 00 rrr E左
./)1()1( 00 rrr E右
[例 2] 如图示带电导体球外包围两层各向同性均匀线性电介质,求,① 场强的分布 ;
② 电介质各表面处的极化电荷,
0R
1R
2R
1r?
2r?
Q
解,①,0;0;0:0 PDERr
;4,20 QrDsdDrR S
;24 rQD?
.;/;,2
1
1
111210110 4
1
4 r
Q
r
Q
r
r
rfr PEEERrR
.;/;,2
2
2
222220221 4
1
4 r
Q
r
Q
r
r
rfr PEEERrR
.0;1/;,332
032 4
PEEErR frQ
②,,2
01
1100
4
1
R
Q
r
rPnPRr
.)(,2
12
2
1
12111
4
11
R
Q
r
r
r
rPPnPRr
.,2
22
2222
4
1
R
Q
r
rPnPRr
解,
[例 3] 如图示无限大各向同性均匀线性介质板内部均匀带电,求,板内、外的,P、E、D
0?
d
r?
xo
面对称,① x=0处 D=E=P=0;②,平板且对称?PED
0s:2/dx ;22
000 xssDsdDS
./)1();/(; 0000 rrr xPxExD
:2/dx ;2 000 dssDsdDS
.0);2/(;2/
:2/
000
PdEdD
dx
.0);2/(;2/
:2/
000
PdEdD
dx
rr
P
/)1(0
★ 的成立条件 rfEE
① 同一种各向同性均匀线性电介质充满全部电场空间 ;
② 电介质按等势面填充 (即把两等势面间的空间全部充满 );
③ 电介质按电力线管填充 (即把两等势面和与等势面正交的两个面围成的管状区域全部充满 ).
·
带电导体 电介质
0)s i ns i n( 2211
EEl
ldEL
fnDD
)(
12
三,静电场的边界条件
(一 )边界条件公式
2211
2
2
2
1
1
1
co sco s
sinsin
DD
DD
2
1
2
1
2
1
ta n
ta n
r
r
1?
2?
1D
2D
S?1n?
2n
n?
f
S
SnDDS
nDnDSsdD
)(
)(
12
1122
1?
1E
1?
2?
2E
2?
l
n? 0)(
12 nEE
:,0 则若?f?
D?
E?
切向分量不连续连续连续不连续法向分量
1.边界两侧 线条数相等 ; D?
2.在界面上 线发生折射 ; D? 1
2?
1?
2?
1D
2D
n?
线条数相等?E?
研究界面两侧 的关系及 的关系D? E?
(二 ) 线在界面上的折射 ( )D? 0?f?
本次作业：
2.10 2.11
1.电介质的极化有极分子 取向极化无极分子 位移极化
4.有介质存在时的 Gauss定理
nP
2.极化强度 与极化电荷的关系P?
)/(l i m 0 VpP i iV
S sdPQ内 P
内 fS qsdD
EED r 05.电介质的电性质方程
EP r )1(03.极化强度 与极化电荷的关系P?
上次课回顾
§ 2.4 电容器的电容
(一 )定义,设电容器两极板分别带等量异号电荷,
电量为 Q,两极板间的电势差为 U,则该电容器的电容定义为 单位,法拉 (F),μF,…./ UQC?
一,电容器 (capacitor)
二,电容 (量 ) (capacity)
(二 )指标,① 电容量 ; ② 耐压值,
储存电荷或电能的装置屏蔽外场
(一 )构成,两块 的金属极板,其间充以 ;靠得很近 电介质提高耐压值电容器的符号
C maxU
C决定于电容器自身结构 (形状,
尺寸,电介质 ),
与 Q和 U无关,孤立导体的电容 (相当于一极板位于无穷远处 ),UQC /?(二 )计算 C的步骤,
fQ
设? D?
内S fS dqsdD
E
ED r 0?
U?
ba ldEU
C?
UQC f /?
1R
2R
r?
r?d
S[例 1]求平行板电容器的电容,;/ SQD f
);/( 0 rSQE
Q?
Q?
E?D?设 Q如图 ;由高斯定理得
);/( 0 rSQdEdU
00 // CdSUQC rr
);2/( rLQD?
;2 )/l n (
0
12
L
RRQU
r
0
12
0
)/l n(
2 C
RR
LC
r
r
1R r?2R
L
[例 2] 求圆柱形电容器的电容,
[解 ] 设内筒带 +Q,外筒带 -Q;由高斯定理得 (忽略边缘效应 )
);2/( 0 rLQE r 方向,沿径向向外
[例 3] 求球形电容器的电容,
Q? Q?
[解 ] 设内外球面均匀带电如图 ;
);11(4
210 RR
QU
r
;4 2
0 r
QE
f ;4 2
0 r
QE
r
方向,沿径向向外
0
12
21
04 CRR
RRC
rr
[解 ]
[例 4] 求孤立导体球的电容,
[解 ]2
12
21
0 ;4
R
RR
RRC
r 104 RC r
!!1 4 0 6)(1094 1,1,1 9
0
1 Er RmRFC 则令
*关于介质击穿与电容器的耐压值二,电容器中充电介质的好处,② 提高耐压值,
一,电介质的击穿,
场强 0EE?①
(一 )热击穿 ;
(二 )电击穿 ;
大量自由电荷碰撞与电场的作用分子正负电荷分离自由电荷 介质击穿介质变为导体介电强度 E0:电介质可承受的最大场强,
② 令介质内
0m ax EE? )( 0EQ ),( 0 rEE
耐压值 )( 0max EU
① 增大电容量 ;
1R
2R
0R
1r?
2r?
[练习 ] 球形电容器中充以如图示两种电介质,
求该电容器的电容,
电容率 0/ CCr
三,电容器的联接
(一 )并联,
(二 )串联,
…
1C 2C nC
0
U;21 nUUUU ;21 nQQQQ
.21 nCCCC并
…
1C 2C nC
0 U;21 nUUUU ;21 nQQQQ
.1111
21 nCCCC
串
§ 2.5 静电场的能量一,电容器储能 q + dq Q
-Q
…
-(q +dq)
q
-q
…
2dq
-2dq
dq
-dq
0
0
t = tt = 0
E?
;
0
Q dAA
dq
C
qdqudA
;2 2CQA 222
22 CUQU
C
QW 注意,大电容千万不能摸 (指极板处 )!!!
;2)(2)(22
22
020
2
VESdEEdd SCUW rr 221 EVWw e
EDEdVdWw e 2121 2?
电容器中的能量就是电场的能量
(一 )平板电容器情形,
(二 )一般情形,电场能量密度
V e dVwW 对存在电场区域的体积分三,能量问题的计算二,电场的能量
(一 )能量的计算 222
22 CUQU
C
QW
V dV
EW
2
2?
1.对电容器,
2对非电容器,
R
Q
r
drQdrr
r
QW
RR 0
2
2
0
2
22
2
0
0
884)4(2
R
dr
rQ
[例 ]求均匀带电球面电场的能量,
[解 ]
(二 )能量变化的计算
1.引起能量变化的原因
2.变化过程中的保持条件
电容器结构情况的变化 ;如
Q
-Q?
Q
-Q
初态 末态
电容器中电介质情况的变化 ;如
Q常
-Q -Q
Q
r
初态 末态
电容器连接情况的变化 ;如 QQ
-Q -Q
0
0?
初态 末态
充电后与电源断开 保持电量不变
始终和电源相连 保持电压不变
[例 1]空气平板电容器,保持电量 Q不变,用力缓慢地将板距由 d拉为
2d,求,(1)电容器中能量的变化 ; (2)外力所作的功,
[解 ]
;2;
0 S
QEdQEdFdFA
下上下上电外外
(2)
.2
0
2
S
dQW
.2
0
2
S
dQA
外练习,上例中电容器始终与端电压为 U的电源相连,再作此题,
能量哪儿去了?
;2;22 0
22
d
SCC
C
Q
C
QW?
末初初末
(1)
.4;4
2
0
2
0
d
SUA
d
SUW
外
[答案 ]
;22;22 0
22
CCCCQCQW 初末初末
[例 2]如图示每个电容器的电容为 C0.
求并联前后电容器组的能量变化,
[解 ]
-Q -Q
0
0?
初态 末态
.04
0
2
CQW
能量哪儿去了?
电势能相互作用能 电容器储能 电场能有何联系与区别？
本次作业：
2.13 2.19
