第四章 真空中的稳恒磁场概述磁场 产生 作用力
产生 作用力运动电荷,
Lorentz力公式电流元,
Ampere力公式载流线圈,
磁力矩公式磁场的描述矢函数法,
磁感应强度几何方法,
磁感应线
Biot-Savert定律运动电荷的磁场磁场的性质磁场的
Gauss定理
Ampere
环路定理技术上的应用
Hall效应及其技术应用磁约束和磁透镜平行直电流作用力及
“安培
”定义复习
1.基本磁现象,…
2.总结,
一切磁现象 ….
磁力运动电荷或 电流运动电荷或 电流一．磁力的本质
§ 4.1 磁场力 磁场的描述 磁场的源
(一 )早期观察到的一些磁现象
(二 )磁力的本质
● 运动电荷（或电流）间的相互作用是通过 磁场 传递的；
● 运动电荷（或电流）在其附近 激发磁场,磁场对引人磁场的运动电荷（或电流）有 力的作用 ；
● 一切磁力都源于电流间的作用，电流是 磁场的源 ；
● *磁力的本质是电力,电与磁密不可分 。
B?
⊙
q vBf?m a x洛v?
:方向
B?
v?
0?洛f v
s i nq v Bf?洛
:方向 B?
B?lI,
s i nIlBF?安
:方向B?0?
安F
lI,
B?⊙
IlBF?m a x安
lI,:方向
B? B
a b
cd
⊙
⊙ 0?M Ba
b cd⊙
bcBabIM )(max?
:方向?
⊙?
⊙a
b c
d
s i n)( bcBabIM?
:方向
a bc
d?
a b
cd
⊙
I I?s i nBpMpSIbcabI mm
对非匀强磁场,如何定义?如何求 和?B? F? M?
——复习和引伸如何描述磁场？
(一 ) 磁感应强度 (Magnetic Induction) B?
.:;/:
m ax
m ax
的方向方向大小洛洛
vqf
qvfB

1.用运动点电荷所受的洛仑兹力定义 磁场中某点的特殊方向
v?
sinqvf?洛
:方向
0?洛f v
⊙,m a x qvf?洛v?,方向
q
2.用电流元所受的安培力定义的方向方向大小安安
lIdFd
I d ldFB
m a x
m a x
:;/,lId
s i nId ldF?安
:方向
0?安dFlId
⊙,m a x Id ldF?安lId?,方向磁场中某点的特殊方向
3.用载流小线圈所受的磁力矩定义的方向方向大小
m
m
pdM
dpMB

m a x
m a x
:;/,mpd
s i nmdpM?
:方向
0?M mpd
⊙,m a x mdpM?mpd?,方向磁场中某点的特殊方向
sIdpd m
圈的磁矩为定义载流线
Isd?
单位,特斯拉 (T)二,磁场的描述
(1)无头无尾的闭合曲线 ;
(2)不相交,不相切 ;
描述磁场的几何方法人为地虚拟方法
1.规定
(1)场线上各点的切向就是该点的 方向 ;B?
切向描述矢量场的方向(2)在磁场中任一点,

ds
dB m?
疏密描述矢量场的强弱
2.几何性质 磁场是“无源”有旋场场的唯一性和有限性所决定电流或运动电荷是磁场的源
(二 )磁感应线 (magnetic line of force) 磁力线 ; 线B?
也叫 磁通密度 (magnetic flux density)
(3)与电流 (或正电荷的 )套连且成右手螺旋关系,v?
1.定义,穿过任意面 S上的磁力线的条数称为 S上的磁通量,
(三 )磁通量 (magnetic flux)
m?
通量B?
2,的计算,m
B
n?S
BSm
B?n
S?
BSm
SBBScos
B? sd?
S
sdBd m
Sm sdB
三,磁场力公式
v
s i nq v Bf?洛
:方向
0?洛f v
⊙
q vBf?m a x洛v?
:方向
q B?
Bvqf洛
lId
s i nBId ldF安?:方向
0?安dFlId
⊙
BId ldFm a x安lId?
:方向
B?
BlIdFd安
mpd
s i nBdpM m?
:方向
0?M mpd
⊙
BdpM m?m a xmpd?
:方向
B?
BpdMd m
遵守力的叠加原理和力矩的叠加原理
[例 1] 求如图示任意形状的载流导线所受到的磁场力,
I ld?
安Fd?
解,;)( BldIBlIdF LL安
BlIF ab安
B?均匀
a
b
求下图所示的平面载流线圈在匀强磁场中所受的安培力和力矩。
对平面载流线圈,,BSIM
对闭合载流线圈,
,0?安F?
[例 2] 学员练习求下图所示的平面载流线圈在匀强磁场中所受的安培力和力矩。
重要结论：
本次作业,P82 4.14 4.16
0
0
mab I BM
F

力矩：
合力,安
mP?⊙
0m?
Bvqf洛
BlIdFd安
1.磁场力公式上次课回顾
① 洛仑力公式：
② 安培力公式：
③ 载流线圈所受力矩：
BlIdF L安
BPdMd m
0F?
2.平面载流线圈在均匀磁场中的所受合力和合力矩：
① 合力：
② 合力矩,BSIM,BPM m 或四,磁场的源
(一 )电流产生的磁场 稳恒电流是稳恒磁场的源
1.毕 —萨 —拉定律
:;
sin
:
2
方向大小
r
Idl
dB
PI
r?
ld
3
0
4 r
rlIdBd
2.磁场叠加原理;4 30 L r rlIdB

i iBB
真空磁导率 )(104 1270 HmNA
(二 )运动电荷产生的磁场 ;;)( 漂vnqjldsdjlId;)( ldsdvnqlId 漂;4 30 r rvqdNBd

漂;)( 漂漂 vqdNvsdln q dlId;?

dNBdB q
漂v
lId? ds
n
3
0
4 r
rvqB
q


暂不考虑变化的电场激发的磁场
(三 )毕奥 -沙伐尔定律的应用
1.利用毕奥 -沙伐尔定律求 的一般方法B?
① 若已知的电流分布较复杂，则可将它 分割成若干个常规电流 ；
③ 利用场强叠加原理（矢量叠加），求 每个电流 场分布 ； ii BdB
④ 再次 利用场强叠加原理，求出 整个电流 场分布 。?
I i
BB
lId? iBd?② 对 每个电流 取微元,利用毕 -沙定律写出 的表达式；
2,应用举例
I3
2
1
P
[例 1] 求圆电流在轴线上任一点产生的磁感应强度,
解,
② 求,Bd?
① 设场点,建坐标,取微元,lId?
方向,如图 ; 大小,
2
0
4 r
I d ldB
③ 写分量,正交分解法,
Bdr
R
r
I d ldB
x;
4 2
0
④ 算积分,;0?
B;2
4
2
44 3
0
3
2
0
3
0
r
p
r
RIdl
r
RIB m
L

P
IR
X
0
x
r?
ld?
Bd?;)( 24 2/3220 xR pB m

统一积分变量
Imp?
r?
磁偶极子
0030 34 rrpprB mm
磁偶极子远场的一般公式
x=0,;圆弧电流,iRIB 2 0 iRIB4 0?
x>>R,,
3
0 2
4 x
pB m
I?
F
特例,无限长载流直导线产生的磁场,
I
r⊙
B?
r
IB
2
0?
[例 2] 求一段载流导线产生的磁感强度分布,
I
P
1?
2?
r 0
X
dxx?
⊙
Bd?
解,;s i n4
22
0
xr
I d xdB



;sin/;ta n/
2
drdx
rx
;s i n4 0 r dIdB )co s(co s4 21
0

r
IB
[例 3] 求两根平行载流直导线间单位长度上的相互作用力,
l?
解,
;
2
0 l
r
IIBlIF
rIIlF2 0
同向相吸 ;
反向相斥,
也可认为,
在 处产生?
I? I
“安培”的定义
… 相同电流 …1 米 …
… 牛顿 …
… 定义为 1“安培”。
7102
本次作业,P81 4.4 4.5 4.7(选做 )
1.毕 —萨定律上次课回顾
3
0
4 r
rlIdBd
2.两种常规电流的磁场
① 圆电流轴线的磁场
② 载流直导线的磁场
IR
P
iRIB 2 0 iRIB 22 0
B?
X
0
x
圆电流在圆心处,圆弧电流在圆心处：
⊙?P
1?
2?a 方向如图),c o s( c o sa
IB
2104

i)xR( IR)xR( pB //m?

2322
2
0
2322
0
2
2
4
a
IB
2
0?无限长直导线：
a
IB
4
0?半无限长直导线,延长线上 B？
sd?
sd?
B?
B?
”“,正法向外法向为规定
.0;0
出进
对双侧曲面,总可以规定正法向,
一,磁场的 Gauss定理出进
0S sdB
微分形式
0 B?
磁通连续方程
[例 ] 证明不存在球对称辐射状的磁场,
【 证 】 设,存在球对称辐射状的磁场
r?
0r
0
//
)(
rB
rfB

o
S0S sdB
0)( rrfB

04)(
)(
2

rrf
dsrfsdB SS

矛盾磁单极子不存在
§ 4.2 磁场的基本性质线闭合B? 的环流不一定为 0B?
⊙ 1I
1r
1L
101 IldBL

⊙ 2I
2r
2L
202 IldBL

ld?
B?
二,安培 (Ampere)环路定理是全空间电流产生的
B?
Ii
有正负,
右旋为正非保守场,
或称为有旋场
内L iL IldB 0
Ii
与
L
套连,
套连 n
次为
nIi
① 可推广到任意闭合的稳恒电流 ;
② 空间若存在多个闭合电流,则应用磁场叠加原理,
安培环路定理在计算具有对称性分布的磁场时很有用 !
⊙
3I
3r3L
03L ldB
ld?B?
★ 应用安培环路定理求 B?
① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适的回路 L(注意选取原则 );
解,
[例 1] 如图示无限长均匀载流圆筒中的电流与轴线平行,在横截面上均匀分布,求它所产生的 分布,B?

I1R
2R
Bd?
Bd
B?③ 计算 L上的 的环流 ;B?
rBdlBldB LL?2
P
r?
L


)(
)(
)(
0 1
12
2
2
1
2
2
2
1
2
rR
RrR
Rr
I
I
I
RR
Rr
L
i
内

)(
)(
)(
0
1
12
2
2
1
2
2
2
1
2
0
0
2
2
rR
RrR
Rr
B
RR
Rr
r
I
r
I
④ 计算 L内的电流的代数和,⑤ 由安环定理 ( ),
内L iL IldB 0?

重要结论 …?:01?R令?:21 RR?令
PL r
S
l
a
b c
d
M
zB
c?
d?
B?
I
[例 2]已知在无限长直密绕载流螺线管轴线上,knIB 0
试证,管内为均匀磁场,管外无磁场,
【 证 】 ① 分析 的方向B?
02)( rBldBBBldB
L zrL

0B0?rB
02)( rlBsdBBBsdB r
S zrS

kBB z 对管外场点也成立
0)( 0 lnIlBldB P
a b c d a

② 计算 的大小B?
nIB P 0
)()( 00 InllnIlBldB M
adcab


0?
MB [证毕 ]
rB
zB
B
⊙
⊙
⊙⊙
⊙
⊙⊙
(面 )电流的
(线 )密度为
j?
⊙ ⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙



⊙
⊙
⊙ ⊙
⊙
⊙
⊙⊙
2R
1R
NI,[例 3] 求密绕载流螺绕环的 分布,B?
r
L
解,设想,螺绕环由长直螺线管弯曲而成
① 管外,0?B
② 管内,沿 L的切向且成右手系 ;
L上的 的大小处处相等,
B? B?
;2 0 NIrBldBL
)(2 210 RrRrNIB
nIB
RrRR
0
21,


[例 4] 求无限大均匀载流平面的 分布,B?
右B
左B
a
b c
d )abj(abBldB
a b c d a
02
2
0 jB
两侧方向相反的匀强磁场解,
本次作业,P81 4.11 4.12 (提示 )
§ 4.3 磁场规律应用举例加速器磁透镜霍耳元件磁流体发电电磁轨道炮
…,…
运动电荷在电磁场中受力
BvqEqf
也称为洛仑兹力公式
(二 )霍耳电压,;/21 bIBRUU H
);/(1 nqR H?(一 )霍耳系数,
洛f
v
2U
1U
v?
洛f;/)( 21 aUUqq vB;nqvj? ;bajI )/(21 n q bIBUU
I
B?
ab
(三 )霍耳元件的应用,
1.判断载流子是电子还是空穴 ; 2.测量载流子浓度 n; 3.测量大电流 ;
4.测量磁感应强度 ; 5.将非电量 (例如微小位移等 )转化为电量来测量 ;
量子 Hall效应 (quantum Hall effect) 分数 Hall效应
1879年美国物理学家霍耳所发现一,霍耳 (Hall)效应,
可以做成尺寸很小的传感元件二,带电粒子在匀强磁场中的运动 长磁透镜 *
Bvqf洛 洛仑兹力不做功,带电粒子动能不变,
(一 ) 或,沿 方向的匀速直线运动 ;Bv //
0 Bv
//
0? B
(二 ),以 为轴的匀速圆周运动 ;Bv
0 B
v?0
o
R



RvmBqv
2
0
0 qB
mvR 0?
qB
m
v
RT 22
0

与 无关0v(三 ),以 为轴的等进螺线运动 ;
Bv0 B?
qB
mvR?s i n0?
qB
mT?2?
B?
0v
v?//
v
h
qB
mvh co s2 0?
P P?
B?
长磁透镜 像与物等大正立不同 的粒子经
1h后汇聚于一点
R
经 Nh仍汇聚 (成像 )于一点一束带电粒子,
① 近似相等 ;
② 很小很小,
0v?
易熔金属三,电磁轨道炮合闸
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙B?
,拦截目标无需提前量 12 k m sv
v?
I>4兆安 易熔金属汽化 导电的等离子气体巨大的安培力作用炮弹加速电磁轨道炮原理示意图炮弹,35~65kg
本次作业,P81 4.15 (提示 ) 4.17 4.18
本章回顾
1.磁场的高斯定理
2.安培环路定理三,磁场的源一,磁场的基本性质
1.圆电流圆心处 RIB 2 0 2.圆弧电流圆心处 RIB 22 0
3.无限长载流直导线
r
IB
2
0?
5.无限长载流薄圆筒
r
IBB
20 0 外内,
6.无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 0
0 外内,BnIB?
4.无限大平面电流
2
0 jB
0S sdB
iL IldB 0
二,磁场的对外表现
1.安培力
3
0
4 r
rlIdBd
BlIdFd安
BlIdF L安
2.洛仑力 Bvqf洛
BPdMd m3.线圈力矩