第一章 真空中的静电场库仑定律任意电荷间的静电力描述静电场的两个基本物理量电场强度 电势积分微分静电场的基本性质静电场的通量性质等势面电力线静电场的环量性质第四部分 电磁学
§ 1.1 电荷 库仑定律一,对电荷的基本认识
两种电荷,正电荷、负电荷 ;
电荷是物质的一种属性,不能脱离物质而存在,
与质量相似但有重大差别
电荷的量子化,
分子、原子的电结构,)(106 0 2 1 7 6 4 6 2.1 19 Ce 宏观上连续微观上不连续
1906-1917年,密立根用液滴法证明,NeQ?
上世纪 80年代从实验上证实,夸克和反夸克的电荷量应取 3/2,3/ ee
电荷守恒定律封闭系统中发生的任何过程都不会引起系统内电荷总量的改变,
自然界少数精确成立的基本定律之一电荷可以产生或消灭,但并不破坏电荷守恒定律
电荷是个 Lorentz标量或相对论不变量,
二,库仑定律 (Coulomb Law) 1785年库仑由扭称实验得到真空
点电荷 q1
点电荷 q2
静止
21r
21F
大小,2 21rqqF? 2 21r qqkF
229 /109875 51787.8
:
CmNk
SI
制中在
2
21
04
1
r
qqF
)/(10854187817.8
:
2212
0 mNC
公式的有理化方向,沿 q1和 q2的联线,且电荷同号相斥,异号相吸,
综合公式,213
21
21
0
21 4
1 r
r
qqF
任意带电体间的库仑力,
21,
3
0
21 4
1
QQ
ji
ji
ji r
r
dqdqF
,0, Fr 时讨论
i i
FF
电力叠加原理不是库仑定律的逻辑推论，而是条新的实验规律三,电力叠加原理?点电荷 q3
§ 1.2 电场 (electric field)和 电场强度 (intensity of electric field)
单位,牛顿 /库仑 (N / C)
一,电场 电荷 Q
1 电场激发电荷 Q2
作用力,功激发作用力,功静电场,相对于观察者静止的电荷产生的电场物质有两种表现形式 ② 粒子,反映物质的断续特性 ;
① 场,反映物质的连续特性 ; 有能量和动量,用统一的相对论方程描述,
有分子、原子结构的实物真空二,电场强度
(一 )定义,?场点 P 试探电荷 q0线度、电量足够小的正电荷 方向一定
0qF?
0/ qFE
Q场源电荷?
1,:
0q
EFE能否说
)(,可正负则和已知 qEqFqE
真空
场源点电荷 q
试探电荷 q0
r?
F?
[例 1]:求点电荷产生的电场的场强分布,
rrqqF 3 0
04
1
0/ qFE
rrqE 3
04
1
(二 )场强叠加原理
1Q场源电荷
场点 P
2Q
3Q
iQ
0/ qFE
i iFF
i i qFE )/( 0
i i
EE
球对称分布矢量叠加
:.1 分立点电荷系
i ii
i r
r
qE
3
04
1
:.2 连续分布带电体,;4 1 3
0
dldSdVdqrrdqE
Q
或或
:.3 若带电体由几部分组成
i iEE
试探电荷 q0F
l?q? q?
r
r
qr
r
qEEE
3
0
3
0 44
r
r
P
E
E
[例 2]:求电偶极子的场强分布;2/;2/ lrrlrr r?;4/;4/ 222222 lrlrrlrlrr
;/)4/(1;/)4/(1{
2322233
2322233
rlrrlrr
rlrrlrr?
) ] ;2/()3(1[
) ] ;2/()3(1[{
233
233
rlrrr
rlrrr?
003
0
34 1 rprprE
])(3[ 00333 rlrlrrrrr
)( 电偶极极矩令 lqp
[解 ]
在中垂线上,3
04 r
pE
在延长线上,3
0
// 4
2
r
pE
o x
a
p
dxdq
求,其延长线上任意点的电场强度,
l
.?[例 3] 长为 的均匀带电直线,电荷线密度为l
[解 ] ① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed ;4
2
0 xal
dxdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,正交分解法,
④ 算积分 (先统一积分变量 )
)(4)
11(
4)(4 000 20 ala
q
alaxal
dxEE l
x
⑤ 验结果,量纲正确 ;;,4;0 2
0
正确aqEl;,4; 2
0
正确aqEa
x dx
Ed?
[例 4]:求上例中 均匀带电直线外侧任意点处的电场强度,
l
Ed?
o x
y
a
p
1? 2?
x dx
r?
dxdq
[解 ] ① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed? ;
4 20 r
dxdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,正交分解法,
④ 算积分 (先统一积分变量 )
⑤ 验结果,量纲正确 ;
2
0
2
0 4
s in;
4
co s
r
dxdE
r
dxdE
yx
2
222
sin/,co t;/sin
addxax
ra
;
4
s in;
4
c o s
2
1
2
1
0
0
a
d
E
a
d
E
y
x
);c o s( c o s
4
);s i n( s i n
4
21
0
12
0
a
E
a
E
y
x
);co s(co s4);s i n(s i n4 21
0
12
0
aEaE yx
★ 特例,无限长均匀带电直线外任意点的场强,),0( 21;2;0
0 a
EE yx
4/4;0 22
0 laa
qEE
yx
中垂线上,
本次作业：
1.3 1.4
)(40 2
0
正确当 aql
3.点电荷电场的场强分布,rrqE?
3
04
1
4.场强叠加原理
:)1 分立点电荷系
i ii
i r
r
qE
3
04
1
:)2 连续分布带电体
.;4 1 3
0
dldSdVdqrrdqE
Q
或或
:)3 若带电体由几部分组成
i i
EE
1.库仑定律 213
21
21
0
21 4
1 r
r
qqF
2.场强定义 0/ qFE
5.电场对电荷的作用,EqF
上次课回顾
[例 5]:求均匀带电圆环轴线上的场强,
q R
y
x
z
o
y
P
Ed?
r?
dq
Ed
r
qd?
[解 ] dldq① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed? ;
4 20 r
dqdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,
④ 算积分,
⑤ 验结果,量纲正确 ;
Edr
y
r
dqdE
y;
4 20
由对称性分析,;0
q EdE
,
q yy
dEEE 2/322
0 )(4 Ry
yqE
2/322
0 )(4 Ry
yqE
)(4 2
0
正确当 yqy
jRy yqE 2/322
0 )(4?
思考,?0?E?
o
Y
X
R
c o s0?学员练习,带电细圆环半径为 R，电荷线密度
( 为常数），如图，求圆环中心处电场强度。0?
解,如图所示，电荷元 RdRddq c o s0
R
ddE
0
0
4
co s
R
d
dEdE
R
d
dEdE
y
x
0
0
0
2
0
4
c o ss i n
s i n
4
c o s
c o s
0 yy dEE
RR ddEE xx
0
02
0
0
2
0
44
c o s
iRE
0
0
4?
此电场的两个分量为由对称性积分得合场强为圆心处的场强为圆环中心处场强为方向,如图
Ed?
Rq
[例 6]:求均匀带电圆盘轴线上的场强,
[解 ]?P
0
y
y
r dr
Ed?
方向,如图,
drrdq Rq 22;2)(4 1 22/322
0 R
q r d r
ry
ydE
;)(2
0 2/32220
R
ry
y rd r
R
qE
)1(2)1(2 22
0
222
0 Ry
y
Ry
y
R
qE
讨论,①
)(;4},2
0
正确一定 yqERy Rq
② 无限大均匀带电平面的场强
}R 一定?;
2 0?
E
[例 7]:如图所示,两块无限大均匀带电平面相互平行,
求,空间各区域的场强分布,
x
1? 2?A B C
2E
1E 1E
2E
1E
2E;2
0
1
1?
E ;
2 0
2
2?
E[解 ];
2;
2;
2
0
21
0
21
0
21
C
B
A
E
E
E
21;0;0
0
C
B
A
E
E
E
解,P点的场强可看成带 +σ 的无限大均匀带电平面和带 -σ的半径为 R均匀带电圆板在 P处场强的叠加
02?
无限大E 方向,y 轴正方向
22
0
12 aR aE圆板圆板无限大 EEE P
2200 122 aR
a
22
02 aR
a
方向沿 y轴正方向方向,y 轴负方向
P点合场强为学员练习,在均匀带电的无限大平面上挖一园孔，已知面电荷密度为,圆孔半径为 R，求过圆孔中心并垂直于无限大平面的轴线上一点 P（距圆孔中心为 a）的场强。
[例 8]:求匀强电场对电偶极子的力和力矩,
[解 ]
-q
q
E?l?
Eq?
Eq ;0)( EqEqF
)(22 EqlEqlM
本次作业：
1.6（提示） 1.8
EpM
Ep
ElqElq
22
0?F?
§ 1.3 静电场的通量 高斯 (Gauss)定理
1.源于正电荷 (或无穷远 )，止于负电荷 (或无穷远处 );
2,不闭合 (仅对静电场成立 );
3,不相交,不相切,
一,电场线 (electric field line) 形象描述电场的几何方法人为地虚拟方法(一 )规定
1.场线上各点的切向就是该点的 方向 ;E? 切向描述矢量场的方向
2.在电场中任一点,,Eds
d?
疏密描述矢量场的强弱
(二 )几何性质无旋场有源场场的唯一性和有限性所决定
4.不在无电荷处中断,场的连续性所决定二,电场强度通量 Φ
(一 )定义,穿过任意面 S上的电场线的条数称为 S上的电场强度通量,
(二 )电通量的计算
E? n?
S
ES
E?
n?
S
SEES
ES
co s
E? sd?
S
sdEd
S sdE
”“”“,正法向为外法向闭合曲面的规定
.0;0 出进 dd
S sdE
对“双侧曲面
”,总可以规定
“正法向”,
sd?
sd?
E?
E?
三,高斯定理 (Gauss theorem)
连续）
（离散）
内内
(
1
1
0
0{
S
S
i
S
dq
q
SdE
qr
SS? S?;44.1
0
2
0
3
0
qds
r
q
r
sdrq
SS
;.2
0?
q ;0.3
qj
qi
q2
q3
q1
S i sdE )(:.4 一般情况
q有正负在真空中的静电场内,任一闭合面上的电通量等于面内所包围的电量的代数和除以,0?
(一 )定理的推导,
内外内 S iS S iS S i
qsdEsdE
0
1
(二 )定理的表述,
静电场是有源场
q有正负面外电荷对 Φ无贡献,对 有贡献E?
(三 )应用高斯定理求场强 适用于 Q分布具有对称性,
球对称 ;柱对称 ;面对称,
E?
[例 1] 均匀带电球面,总电量为,
半径为,求,场强分布,
Q
R
S
Q R
P
r?dq
Ed?
dq
Ed?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S(注意选取原则 );
③ 计算 S上的电通量 ;
S SdE S E d S S dSE 24 rE
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
);(0 Rrq
i i
);( RrQq
i i
i i
qrE
0
2 14
);(0
);(
4 2
0
RrE
Rr
r
Q
E
如何理解面内场强为 0?
Q
R[例 2] 均匀带电球体,总电量为,
半径为,求,场强分布,
Q
R
E?
S
P
r?dq
Ed?
dq
Ed?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
S SdE S E d S S dSE 24 rE
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
);(3/4 3/4 3
3
3
3
RrRQrR rQq
i i
);( RrQq
i i
i i
qrE
0
2 14
);(
4
);(
4
3
0
2
0
Rr
R
Qr
E
Rr
r
Q
E
上下底侧 sdEsdEsdES
rlE?2
i i
qrlE
0
12
);(0
);(
2
0
RrE
Rr
r
E
[例 3] 无限长均匀带电圆柱面,单位长度的带电量为,半径为,求,场强分布,? R R
P
r
Ed?
EdE?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
侧 dsE
);(0 Rrq
i i
);( Rrlq
i i
l
P
r
i i
qrlE
0
12
);(
2
);(
2
2
0
0
Rr
R
r
E
Rr
r
E
[例 4] 无限长均匀带电圆柱体,单位长度的带电量为,半径为,求,场强分布,? R
Ed?
EdE?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
上下底侧 sdEsdEsdES
rlE?2 侧 dsE
);(2
2
2
2
RrRlrlR lrlq
i i
);( Rrlqi i
R
l
[例 5] 无限大均匀带电平面,电荷面密度为,求,场强分布,?
dq
Ed?
Ed
qd?
E?
S
左右底侧 sdEsdEsdES
SSE
0
12;2
0?
E
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
SE 2
Sqi i
q1,q2 q3S
S
P?
q
S
+q -qS
·q -q? q?导体③ 将一正点电荷 q放在一原不带电的导体旁,导体上出现感应电荷 q?,-q?(如图 ),请证明 q? < q.
②,若,则 S上各点 E= 0”,
此话对否？举例说明之,
0S SdE
思考,① q1,q2在 S内,q3在 S外,高斯面上任一点 p的场强和哪些电荷有关? 和哪些电荷有关?
和哪些电荷有关?
S SdE
S SdE
本次作业：
1.10 1.11
1.高斯定理,在真空中的静电场内,任一闭合面上的电通量等于面内所包围的电量的代数和除以 。
连续）
（离散）
内内
(
1
1
0
0{
S
S
i
S
dq
q
SdE
静电场是有源场
qi和 dq可正可负面外电荷对 Φ无贡献,对 有贡献E?
0?
上次课回顾
2.应用高斯定理求场强：
① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
④ 计算 S内的电量代数和 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
仅适用于对称性好的场
§ 1.4 静电场的环路定理 电势一,静电场力做功的特点
Q场源电荷
ba Qba ldrrdqqldEqA
)
4( 30
Q baQ ba dqrdrqdqr ldrq )(4)(4 2
0
3
0
Q
ba
dqrrq )11(4
0
dq r
与路径无关
0 LL ldEqldEqA
二,静电场的环路定理 (circuital theorem of electrostatic field)
静电场的场强 沿任意闭合回路 L的环量等于零。即E?
0L ldE 静电场是保守场静电场是无旋场
aqF
b
三,电势能
Q场源电荷
aq E
(一 )定义,若选定电荷 q处于静电场中某点 O
时的电势能为零,则定义 q处于静电场中 a点时的电势能为 ldEqAW O
aaOa
(二 )静电场力所做的功 等于相应的电势能的增量的负值 baabab ldEqWWA)(
b
四,电势
(一 )定义,在静电场中 a点放置正试验点电荷 q0,选择 O为电势零点,
OaaOaa ldEqAqWU00 //则定义 a点的电势为零点选择可任意,视分析问题方便而定,
与试验电荷无关,
反映静电场性质,零点不同,电势值不同,
[例 1]:求点电荷电场的电势分布 (选无穷远处为零点 )
解,
aa rra drr
qldr
r
qU
2
0
3
0 44
a
a r
qU
04
i
ai
i
O
a i
O
a
i
i
O
aa
UldE
ldEldEU
)(
(二 )电势叠加原理多个电荷在空间某点产生的电势等于各个电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和,
:.1 分立点电荷系
i i
i
r
qU
04
1
:.2 连续分布带电体,;4 1
0
dldSdVdqrdqU
Q
或或
:.3 若带电体由几部分组成
i iUU
(三 )电势差 (electric potential difference):
baabbabaab ldEqAqWWUUU00 //)(
与试验电荷无关,
反映静电场性质,
零点不同,电势差相同,
)( 可负可正,q
qUWWA abbaab
★ 电势的计算方法一,场强积分法 ; Oaa ldEU
方法二,电势叠加法 ;4
1
0
Q r
dqU
电势零点的选取理论计算,电荷分布有限远时,选无限远点电荷分布无限远时,选有限远点电路分析,选取大地、仪器外壳等,
[例 2]:求均匀带电球面的电势分布,
1r
1P
2P
2r
o R
Q
解,用场强积分法
);(0);(4 1 3
0
RrERrrrQE
ldrrQldEU rPP 3
0
111 4
1
;44
10
2
0
1 r
Q
r
drQ
r;
44
1
0
3
0
22 R
Qldr
r
QldEU
RPP
);(4 1);(4 1
00
RrRQURrrQU
(无穷远处为零点 )
Q
R[例 3]:求均匀带电球体的电势分布,
1P1r
dqr?
2P
2r
解,用电势叠加法
RrrrrQP dUdUdUU
111
R
r r
drr
r
r
1 0
2
10
3
1
4
4
4
3/4
)3(8)3(6 2
2
1
0
2
1
2
0 R
r
R
QrR
;34
2
3
020
2 r
R
r
QdUU
QP?
).(
34
);()3(
6
)3(
8
{ 3
00
22
0
2
2
0
Rr
r
R
r
Q
RrrR
R
r
R
Q
U
);(2);(0
0
RrrERrE
[例 4] 无限长均匀带电圆柱面,单位长度的带电量为,半径为,求,电势分布,? R
1
P 1r
R
2r
2
P
解,用场强积分法 (选处 为电势零点 )Rr?;0
1
1
R
rP
ldEU;ln
22
2
2
00
0
2
22
2
R
r
r
dr
r
dl
ldEU
R
r
R
r
R
r
P
);(ln2);(0
0
RrRrURrU
[例 5](习题 1.21):无限长均匀带电圆柱体的半径为 R,
体电荷密度为,求电势分布,? R
1r
1
P
2r
2
P
解,用场强积分法 (选 处为电势零点 )0?r
);(22
0
2
0
RrrRrE
);(22
0
2
0
RrrRrE
2
1
0
0
0 4211
1
rdrrldEU
r
O
P
P?
drrdrrRldEU
R
R
r
O
P
P
0
00
2
22222?
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
ln4)1ln2(44ln2 R reRRrRRRrR
);(ln4);(4 2
2
0
2
0
2
RrR reRURrrU
rdqdU
04
dq
Q
· p o
R r
x x
[例 6]:求均匀带电圆环 (带电 Q、半径 R)在其轴线上产生的电势,
rdqdUU
04
dqrU
04
1
[解 ]:用电势叠加法;)(4 1 2/122
0 xR
QU
Q1 Q2 R
1 R
2?a
b?c
[例 7]:由电势叠加原理直接写出两同心均匀带电球面的电势分布 Ua,Ub,Uc.
);(4 1);(4 1
00
RrRQURrrQU
解,一个均匀带电球面的电势分布 为
);(4 1
2
2
1
1
0 R
Q
R
QU
a );(4
2
1
1
0 b
b r
Q
R
QU
;4
1 21
0 c
c r
QQU
思考题,① 如图电场是静电场吗?
电场线
E?
a b
cd
L ldE0
a
d
d
c
c
b
b
a
ldEldEldEldE
;0)( abEE dcab 如图电场不可能是静电场 !!
② 计算电量为 分布任意的带电球面 (圆环、圆弧等 )，在球心 (圆心 )处产生的电势,
Q
Q
O
dqR
R
Q
dq
R
R
dq
dUU
Q
QQ
O
00
0
44
1
4
本次作业：
1.18 1.19 1.22
1.静电场的环路定理
2.电势能 ldEqAW OaaOa
3.电势与电势差 OaaOaa ldEqAqWU00 //
baabbabaab ldEqAqWWUUU00 //)(
4.点电荷的电势分布 (无穷远处为零点 ) r
qU
04
5.电势的计算 方法一,场强积分法 O
aa ldEU
0L ldE
上次课回顾方法二,电势叠加法
Q r
dqU
04
1
(无穷远处为零点 )
二,电势和场强的关系
(一 ) 规定,
2.两个相邻等势面间的电势差为常数,
(二 )等势面和电场线的关系,
1.等势面与电场线处处垂直 ;
2.电场线从高电势指向低电势 ;
3.等势面密处场强大,
q
电场线等势面
§ 1.5 等势面 电势梯度 (electric potential gradient)
一,等势面
1.静电场中各个等势面上电势处处相等 ;
ldEdU ab
描述了场的方向描述了场的强弱
baba ldEUU(一 )积分关系,
1.方向导数 (directional derivative)
(二 )微分关系,
a?
U+dU
U
b?
bnd?
ld?E?
研究单位路径上的电势变化
沿 方向电势变化率,l? dldU
沿 方向电势变化率,n? dndU
沿某个方向势函数对路径的变化率称为势函数在该方向的方向导数,
沿不同方向的方向导数不同,
方向的最大,即n?
.c o s
c o s/
:)2(;:)1(
dn
dU
dn
dU
dl
dU
dn
dU
dl
dU
定量定性;c o s;c o s;c o s
dn
dU
dz
dU
dn
dU
dy
dU
dn
dU
dx
dU
的方向角是 n,,
2.梯度矢量,UkzUjyUixUndndU
0
3.场强等于电势的负梯度,Un
dn
dUE
0
[例 ]:用电势梯度法求均匀带电圆环（带电为 q，半径为 R）轴线上任一点的场强,
解,
2/122
0 )(4 xR
qU
i
xR
qx
i
xR
q
x
i
x
u
iEE x
2/322
0
2/122
0
)(4
)(4
由梯度法得均匀带电圆环轴线上的电场为均匀带电圆环轴线上的电势为
dq
q
· p o
R r
x x
r
dqdUU
04
dqrU
04
1
本章小结
1.两个物理量 及其对应的几何描述方法 ;、UE?;0;/)( 0 L
i iS
ldEqsdE内2.两个基本方程,;; QQ dUUEdE3.两种计算思路,;;/)( 0 aOa
i iS
UldEqsdE内
4.强调两句话,① 注重典型场 ; ② 注重叠加原理,
点电荷 均匀带电球面无限长均匀带电直线 (柱面 )
无限大均匀带电平面 (板 )
§ 1.1 电荷 库仑定律一,对电荷的基本认识
两种电荷,正电荷、负电荷 ;
电荷是物质的一种属性,不能脱离物质而存在,
与质量相似但有重大差别
电荷的量子化,
分子、原子的电结构,)(106 0 2 1 7 6 4 6 2.1 19 Ce 宏观上连续微观上不连续
1906-1917年,密立根用液滴法证明,NeQ?
上世纪 80年代从实验上证实,夸克和反夸克的电荷量应取 3/2,3/ ee
电荷守恒定律封闭系统中发生的任何过程都不会引起系统内电荷总量的改变,
自然界少数精确成立的基本定律之一电荷可以产生或消灭,但并不破坏电荷守恒定律
电荷是个 Lorentz标量或相对论不变量,
二,库仑定律 (Coulomb Law) 1785年库仑由扭称实验得到真空
点电荷 q1
点电荷 q2
静止
21r
21F
大小,2 21rqqF? 2 21r qqkF
229 /109875 51787.8
:
CmNk
SI
制中在
2
21
04
1
r
qqF
)/(10854187817.8
:
2212
0 mNC
公式的有理化方向,沿 q1和 q2的联线,且电荷同号相斥,异号相吸,
综合公式,213
21
21
0
21 4
1 r
r
qqF
任意带电体间的库仑力,
21,
3
0
21 4
1
ji
ji
ji r
r
dqdqF
,0, Fr 时讨论
i i
FF
电力叠加原理不是库仑定律的逻辑推论，而是条新的实验规律三,电力叠加原理?点电荷 q3
§ 1.2 电场 (electric field)和 电场强度 (intensity of electric field)
单位,牛顿 /库仑 (N / C)
一,电场 电荷 Q
1 电场激发电荷 Q2
作用力,功激发作用力,功静电场,相对于观察者静止的电荷产生的电场物质有两种表现形式 ② 粒子,反映物质的断续特性 ;
① 场,反映物质的连续特性 ; 有能量和动量,用统一的相对论方程描述,
有分子、原子结构的实物真空二,电场强度
(一 )定义,?场点 P 试探电荷 q0线度、电量足够小的正电荷 方向一定
0qF?
0/ qFE
Q场源电荷?
1,:
0q
EFE能否说
)(,可正负则和已知 qEqFqE
真空
场源点电荷 q
试探电荷 q0
r?
F?
[例 1]:求点电荷产生的电场的场强分布,
rrqqF 3 0
04
1
0/ qFE
rrqE 3
04
1
(二 )场强叠加原理
1Q场源电荷
场点 P
2Q
3Q
iQ
0/ qFE
i iFF
i i qFE )/( 0
i i
EE
球对称分布矢量叠加
:.1 分立点电荷系
i ii
i r
r
qE
3
04
1
:.2 连续分布带电体,;4 1 3
0
dldSdVdqrrdqE
Q
或或
:.3 若带电体由几部分组成
i iEE
试探电荷 q0F
l?q? q?
r
r
qr
r
qEEE
3
0
3
0 44
r
r
P
E
E
[例 2]:求电偶极子的场强分布;2/;2/ lrrlrr r?;4/;4/ 222222 lrlrrlrlrr
;/)4/(1;/)4/(1{
2322233
2322233
rlrrlrr
rlrrlrr?
) ] ;2/()3(1[
) ] ;2/()3(1[{
233
233
rlrrr
rlrrr?
003
0
34 1 rprprE
])(3[ 00333 rlrlrrrrr
)( 电偶极极矩令 lqp
[解 ]
在中垂线上,3
04 r
pE
在延长线上,3
0
// 4
2
r
pE
o x
a
p
dxdq
求,其延长线上任意点的电场强度,
l
.?[例 3] 长为 的均匀带电直线,电荷线密度为l
[解 ] ① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed ;4
2
0 xal
dxdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,正交分解法,
④ 算积分 (先统一积分变量 )
)(4)
11(
4)(4 000 20 ala
q
alaxal
dxEE l
x
⑤ 验结果,量纲正确 ;;,4;0 2
0
正确aqEl;,4; 2
0
正确aqEa
x dx
Ed?
[例 4]:求上例中 均匀带电直线外侧任意点处的电场强度,
l
Ed?
o x
y
a
p
1? 2?
x dx
r?
dxdq
[解 ] ① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed? ;
4 20 r
dxdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,正交分解法,
④ 算积分 (先统一积分变量 )
⑤ 验结果,量纲正确 ;
2
0
2
0 4
s in;
4
co s
r
dxdE
r
dxdE
yx
2
222
sin/,co t;/sin
addxax
ra
;
4
s in;
4
c o s
2
1
2
1
0
0
a
d
E
a
d
E
y
x
);c o s( c o s
4
);s i n( s i n
4
21
0
12
0
a
E
a
E
y
x
);co s(co s4);s i n(s i n4 21
0
12
0
aEaE yx
★ 特例,无限长均匀带电直线外任意点的场强,),0( 21;2;0
0 a
EE yx
4/4;0 22
0 laa
qEE
yx
中垂线上,
本次作业：
1.3 1.4
)(40 2
0
正确当 aql
3.点电荷电场的场强分布,rrqE?
3
04
1
4.场强叠加原理
:)1 分立点电荷系
i ii
i r
r
qE
3
04
1
:)2 连续分布带电体
.;4 1 3
0
dldSdVdqrrdqE
Q
或或
:)3 若带电体由几部分组成
i i
EE
1.库仑定律 213
21
21
0
21 4
1 r
r
qqF
2.场强定义 0/ qFE
5.电场对电荷的作用,EqF
上次课回顾
[例 5]:求均匀带电圆环轴线上的场强,
q R
y
x
z
o
y
P
Ed?
r?
dq
Ed
r
qd?
[解 ] dldq① 设场点,建坐标,取微元,
② 求,Ed? ;
4 20 r
dqdE
大小 方向,如图,
③ 写分量,
④ 算积分,
⑤ 验结果,量纲正确 ;
Edr
y
r
dqdE
y;
4 20
由对称性分析,;0
q EdE
,
q yy
dEEE 2/322
0 )(4 Ry
yqE
2/322
0 )(4 Ry
yqE
)(4 2
0
正确当 yqy
jRy yqE 2/322
0 )(4?
思考,?0?E?
o
Y
X
R
c o s0?学员练习,带电细圆环半径为 R，电荷线密度
( 为常数），如图，求圆环中心处电场强度。0?
解,如图所示，电荷元 RdRddq c o s0
R
ddE
0
0
4
co s
R
d
dEdE
R
d
dEdE
y
x
0
0
0
2
0
4
c o ss i n
s i n
4
c o s
c o s
0 yy dEE
RR ddEE xx
0
02
0
0
2
0
44
c o s
iRE
0
0
4?
此电场的两个分量为由对称性积分得合场强为圆心处的场强为圆环中心处场强为方向,如图
Ed?
Rq
[例 6]:求均匀带电圆盘轴线上的场强,
[解 ]?P
0
y
y
r dr
Ed?
方向,如图,
drrdq Rq 22;2)(4 1 22/322
0 R
q r d r
ry
ydE
;)(2
0 2/32220
R
ry
y rd r
R
qE
)1(2)1(2 22
0
222
0 Ry
y
Ry
y
R
qE
讨论,①
)(;4},2
0
正确一定 yqERy Rq
② 无限大均匀带电平面的场强
}R 一定?;
2 0?
E
[例 7]:如图所示,两块无限大均匀带电平面相互平行,
求,空间各区域的场强分布,
x
1? 2?A B C
2E
1E 1E
2E
1E
2E;2
0
1
1?
E ;
2 0
2
2?
E[解 ];
2;
2;
2
0
21
0
21
0
21
C
B
A
E
E
E
21;0;0
0
C
B
A
E
E
E
解,P点的场强可看成带 +σ 的无限大均匀带电平面和带 -σ的半径为 R均匀带电圆板在 P处场强的叠加
02?
无限大E 方向,y 轴正方向
22
0
12 aR aE圆板圆板无限大 EEE P
2200 122 aR
a
22
02 aR
a
方向沿 y轴正方向方向,y 轴负方向
P点合场强为学员练习,在均匀带电的无限大平面上挖一园孔，已知面电荷密度为,圆孔半径为 R，求过圆孔中心并垂直于无限大平面的轴线上一点 P（距圆孔中心为 a）的场强。
[例 8]:求匀强电场对电偶极子的力和力矩,
[解 ]
-q
q
E?l?
Eq?
Eq ;0)( EqEqF
)(22 EqlEqlM
本次作业：
1.6（提示） 1.8
EpM
Ep
ElqElq
22
0?F?
§ 1.3 静电场的通量 高斯 (Gauss)定理
1.源于正电荷 (或无穷远 )，止于负电荷 (或无穷远处 );
2,不闭合 (仅对静电场成立 );
3,不相交,不相切,
一,电场线 (electric field line) 形象描述电场的几何方法人为地虚拟方法(一 )规定
1.场线上各点的切向就是该点的 方向 ;E? 切向描述矢量场的方向
2.在电场中任一点,,Eds
d?
疏密描述矢量场的强弱
(二 )几何性质无旋场有源场场的唯一性和有限性所决定
4.不在无电荷处中断,场的连续性所决定二,电场强度通量 Φ
(一 )定义,穿过任意面 S上的电场线的条数称为 S上的电场强度通量,
(二 )电通量的计算
E? n?
S
ES
E?
n?
S
SEES
ES
co s
E? sd?
S
sdEd
S sdE
”“”“,正法向为外法向闭合曲面的规定
.0;0 出进 dd
S sdE
对“双侧曲面
”,总可以规定
“正法向”,
sd?
sd?
E?
E?
三,高斯定理 (Gauss theorem)
连续）
（离散）
内内
(
1
1
0
0{
S
S
i
S
dq
q
SdE
qr
SS? S?;44.1
0
2
0
3
0
qds
r
q
r
sdrq
SS
;.2
0?
q ;0.3
qj
qi
q2
q3
q1
S i sdE )(:.4 一般情况
q有正负在真空中的静电场内,任一闭合面上的电通量等于面内所包围的电量的代数和除以,0?
(一 )定理的推导,
内外内 S iS S iS S i
qsdEsdE
0
1
(二 )定理的表述,
静电场是有源场
q有正负面外电荷对 Φ无贡献,对 有贡献E?
(三 )应用高斯定理求场强 适用于 Q分布具有对称性,
球对称 ;柱对称 ;面对称,
E?
[例 1] 均匀带电球面,总电量为,
半径为,求,场强分布,
Q
R
S
Q R
P
r?dq
Ed?
dq
Ed?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S(注意选取原则 );
③ 计算 S上的电通量 ;
S SdE S E d S S dSE 24 rE
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
);(0 Rrq
i i
);( RrQq
i i
i i
qrE
0
2 14
);(0
);(
4 2
0
RrE
Rr
r
Q
E
如何理解面内场强为 0?
Q
R[例 2] 均匀带电球体,总电量为,
半径为,求,场强分布,
Q
R
E?
S
P
r?dq
Ed?
dq
Ed?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
S SdE S E d S S dSE 24 rE
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
);(3/4 3/4 3
3
3
3
RrRQrR rQq
i i
);( RrQq
i i
i i
qrE
0
2 14
);(
4
);(
4
3
0
2
0
Rr
R
Qr
E
Rr
r
Q
E
上下底侧 sdEsdEsdES
rlE?2
i i
qrlE
0
12
);(0
);(
2
0
RrE
Rr
r
E
[例 3] 无限长均匀带电圆柱面,单位长度的带电量为,半径为,求,场强分布,? R R
P
r
Ed?
EdE?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
侧 dsE
);(0 Rrq
i i
);( Rrlq
i i
l
P
r
i i
qrlE
0
12
);(
2
);(
2
2
0
0
Rr
R
r
E
Rr
r
E
[例 4] 无限长均匀带电圆柱体,单位长度的带电量为,半径为,求,场强分布,? R
Ed?
EdE?
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
上下底侧 sdEsdEsdES
rlE?2 侧 dsE
);(2
2
2
2
RrRlrlR lrlq
i i
);( Rrlqi i
R
l
[例 5] 无限大均匀带电平面,电荷面密度为,求,场强分布,?
dq
Ed?
Ed
qd?
E?
S
左右底侧 sdEsdEsdES
SSE
0
12;2
0?
E
解,① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
④ 计算 S内的电量代数和,
SE 2
Sqi i
q1,q2 q3S
S
P?
q
S
+q -qS
·q -q? q?导体③ 将一正点电荷 q放在一原不带电的导体旁,导体上出现感应电荷 q?,-q?(如图 ),请证明 q? < q.
②,若,则 S上各点 E= 0”,
此话对否？举例说明之,
0S SdE
思考,① q1,q2在 S内,q3在 S外,高斯面上任一点 p的场强和哪些电荷有关? 和哪些电荷有关?
和哪些电荷有关?
S SdE
S SdE
本次作业：
1.10 1.11
1.高斯定理,在真空中的静电场内,任一闭合面上的电通量等于面内所包围的电量的代数和除以 。
连续）
（离散）
内内
(
1
1
0
0{
S
S
i
S
dq
q
SdE
静电场是有源场
qi和 dq可正可负面外电荷对 Φ无贡献,对 有贡献E?
0?
上次课回顾
2.应用高斯定理求场强：
① 设场点,分析场分布的对称性 ;
② 过场点作合适高斯面 S;
③ 计算 S上的电通量 ;
④ 计算 S内的电量代数和 ;
⑤ 由高斯定理解方程,
仅适用于对称性好的场
§ 1.4 静电场的环路定理 电势一,静电场力做功的特点
Q场源电荷
ba Qba ldrrdqqldEqA
)
4( 30
Q baQ ba dqrdrqdqr ldrq )(4)(4 2
0
3
0
Q
ba
dqrrq )11(4
0
dq r
与路径无关
0 LL ldEqldEqA
二,静电场的环路定理 (circuital theorem of electrostatic field)
静电场的场强 沿任意闭合回路 L的环量等于零。即E?
0L ldE 静电场是保守场静电场是无旋场
aqF
b
三,电势能
Q场源电荷
aq E
(一 )定义,若选定电荷 q处于静电场中某点 O
时的电势能为零,则定义 q处于静电场中 a点时的电势能为 ldEqAW O
aaOa
(二 )静电场力所做的功 等于相应的电势能的增量的负值 baabab ldEqWWA)(
b
四,电势
(一 )定义,在静电场中 a点放置正试验点电荷 q0,选择 O为电势零点,
OaaOaa ldEqAqWU00 //则定义 a点的电势为零点选择可任意,视分析问题方便而定,
与试验电荷无关,
反映静电场性质,零点不同,电势值不同,
[例 1]:求点电荷电场的电势分布 (选无穷远处为零点 )
解,
aa rra drr
qldr
r
qU
2
0
3
0 44
a
a r
qU
04
i
ai
i
O
a i
O
a
i
i
O
aa
UldE
ldEldEU
)(
(二 )电势叠加原理多个电荷在空间某点产生的电势等于各个电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和,
:.1 分立点电荷系
i i
i
r
qU
04
1
:.2 连续分布带电体,;4 1
0
dldSdVdqrdqU
Q
或或
:.3 若带电体由几部分组成
i iUU
(三 )电势差 (electric potential difference):
baabbabaab ldEqAqWWUUU00 //)(
与试验电荷无关,
反映静电场性质,
零点不同,电势差相同,
)( 可负可正,q
qUWWA abbaab
★ 电势的计算方法一,场强积分法 ; Oaa ldEU
方法二,电势叠加法 ;4
1
0
Q r
dqU
电势零点的选取理论计算,电荷分布有限远时,选无限远点电荷分布无限远时,选有限远点电路分析,选取大地、仪器外壳等,
[例 2]:求均匀带电球面的电势分布,
1r
1P
2P
2r
o R
Q
解,用场强积分法
);(0);(4 1 3
0
RrERrrrQE
ldrrQldEU rPP 3
0
111 4
1
;44
10
2
0
1 r
Q
r
drQ
r;
44
1
0
3
0
22 R
Qldr
r
QldEU
RPP
);(4 1);(4 1
00
RrRQURrrQU
(无穷远处为零点 )
Q
R[例 3]:求均匀带电球体的电势分布,
1P1r
dqr?
2P
2r
解,用电势叠加法
RrrrrQP dUdUdUU
111
R
r r
drr
r
r
1 0
2
10
3
1
4
4
4
3/4
)3(8)3(6 2
2
1
0
2
1
2
0 R
r
R
QrR
;34
2
3
020
2 r
R
r
QdUU
QP?
).(
34
);()3(
6
)3(
8
{ 3
00
22
0
2
2
0
Rr
r
R
r
Q
RrrR
R
r
R
Q
U
);(2);(0
0
RrrERrE
[例 4] 无限长均匀带电圆柱面,单位长度的带电量为,半径为,求,电势分布,? R
1
P 1r
R
2r
2
P
解,用场强积分法 (选处 为电势零点 )Rr?;0
1
1
R
rP
ldEU;ln
22
2
2
00
0
2
22
2
R
r
r
dr
r
dl
ldEU
R
r
R
r
R
r
P
);(ln2);(0
0
RrRrURrU
[例 5](习题 1.21):无限长均匀带电圆柱体的半径为 R,
体电荷密度为,求电势分布,? R
1r
1
P
2r
2
P
解,用场强积分法 (选 处为电势零点 )0?r
);(22
0
2
0
RrrRrE
);(22
0
2
0
RrrRrE
2
1
0
0
0 4211
1
rdrrldEU
r
O
P
P?
drrdrrRldEU
R
R
r
O
P
P
0
00
2
22222?
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
ln4)1ln2(44ln2 R reRRrRRRrR
);(ln4);(4 2
2
0
2
0
2
RrR reRURrrU
rdqdU
04
dq
Q
· p o
R r
x x
[例 6]:求均匀带电圆环 (带电 Q、半径 R)在其轴线上产生的电势,
rdqdUU
04
dqrU
04
1
[解 ]:用电势叠加法;)(4 1 2/122
0 xR
QU
Q1 Q2 R
1 R
2?a
b?c
[例 7]:由电势叠加原理直接写出两同心均匀带电球面的电势分布 Ua,Ub,Uc.
);(4 1);(4 1
00
RrRQURrrQU
解,一个均匀带电球面的电势分布 为
);(4 1
2
2
1
1
0 R
Q
R
QU
a );(4
2
1
1
0 b
b r
Q
R
QU
;4
1 21
0 c
c r
QQU
思考题,① 如图电场是静电场吗?
电场线
E?
a b
cd
L ldE0
a
d
d
c
c
b
b
a
ldEldEldEldE
;0)( abEE dcab 如图电场不可能是静电场 !!
② 计算电量为 分布任意的带电球面 (圆环、圆弧等 )，在球心 (圆心 )处产生的电势,
Q
Q
O
dqR
R
Q
dq
R
R
dq
dUU
Q
O
00
0
44
1
4
本次作业：
1.18 1.19 1.22
1.静电场的环路定理
2.电势能 ldEqAW OaaOa
3.电势与电势差 OaaOaa ldEqAqWU00 //
baabbabaab ldEqAqWWUUU00 //)(
4.点电荷的电势分布 (无穷远处为零点 ) r
qU
04
5.电势的计算 方法一,场强积分法 O
aa ldEU
0L ldE
上次课回顾方法二,电势叠加法
Q r
dqU
04
1
(无穷远处为零点 )
二,电势和场强的关系
(一 ) 规定,
2.两个相邻等势面间的电势差为常数,
(二 )等势面和电场线的关系,
1.等势面与电场线处处垂直 ;
2.电场线从高电势指向低电势 ;
3.等势面密处场强大,
q
电场线等势面
§ 1.5 等势面 电势梯度 (electric potential gradient)
一,等势面
1.静电场中各个等势面上电势处处相等 ;
ldEdU ab
描述了场的方向描述了场的强弱
baba ldEUU(一 )积分关系,
1.方向导数 (directional derivative)
(二 )微分关系,
a?
U+dU
U
b?
bnd?
ld?E?
研究单位路径上的电势变化
沿 方向电势变化率,l? dldU
沿 方向电势变化率,n? dndU
沿某个方向势函数对路径的变化率称为势函数在该方向的方向导数,
沿不同方向的方向导数不同,
方向的最大,即n?
.c o s
c o s/
:)2(;:)1(
dn
dU
dn
dU
dl
dU
dn
dU
dl
dU
定量定性;c o s;c o s;c o s
dn
dU
dz
dU
dn
dU
dy
dU
dn
dU
dx
dU
的方向角是 n,,
2.梯度矢量,UkzUjyUixUndndU
0
3.场强等于电势的负梯度,Un
dn
dUE
0
[例 ]:用电势梯度法求均匀带电圆环（带电为 q，半径为 R）轴线上任一点的场强,
解,
2/122
0 )(4 xR
qU
i
xR
qx
i
xR
q
x
i
x
u
iEE x
2/322
0
2/122
0
)(4
)(4
由梯度法得均匀带电圆环轴线上的电场为均匀带电圆环轴线上的电势为
dq
q
· p o
R r
x x
r
dqdUU
04
dqrU
04
1
本章小结
1.两个物理量 及其对应的几何描述方法 ;、UE?;0;/)( 0 L
i iS
ldEqsdE内2.两个基本方程,;; QQ dUUEdE3.两种计算思路,;;/)( 0 aOa
i iS
UldEqsdE内
4.强调两句话,① 注重典型场 ; ② 注重叠加原理,
点电荷 均匀带电球面无限长均匀带电直线 (柱面 )
无限大均匀带电平面 (板 )
