振动 在空间的传播过程叫做 波动 ;
第二章 波动机械振动 机械波；
电磁振动 电磁波 ;
本质不同规律相同
§ 2.1 ~§ 2.3 机械波的产生、传播和描述方法
§ 2.4 机械波的能量和能流
§ 2.5 惠更斯原理及其应用
§ 2.6,§ 2.7 波的叠加问题
§ 2.8 多普勒效应及其应用预期学时：
8学时
§ 2.1 ~§ 2.3 机械波的产生、传播和描述方法一,机械波 (mechanical wave)的产生
(一 )产生条件,
弹性波 (elastic wave)
t=0
t=(1/2)T
t=T
t=(1/4)T
t=(3/4)T2.传播振动的弹性介质
1.产生振动的波源
(二 )横波和纵波
1.横波,质元振动方向与波传播方向垂直 ;
柔软的轻绳中只能传播横波,
2.纵波,质元振动方向与波传播方向平行 ;
*有一些波既有纵波成分，也有横波成分,
理想的流体中只能传播纵波,地震波
*在两介质交界面上还可以传播表面波,
水面波,水面质元在重力和表面张力作用下绕平衡位置沿圆形或椭圆轨道旋转,
二,振动的传播
(二 )“上游,的质元依次带动
,下游,的质元振动,
---行波
(四 )行波的波函数,
x处在 (t-x/u)时刻的状态原点在 t时刻的状态 f (t)
传播时间 x/u
)/(),( uxtftxy
x
y(振动的物理量 )u 质元坐标o
t=0
t=(1/2)T
t=T
t=(1/4)T
t=(3/4)T
(三 )某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于,下游,某处出现 ---波是振动状态的传播,
(一 )质元并未,随波逐流,,
波的传播不是质元的传播 ;
波源和质元均作简谐振动波函数 f 是正弦或余弦形式
(一 )描述简谐波的 特征量简谐波是振动相位的传播1.波速 u,振动相位的传播速度,
只与介质有关波数 (wave number)?/1 相邻同相点间的相位差为 2π.
一个完整波 (complete wave)的空间长度单位长度上完整波的个数三,简谐行波 的描述方法
2.波长 (wave length)λ,沿波的传播方向,两 相邻同相点间的距离,
nk )/2(波矢量 (wave vector):
3.频率 ν,单位时间内传播的完整波的个数,
周期 T:传播一个完整波所用的时间,
只与波源有关
Tu /
沿波的传播方向相位依此滞 后
u
x
T
uxx
22
(二 )一维 简谐波的波函数
x
y(振动的物理量 ) 质元坐标o
u
x?
a参考点 a,ya(t)=Acos(? ta)
任意点 ｐ,
质元振幅均为 A
质元角频率均为 ω
p
相位,u xx aat ])(co s [ aau xxtAy
,0,0 aax?令
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴正方向传播
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴反方向传播
☆ 一维简谐波函数的物理意义
固定 x= x0,
固定 t = t0,
)c o s (),( 00 kxtAtxy
)(c o s),( 00 txkAtxy
看定某一相位,
);c o s (),( kxtAtxy
x0处的振动方程
y
o t
x = x0
用摄像机为某质元拍的一段
“舞姿优美”的特写镜头,
t0时刻的波形方程
t0 时刻用照相机为所有质元拍的团体相,
ukxxkt /,,0
波的传播也表现为波形的传播,
一个周期内前进一个波长的距离
y
o? x
u
t=t0
不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况波是相位的传播,速度为 u.
波是振动状态的传播,速度为 u.?T —时间周期性 ;?—空间周期性 ;
(三 )波传播的几何描述
[例 ]在各向同性均匀介质中,
1.波线 (wave line):表示波的传播方向的直线或曲线,
2.等相面 (equal-phase surface):相位相同的点构成的平面或曲面,
波前 (wave front)或波面 (wave surface):波的最前方的等相面,
平面波源可以激发平面波 ;
点状波源可以激发球面波 ;
波线与波面垂直在各向异性或非均匀介质中,波线与波面不一定垂直,波面会变形,波线也可能是曲线,
在远离波源处,球面波或柱面波的局部可近似看作平面波波的传播可表述为,波面沿波线向前推进,速度为 u.
直线波源可以激发柱面波 ;
);c o s (),( kxtAtxy )co s ()/(),( 11 rktrrAtry );c o s (/),( 11 rktrrAtry
*简谐波函数的复数表示平面简谐波 )c o s (),( kxtAtxy
一般简谐波 )c o s ()(),( rktrAtry
])(R e[),( )( rktierAtry
)()(),( rktierAtry
rkierA)( tie复数形式?),( try?
波场中各点的谐振动有相同的时间因子,
波场中各点的谐振动的相位主要由空间因子决定,
复振幅 rkierAtr )(),(?
波的强度 ),(),(2 trtrA
复数形式的优点运算简便
[例 1]:若波的表达式为,)01.05.2(co s20),( xttxy
求波长、周期和波速。式中 x,y的单位为 cm,t的单位为 S。
)(20001.0 2 cm )(8.05.2 2 sT
)/(2 5 08.02 0 0 scmTv
解,
[例 2]:一简谐波以 0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在 x=0.1m处，
))(0.10.4si n (01.0 mty,试写出波函数。
弦线质点的位移随时间变化的关系为：
解,波是振动状态的传播,在 x轴上任取一点 x,在 0.1m处的振动
x
sx 8.0 1.0?状态经过 后传播到了 x点，则 波函数为
)(]0.1)8.0 1.0(0.4s i n [01.0 mxty
)()5.10.50.4s i n (01.0 mxty
本次作业：
2.7 2.9
);c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴正方向传播
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴反方向传播
);(co s),( uxtAtxy
1.一维简谐波的波函数
2.x0处的振动方程和 t0时刻的波形方程
① x0处的振动方程
② t0时刻的波形方程
)c o s (),( 00 kxtAtxy
)(c o s),( 00 txkAtxy
3.沿波的传播方向相位依此滞 后
u
x
T
uxx
22 x
y
o
u
x?
a p
上次课回顾
*四,介质中的波动方程和波速
);(co s),( uxtAtxy;,2222222 yy ux yt y;22222 x yt y u平面波已知波函数波动微分方程
，
分析系统性质得出介质中的
u
解微分方程若 y1,y2是方程的解,则 y3=αy1+βy2也必定是方程的解 —波的叠加原理,
y可以是作振动的任意物理量
(一 )固体细棒中的纵波应力,应变关系为,)l/l(YS/F
[介质波速举例 ]
Yu
Y-杨氏弹性模量 实验结论：
(二 )理想流体中的纵波
ku
K-体积弹性模量
)V/V(Kp
(三 )弹性绳上的横波 Tu T-绳的初始张力,?-绳的线密度
(四 ) 固体中的横波 的波动方程应力 SF?/ 应变 xy /?
Gxy SF
x
/
/l i m
0
2切F
1切F?
x
y
x xx
y
yy
S?
O切变弹性模量
Gu
x
yG
t
y?
;
2
2
2
2
,0x
x
xyxy
Gt y xxx?
)/()/(
,2
2
xSFSFt y /,1222 切切?,)( 1222 切切 FFt yxS
一,弹性波的能量密度;;;
{
2
2
1
dV
dm
t
y
dV
dm
dV
dW
v
vw kk;;
2
1
{
x
y
pw
应变弹性模量应变应力应变应力应变平均应力
§ 2.4 机械波的能量 弹性波的能量 =振动动能 +形变势能动能密度 2)(
2
1
t
y
kw?
势能密度 2)(21 xy
pw?
模量能量密度 22 )()( 2121 xyty
pk www?
模量能?
二,平面简谐波的能量密度 )c o s (),( kxtAtxy
);(sin 22221 xktAw k );(sin 22221 xktAw p
);(s i n 222 kxtAw能;2221 Aw能 222 u模量
wk,w p,w能 均随 t 周期性变化,
变化频率是波频率的 2倍,
固定 x:
☆ 简谐波能量密度的物理意义
w k = w p
固定 t
wk,w p,w能 随 x周期分布,
y=0,→ w k,w p最大 ；
);(sin 22221 xktAw k
);(sin 22221 xktAw p );(s i n 222 kxtAw能;2221 Aw能
wk
(1/4)2A2
y最大,→ w k,w p =0 ；
wp
u?
波场中的每个体元在 时间内从相邻的上游体元接受能量，在接着的下个时间内又把这份能量传送给相邻的下游体元,
能量在波场中以速度 u传播。
4/T4/T
y
o
λ xt = t
0
三,能流
(一 )能流密度
u
dS
udt
x
平面简谐波的能流密度
(二 )波的强度,能流密度的时间平均值平面简谐波的强度 2221 AuuwI 能
22
2
1 AZI引入特性阻抗,Z =? u,→
dtds
dtudsw
dtds
dWP
能uwP
能?
);(s i n 222 xktAuP
能流密度矢量 uwP
能?
能流 (能通量 )
SS
sduwsdP 能
*波的吸收;A d xdA
xeII?2
0
u?
xo x dxx?
A dAA?;,dxAdA
,
取决于介质的性质衰减系数:?
;,0 xeAA?
*声波、超声波和次声波
声波 (sound wave),Hz20000~20
可以引起人的听觉,但是有强度限制,
103o 20 2*104
I (W / m2)
(Hz)
·
I上 =1
I下 =10-12
Hz20000超声波 (supersonic ):
次声波 (infrasonic wave),Hz20
声强级,
以 1000 Hz 时 I下 作为基准 I0
)/(l o g10 010 IIL? 分贝 (db)
炮声或痛觉,120db;
繁忙街道,70 db;
正常谈话,60 db;
耳语,20 db;
树叶沙沙,10 db ;
方向性强、穿透能力强、
质元加速度很大研究地壳、海洋、大气运动的重要方法 ; 可长距离传输 ;次声武器,
例 1（ P202/2.16）一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质，试求（ 1）波的强度和离开波源距离的关系； 2）振幅和离开波源的距离有何关系？
本次作业：
2.15 2.17（提示）
（ 1）以线波源为轴作两个同轴等高的圆柱体，由于媒质各向同性，且不吸收能量，则在单位时间内流过第一个柱面的能量必流过第 2个柱面，即
hrIhrI 2211 22
1
2
2
1
r
r
I
I?
（ 2）因为,2AI? 所以
1
2
2
1
r
r
A
A?
解：
一,惠更斯原理,
媒质中波传到的各点,都可看作发射子波的子波源 (点波源 );
在以后任一时刻,这些子波面的包络就是实际波在该时刻的波前,
二,惠更斯原理的应用,
t 时刻波面?t+? t时刻波面?波的传播方向
§ 2.5 惠更斯原理及其应用惠更斯原理作图法平面波
t+?t
时刻波面
·
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t
时刻波面球面波
··
·
· · · ··
·
·
····
t
t +?t
·
·
·
a ·
(二 )波的反射
★ 如图,若广播台,电视台都在山前侧,住家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?
(一 )波的衍射 (diffraction)
波传播过程中当遇到障碍物时,能改变直线传播方向,绕过障碍物的边缘进入阴影区域而传播,
障碍物的尺寸比波长大的不是很多,
产生明显衍射的条件,
反射线、入射线和法线在同一平面内，且反射角等于入射角。
反射定律,, BCAD A B DB A C
,
,
iABD
iBAC
ii,A B
CD i i?
1t 2t
介质 2
介质 1
γ D t2
B
(三 )波的折射
A
C
i
t1
介质 1
介质 2
),( 121 ttuCB );( 122 ttuAD
,s i n iABCB? ;s i n?ABAD?
,1s i ns i n
21 uu
i?
1
2
2
1s i n,nnuui
折射线、入射线和法线位于同一平面内,且入射角与折射角满足下述关系,
21
1
2
2
1
s i n
s i n n
n
n
u
ui
折射定律时且当 )(s i n1)(
2
1
1
2
2121 u
u
n
niuunn
发生全反射。 其临界角为
2
11
1
21 s i ns i n
u
u
n
ni
1.当波由波疏介质向波密介质入射时,在反射点处,反射波发生了相位突变 π—“半波损失”。但透射波无半波损失,
波的反射、透射的几个重要结论：
2.波在反射、透射过程中能量守恒；
3.波在两介质交界面上的反射和透射只决定于两介质的性质，
与从那一侧入射无关；
入射波介质 2(Z2大 )界面介质 1(Z1小 )
透射波反射波
Z=ρu
三,惠更斯原理的不足：
1.不能说明子波为何不能倒退；
2.未涉及波的强度问题,不能说明某些波动现象 (如干涉等 ).
*菲涅尔在惠更斯原理的基础上，进一步提出了子波的相干叠加 ----惠更斯 —菲涅尔原理；
在几列波相遇区域中,每一点的振动是各列波 单独 传播时在该点引起的振动的线性叠加,
§ 2.6,§ 2.7 波的叠加问题 研究：介质中有几列波同时传播时所发生的 …
波的叠加原理波传播的独立性波的线性叠加性
S2
S1
r1
r2
p
2
2211
22111
1221
2
2
2
1
2
222022222
111011111
c o sc o s
s i ns i n
t a n)(
)c o s (2
c o s
c o s])/(c o s [
c o s])/(c o s [
AI
AA
AA
t
AAAAA
Ay
AurtAy
AurtAy
由方程线性决定,
波强小时成立 ;
波强大时不 成立 ;
[形变应力非线性 ]
·舞台红绿光交叉 ;
·听乐队演奏 ;
·接收无线电波 ;
……
每列波都将保持自己原有的特性 (传播方向,振动方向,频率等 ),不受其它波的影响,
一,波的相干叠加 ——干涉
(一 )相干条件,
同频率 ;?同相位 (或相位差恒定 );?同振向,
波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布,
S2
S1
r1
r2
p
2
1221
2
2
2
1
2
202222
101111
)c o s (2
)/(
)/(
AI
AAAAA
urt
urt
设振向?屏面(二 ) 波场的强度分布
)()( 121020 rru
c o s2 2122212 AAAAA
c o s2 2121 IIIII
(三 )干涉加强和减弱的条件 非相干波,21,0c o s III
2121m a x 2
),2,1,0(,2
IIIII
mm
则若加强减弱 2121m a x 2
),2,1,0(,)12(
IIIII
mm
则若
2
2
)12(:
2:
,
12
12
1020
mrr
mrr
减弱加强则若二,一种特殊的干涉现象 ——驻波 (standing wave)
(一 )驻波的形成两列相向传播的等振幅相干波叠加形成驻波,
utAy x
)2co s (1
utAy x
)2co s (2
tAy x co s2co s2
(二 )驻波的 特点
振幅特征,各处不等大,出现波腹和波节 ;
x
x
x
x
x
y
8/3T
2/T
4/T
8/T
0
驻波不是行波,
是特殊的振动,波腹?,210212,,kkx|xc o s|
波节 4)12(0|2co s| kxx
相位特征,相邻两波节间同相 ;波节两侧反相,
相邻波节 (波腹 )间距 λ/2.
分段同相振动,
驻波没有相位或状态传播 ; ),(),( txytttuxy
驻波没有波形的单向传播 ;
驻波没有能量的单向传播 ;
0)( uwuw
利用入射波与反射波的叠加形成驻波,(三 )驻波的实际形成,
xo
疏密
t = 0
t = T/21.波在固定端的反射
(如一端固定的弹性绳 )
反射点是波节
x
密
t = 0
t = T/2
o
疏
2.波在自由端的反射 (如一端置于空气中的固体棒 )
反射点是波腹在固定端反射时存在
“半波损失”，反射波与入射波反相在自由端反射时不存在“相位突变”，故反射波与入射波同相
L?有界弦上的简正模有边界的物体策动力驻波满足驻波方程 tAy x co s2co s2
满足边界条件 4/ kL
k
uLu 4
只存在频率离散的分段反向集体简谐振动最简单的振动模式简正模式 (normal mode)(四 ) 本征频率 (eigenfrequency)
n = 2?2 = 2?1(二次谐频 )
n = 3?3 = 3?1
(三次谐频 )
n = 1
(基频 )
TL21
1
T
L
nT
nnLu 2;2,
其它简正模量子物理中电子能量的不连续；
量子场论中用高维空间中的微小弦振动解释基本粒子的能量,
如,振动的鼓皮、敲响的大钟、
正在发声的乐器,… ；
驱动力频率等于某个简正模频率时,
这个模式的振动就会被激发,
)(2c o s1.01 cmtx
A
B
P
例 1[习题 2.19]
A,B为两线性波的始点，其振动表达式各为
))(2c o s (1.02 cmtx
，
它们传到 P处相遇迭加。已知波速,/20 scmv?
，
PB=50cm,试求两波传到 P处时的位相差以及合振动的振幅。
PA=40cm，
解：
)22()22( PBtPAt
0?
cmAAA 2.021
hz1 cm20
学员练习,P202 [习题 2.22] 本次作业：
2.24 2.25
1.干涉加强和减弱的条件
2121m a x 2
),2,1,0(,2
IIIII
mm
则若加强减弱 2121m a x 2
),2,1,0(,)12(
IIIII
mm
则若
2
2
)12(:
2:
,
12
12
1020
mrr
mrr
减弱加强则若
2.驻波
tAy x co s2co s2
驻波不是行波,是特殊的振动,
振幅特征,各处不等大,出现波腹和波节 ;
相位特征,相邻两波节间同相 ;波节两侧反相,
相邻波节 (波腹 )间距 λ/2.
上次课回顾
§ 2.8 多普勒效应 (Doppler effect) 研究波源、介质和接收器存在相对运动时产生的现象,
—波源相对介质的速率；SV
—接收器所测频率；R?
—波源振动频率；S?
—接受器相对介质的速率；RV
—介质中的波速；u
—介质中波的频率；?
RS
S
RR
R u
Vu
/u
Vu
RS
S
RR
R u
Vu
/u
Vu
0?SV
RV
u?
正方向
0?SV
RV
u?
正方向
波源静止，接受器运动
· 介质中的频率等于波源频率
· 接受器的频率等于单位时间接受到完整波的个数
u
S
SRRR u
VuVu?
0?RV
SV
正方向
SuT?0?
实?
SSTV
SR
S
SSSS
R Vu
u
TVuT
u
0?RV
SV
正方向
SuT?0?
实?
SSTV
SR
S
SSSS
R Vu
u
TVuT
u
接受器静止，波源运动
· 观察者测得的波长
SS TV
· 接受器接受到得的频率
SS
R TV
uu
S和 R的运动不在二者连线上
S
SS
RR
R Vu
Vu?
co s
co s
RS
S
VS VR
正方向有纵向多普勒效应 ;无横向多普勒效应,
接受器、波源都运动 波源 S
接受器 R
正方向
S
S
R
R Vu
Vu
与 正方向 同向取,+”;
与 正方向 反向取,-”.
RS VV
,
电磁波,光波都有多普勒效应正方向,R→ S
☆ 多普勒效应的应用
1.测量天体相对地球的视线速度
2.光谱线的多普勒增宽 (由发光原子的热运动引起 )
利用超声波的多普勒效应检查人体的内脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况。
算,星体的退行速度测,星体的谱线,红移”
验证,宇宙从“大爆炸” 开始“膨胀”，而且在继续“膨胀”,离我们越远的天体,退行速度越大,
3.技术上,可用于测量运动物体的视线速度,
如,测飞机接近雷达的速度,测汽车的行驶速度，
人造地球卫星的跟踪,用“激光流速仪”测流体的流速
4.医学上,D超”：
…,…
cmVxA 210)20200(10 222
2
02
0
11020 200
0
0
0
x
vtg
40 00
,v?
由初始条件 t=0,x0=10cm,v0=200 cm/s
振幅初相
,)c o s ( 0 tAx解,（ 1）令振动方程为：
10c o s 0A 2 0 0s i n 0 A有：
）（ sr a d /20
)420c o s (210 tx
位移的表达式为,（ cm）
)420s i n (22 0 0 tdtdxv
)420c o s (2 4 0 0 0 2 tdtdva
（ 2） （ cm/s）
（ 3） （ cm/s2）
1.6 一质点作简谐振动，频率为 10赫，在 t＝ 0时，此质点的位移为
10厘米，速度为 200 厘米／秒。写出此质点的（ 1）位移表示式；
（ 2）速度表示式；（ 3）加速度表示式。
1.9 一个劲度系数为 k 的轻弹簧，下端悬挂一质量为 M 的盘。
质量为 m的重物从 h高处落至盘中做完全非弹性碰撞，这时盘开始振动，求盘振动的表达式。
h
mh
以盘 M和重物 m的平衡位置为坐标原点，竖直向上为 x轴正方向，令盘和重物平衡时弹簧的伸长量为 l0，则有
gmMkl )(0
kxgmMxlkF )()( 0
盘和物体作简谐振动，简谐振动的圆频率：
mM
k
解：
假设盘和重物发生一位移 x，则它们受到的合外力
mM
ghmAv
2sin
0 kmgkMglAx 000 c o s?
gmM
kh
k
mgvxA
)(
21
2
202
0 )(
2
0
00 Mg khxvtg
令振动方程为,)c o s ( 0 tAx
))( 2c o s ()( 21 gmM kha r c t gtmM kgmM khkmgx
·l0
x
x
l2
2l
1.15 如图，两个完全相同的圆柱状滚轮在水平面内平行放置，各绕自身的轴按图示方向等角速转动，两轴线之间的距离为 。在滚轮上平放一块重量为 G的均匀木板，木板与滚轮之间的摩擦系数为 。若木板重心偏离两轴中心位置一个微小的距离，试描述木板的运动。
如图设两轮对板的支撑力分别为 N1,N2，摩擦力分别为 f1,f2,则 11 Nf 22 Nf
解：
N1 N2
f1
f2
GNN 21
以两轮中心为坐标原点，当重心的位移为 x 时
x
（ 1）
)()( 21 xlNxlN
因板只发生平动，所以它受到的合力矩为零，相对板的重心而言
（ 2）
l
xlGN
2
)(
1
l xlGN 2 )(2联立（ 1）、（ 2）式可得
xlGl xlGl xlGffF 2 )(2 )(21木板受到水平方向的合外力
g
l
k
mT
22可见板在两轴中心位置附近做简谐振动，振动周期本次作业：
2.31 2.32
G
2.7 一列波沿绳传播，其波函数为 ))(0.2200(2si n02.0 SIxty
（ 1）求出此横波的波长、频率、波速和传播方向；
（ 2）求绳上质元振动的最大速度并与波速比较。
sr a d /4 0 0 Hzv 2 0 02
)(5.021 m )/(10 020 05.0 smvv
x
解：
波沿辆 正向传播
)0.2200(2c o s8 xtdtdyv
质元振动的最大速度 )/(12.258max smv
比波传播的速度要小得多。
（ 2）质元振动的速度
)2/12 0 0/1(2s i n02.0 xty
（ 1）由波函数 可知 ))(0.2200(2si n02.0 SIxty
本次作业：
2.31 2.32
第二章 波动机械振动 机械波；
电磁振动 电磁波 ;
本质不同规律相同
§ 2.1 ~§ 2.3 机械波的产生、传播和描述方法
§ 2.4 机械波的能量和能流
§ 2.5 惠更斯原理及其应用
§ 2.6,§ 2.7 波的叠加问题
§ 2.8 多普勒效应及其应用预期学时：
8学时
§ 2.1 ~§ 2.3 机械波的产生、传播和描述方法一,机械波 (mechanical wave)的产生
(一 )产生条件,
弹性波 (elastic wave)
t=0
t=(1/2)T
t=T
t=(1/4)T
t=(3/4)T2.传播振动的弹性介质
1.产生振动的波源
(二 )横波和纵波
1.横波,质元振动方向与波传播方向垂直 ;
柔软的轻绳中只能传播横波,
2.纵波,质元振动方向与波传播方向平行 ;
*有一些波既有纵波成分，也有横波成分,
理想的流体中只能传播纵波,地震波
*在两介质交界面上还可以传播表面波,
水面波,水面质元在重力和表面张力作用下绕平衡位置沿圆形或椭圆轨道旋转,
二,振动的传播
(二 )“上游,的质元依次带动
,下游,的质元振动,
---行波
(四 )行波的波函数,
x处在 (t-x/u)时刻的状态原点在 t时刻的状态 f (t)
传播时间 x/u
)/(),( uxtftxy
x
y(振动的物理量 )u 质元坐标o
t=0
t=(1/2)T
t=T
t=(1/4)T
t=(3/4)T
(三 )某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于,下游,某处出现 ---波是振动状态的传播,
(一 )质元并未,随波逐流,,
波的传播不是质元的传播 ;
波源和质元均作简谐振动波函数 f 是正弦或余弦形式
(一 )描述简谐波的 特征量简谐波是振动相位的传播1.波速 u,振动相位的传播速度,
只与介质有关波数 (wave number)?/1 相邻同相点间的相位差为 2π.
一个完整波 (complete wave)的空间长度单位长度上完整波的个数三,简谐行波 的描述方法
2.波长 (wave length)λ,沿波的传播方向,两 相邻同相点间的距离,
nk )/2(波矢量 (wave vector):
3.频率 ν,单位时间内传播的完整波的个数,
周期 T:传播一个完整波所用的时间,
只与波源有关
Tu /
沿波的传播方向相位依此滞 后
u
x
T
uxx
22
(二 )一维 简谐波的波函数
x
y(振动的物理量 ) 质元坐标o
u
x?
a参考点 a,ya(t)=Acos(? ta)
任意点 ｐ,
质元振幅均为 A
质元角频率均为 ω
p
相位,u xx aat ])(co s [ aau xxtAy
,0,0 aax?令
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴正方向传播
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴反方向传播
☆ 一维简谐波函数的物理意义
固定 x= x0,
固定 t = t0,
)c o s (),( 00 kxtAtxy
)(c o s),( 00 txkAtxy
看定某一相位,
);c o s (),( kxtAtxy
x0处的振动方程
y
o t
x = x0
用摄像机为某质元拍的一段
“舞姿优美”的特写镜头,
t0时刻的波形方程
t0 时刻用照相机为所有质元拍的团体相,
ukxxkt /,,0
波的传播也表现为波形的传播,
一个周期内前进一个波长的距离
y
o? x
u
t=t0
不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况波是相位的传播,速度为 u.
波是振动状态的传播,速度为 u.?T —时间周期性 ;?—空间周期性 ;
(三 )波传播的几何描述
[例 ]在各向同性均匀介质中,
1.波线 (wave line):表示波的传播方向的直线或曲线,
2.等相面 (equal-phase surface):相位相同的点构成的平面或曲面,
波前 (wave front)或波面 (wave surface):波的最前方的等相面,
平面波源可以激发平面波 ;
点状波源可以激发球面波 ;
波线与波面垂直在各向异性或非均匀介质中,波线与波面不一定垂直,波面会变形,波线也可能是曲线,
在远离波源处,球面波或柱面波的局部可近似看作平面波波的传播可表述为,波面沿波线向前推进,速度为 u.
直线波源可以激发柱面波 ;
);c o s (),( kxtAtxy )co s ()/(),( 11 rktrrAtry );c o s (/),( 11 rktrrAtry
*简谐波函数的复数表示平面简谐波 )c o s (),( kxtAtxy
一般简谐波 )c o s ()(),( rktrAtry
])(R e[),( )( rktierAtry
)()(),( rktierAtry
rkierA)( tie复数形式?),( try?
波场中各点的谐振动有相同的时间因子,
波场中各点的谐振动的相位主要由空间因子决定,
复振幅 rkierAtr )(),(?
波的强度 ),(),(2 trtrA
复数形式的优点运算简便
[例 1]:若波的表达式为,)01.05.2(co s20),( xttxy
求波长、周期和波速。式中 x,y的单位为 cm,t的单位为 S。
)(20001.0 2 cm )(8.05.2 2 sT
)/(2 5 08.02 0 0 scmTv
解,
[例 2]:一简谐波以 0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在 x=0.1m处，
))(0.10.4si n (01.0 mty,试写出波函数。
弦线质点的位移随时间变化的关系为：
解,波是振动状态的传播,在 x轴上任取一点 x,在 0.1m处的振动
x
sx 8.0 1.0?状态经过 后传播到了 x点，则 波函数为
)(]0.1)8.0 1.0(0.4s i n [01.0 mxty
)()5.10.50.4s i n (01.0 mxty
本次作业：
2.7 2.9
);c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴正方向传播
);(co s),( uxtAtxy );c o s (),( kxtAtxy
);co s (),( 22 xtAtxy T );(co s),( 2 utxAtxy
沿 x轴反方向传播
);(co s),( uxtAtxy
1.一维简谐波的波函数
2.x0处的振动方程和 t0时刻的波形方程
① x0处的振动方程
② t0时刻的波形方程
)c o s (),( 00 kxtAtxy
)(c o s),( 00 txkAtxy
3.沿波的传播方向相位依此滞 后
u
x
T
uxx
22 x
y
o
u
x?
a p
上次课回顾
*四,介质中的波动方程和波速
);(co s),( uxtAtxy;,2222222 yy ux yt y;22222 x yt y u平面波已知波函数波动微分方程
，
分析系统性质得出介质中的
u
解微分方程若 y1,y2是方程的解,则 y3=αy1+βy2也必定是方程的解 —波的叠加原理,
y可以是作振动的任意物理量
(一 )固体细棒中的纵波应力,应变关系为,)l/l(YS/F
[介质波速举例 ]
Yu
Y-杨氏弹性模量 实验结论：
(二 )理想流体中的纵波
ku
K-体积弹性模量
)V/V(Kp
(三 )弹性绳上的横波 Tu T-绳的初始张力,?-绳的线密度
(四 ) 固体中的横波 的波动方程应力 SF?/ 应变 xy /?
Gxy SF
x
/
/l i m
0
2切F
1切F?
x
y
x xx
y
yy
S?
O切变弹性模量
Gu
x
yG
t
y?
;
2
2
2
2
,0x
x
xyxy
Gt y xxx?
)/()/(
,2
2
xSFSFt y /,1222 切切?,)( 1222 切切 FFt yxS
一,弹性波的能量密度;;;
{
2
2
1
dV
dm
t
y
dV
dm
dV
dW
v
vw kk;;
2
1
{
x
y
pw
应变弹性模量应变应力应变应力应变平均应力
§ 2.4 机械波的能量 弹性波的能量 =振动动能 +形变势能动能密度 2)(
2
1
t
y
kw?
势能密度 2)(21 xy
pw?
模量能量密度 22 )()( 2121 xyty
pk www?
模量能?
二,平面简谐波的能量密度 )c o s (),( kxtAtxy
);(sin 22221 xktAw k );(sin 22221 xktAw p
);(s i n 222 kxtAw能;2221 Aw能 222 u模量
wk,w p,w能 均随 t 周期性变化,
变化频率是波频率的 2倍,
固定 x:
☆ 简谐波能量密度的物理意义
w k = w p
固定 t
wk,w p,w能 随 x周期分布,
y=0,→ w k,w p最大 ；
);(sin 22221 xktAw k
);(sin 22221 xktAw p );(s i n 222 kxtAw能;2221 Aw能
wk
(1/4)2A2
y最大,→ w k,w p =0 ；
wp
u?
波场中的每个体元在 时间内从相邻的上游体元接受能量，在接着的下个时间内又把这份能量传送给相邻的下游体元,
能量在波场中以速度 u传播。
4/T4/T
y
o
λ xt = t
0
三,能流
(一 )能流密度
u
dS
udt
x
平面简谐波的能流密度
(二 )波的强度,能流密度的时间平均值平面简谐波的强度 2221 AuuwI 能
22
2
1 AZI引入特性阻抗,Z =? u,→
dtds
dtudsw
dtds
dWP
能uwP
能?
);(s i n 222 xktAuP
能流密度矢量 uwP
能?
能流 (能通量 )
SS
sduwsdP 能
*波的吸收;A d xdA
xeII?2
0
u?
xo x dxx?
A dAA?;,dxAdA
,
取决于介质的性质衰减系数:?
;,0 xeAA?
*声波、超声波和次声波
声波 (sound wave),Hz20000~20
可以引起人的听觉,但是有强度限制,
103o 20 2*104
I (W / m2)
(Hz)
·
I上 =1
I下 =10-12
Hz20000超声波 (supersonic ):
次声波 (infrasonic wave),Hz20
声强级,
以 1000 Hz 时 I下 作为基准 I0
)/(l o g10 010 IIL? 分贝 (db)
炮声或痛觉,120db;
繁忙街道,70 db;
正常谈话,60 db;
耳语,20 db;
树叶沙沙,10 db ;
方向性强、穿透能力强、
质元加速度很大研究地壳、海洋、大气运动的重要方法 ; 可长距离传输 ;次声武器,
例 1（ P202/2.16）一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质，试求（ 1）波的强度和离开波源距离的关系； 2）振幅和离开波源的距离有何关系？
本次作业：
2.15 2.17（提示）
（ 1）以线波源为轴作两个同轴等高的圆柱体，由于媒质各向同性，且不吸收能量，则在单位时间内流过第一个柱面的能量必流过第 2个柱面，即
hrIhrI 2211 22
1
2
2
1
r
r
I
I?
（ 2）因为,2AI? 所以
1
2
2
1
r
r
A
A?
解：
一,惠更斯原理,
媒质中波传到的各点,都可看作发射子波的子波源 (点波源 );
在以后任一时刻,这些子波面的包络就是实际波在该时刻的波前,
二,惠更斯原理的应用,
t 时刻波面?t+? t时刻波面?波的传播方向
§ 2.5 惠更斯原理及其应用惠更斯原理作图法平面波
t+?t
时刻波面
·
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t
时刻波面球面波
··
·
· · · ··
·
·
····
t
t +?t
·
·
·
a ·
(二 )波的反射
★ 如图,若广播台,电视台都在山前侧,住家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?
(一 )波的衍射 (diffraction)
波传播过程中当遇到障碍物时,能改变直线传播方向,绕过障碍物的边缘进入阴影区域而传播,
障碍物的尺寸比波长大的不是很多,
产生明显衍射的条件,
反射线、入射线和法线在同一平面内，且反射角等于入射角。
反射定律,, BCAD A B DB A C
,
,
iABD
iBAC
ii,A B
CD i i?
1t 2t
介质 2
介质 1
γ D t2
B
(三 )波的折射
A
C
i
t1
介质 1
介质 2
),( 121 ttuCB );( 122 ttuAD
,s i n iABCB? ;s i n?ABAD?
,1s i ns i n
21 uu
i?
1
2
2
1s i n,nnuui
折射线、入射线和法线位于同一平面内,且入射角与折射角满足下述关系,
21
1
2
2
1
s i n
s i n n
n
n
u
ui
折射定律时且当 )(s i n1)(
2
1
1
2
2121 u
u
n
niuunn
发生全反射。 其临界角为
2
11
1
21 s i ns i n
u
u
n
ni
1.当波由波疏介质向波密介质入射时,在反射点处,反射波发生了相位突变 π—“半波损失”。但透射波无半波损失,
波的反射、透射的几个重要结论：
2.波在反射、透射过程中能量守恒；
3.波在两介质交界面上的反射和透射只决定于两介质的性质，
与从那一侧入射无关；
入射波介质 2(Z2大 )界面介质 1(Z1小 )
透射波反射波
Z=ρu
三,惠更斯原理的不足：
1.不能说明子波为何不能倒退；
2.未涉及波的强度问题,不能说明某些波动现象 (如干涉等 ).
*菲涅尔在惠更斯原理的基础上，进一步提出了子波的相干叠加 ----惠更斯 —菲涅尔原理；
在几列波相遇区域中,每一点的振动是各列波 单独 传播时在该点引起的振动的线性叠加,
§ 2.6,§ 2.7 波的叠加问题 研究：介质中有几列波同时传播时所发生的 …
波的叠加原理波传播的独立性波的线性叠加性
S2
S1
r1
r2
p
2
2211
22111
1221
2
2
2
1
2
222022222
111011111
c o sc o s
s i ns i n
t a n)(
)c o s (2
c o s
c o s])/(c o s [
c o s])/(c o s [
AI
AA
AA
t
AAAAA
Ay
AurtAy
AurtAy
由方程线性决定,
波强小时成立 ;
波强大时不 成立 ;
[形变应力非线性 ]
·舞台红绿光交叉 ;
·听乐队演奏 ;
·接收无线电波 ;
……
每列波都将保持自己原有的特性 (传播方向,振动方向,频率等 ),不受其它波的影响,
一,波的相干叠加 ——干涉
(一 )相干条件,
同频率 ;?同相位 (或相位差恒定 );?同振向,
波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布,
S2
S1
r1
r2
p
2
1221
2
2
2
1
2
202222
101111
)c o s (2
)/(
)/(
AI
AAAAA
urt
urt
设振向?屏面(二 ) 波场的强度分布
)()( 121020 rru
c o s2 2122212 AAAAA
c o s2 2121 IIIII
(三 )干涉加强和减弱的条件 非相干波,21,0c o s III
2121m a x 2
),2,1,0(,2
IIIII
mm
则若加强减弱 2121m a x 2
),2,1,0(,)12(
IIIII
mm
则若
2
2
)12(:
2:
,
12
12
1020
mrr
mrr
减弱加强则若二,一种特殊的干涉现象 ——驻波 (standing wave)
(一 )驻波的形成两列相向传播的等振幅相干波叠加形成驻波,
utAy x
)2co s (1
utAy x
)2co s (2
tAy x co s2co s2
(二 )驻波的 特点
振幅特征,各处不等大,出现波腹和波节 ;
x
x
x
x
x
y
8/3T
2/T
4/T
8/T
0
驻波不是行波,
是特殊的振动,波腹?,210212,,kkx|xc o s|
波节 4)12(0|2co s| kxx
相位特征,相邻两波节间同相 ;波节两侧反相,
相邻波节 (波腹 )间距 λ/2.
分段同相振动,
驻波没有相位或状态传播 ; ),(),( txytttuxy
驻波没有波形的单向传播 ;
驻波没有能量的单向传播 ;
0)( uwuw
利用入射波与反射波的叠加形成驻波,(三 )驻波的实际形成,
xo
疏密
t = 0
t = T/21.波在固定端的反射
(如一端固定的弹性绳 )
反射点是波节
x
密
t = 0
t = T/2
o
疏
2.波在自由端的反射 (如一端置于空气中的固体棒 )
反射点是波腹在固定端反射时存在
“半波损失”，反射波与入射波反相在自由端反射时不存在“相位突变”，故反射波与入射波同相
L?有界弦上的简正模有边界的物体策动力驻波满足驻波方程 tAy x co s2co s2
满足边界条件 4/ kL
k
uLu 4
只存在频率离散的分段反向集体简谐振动最简单的振动模式简正模式 (normal mode)(四 ) 本征频率 (eigenfrequency)
n = 2?2 = 2?1(二次谐频 )
n = 3?3 = 3?1
(三次谐频 )
n = 1
(基频 )
TL21
1
T
L
nT
nnLu 2;2,
其它简正模量子物理中电子能量的不连续；
量子场论中用高维空间中的微小弦振动解释基本粒子的能量,
如,振动的鼓皮、敲响的大钟、
正在发声的乐器,… ；
驱动力频率等于某个简正模频率时,
这个模式的振动就会被激发,
)(2c o s1.01 cmtx
A
B
P
例 1[习题 2.19]
A,B为两线性波的始点，其振动表达式各为
))(2c o s (1.02 cmtx
，
它们传到 P处相遇迭加。已知波速,/20 scmv?
，
PB=50cm,试求两波传到 P处时的位相差以及合振动的振幅。
PA=40cm，
解：
)22()22( PBtPAt
0?
cmAAA 2.021
hz1 cm20
学员练习,P202 [习题 2.22] 本次作业：
2.24 2.25
1.干涉加强和减弱的条件
2121m a x 2
),2,1,0(,2
IIIII
mm
则若加强减弱 2121m a x 2
),2,1,0(,)12(
IIIII
mm
则若
2
2
)12(:
2:
,
12
12
1020
mrr
mrr
减弱加强则若
2.驻波
tAy x co s2co s2
驻波不是行波,是特殊的振动,
振幅特征,各处不等大,出现波腹和波节 ;
相位特征,相邻两波节间同相 ;波节两侧反相,
相邻波节 (波腹 )间距 λ/2.
上次课回顾
§ 2.8 多普勒效应 (Doppler effect) 研究波源、介质和接收器存在相对运动时产生的现象,
—波源相对介质的速率；SV
—接收器所测频率；R?
—波源振动频率；S?
—接受器相对介质的速率；RV
—介质中的波速；u
—介质中波的频率；?
RS
S
RR
R u
Vu
/u
Vu
RS
S
RR
R u
Vu
/u
Vu
0?SV
RV
u?
正方向
0?SV
RV
u?
正方向
波源静止，接受器运动
· 介质中的频率等于波源频率
· 接受器的频率等于单位时间接受到完整波的个数
u
S
SRRR u
VuVu?
0?RV
SV
正方向
SuT?0?
实?
SSTV
SR
S
SSSS
R Vu
u
TVuT
u
0?RV
SV
正方向
SuT?0?
实?
SSTV
SR
S
SSSS
R Vu
u
TVuT
u
接受器静止，波源运动
· 观察者测得的波长
SS TV
· 接受器接受到得的频率
SS
R TV
uu
S和 R的运动不在二者连线上
S
SS
RR
R Vu
Vu?
co s
co s
RS
S
VS VR
正方向有纵向多普勒效应 ;无横向多普勒效应,
接受器、波源都运动 波源 S
接受器 R
正方向
S
S
R
R Vu
Vu
与 正方向 同向取,+”;
与 正方向 反向取,-”.
RS VV
,
电磁波,光波都有多普勒效应正方向,R→ S
☆ 多普勒效应的应用
1.测量天体相对地球的视线速度
2.光谱线的多普勒增宽 (由发光原子的热运动引起 )
利用超声波的多普勒效应检查人体的内脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况。
算,星体的退行速度测,星体的谱线,红移”
验证,宇宙从“大爆炸” 开始“膨胀”，而且在继续“膨胀”,离我们越远的天体,退行速度越大,
3.技术上,可用于测量运动物体的视线速度,
如,测飞机接近雷达的速度,测汽车的行驶速度，
人造地球卫星的跟踪,用“激光流速仪”测流体的流速
4.医学上,D超”：
…,…
cmVxA 210)20200(10 222
2
02
0
11020 200
0
0
0
x
vtg
40 00
,v?
由初始条件 t=0,x0=10cm,v0=200 cm/s
振幅初相
,)c o s ( 0 tAx解,（ 1）令振动方程为：
10c o s 0A 2 0 0s i n 0 A有：
）（ sr a d /20
)420c o s (210 tx
位移的表达式为,（ cm）
)420s i n (22 0 0 tdtdxv
)420c o s (2 4 0 0 0 2 tdtdva
（ 2） （ cm/s）
（ 3） （ cm/s2）
1.6 一质点作简谐振动，频率为 10赫，在 t＝ 0时，此质点的位移为
10厘米，速度为 200 厘米／秒。写出此质点的（ 1）位移表示式；
（ 2）速度表示式；（ 3）加速度表示式。
1.9 一个劲度系数为 k 的轻弹簧，下端悬挂一质量为 M 的盘。
质量为 m的重物从 h高处落至盘中做完全非弹性碰撞，这时盘开始振动，求盘振动的表达式。
h
mh
以盘 M和重物 m的平衡位置为坐标原点，竖直向上为 x轴正方向，令盘和重物平衡时弹簧的伸长量为 l0，则有
gmMkl )(0
kxgmMxlkF )()( 0
盘和物体作简谐振动，简谐振动的圆频率：
mM
k
解：
假设盘和重物发生一位移 x，则它们受到的合外力
mM
ghmAv
2sin
0 kmgkMglAx 000 c o s?
gmM
kh
k
mgvxA
)(
21
2
202
0 )(
2
0
00 Mg khxvtg
令振动方程为,)c o s ( 0 tAx
))( 2c o s ()( 21 gmM kha r c t gtmM kgmM khkmgx
·l0
x
x
l2
2l
1.15 如图，两个完全相同的圆柱状滚轮在水平面内平行放置，各绕自身的轴按图示方向等角速转动，两轴线之间的距离为 。在滚轮上平放一块重量为 G的均匀木板，木板与滚轮之间的摩擦系数为 。若木板重心偏离两轴中心位置一个微小的距离，试描述木板的运动。
如图设两轮对板的支撑力分别为 N1,N2，摩擦力分别为 f1,f2,则 11 Nf 22 Nf
解：
N1 N2
f1
f2
GNN 21
以两轮中心为坐标原点，当重心的位移为 x 时
x
（ 1）
)()( 21 xlNxlN
因板只发生平动，所以它受到的合力矩为零，相对板的重心而言
（ 2）
l
xlGN
2
)(
1
l xlGN 2 )(2联立（ 1）、（ 2）式可得
xlGl xlGl xlGffF 2 )(2 )(21木板受到水平方向的合外力
g
l
k
mT
22可见板在两轴中心位置附近做简谐振动，振动周期本次作业：
2.31 2.32
G
2.7 一列波沿绳传播，其波函数为 ))(0.2200(2si n02.0 SIxty
（ 1）求出此横波的波长、频率、波速和传播方向；
（ 2）求绳上质元振动的最大速度并与波速比较。
sr a d /4 0 0 Hzv 2 0 02
)(5.021 m )/(10 020 05.0 smvv
x
解：
波沿辆 正向传播
)0.2200(2c o s8 xtdtdyv
质元振动的最大速度 )/(12.258max smv
比波传播的速度要小得多。
（ 2）质元振动的速度
)2/12 0 0/1(2s i n02.0 xty
（ 1）由波函数 可知 ))(0.2200(2si n02.0 SIxty
本次作业：
2.31 2.32
