§ 3.1 质点系的动量定理和动量守恒定律
§ 3.2 质心和质心系
§ 3.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
§ 3.4 质点系的动能定理和机械能守恒定律
§ 3.5 两体碰撞有内力 (internal force);有外力 (external force).
1.质点系,由多个彼此相互作用的质点构成的力学体系 ;
概述
2.质点系问题是质点力学过渡到实际力学的桥梁。
3.是多体系统，其牛顿动力学方程一般不能严格求解,
② 不同问题采用不同的近似,① 系统整体遵守一定的定律,
4.主要内容,
*预期学时,6学时第三章 质点系动力学
pi
i
Fi
·
外力
j
fi j
fj i内力一,质点系的动量定理
N
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N
i ji ij
N
i i
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111
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·
§ 3.1 质点系的动量定理和动量守恒定律
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ji iji
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i i
N
i ji ij
N
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/)(
111
0? )( 总动量P?
dtPdFN
i i
/
1
质点系的总动量对时间的变化率等于该系统所受的合外力。
2,只决定于,与外力作用细节无关。dtPd /
N
i i
F
1
1.内力可改变一个质点动量,但对系统总动量无影响,强调
l
0
Y
N
ρgl
)2/()(2/ 22 gylgtly
[例一 ]一柔软绳长为 l,线密度为 λ,一端着地开始自由下落。
求,绳子 下落过程中的任意时刻地面所受的压力,
解：
, yyP?
,glNF
yyyglN 2)(
,PF
)(3 ylgN
,gty
,gy
y
NN
（ law of conservation of momentum）二,质点系动量守恒定律
dtPdFN
i i
/
1
,:,0,)(1 恒矢量则若 CPF
N
i i
若质点系所受合外力为零，则其总动量不变。
强调,
1,若外力矢量和沿某方向分量为零，则此方向动量分量守恒；
2．质点系总动量守恒时,系内各质点的动量仍可以发生变化 ;
3,若系统所受外力很弱或持续时间极短,可近似认为动量守恒。
人们还未发现动量守恒定律有任何例外。中微子的提出与发现就是动量守恒定律普遍适用的最好例证。
4.在牛顿力学不完全适用的其它领域，如在量子力学、相对论以及有动量而无静质量的电磁场系统，动量守恒同样成立。
5.动量守恒定律是物理空间平移不变性的直接推论。
R
M
m
O X
[例二 ],有一质量为 M的物体,其一个面是半径为 R 的 1/4凹圆柱面,放置在光滑水平面上,一个质量为 m的小球从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落至底端,求,此过程中 m和 M对地移动的距离；
解：;
,
R
Mm
m
X
R
Mm
M
x
,RXx
,0 XMxm,0MVmv
.,0:,:
.0,:,:
RXxm
XRxM
则令则令
★ [例三 ]火箭（ rocket）的飞行原理
m
v
t
解,
)/1l n ( 0 Mmuv
,/
00
M
mM
v
mud mdv
,0 u d mm d v
),)(())(( udvvdmdvvdmmmv
提高 v的措施,
1.提高喷气速度 u(最高理论值约为 5000m/s);
2.增大燃料质量 m0(有限度 );
3.减小负载质量 M(有限度 );
目前单级火箭的质量比,10)/1( 0 Mm
技术上能实现的末速度,/9.7 skm?
所以不可能用一级火箭来发射人造卫星。
多级火箭
v+dv
t+dt
m+
dm
-dm
u
多级火箭原理,若干个单级火箭串联，当第一级火箭的燃料耗尽时，其壳体自动脱落，第二级火箭接着点火,…
各级火箭的质量比,
各级火箭的喷气速度,
nNNNN,,,,321?
nuuuu,,,,321?
n ii Nuv
1
ln
v+dv
t+dt
m+
dm
-dm
m
v
t
u
mg mg
若考虑到火箭在重力场中加速,
,u d mm d vm g d t
gtNuv n ii
1
ln
必须尽力促使燃料快速燃烧以缩短发射时间 t
lf
λ gy
[例四 ]:用变质量动力学方程求解 § 3.1节的例一,
解：
)(3 ylgN
0
Y
y
N?
,ym, yv )mv(F
,)( 2 yyyF
,2/,,2gtlygtygy
),(2)( 2 ylgy
,)(2 gyylgF
,gyfF ),(2 ylgf?
),( ylgfN?
,vmvmF
本次课作业：
3.8 ; 3.11
§ 3.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律复习质点角动量,prvmrL )( ar m
v
O
L?
力矩,FrM
ao r? F
M?
d
F
dt
LdLM
2112 tt dtMLL
质点角动量定理,
质点角动量守恒定律,,:,0,恒矢量则若 LM
j
fi j
fj i
一,质点系的角动量定理 p
i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
jr
)(
i
i
i ji
iji
i
ii Ldt
dfrFr
i
i
i ji
iji
i
ii dt
LdfrFr
,
dt
Ld
frFr i
ji
ijiii
ir
o
i
Fi
外力
总L
0?
合外M
dt
LdM 总合外
二,质点系角动量守恒定律
.:,0,恒矢量则若 总合外 LM
关于质点系角动量定理和角动量守恒，强调,
1,同一问题中角动量、力矩必须相对同一参考点计算；
2.若系统相对某参考点,则只对该点成立,对其他点不一定成立；
0?合外M? 恒矢量总?L?
3.条件 与 两者彼此独立 ;0
i i
F? 0
i ii
Fr
合外力为零时合外力矩可能不为零；如力偶矩 (moment of couple).
合外力矩等于零时，合外力亦可以不为零 ;
当合外力为零时合外力矩与参考点无关 ;
.;;)(,0)(恒量则若 总合外 xx LM
.;;
)(
)(
dt
Ld
M xx 总合外?.4
10m
[例一 ],两个滑冰运动员,体重都是 60kg,在两条相距 10m的平直跑道上以 6.5m/s的速率相向地匀速滑行,当他们之间的距离恰好等于 10m时他们分别抓住一 10m长的绳子的两端,若将每个运动员看作一个质点,绳子的质量以及运动员与跑道的摩擦略去不计,
求,(1)他们抓住绳子前后相对绳子中点的角动量 ;(2)他们每人用力往自己的一边拉绳子,当他们之间的距离为 5.0m时,各自的速率是多少?(3)计算每个运动员在减少他们之间的距离时所做的功,
O 5m
解,
,/5.621 smvv
,0.521 mrr
,0.6021 kgmm
1v
2v
mrr 5.221
);/(0.1950
);/(0.1950).1(
2
2222
2
1111
smkgvmrL
smkgvmrL
L的方向,⊙,22).2( vmrr m v
smvrrvv /0.13)/(21
)(5.38022/)().3( 2221 JvvmAA
iF
外力
ird
§ 3.4 质点系的动能定理和机械能守恒定律质点系总动能的增量等于外力与内力所做功之和。
一,质点系的动能定理
j
fi j
fj i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ir
o
kE总动能
i iv
jr
内dA
外dA
})2/({)( 2
i ii ji iiji ii
mvdrdfrdF
),2/( 2i
ji iijii
mvdrdfrdF
,
,
k
k
EAA
dEdAdA
内外内外内力总是成对出现的,其所做的总功有特殊的规律性,
★ 一对力的功一对力所做的功等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功,与参照系无关。
一对力,作用在两物体上大小相等方向相反的两个力,
可以是作用与反作用力,也可以不是,
·
· · ·
·
·
··
·
j
fi j
fj i
i
ir
o
jr
2
1
2
1
t
t
jji
t
t
iij rdfrdfA
对
ijr
2
1
t
t
ijij rdfA
对
2
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1
t
t
t
t
jijiij rdfrdf
2
1
)(
t
t
jiij rdrdf
,)(2
1
t
t
jiij rrdf
[例一 ]：有一质量为 M的物体,其一个面是半径为 R 的 1/4凹圆柱面,放置在光滑水平面上,一个质量为 m的小球从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落至底端,求,此时 m和 M的速度,
R
M
m
O X
mg
N
N’
,0 MVmv解,
,0 rdNAAA NN内
,2/2/ 22 MVmvAmg R 内
rd
.
)(
2,2 2
MmM
gRmV
Mm
Mg Rv
,222 m g RMVmv
N1
Mg
B v
[例二 ]：证明一对摩擦力的功不大于零,
证,
一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关,不大于零。
但一个摩擦力的功与参考系的选择有关,可以大于零,
A
XO
ff ’
0
AB
ff
xf
AAA
对若一对非保守内力所做的功恒小于零，
则这一对力称为耗散力（ dissipative force）。
Ar
Br F?
M
m
F
o
X Y
Z
r C’
一对万有引力的功,
)
11
(
)(
)()(
2
BA
A
FF
FFFFG
rr
G M m
dr
r
Mm
GAA
AAAAA
Br
r
M
mO
系系系一对重力的功,)( ABg hhmgA
一对弹性力的功,
])()[(
2
1
)()(
)()(
2
0
2
0
0
rrrrk
drrrkAA
AAAAA
AB
A
FF
FFFFk
Br
r
M
mO
系系系
[例三 ]:一对保守内力的功和相互作用势能,
o
X Y
Z
A
BCdr
F?
F
多质点系统的相互作用势能是,
两两质点间的相互作用势能之和,
一对保守内力的功可以表示为只与两质点相对距离有关的标量函数的差值,这个标量函数就称为两质点的相互作用势能。 一对保守内力做功之和等于两质点相互作用势能的增量的负值,即
PEA一对保
N
i ij
pi jP EE
1
V V
pP rrdEE ),(
非常重要一对力的功是不同形式的能量之间的转化的途经和量度,
一对力的功与参照系无关不同形式能量间的转化与参照系无关一对保守力,动能和势能转化的途经和量度,
一对摩擦力,机械能耗散为热能的途经和量度,
一对爆炸力,化学能转化为机械能的途经和量度,
… ; …
基本相互作用力二,质 点系的功能原理
kEAA 内外
PEA保内把存在保守力相互作用的所有质点选在一个系统内,则,
非内保内内 AAA
)( Pk EEAA 非内外总机械能质点系在运动过程中,外力和非保守内力做功总和等于系统总机械能的增量。
三,质点系的机械能守恒定律
)( Pk EEddAdA 非内外
.:,,0,0 恒量则若 非内外 Pk EEAA
)0,0,0( 的情况很少见但 非内外非内外 AAAA
若只有保守内力作功,则质点系的机械能保持不变。
更普遍地是,孤立系统的能量守恒。
关于质点系功能原理和机械能守恒定律,强调：
1,是同一过程的不同描述方法,
不能重复考虑 ；
)()( PEA与保
2,引入重力势能时，通常可略去地球动能；
3.质点系功能原理和机械能守恒定律对惯性系成立 ;
4.要把存在保守力相互作用的两个物体选在一个系统内,
m1
m2
[例五 ],如图所示,弹簧下面悬挂着质量分别为 m1,m2的两个物体,开始它们都处于静止状态,突然将 m1,m2的连线剪断,若以 m1
的平衡位置为竖直 y轴的原点,相应的位形为弹性势能和重力势能的零点,(1)试证当 m1的位置坐标为 y时,弹性势能和重力势能之和为 ;(2)m1的最大速度是多少？设弹簧的劲度系数为2/2ky
.300,500,/9.8 21 gmgmmNk
m1+m2与弹簧的平衡方程解,
021 )( kygmm
01 ykgmm1与弹簧的平衡方程 0y
y
o 0y?
振动势能
)/(39.1/)(/ 12001m a x1 smkmgmyymkv
2
10
2
1
2
0
2
0
)2/1()2/1(
])[()2/1().1(
kygymykyky
gymyyykE P
2002112 )()2/1()2/1()2/1),(2( yykvmky
本次课作业,3.17 ; 3.23
§ 3.2 质心和质心系一,质心 (centre of mass)
质点系的动力学规律在惯性系中成立,但是在惯性系中讨论问题有时显得复杂,为此引入质心的概念,这是因为,① 质心运动具有独特的规律 ; ② 各质点相对于质心的运动也具有若干独特的规律 ;所以采用质心坐标系常可简化质点系动力学问题的分析。
对 N个分立的粒子系统，质心位矢为
M
rm
m
rm
r i ii
i i
i ii
c
x
y
z
O
mi
rc
ri;;;
M
zmz
M
ymy
M
xmx i ii
c
i ii
c
i ii
c
(一 )质心的定义对质量连续分布的物质，质心位矢为
M
dmr
dm
dmr
r M
M
M
c
;;; Mz d mzMyd myMx d mx McMcMc
*质心是相对于质点系本身的一个特定位置 ;
*质心位矢不是简单地各质点位矢的几何平均，
而是考量了质点的质量权重以后的平均 ;
*质心并不一定处在物体内部 ;
*处于均匀重力场中的物体,其质心与重心 (centre of gravity)重合,
但在概念上两者不同,重心是物体所受重力的合力的作用点,而质心取决于物体的质量分布,当物体远离地球时,重心失去意义,但质心运动仍然遵循质心运动定理,质心比重心的意义更普遍。
[例一 ]:将三个质量都为 m的质点分别置于任意三角形的三个顶点，求该质点系的质心位置。
X
Y
o
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)
Z
解,
.3/)(
3;3/)(
3;3/)(
3
321
321
321
321
321
321
zzz
m
mzmzmz
z
yyy
m
mymymy
y
xxx
m
mxmxmx
x
c
c
c
O
X
Y
Z
[例二 ]:求质量为 m半径为 R的质量均匀分布的半球体的质心位置。 rφθ;0 cc yx解,
8/)3( R?
m
rdrdrrdRm
z Vc
co s})sin)({(3/2 3
2
0
2/
00
3
3 co ss i n2
3 dddrr
R
R
R
c mz d zzRR
mz
0
22
3 /])(3/2[
])[()( C
N
i
i
N
i
ii
i
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
rm
dt
d
rm
dt
d
dt
rd
mvmpP
11
111(二 )质心运动定理
Ci i vmP
)(
质点系的总动量等于它的总质量与质心运动速度的乘积。
C
i i
vmPF
)(,
系统的动量守恒也可说成是其质心速度保持不变。
Ci i amF
)(
质心运动定理
(theorem of motion of centre-of-mass)
质心的运动就如同一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，受到的力为质点系受到的所有外力的矢量和 。
一般来说,已知质点系上的 外力 并不能确定系内每一质点的运动。
但质心的运动仅由 合外力 确定。
从而使问题得到简化。
[例三 ]:在水平桌面上有一张纸,纸上放一个质量为 M
均匀球,设从静止开始水平拉动纸,纸与球之间的摩擦力 F保持不变,求,t 秒后球相对桌面移动的距离,
解：
球的滚动如何
x
y
o F
aC,)( C
M
admF,/ MFa C
2)/)(2/1( tMFx
C?
[例四 ]:用质心运动定理求解 § 3.1节的例一,
l
0
Y
y
N?
N
解,)2/()/(])([ 20 lylydyy yC
,/,lyyv C?
lgyylglyyya C /])(2[/][ 2
gygllaglN C 32
)(3,ylgNNλlg
(二 )质心系中的动量问题
0, i ii rm?0i ii vm?
质心系是零动量参照系 (centre-of-momentum system)
不论质点系是否受到外部的作用，
任何质点系相对它的质心系动量守恒,
在质心系看来，质点系的运动总是各向同性的。
二,质心系中的力学
(一 )运动学
Cii aaa
r’i
Z'
X'
Y'
X
Y
Z
mi
ri
O’
rC
O
,Cii rrr
,Cii vvv
§ 3.5 两体碰撞 (collision）
碰撞问题概述微观粒子之间的散射（ scattering）是典型的碰撞问题,
3.中间过程复杂,细节难于测量,碰撞内力的变化规律复杂,
1.在短暂时间内相互作用很强,外力的作用往往可以忽略,
2.碰撞时间非常短暂,宏观位移往往可以忽略,
4.碰撞过程中遵循两体问题的普遍规律,
① 动量,系统动量守恒,
② 角 动量,系统动量守恒,
③ 能 量,系统动能有损失：
2211202101 vmvmvmvm
LL0
kk EE0
2010
21
vv
vv
e
碰撞前后有动能损失
↓
损失多少?如何衡量?
↓
2010
21?
vv
vv
恢复系数 (coefficient of restitution)
恢复
↓
动能的恢复；
相对速度的恢复；
形变的恢复；
对心正碰
(direct impact),
碰前和碰后两球速度均沿连心线,
2010
12
vv
vve
完全弹性碰撞,
e=1;
完全非弹性碰撞,
e=0;
非完全弹性碰撞,
0<e<1;
)1(?e;122010 vvvv;2211202101 vmvmvmvm;2)(
21
2021021
1 mm
vmvmmv
;2)(
21
1012012
2 mm
vmvmmv
0 相对EEE kk
v10 v20
o x
m1 m2一,完全弹性碰撞（ perfect elastic collision）
mm,21?讨论
mm 21
mm 21
h
m
M
)Mm(
[例一 ]:质量为 m1的小球以速度 v0和质量为 m2的原来静止的小球发生弹性正碰,
求,碰后 m2获得的动能与碰前 m1的动能之比值,o x
m1 m2v0
解,;)(2)(
21
021
21
2021021
1 mm
vmm
mm
vmvmmv
;22)(
21
01
21
1012012
2 mm
vm
mm
vmvmmv
;; 201102222 2121 vmEvmE kk;)/1( /4)( 4 2
12
12
2
21
21
10
2
mm
mm
mm
mm
E
E
k
k
102 kk EE /?
12 / mm0 1
1
在反应堆中必须对快中子进行减速,减速粒子的质量应与中子质量相近,最有效的减速剂是氢,但由于质子要俘获中子而产生氘,
因此通常采用重水而直接利用其中的氘来作减速剂。
证：设碰撞前后两球速度如图所示,
由动量守恒得,
碰撞前后动能相等,
即,碰撞后两球速度总是互相垂直,
[例二 ]:上题中两球质量相同,在平面上做完全弹性斜碰,
求证：碰撞后两球速度总互相垂直。
m v0 m
v2;210 vmvmvm
);()( 212120 vvvvv;222120 212121 mvmvmv;2 21222120 vvvvv;222120 vvv;02 21 vv
证毕,
v1
二,完全非弹性碰撞
(perfect inelastic collision) )0(?e
v10 v20
o x
m1 m2 v;12 vvv;)( 21202101 vmmvmvm;
21
202101
mm
vmvmv
])/()][/(1[
))(/(
))((
)(
2
1021
2
2021
2
201021
2
202
2
10121
2
201021
vmmvmm
vvmm
vmvmmm
vvmm
E
E
k
k
2010
12
vv
vve
电子与阳离子复合成中性的原子等，就是完全非弹性碰撞的例子。
三,非完全弹性碰撞
20
21
2
10
21
21
1
1 v
mm
m)e(v
mm
emmv
20
21
21
10
21
1
2
1 v
mm
memv
mm
m)e(v
)01( e
);vv(evv 201012;2021011122 vmvmvmvm
2010
12
vv
vve
正碰：
本次课作业,3.15 ; 3.19 ; 3.37
§ 3.2 质心和质心系
§ 3.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
§ 3.4 质点系的动能定理和机械能守恒定律
§ 3.5 两体碰撞有内力 (internal force);有外力 (external force).
1.质点系,由多个彼此相互作用的质点构成的力学体系 ;
概述
2.质点系问题是质点力学过渡到实际力学的桥梁。
3.是多体系统，其牛顿动力学方程一般不能严格求解,
② 不同问题采用不同的近似,① 系统整体遵守一定的定律,
4.主要内容,
*预期学时,6学时第三章 质点系动力学
pi
i
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·
外力
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fj i内力一,质点系的动量定理
N
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N
i ji ij
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·
·
·
§ 3.1 质点系的动量定理和动量守恒定律
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质点系的总动量对时间的变化率等于该系统所受的合外力。
2,只决定于,与外力作用细节无关。dtPd /
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1.内力可改变一个质点动量,但对系统总动量无影响,强调
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[例一 ]一柔软绳长为 l,线密度为 λ,一端着地开始自由下落。
求,绳子 下落过程中的任意时刻地面所受的压力,
解：
, yyP?
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（ law of conservation of momentum）二,质点系动量守恒定律
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若质点系所受合外力为零，则其总动量不变。
强调,
1,若外力矢量和沿某方向分量为零，则此方向动量分量守恒；
2．质点系总动量守恒时,系内各质点的动量仍可以发生变化 ;
3,若系统所受外力很弱或持续时间极短,可近似认为动量守恒。
人们还未发现动量守恒定律有任何例外。中微子的提出与发现就是动量守恒定律普遍适用的最好例证。
4.在牛顿力学不完全适用的其它领域，如在量子力学、相对论以及有动量而无静质量的电磁场系统，动量守恒同样成立。
5.动量守恒定律是物理空间平移不变性的直接推论。
R
M
m
O X
[例二 ],有一质量为 M的物体,其一个面是半径为 R 的 1/4凹圆柱面,放置在光滑水平面上,一个质量为 m的小球从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落至底端,求,此过程中 m和 M对地移动的距离；
解：;
,
R
Mm
m
X
R
Mm
M
x
,RXx
,0 XMxm,0MVmv
.,0:,:
.0,:,:
RXxm
XRxM
则令则令
★ [例三 ]火箭（ rocket）的飞行原理
m
v
t
解,
)/1l n ( 0 Mmuv
,/
00
M
mM
v
mud mdv
,0 u d mm d v
),)(())(( udvvdmdvvdmmmv
提高 v的措施,
1.提高喷气速度 u(最高理论值约为 5000m/s);
2.增大燃料质量 m0(有限度 );
3.减小负载质量 M(有限度 );
目前单级火箭的质量比,10)/1( 0 Mm
技术上能实现的末速度,/9.7 skm?
所以不可能用一级火箭来发射人造卫星。
多级火箭
v+dv
t+dt
m+
dm
-dm
u
多级火箭原理,若干个单级火箭串联，当第一级火箭的燃料耗尽时，其壳体自动脱落，第二级火箭接着点火,…
各级火箭的质量比,
各级火箭的喷气速度,
nNNNN,,,,321?
nuuuu,,,,321?
n ii Nuv
1
ln
v+dv
t+dt
m+
dm
-dm
m
v
t
u
mg mg
若考虑到火箭在重力场中加速,
,u d mm d vm g d t
gtNuv n ii
1
ln
必须尽力促使燃料快速燃烧以缩短发射时间 t
lf
λ gy
[例四 ]:用变质量动力学方程求解 § 3.1节的例一,
解：
)(3 ylgN
0
Y
y
N?
,ym, yv )mv(F
,)( 2 yyyF
,2/,,2gtlygtygy
),(2)( 2 ylgy
,)(2 gyylgF
,gyfF ),(2 ylgf?
),( ylgfN?
,vmvmF
本次课作业：
3.8 ; 3.11
§ 3.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律复习质点角动量,prvmrL )( ar m
v
O
L?
力矩,FrM
ao r? F
M?
d
F
dt
LdLM
2112 tt dtMLL
质点角动量定理,
质点角动量守恒定律,,:,0,恒矢量则若 LM
j
fi j
fj i
一,质点系的角动量定理 p
i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
jr
)(
i
i
i ji
iji
i
ii Ldt
dfrFr
i
i
i ji
iji
i
ii dt
LdfrFr
,
dt
Ld
frFr i
ji
ijiii
ir
o
i
Fi
外力
总L
0?
合外M
dt
LdM 总合外
二,质点系角动量守恒定律
.:,0,恒矢量则若 总合外 LM
关于质点系角动量定理和角动量守恒，强调,
1,同一问题中角动量、力矩必须相对同一参考点计算；
2.若系统相对某参考点,则只对该点成立,对其他点不一定成立；
0?合外M? 恒矢量总?L?
3.条件 与 两者彼此独立 ;0
i i
F? 0
i ii
Fr
合外力为零时合外力矩可能不为零；如力偶矩 (moment of couple).
合外力矩等于零时，合外力亦可以不为零 ;
当合外力为零时合外力矩与参考点无关 ;
.;;)(,0)(恒量则若 总合外 xx LM
.;;
)(
)(
dt
Ld
M xx 总合外?.4
10m
[例一 ],两个滑冰运动员,体重都是 60kg,在两条相距 10m的平直跑道上以 6.5m/s的速率相向地匀速滑行,当他们之间的距离恰好等于 10m时他们分别抓住一 10m长的绳子的两端,若将每个运动员看作一个质点,绳子的质量以及运动员与跑道的摩擦略去不计,
求,(1)他们抓住绳子前后相对绳子中点的角动量 ;(2)他们每人用力往自己的一边拉绳子,当他们之间的距离为 5.0m时,各自的速率是多少?(3)计算每个运动员在减少他们之间的距离时所做的功,
O 5m
解,
,/5.621 smvv
,0.521 mrr
,0.6021 kgmm
1v
2v
mrr 5.221
);/(0.1950
);/(0.1950).1(
2
2222
2
1111
smkgvmrL
smkgvmrL
L的方向,⊙,22).2( vmrr m v
smvrrvv /0.13)/(21
)(5.38022/)().3( 2221 JvvmAA
iF
外力
ird
§ 3.4 质点系的动能定理和机械能守恒定律质点系总动能的增量等于外力与内力所做功之和。
一,质点系的动能定理
j
fi j
fj i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ir
o
kE总动能
i iv
jr
内dA
外dA
})2/({)( 2
i ii ji iiji ii
mvdrdfrdF
),2/( 2i
ji iijii
mvdrdfrdF
,
,
k
k
EAA
dEdAdA
内外内外内力总是成对出现的,其所做的总功有特殊的规律性,
★ 一对力的功一对力所做的功等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功,与参照系无关。
一对力,作用在两物体上大小相等方向相反的两个力,
可以是作用与反作用力,也可以不是,
·
· · ·
·
·
··
·
j
fi j
fj i
i
ir
o
jr
2
1
2
1
t
t
jji
t
t
iij rdfrdfA
对
ijr
2
1
t
t
ijij rdfA
对
2
1
2
1
t
t
t
t
jijiij rdfrdf
2
1
)(
t
t
jiij rdrdf
,)(2
1
t
t
jiij rrdf
[例一 ]：有一质量为 M的物体,其一个面是半径为 R 的 1/4凹圆柱面,放置在光滑水平面上,一个质量为 m的小球从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落至底端,求,此时 m和 M的速度,
R
M
m
O X
mg
N
N’
,0 MVmv解,
,0 rdNAAA NN内
,2/2/ 22 MVmvAmg R 内
rd
.
)(
2,2 2
MmM
gRmV
Mm
Mg Rv
,222 m g RMVmv
N1
Mg
B v
[例二 ]：证明一对摩擦力的功不大于零,
证,
一对摩擦力所做的功与参考系的选择无关,不大于零。
但一个摩擦力的功与参考系的选择有关,可以大于零,
A
XO
ff ’
0
AB
ff
xf
AAA
对若一对非保守内力所做的功恒小于零，
则这一对力称为耗散力（ dissipative force）。
Ar
Br F?
M
m
F
o
X Y
Z
r C’
一对万有引力的功,
)
11
(
)(
)()(
2
BA
A
FF
FFFFG
rr
G M m
dr
r
Mm
GAA
AAAAA
Br
r
M
mO
系系系一对重力的功,)( ABg hhmgA
一对弹性力的功,
])()[(
2
1
)()(
)()(
2
0
2
0
0
rrrrk
drrrkAA
AAAAA
AB
A
FF
FFFFk
Br
r
M
mO
系系系
[例三 ]:一对保守内力的功和相互作用势能,
o
X Y
Z
A
BCdr
F?
F
多质点系统的相互作用势能是,
两两质点间的相互作用势能之和,
一对保守内力的功可以表示为只与两质点相对距离有关的标量函数的差值,这个标量函数就称为两质点的相互作用势能。 一对保守内力做功之和等于两质点相互作用势能的增量的负值,即
PEA一对保
N
i ij
pi jP EE
1
V V
pP rrdEE ),(
非常重要一对力的功是不同形式的能量之间的转化的途经和量度,
一对力的功与参照系无关不同形式能量间的转化与参照系无关一对保守力,动能和势能转化的途经和量度,
一对摩擦力,机械能耗散为热能的途经和量度,
一对爆炸力,化学能转化为机械能的途经和量度,
… ; …
基本相互作用力二,质 点系的功能原理
kEAA 内外
PEA保内把存在保守力相互作用的所有质点选在一个系统内,则,
非内保内内 AAA
)( Pk EEAA 非内外总机械能质点系在运动过程中,外力和非保守内力做功总和等于系统总机械能的增量。
三,质点系的机械能守恒定律
)( Pk EEddAdA 非内外
.:,,0,0 恒量则若 非内外 Pk EEAA
)0,0,0( 的情况很少见但 非内外非内外 AAAA
若只有保守内力作功,则质点系的机械能保持不变。
更普遍地是,孤立系统的能量守恒。
关于质点系功能原理和机械能守恒定律,强调：
1,是同一过程的不同描述方法,
不能重复考虑 ；
)()( PEA与保
2,引入重力势能时，通常可略去地球动能；
3.质点系功能原理和机械能守恒定律对惯性系成立 ;
4.要把存在保守力相互作用的两个物体选在一个系统内,
m1
m2
[例五 ],如图所示,弹簧下面悬挂着质量分别为 m1,m2的两个物体,开始它们都处于静止状态,突然将 m1,m2的连线剪断,若以 m1
的平衡位置为竖直 y轴的原点,相应的位形为弹性势能和重力势能的零点,(1)试证当 m1的位置坐标为 y时,弹性势能和重力势能之和为 ;(2)m1的最大速度是多少？设弹簧的劲度系数为2/2ky
.300,500,/9.8 21 gmgmmNk
m1+m2与弹簧的平衡方程解,
021 )( kygmm
01 ykgmm1与弹簧的平衡方程 0y
y
o 0y?
振动势能
)/(39.1/)(/ 12001m a x1 smkmgmyymkv
2
10
2
1
2
0
2
0
)2/1()2/1(
])[()2/1().1(
kygymykyky
gymyyykE P
2002112 )()2/1()2/1()2/1),(2( yykvmky
本次课作业,3.17 ; 3.23
§ 3.2 质心和质心系一,质心 (centre of mass)
质点系的动力学规律在惯性系中成立,但是在惯性系中讨论问题有时显得复杂,为此引入质心的概念,这是因为,① 质心运动具有独特的规律 ; ② 各质点相对于质心的运动也具有若干独特的规律 ;所以采用质心坐标系常可简化质点系动力学问题的分析。
对 N个分立的粒子系统，质心位矢为
M
rm
m
rm
r i ii
i i
i ii
c
x
y
z
O
mi
rc
ri;;;
M
zmz
M
ymy
M
xmx i ii
c
i ii
c
i ii
c
(一 )质心的定义对质量连续分布的物质，质心位矢为
M
dmr
dm
dmr
r M
M
M
c
;;; Mz d mzMyd myMx d mx McMcMc
*质心是相对于质点系本身的一个特定位置 ;
*质心位矢不是简单地各质点位矢的几何平均，
而是考量了质点的质量权重以后的平均 ;
*质心并不一定处在物体内部 ;
*处于均匀重力场中的物体,其质心与重心 (centre of gravity)重合,
但在概念上两者不同,重心是物体所受重力的合力的作用点,而质心取决于物体的质量分布,当物体远离地球时,重心失去意义,但质心运动仍然遵循质心运动定理,质心比重心的意义更普遍。
[例一 ]:将三个质量都为 m的质点分别置于任意三角形的三个顶点，求该质点系的质心位置。
X
Y
o
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)
Z
解,
.3/)(
3;3/)(
3;3/)(
3
321
321
321
321
321
321
zzz
m
mzmzmz
z
yyy
m
mymymy
y
xxx
m
mxmxmx
x
c
c
c
O
X
Y
Z
[例二 ]:求质量为 m半径为 R的质量均匀分布的半球体的质心位置。 rφθ;0 cc yx解,
8/)3( R?
m
rdrdrrdRm
z Vc
co s})sin)({(3/2 3
2
0
2/
00
3
3 co ss i n2
3 dddrr
R
R
R
c mz d zzRR
mz
0
22
3 /])(3/2[
])[()( C
N
i
i
N
i
ii
i
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
rm
dt
d
rm
dt
d
dt
rd
mvmpP
11
111(二 )质心运动定理
Ci i vmP
)(
质点系的总动量等于它的总质量与质心运动速度的乘积。
C
i i
vmPF
)(,
系统的动量守恒也可说成是其质心速度保持不变。
Ci i amF
)(
质心运动定理
(theorem of motion of centre-of-mass)
质心的运动就如同一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，受到的力为质点系受到的所有外力的矢量和 。
一般来说,已知质点系上的 外力 并不能确定系内每一质点的运动。
但质心的运动仅由 合外力 确定。
从而使问题得到简化。
[例三 ]:在水平桌面上有一张纸,纸上放一个质量为 M
均匀球,设从静止开始水平拉动纸,纸与球之间的摩擦力 F保持不变,求,t 秒后球相对桌面移动的距离,
解：
球的滚动如何
x
y
o F
aC,)( C
M
admF,/ MFa C
2)/)(2/1( tMFx
C?
[例四 ]:用质心运动定理求解 § 3.1节的例一,
l
0
Y
y
N?
N
解,)2/()/(])([ 20 lylydyy yC
,/,lyyv C?
lgyylglyyya C /])(2[/][ 2
gygllaglN C 32
)(3,ylgNNλlg
(二 )质心系中的动量问题
0, i ii rm?0i ii vm?
质心系是零动量参照系 (centre-of-momentum system)
不论质点系是否受到外部的作用，
任何质点系相对它的质心系动量守恒,
在质心系看来，质点系的运动总是各向同性的。
二,质心系中的力学
(一 )运动学
Cii aaa
r’i
Z'
X'
Y'
X
Y
Z
mi
ri
O’
rC
O
,Cii rrr
,Cii vvv
§ 3.5 两体碰撞 (collision）
碰撞问题概述微观粒子之间的散射（ scattering）是典型的碰撞问题,
3.中间过程复杂,细节难于测量,碰撞内力的变化规律复杂,
1.在短暂时间内相互作用很强,外力的作用往往可以忽略,
2.碰撞时间非常短暂,宏观位移往往可以忽略,
4.碰撞过程中遵循两体问题的普遍规律,
① 动量,系统动量守恒,
② 角 动量,系统动量守恒,
③ 能 量,系统动能有损失：
2211202101 vmvmvmvm
LL0
kk EE0
2010
21
vv
vv
e
碰撞前后有动能损失
↓
损失多少?如何衡量?
↓
2010
21?
vv
vv
恢复系数 (coefficient of restitution)
恢复
↓
动能的恢复；
相对速度的恢复；
形变的恢复；
对心正碰
(direct impact),
碰前和碰后两球速度均沿连心线,
2010
12
vv
vve
完全弹性碰撞,
e=1;
完全非弹性碰撞,
e=0;
非完全弹性碰撞,
0<e<1;
)1(?e;122010 vvvv;2211202101 vmvmvmvm;2)(
21
2021021
1 mm
vmvmmv
;2)(
21
1012012
2 mm
vmvmmv
0 相对EEE kk
v10 v20
o x
m1 m2一,完全弹性碰撞（ perfect elastic collision）
mm,21?讨论
mm 21
mm 21
h
m
M
)Mm(
[例一 ]:质量为 m1的小球以速度 v0和质量为 m2的原来静止的小球发生弹性正碰,
求,碰后 m2获得的动能与碰前 m1的动能之比值,o x
m1 m2v0
解,;)(2)(
21
021
21
2021021
1 mm
vmm
mm
vmvmmv
;22)(
21
01
21
1012012
2 mm
vm
mm
vmvmmv
;; 201102222 2121 vmEvmE kk;)/1( /4)( 4 2
12
12
2
21
21
10
2
mm
mm
mm
mm
E
E
k
k
102 kk EE /?
12 / mm0 1
1
在反应堆中必须对快中子进行减速,减速粒子的质量应与中子质量相近,最有效的减速剂是氢,但由于质子要俘获中子而产生氘,
因此通常采用重水而直接利用其中的氘来作减速剂。
证：设碰撞前后两球速度如图所示,
由动量守恒得,
碰撞前后动能相等,
即,碰撞后两球速度总是互相垂直,
[例二 ]:上题中两球质量相同,在平面上做完全弹性斜碰,
求证：碰撞后两球速度总互相垂直。
m v0 m
v2;210 vmvmvm
);()( 212120 vvvvv;222120 212121 mvmvmv;2 21222120 vvvvv;222120 vvv;02 21 vv
证毕,
v1
二,完全非弹性碰撞
(perfect inelastic collision) )0(?e
v10 v20
o x
m1 m2 v;12 vvv;)( 21202101 vmmvmvm;
21
202101
mm
vmvmv
])/()][/(1[
))(/(
))((
)(
2
1021
2
2021
2
201021
2
202
2
10121
2
201021
vmmvmm
vvmm
vmvmmm
vvmm
E
E
k
k
2010
12
vv
vve
电子与阳离子复合成中性的原子等，就是完全非弹性碰撞的例子。
三,非完全弹性碰撞
20
21
2
10
21
21
1
1 v
mm
m)e(v
mm
emmv
20
21
21
10
21
1
2
1 v
mm
memv
mm
m)e(v
)01( e
);vv(evv 201012;2021011122 vmvmvmvm
2010
12
vv
vve
正碰：
本次课作业,3.15 ; 3.19 ; 3.37
