),(),( ttrtr
一,薛定谔方程量子力学的目的,?),(?tr 波动方程?
第三章 薛定谔 方程 几个特征量子现象
④ 宏观情况下,
→ 经典力学方程,
① 包含波函数的时间导数 ;
② 方程必须是线性的 ;
③ 系数不能包含状态参量 ;
要求
§ 3.1 薛定谔方程 1926年; Eit
;2/)( 222 mpppE zyx;2
2
2
2
ypy;2
2
2
2
zpz;2
2
2
2
xpx
;2)(2 2
2
222
2
mzyxmti
);,(2/2 trUmpE
;)
2(
22 U
mti
;),( /)( EtrpiAetr自由粒子平面波函数哈密顿算符
UmH 22?
2?
动能算符
22
2 mE k
动量算符
ip?
能量算符
tiE?
量子力学第三假设不是严格推理,是由实验和假定“凑”
出来的,是否正确由实验检验,
孤立量子系统的波函数随时间的演化遵从下列的薛定谔方程,
Hti
给定 U分布,
在一定条件下解方程,
很“自然地”
得到量子化的 结果并被实验所证实关于方程 的讨论 H
ti
只含对时间的一阶导数
),(
)0,
tr
r
（
(非决定性的 ;
概率性的 ;
统计性的 )
预言物理量的取值包含复系数经典物理的复数波函数纯粹是为了运算方便,
波函数必须是复数函数 ),,,,( 21 trrr N
多粒子系统源于非相对论的关系 ;2/2 mpE＝
对时间和空间的微商阶次不对称经典极限下
0
经典的力学方程
Clein-Gordon
方程可描述零自旋高速运动的粒子相对论的关系;420222 cmpcE?＝
2
1
2
2
i
N
i im
H
＝
),,,,( 21 trrrU N
相对论的量子力学方程
2222
2
2
c
t?
420cm?
系统可以处于稳定态
)(2? 22 rUmH )()(),( tTrtr 关于 的定态薛定谔方程
)(r
)(rUU
一,定态薛定谔方程
§ 3.2 定态薛定谔方程 研究物质的微观结构和性质时涉及到定态问题
;)2( 22 UmTdtdTi
)2(11 2
2
UmdtdTTi E?
;1 EdtdTTi/iE tCeT;)2(1 2
2
EUm
具有能量量纲,
代表粒子能量振动因子
);()(),(),( tTrtrrUU
EUm )2( 22?
能量本征方程能量本征值对应本征值本征函数二,定态薛定谔方程解的问题
③ 能量本征值谱和本征函数系：
② 简并度,对应同一能级 (本征值 )的线性独立本征函数的个数，
称为这个能级的简并度。
)r(U?
① 解的形式,对于给定的势场分布,在波函数单值、有限、
连续、归一化和一定的边界条件下，求解该方程很自然地得出：
能量和波函数都是量子化。
非简并,对于某一能级 En，如果对应的线性独立的本征函数只有一个。
,,,,,E,,E,E n n 21 21
简并,如果对应同一能级，线性独立的本征函数有多个。
0 x
U
a
§ 3.3 一维无限深方势阱中的粒子
)(xU
阱内 阱外方程
0?
0)(?x?;]2[ 2
22
Edxdm
22 /2?mEk?;2 2
22
Edxdm
02 k
kxBkxA s i nc o s 00)0( A? 0s i n0)( kaBa?
0,0 kB ),2,1(/ nank?
),2,1(;2 2
22
2 n
manE n
),2,1(;s i n2 nxanan
),2,1(;s i n2 2 nxanaW n?
能量量子化 (能级 )
)()( 01 连续量子化 nn nn E EE
1?n 2?n 3
当 时量子 → 经典
n
][221 /)2(/)2( tExmEitExmEi nnnnn eeai
)(Ea 运动加剧 1
)/(na 2
[例题 ] 用物质波的概念简单解释本节求解薛定格方程得到的 能量量子化 结果。
)x(?
ax,x 0
a
当粒子被限制在阱中运动时，描述粒子运动的波函数在两边界处 必须为零（即为驻波波节），从而阱宽 正好等于的 de Broglie波半波长的整数倍才能存在：
解：
2/na n/a2
,,,nanhhp 3212?
根据 de Broglie关系，粒子动量可以取值：
所以粒子动能，即粒子总能量（阱中粒子势能为零）只能取分立值：
,,,nma hnmpE n 32182 2
222
[练习 ] 在上述的无限深方势阱中,一个粒子的状态为
.2s i ns i n)( a xa xx
现多次测量该粒子的能量,求,① 每次可能测到的值和相应概率 ;
② 测量所得到的 能量的平均值,
);,2,1(s i n2 nxanan );,2,1(2 2222 nmaE n?解,
;0222s i ns i n)(
0
2
0
2 aaadx
a
x
a
xdxx aa
)2s i n( s i n1)( a xa xax );2s i n2s i n2(21 a xaa xa;2121)( 21x ;21,21 21 CC;21,2 212
22
1 CmaE
①,
2
1,2 2
22
22
2 CmaE
.45 2
222
22
2
11 maCECEE
②
本次作业：
3.5 3.6
o? x?a
)(xU? )(xU
o x;;0)0(;0)0( dxdUFUU
xUF )0(
2)0()0()0( 21 xUxUUU
§ 3,4 一维线性谐振子 力学系统在稳定平衡点附近的运动都可简化为线性谐振子的运动 Exm
dx
d
m
22
2
22
2
1
2
变系数方程
),2,1,0()21()21( nhnnE n
!2
1)( 4/1
n
m
nn
)( xmnH
)2e x p ( 2xm
Hermite多项式;1)0?yH（ ;2)1 yyH?（ ;24) 22 yyH （;128) 33 yyyH（ ;124816) 244 yyyH （
0])(2[ 22 xmEm
单值有限连续归一量子化能级间隔?h
hE 210?
0?n
1
2
3
经典概率密度量子概率密度量子概率波幅
o x
22
2
1 xmU
基态的 E0,W0
经典量子激发态的 En,Wn
与经典谐振子的比较
=0; W0(0)最小,
>0; W0(0)最大,En量子化 ;
E连续 ;
Wn(x)不均匀,
Wn(x)较均匀,?
n
一,薛定谔方程量子力学的目的,?),(?tr 波动方程?
第三章 薛定谔 方程 几个特征量子现象
④ 宏观情况下,
→ 经典力学方程,
① 包含波函数的时间导数 ;
② 方程必须是线性的 ;
③ 系数不能包含状态参量 ;
要求
§ 3.1 薛定谔方程 1926年; Eit
;2/)( 222 mpppE zyx;2
2
2
2
ypy;2
2
2
2
zpz;2
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222
2
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22 U
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;),( /)( EtrpiAetr自由粒子平面波函数哈密顿算符
UmH 22?
2?
动能算符
22
2 mE k
动量算符
ip?
能量算符
tiE?
量子力学第三假设不是严格推理,是由实验和假定“凑”
出来的,是否正确由实验检验,
孤立量子系统的波函数随时间的演化遵从下列的薛定谔方程,
Hti
给定 U分布,
在一定条件下解方程,
很“自然地”
得到量子化的 结果并被实验所证实关于方程 的讨论 H
ti
只含对时间的一阶导数
),(
)0,
tr
r
（
(非决定性的 ;
概率性的 ;
统计性的 )
预言物理量的取值包含复系数经典物理的复数波函数纯粹是为了运算方便,
波函数必须是复数函数 ),,,,( 21 trrr N
多粒子系统源于非相对论的关系 ;2/2 mpE＝
对时间和空间的微商阶次不对称经典极限下
0
经典的力学方程
Clein-Gordon
方程可描述零自旋高速运动的粒子相对论的关系;420222 cmpcE?＝
2
1
2
2
i
N
i im
H
＝
),,,,( 21 trrrU N
相对论的量子力学方程
2222
2
2
c
t?
420cm?
系统可以处于稳定态
)(2? 22 rUmH )()(),( tTrtr 关于 的定态薛定谔方程
)(r
)(rUU
一,定态薛定谔方程
§ 3.2 定态薛定谔方程 研究物质的微观结构和性质时涉及到定态问题
;)2( 22 UmTdtdTi
)2(11 2
2
UmdtdTTi E?
;1 EdtdTTi/iE tCeT;)2(1 2
2
EUm
具有能量量纲,
代表粒子能量振动因子
);()(),(),( tTrtrrUU
EUm )2( 22?
能量本征方程能量本征值对应本征值本征函数二,定态薛定谔方程解的问题
③ 能量本征值谱和本征函数系：
② 简并度,对应同一能级 (本征值 )的线性独立本征函数的个数，
称为这个能级的简并度。
)r(U?
① 解的形式,对于给定的势场分布,在波函数单值、有限、
连续、归一化和一定的边界条件下，求解该方程很自然地得出：
能量和波函数都是量子化。
非简并,对于某一能级 En，如果对应的线性独立的本征函数只有一个。
,,,,,E,,E,E n n 21 21
简并,如果对应同一能级，线性独立的本征函数有多个。
0 x
U
a
§ 3.3 一维无限深方势阱中的粒子
)(xU
阱内 阱外方程
0?
0)(?x?;]2[ 2
22
Edxdm
22 /2?mEk?;2 2
22
Edxdm
02 k
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能量量子化 (能级 )
)()( 01 连续量子化 nn nn E EE
1?n 2?n 3
当 时量子 → 经典
n
][221 /)2(/)2( tExmEitExmEi nnnnn eeai
)(Ea 运动加剧 1
)/(na 2
[例题 ] 用物质波的概念简单解释本节求解薛定格方程得到的 能量量子化 结果。
)x(?
ax,x 0
a
当粒子被限制在阱中运动时，描述粒子运动的波函数在两边界处 必须为零（即为驻波波节），从而阱宽 正好等于的 de Broglie波半波长的整数倍才能存在：
解：
2/na n/a2
,,,nanhhp 3212?
根据 de Broglie关系，粒子动量可以取值：
所以粒子动能，即粒子总能量（阱中粒子势能为零）只能取分立值：
,,,nma hnmpE n 32182 2
222
[练习 ] 在上述的无限深方势阱中,一个粒子的状态为
.2s i ns i n)( a xa xx
现多次测量该粒子的能量,求,① 每次可能测到的值和相应概率 ;
② 测量所得到的 能量的平均值,
);,2,1(s i n2 nxanan );,2,1(2 2222 nmaE n?解,
;0222s i ns i n)(
0
2
0
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a
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)2s i n( s i n1)( a xa xax );2s i n2s i n2(21 a xaa xa;2121)( 21x ;21,21 21 CC;21,2 212
22
1 CmaE
①,
2
1,2 2
22
22
2 CmaE
.45 2
222
22
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②
本次作业：
3.5 3.6
o? x?a
)(xU? )(xU
o x;;0)0(;0)0( dxdUFUU
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2)0()0()0( 21 xUxUUU
§ 3,4 一维线性谐振子 力学系统在稳定平衡点附近的运动都可简化为线性谐振子的运动 Exm
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变系数方程
),2,1,0()21()21( nhnnE n
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n
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Hermite多项式;1)0?yH（ ;2)1 yyH?（ ;24) 22 yyH （;128) 33 yyyH（ ;124816) 244 yyyH （
0])(2[ 22 xmEm
单值有限连续归一量子化能级间隔?h
hE 210?
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经典概率密度量子概率密度量子概率波幅
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基态的 E0,W0
经典量子激发态的 En,Wn
与经典谐振子的比较
=0; W0(0)最小,
>0; W0(0)最大,En量子化 ;
E连续 ;
Wn(x)不均匀,
Wn(x)较均匀,?
n
