逻辑代数2
2.8逻辑函数的标准形式积项（与项）：逻辑变量只进行与运算。
和项（或项）：逻辑变量只进行或运算。
最小项：
逻辑函数表达式中包含全部输入变量的积项称为最小项。在最小项中，每个输入变量以原变量或反变量的出现，且仅出现一次。
逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最小项。并表示为：mi。
m表示最小项，i为其编号，值为对应十进数值。
n变量函数有2n个最小项。
输入变量的所有组态中必有且只有一组态使该积项为1，其它组态均使该积项为0，故称之最小项。
例三变量最小项表。
任一逻辑函数均可变换为唯一的最小项之和表达式，称之为标准与－或表达式。
由原表达式转换标准与－或表达式：
(在积项中添所缺变量的原与反之和，再利用乘分配)
由真值表转换标准与－或表达式：
（将变量取值使函数值为1所对应最小项求和）
X Y Z
F F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
1 0
最大项：
逻辑函数表达式中包含全部输入变量的和项称为最大项。在最大项中，每个输入变量以原变量或反变量的出现，且仅出现一次。
逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最大项。并表示为：Mi。
M表示最大项，i为其编号，值为对应十进数值。
n变量函数有2n个最大项。
输入变量的所有组态中必有且只有一组使该和项为0，其它组态均使其为1，故称之最大项。
例：三变量最大项表。
任一逻辑函数均可变换为唯一的最大项之积表达式，称之为标准或－与表达式。
由原表达式转换标准或－与表达式：
（在和项中添所缺变量原反变量之积，再利用加分配）
由真值表转换标准或－与表达式：
（将变量取值使函数值为0所对应最达项求积）
上述真值表（2页）用最大项表示：
最小项与最大项之关系和性质：
1．互补
,
,
如有 ，则 。
如有 ，则 。
全体最小项之和为1。
全体最大项之积为1。
5,任意两最小项之积为0。（必有一项为0）
任意两最大项之和为1。（必有一项为1）
有一个变量不同的两最小项之和可合并为只有相同变量积的一项。（反积分配）
只有一个变量不同的两最大项之积可合并为只有相同变量和。（反和分配）
2.9 逻辑函数的卡诺图法化简代数法化简需熟练技巧，不易判断最简。卡诺图法规范，快捷，易达最简，但适用不多于五变量函数。
函数最简：表达式的项数最少，且每项中变量字母也最少。最简函数不是唯一的。
最简函数可用两级与或电路实现。用门最少。
积和表达式的卡诺图化简：
化简原理和卡诺图构成。
如函数表达式中存在只有一变量不同的两积项，则可合并为消掉这不同变量的一项。例：
卡诺图列示了对应输入变量所有组态的最小项框架，行列标记为格雷码顺序，相邻最小项之间只有一变量不同。下面分别为二、三、四、五变量卡诺图。
卡诺图中方格对应的最小项如在函数的标准形式中出现，或在真值表函数值为1，则在方格中填1，否则填0，得函数的卡诺图表示。
卡诺图化简：
2有1方格相邻，2合1，消1个不同变量。
4有1方格相邻，4合1，消2个不同变量。
8有1方格相邻，8合1，消3个不同变量。
例:
YZ
X
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
1
YZ
X
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
YZ
WX
00
01
11
10
00
1
1
1
01
1
1
1
11
1
1
1
10
1
1
AB
CD
00
01
11
10
00
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
1
10
1
随意项：实际中，输入组态不出现，不允许出现，不介意出现。用“×”表示。可视为0或1。
带有随意项卡诺图的化简。
CD
AB
00
01
11
10
00
×
1
1
×
01
0
×
1
0
11
0
0
1
0
10
0
0
1
0
CD
AB
00
01
11
10
00
×
1
1
×
01
0
×
1
0
11
0
0
1
0
10
0
0
1
0
积和逻辑函数表达式的化简步骤：
填图。
非标准逻辑表达式转换为标准形式后填图。
观察法直接填图。
最小项对应变量值代入求函数值填图。
画圈。
圈出所有最大方格群，包括孤立1格。（主要项，本原蕴含项）
选圈写表达式。
圈最少，覆盖所有1格。
多余项。没有多余项不一定最简。最简不一定唯一。
例：化简下面卡诺图。
ab
cd
00
01
11
10
00
1
1
01
1
1
11
1
1
1
10
1
1
1
1
多个结果
逻辑函数简化为或与（和积）形式。
例：
ab
cd
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
0
1
1
0
11
1
1
0
1
10
1
0
0
1
先圈0，求反函数积或表达式，再反演得或与表达式。
多自变量逻辑函数的化简有Q－M算法，可用计算机辅助计算。
2.8逻辑函数的标准形式积项（与项）：逻辑变量只进行与运算。
和项（或项）：逻辑变量只进行或运算。
最小项：
逻辑函数表达式中包含全部输入变量的积项称为最小项。在最小项中，每个输入变量以原变量或反变量的出现，且仅出现一次。
逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最小项。并表示为：mi。
m表示最小项，i为其编号，值为对应十进数值。
n变量函数有2n个最小项。
输入变量的所有组态中必有且只有一组态使该积项为1，其它组态均使该积项为0，故称之最小项。
例三变量最小项表。
任一逻辑函数均可变换为唯一的最小项之和表达式，称之为标准与－或表达式。
由原表达式转换标准与－或表达式：
(在积项中添所缺变量的原与反之和，再利用乘分配)
由真值表转换标准与－或表达式：
（将变量取值使函数值为1所对应最小项求和）
X Y Z
F F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
1 0
最大项：
逻辑函数表达式中包含全部输入变量的和项称为最大项。在最大项中，每个输入变量以原变量或反变量的出现，且仅出现一次。
逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最大项。并表示为：Mi。
M表示最大项，i为其编号，值为对应十进数值。
n变量函数有2n个最大项。
输入变量的所有组态中必有且只有一组使该和项为0，其它组态均使其为1，故称之最大项。
例：三变量最大项表。
任一逻辑函数均可变换为唯一的最大项之积表达式，称之为标准或－与表达式。
由原表达式转换标准或－与表达式：
（在和项中添所缺变量原反变量之积，再利用加分配）
由真值表转换标准或－与表达式：
（将变量取值使函数值为0所对应最达项求积）
上述真值表（2页）用最大项表示：
最小项与最大项之关系和性质：
1．互补
,
,
如有 ，则 。
如有 ，则 。
全体最小项之和为1。
全体最大项之积为1。
5,任意两最小项之积为0。（必有一项为0）
任意两最大项之和为1。（必有一项为1）
有一个变量不同的两最小项之和可合并为只有相同变量积的一项。（反积分配）
只有一个变量不同的两最大项之积可合并为只有相同变量和。（反和分配）
2.9 逻辑函数的卡诺图法化简代数法化简需熟练技巧，不易判断最简。卡诺图法规范，快捷，易达最简，但适用不多于五变量函数。
函数最简：表达式的项数最少，且每项中变量字母也最少。最简函数不是唯一的。
最简函数可用两级与或电路实现。用门最少。
积和表达式的卡诺图化简：
化简原理和卡诺图构成。
如函数表达式中存在只有一变量不同的两积项，则可合并为消掉这不同变量的一项。例：
卡诺图列示了对应输入变量所有组态的最小项框架，行列标记为格雷码顺序，相邻最小项之间只有一变量不同。下面分别为二、三、四、五变量卡诺图。
卡诺图中方格对应的最小项如在函数的标准形式中出现，或在真值表函数值为1，则在方格中填1，否则填0，得函数的卡诺图表示。
卡诺图化简：
2有1方格相邻，2合1，消1个不同变量。
4有1方格相邻，4合1，消2个不同变量。
8有1方格相邻，8合1，消3个不同变量。
例:
YZ
X
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
1
YZ
X
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
YZ
WX
00
01
11
10
00
1
1
1
01
1
1
1
11
1
1
1
10
1
1
AB
CD
00
01
11
10
00
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
1
10
1
随意项：实际中，输入组态不出现，不允许出现，不介意出现。用“×”表示。可视为0或1。
带有随意项卡诺图的化简。
CD
AB
00
01
11
10
00
×
1
1
×
01
0
×
1
0
11
0
0
1
0
10
0
0
1
0
CD
AB
00
01
11
10
00
×
1
1
×
01
0
×
1
0
11
0
0
1
0
10
0
0
1
0
积和逻辑函数表达式的化简步骤：
填图。
非标准逻辑表达式转换为标准形式后填图。
观察法直接填图。
最小项对应变量值代入求函数值填图。
画圈。
圈出所有最大方格群，包括孤立1格。（主要项，本原蕴含项）
选圈写表达式。
圈最少，覆盖所有1格。
多余项。没有多余项不一定最简。最简不一定唯一。
例：化简下面卡诺图。
ab
cd
00
01
11
10
00
1
1
01
1
1
11
1
1
1
10
1
1
1
1
多个结果
逻辑函数简化为或与（和积）形式。
例：
ab
cd
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
0
1
1
0
11
1
1
0
1
10
1
0
0
1
先圈0，求反函数积或表达式，再反演得或与表达式。
多自变量逻辑函数的化简有Q－M算法，可用计算机辅助计算。
