?高阶导数的定义
几个初等函数的 n 阶导数
函数和差、积的 n 阶导数
§ 2.5 高阶导数上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页我们把函数 y?f(x)的导数 yf?(x)的导数 (如果可导 )叫做函数 y?f(x)的二阶导数? 记作
y,f ( x ) 或 22dx yd?
即 y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x ) ]? 或 )(22 dxdydxddx yd
类似地? 二阶导数的导数叫做三阶导数? 三阶导数的导数叫做四阶导数 ; 一般地? (n?1)阶导数的导数叫做 n阶导数?分别记作
y y (4) y (n)
或 33dx yd? 44dx yd nndx yd?
下页
高阶导数的定义上页 下页 铃结束返回首页例 1 y?ax?b? 求 y
例 2 s?sinwt? 求 s
ya?解 y0?
解 swcoswt? sw 2sinwt?
y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x )] )(22 dxdydxddx yd
下页上页 下页 铃结束返回首页证明? 因 为
22 2
1
22
22
xx
x
xx
xy
所以 y 3y1?0?
y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x )] )(22 dxdydxddx yd
2
2
2
2
22
22)1(2
xx
xx
xxxx
y
)2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xxx
)2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xxx
3
2
3
2
1
)2(
1
yxx
证明证明? 函数 22 xxy 满足关系式 013yy?
例 3
证明? 因 为
22 2
1
22
22
xx
x
xx
xy
)2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xxx
3
2
3
2
1
)2(
1
yxx )2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xx
3
2
3
2
1
)2(
1
yxx
首页上页 下页 铃结束返回首页例 4 求函数 y?e x 的 n阶导数?
即 (ex)(n)?ex?一般地? 可得 y(n)?ex?
yex?解 y(4)?ex?yex?yex?
例 5 求函数 ln(1?x)的 n阶导数?
一般地? 可得
y(4)?(?1)(?2)(?3)(1?x)?4?
解 y?ln(1?x)?
y(n)?(?1)(?2)(?n?1)(1?x)?n
n
n xn )1( )!1()1( 1
即 nnn xnx )1( )!1()1()]1[ l n ( 1)(
y(1?x)?2?y(1?x)?1?
y(?1)(?2)(1?x)?3?
下页
几个初等函数的 n 阶导数上页 下页 铃结束返回首页例 6 求正弦函数和余弦函数的 n阶导数?
解 y?sin x?
一般地? 可得
)2 s in (c o s xxy?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxxy?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy?
)2 s in ()( nxy n? 即 )2 s in ()( s in )( nxx n?
用类似方法? 可得 )2 c o s ()( c o s )( nxx n?
)2 s in (c o xxy?
) s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxy? )2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxxy?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy? )2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy?
)2 s i n ()( nxy n? 即 )2 s i n ()( s i n )( nxx n?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 求幂函数 y?xm(m是任意常数 )的 n阶导数公式?
而 (xn)(n?1)?0?
当 m?n时? 得到即 (x m )(n)?m(m?1)(m?2) (m?n?1)xm?n?
一般地? 可得
ymxm?1?
ym(m?1)xm?2?
ym(m?1)(m?2)xm?3?
y(4)?m(m?1)(m?2)(m?3)xm?4?
y(n)?m(m?1)(m?2) (m?n?1)xm?n?
(xn)(n)?m(m?1)(m?2) 3? 2? 1?n!?
解首页上页 下页 铃结束返回首页这一公式称为莱布尼茨公式?
函数和差的 n 阶导数
函数积的 n 阶导数用数学归纳法可以证明
(u?v)(n)?u(n)?v(n)?
(uv)u?v?uv
(uv)uv?2u?vuv
(uv)uv?3uv3u?vuv
n
k
kknknn vuCuv
0
)()()()(?
下页
函数和差、积的 n 阶导数上页 下页 铃结束返回首页
n
k
kknknn vuCuv
0
)()()()(?
例 8 y?x 2e2x? 求 y(20)?
代入莱布尼茨公式? 得
(u)(k)?2ke2x (k?1? 220)?
v2x? (v)(k)?0 (k?3? 4 20)?v2?
220e2x(x2?20x?95)?
莱布尼茨公式,
解 设 u?e2x? v?x2? 则结束
220e2x?x2?20?219e2x?2x?190?218e2x?2
y(20)?(u?v)(20)?u(20)?v?C20u(19)?vC20u(18)?v1 2
几个初等函数的 n 阶导数
函数和差、积的 n 阶导数
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y,f ( x ) 或 22dx yd?
即 y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x ) ]? 或 )(22 dxdydxddx yd
类似地? 二阶导数的导数叫做三阶导数? 三阶导数的导数叫做四阶导数 ; 一般地? (n?1)阶导数的导数叫做 n阶导数?分别记作
y y (4) y (n)
或 33dx yd? 44dx yd nndx yd?
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例 2 s?sinwt? 求 s
ya?解 y0?
解 swcoswt? sw 2sinwt?
y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x )] )(22 dxdydxddx yd
下页上页 下页 铃结束返回首页证明? 因 为
22 2
1
22
22
xx
x
xx
xy
所以 y 3y1?0?
y ( y? ) f ( x )? [ f? ( x )] )(22 dxdydxddx yd
2
2
2
2
22
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xx
xx
xxxx
y
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)1(2
22
22
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证明证明? 函数 22 xxy 满足关系式 013yy?
例 3
证明? 因 为
22 2
1
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xx
x
xx
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yxx )2()2(
)1(2
22
22
xxxx
xx
3
2
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1
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1
yxx
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即 (ex)(n)?ex?一般地? 可得 y(n)?ex?
yex?解 y(4)?ex?yex?yex?
例 5 求函数 ln(1?x)的 n阶导数?
一般地? 可得
y(4)?(?1)(?2)(?3)(1?x)?4?
解 y?ln(1?x)?
y(n)?(?1)(?2)(?n?1)(1?x)?n
n
n xn )1( )!1()1( 1
即 nnn xnx )1( )!1()1()]1[ l n ( 1)(
y(1?x)?2?y(1?x)?1?
y(?1)(?2)(1?x)?3?
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解 y?sin x?
一般地? 可得
)2 s in (c o s xxy?
)2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxxy?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy?
)2 s in ()( nxy n? 即 )2 s in ()( s in )( nxx n?
用类似方法? 可得 )2 c o s ()( c o s )( nxx n?
)2 s in (c o xxy?
) s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxy? )2 2s in ()2 2 s in ()2 c o s ( xxxy?
)2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy? )2 3s in ()2 2 2s in ()2 2c o s ( xxxy?
)2 s i n ()( nxy n? 即 )2 s i n ()( s i n )( nxx n?
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而 (xn)(n?1)?0?
当 m?n时? 得到即 (x m )(n)?m(m?1)(m?2) (m?n?1)xm?n?
一般地? 可得
ymxm?1?
ym(m?1)xm?2?
ym(m?1)(m?2)xm?3?
y(4)?m(m?1)(m?2)(m?3)xm?4?
y(n)?m(m?1)(m?2) (m?n?1)xm?n?
(xn)(n)?m(m?1)(m?2) 3? 2? 1?n!?
解首页上页 下页 铃结束返回首页这一公式称为莱布尼茨公式?
函数和差的 n 阶导数
函数积的 n 阶导数用数学归纳法可以证明
(u?v)(n)?u(n)?v(n)?
(uv)u?v?uv
(uv)uv?2u?vuv
(uv)uv?3uv3u?vuv
n
k
kknknn vuCuv
0
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n
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例 8 y?x 2e2x? 求 y(20)?
代入莱布尼茨公式? 得
(u)(k)?2ke2x (k?1? 220)?
v2x? (v)(k)?0 (k?3? 4 20)?v2?
220e2x(x2?20x?95)?
莱布尼茨公式,
解 设 u?e2x? v?x2? 则结束
220e2x?x2?20?219e2x?2x?190?218e2x?2
y(20)?(u?v)(20)?u(20)?v?C20u(19)?vC20u(18)?v1 2
