一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理
§ 3.1 中值定理上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、罗尔定理设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A,B 处的纵坐标相等?
提问：
f?(x)=?
观察与思考提示：
f?(x)=0?
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罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
简要证明?
(1)若 f(x)是常函数? 则 f?(x)?0? 定理的结论显然是成立的?
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0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
(2)若 f(x)不是常函数? 则 f(x)在 (a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点 x?(a? b)? 于是因此必有 f?(x)=0?
下页简要证明?
0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
0)()(lim)()(=?=?
x
xx
x x
fxfff
x
罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
上页 下页 铃结束返回首页应注意的问题：
如果定理的三个条件有一个不满足? 则定理的结论有可能不成立?
下页
罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
上页 下页 铃结束返回首页例 1 不求导数? 判断函数 f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)的导数有几个实根? 以及其所在范围?
解 f(1)=f(2)=f(3)=0? f(x)在 [1? 2]? [2? 3]上满足罗尔定理的三个条件?
在 (1? 2)内至少存在一点 x1? 使 f?(x1)=0? x1是 f?(x)的一个实根?
在 (2? 3)内至少存在一点 x2? 使 f?(x2)=0? x2也是 f?(x)的一个实根?
f?(x)是二次多项式? 只能有两个实根? 分别在区间
(1? 2)及 (2? 3)内?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、拉格朗日中值定理
观察与思考设连续光滑的曲线 y=f(x)在 端点 A,B处的纵坐标不相等?
提问：
直线 AB的斜率 k=? f?(x)=?
提示：
下页
f? ( x ) = ab afbf )()(?
k = ab afbf )()(?
直线 AB的斜率上页 下页 铃结束返回首页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理下页
f? ( x ) = ab afbf )()(?
k = ab afbf )()(?
直线 AB的斜率上页 下页 铃结束返回首页则函数 j(x)在区间 [a? b]上满足罗尔定理的条件?
于是至少存在一点 x?(a? b)? 使 j?(x)=0? 即简要证明由此得 f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
令?j ( x ) = f ( x )? f ( a )? ab afbf )()( ( x? a )?
j ( x ) = f? ( x )? ab afbf )()(?
下页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理上页 下页 铃结束返回首页
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
拉格朗日中值公式下页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理注：
dy=f?(x)Dx是函数增量 Dy的近似表达式?
f?(x?qDx)Dx是函数增量 Dy 的精确表达式?
上页 下页 铃结束返回首页
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
拉格朗日中值公式如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理
定理如果函数 f(x)在区间 I上的导数恒为零? 那么 f(x)在区间 I上是一个常数? >>>
上页 下页 铃结束返回首页证明 设 f(x)=ln(1?x)? 显然 f(x)在区间 [0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有
f(x)?f(0)=f?(x)(x?0)? 0<x<x?
又由 0<x<x? 有例 2
例 2? 证明当 x > 0 时? xxxx <?<? )1l n (1?
由于 f ( 0 ) = 0? xxf?=? 1 1)(? 因此上式即为
x?=? 1)1ln (
xx?
xxxx <?<? )1ln (1?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、柯西中值定理
柯西中值定理函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且 F?(x)在 (a? b)内恒不为零? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
=
下页显然? 如果取 F(x)=x? 那么 F(b)?F(a)=b?a? F?(x)=1? 因而柯西中值公式就可以写成?
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a) (a<x<b)?
这样就变成了拉格朗日中值公式了?
——— 柯西中值公式上页 下页 铃结束返回首页
定理的几何意义
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
=
结束弦 AB 的斜率为 )()( )()( aFbF afbf
而 在 点 x = x? 处? )( )(xxFfdXdY=?
三、柯西中值定理
柯西中值定理函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且 F?(x)在 (a? b)内恒不为零? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
§ 3.1 中值定理上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、罗尔定理设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A,B 处的纵坐标相等?
提问：
f?(x)=?
观察与思考提示：
f?(x)=0?
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罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
简要证明?
(1)若 f(x)是常函数? 则 f?(x)?0? 定理的结论显然是成立的?
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0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
(2)若 f(x)不是常函数? 则 f(x)在 (a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点 x?(a? b)? 于是因此必有 f?(x)=0?
下页简要证明?
0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
0)()(lim)()(=?=?
x
xxx
x x
fxfff
x
0)()(lim)()(=?=?
x
xx
x x
fxfff
x
罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
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如果定理的三个条件有一个不满足? 则定理的结论有可能不成立?
下页
罗尔定理如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f?(x)=0?
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解 f(1)=f(2)=f(3)=0? f(x)在 [1? 2]? [2? 3]上满足罗尔定理的三个条件?
在 (1? 2)内至少存在一点 x1? 使 f?(x1)=0? x1是 f?(x)的一个实根?
在 (2? 3)内至少存在一点 x2? 使 f?(x2)=0? x2也是 f?(x)的一个实根?
f?(x)是二次多项式? 只能有两个实根? 分别在区间
(1? 2)及 (2? 3)内?
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观察与思考设连续光滑的曲线 y=f(x)在 端点 A,B处的纵坐标不相等?
提问：
直线 AB的斜率 k=? f?(x)=?
提示：
下页
f? ( x ) = ab afbf )()(?
k = ab afbf )()(?
直线 AB的斜率上页 下页 铃结束返回首页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理下页
f? ( x ) = ab afbf )()(?
k = ab afbf )()(?
直线 AB的斜率上页 下页 铃结束返回首页则函数 j(x)在区间 [a? b]上满足罗尔定理的条件?
于是至少存在一点 x?(a? b)? 使 j?(x)=0? 即简要证明由此得 f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
令?j ( x ) = f ( x )? f ( a )? ab afbf )()( ( x? a )?
j ( x ) = f? ( x )? ab afbf )()(?
下页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
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f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
拉格朗日中值公式下页如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理注：
dy=f?(x)Dx是函数增量 Dy的近似表达式?
f?(x?qDx)Dx是函数增量 Dy 的精确表达式?
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f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
拉格朗日中值公式如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)内可导? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a)?
拉格朗日中值定理
定理如果函数 f(x)在区间 I上的导数恒为零? 那么 f(x)在区间 I上是一个常数? >>>
上页 下页 铃结束返回首页证明 设 f(x)=ln(1?x)? 显然 f(x)在区间 [0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有
f(x)?f(0)=f?(x)(x?0)? 0<x<x?
又由 0<x<x? 有例 2
例 2? 证明当 x > 0 时? xxxx <?<? )1l n (1?
由于 f ( 0 ) = 0? xxf?=? 1 1)(? 因此上式即为
x?=? 1)1ln (
xx?
xxxx <?<? )1ln (1?
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柯西中值定理函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且 F?(x)在 (a? b)内恒不为零? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
)(
)(
)()(
)()(
x
x
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f
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afbf
=
下页显然? 如果取 F(x)=x? 那么 F(b)?F(a)=b?a? F?(x)=1? 因而柯西中值公式就可以写成?
f(b)?f(a)=f?(x)(b?a) (a<x<b)?
这样就变成了拉格朗日中值公式了?
——— 柯西中值公式上页 下页 铃结束返回首页
定理的几何意义
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
=
结束弦 AB 的斜率为 )()( )()( aFbF afbf
而 在 点 x = x? 处? )( )(xxFfdXdY=?
三、柯西中值定理
柯西中值定理函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续? 在开区间 (a? b)
内可导? 且 F?(x)在 (a? b)内恒不为零? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
