一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本微分公式与微分运算法则
§ 2.7 函数的微分上页 下页 铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用上页 下页 铃结束返回首页一、微分的定义
引例一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0?Dx?
考查 此薄片的面积 A 的改变情况?
因为 A?x2? 所以金属片面积的改变量为
DA?(x0?Dx)2?(x0)2
2x0Dx?(Dx)2?
A?x02
x0
x0
Dx
Dxx0Dx
x0Dx
(Dx)2
当 Dx?0时? (Dx)2?o(Dx )?
DA的主要部分是 Dx的线性函数
2x0Dx? 2x0Dx是 DA的近似值?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 y?f(x)在某区间内有定义? x0及 x0?Dx在这区间内? 如果函数的增量
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)
可表示为
Dy?ADx?o(Dx)?
其中 A是不依赖于 Dx的常数? o(Dx)是比 Dx高阶的无穷小?
那么称函数 y?f(x)在点 x0是可微的? 而 ADx叫做函数 y?f(x)
在点 x0相应于自变量增量 Dx的微分? 记作 dy? 即
dy?ADx?
微分的定义下页上页 下页 铃结束返回首页函数 f(x)在点 x0可微? 函数 f(x)在点 x0可导?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f?(x0)Dx?
可微与可导的关系
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
这是因为? 一方面另一方面其中 a?0(当 Dx?0)? 且 A?f(x0)是常数? aDx?o(Dx)?
AxfxyxxoAxyxoxAy xDD?DDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?DDDDDD
D
aa )()()(lim 000
0?
AxfxyxxoAxyxoxAy xDD?DDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00? AxfxyxxoAxyxoxAy xDDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?DDDDDD
D
a)(()(lim 000
0?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?DDDDDD
D
aa )()()(lim 000
0?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 y?f(x)在任意点 x 的微分? 称为函数的微分? 记作 dy 或 df(x)? 即
dy?f?(x)Dx?
例如? dcos x?(cos x)?Dxsin x Dx?
dex?(e x)?Dx?exDx?
函数 f(x)在点 x0可微? 函数 f(x)在点 x0可导?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f?(x0)Dx?
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
下页
可微与可导的关系上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 y?x2在 x?1和 x?3处的微分?
dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?
函数 y?x2在 x?3处的微分为
dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?
例 2 求函数 y?x3当 x?2? Dx?0?02时的微分?
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
解 函数 y?x2在 x?1处的微分为解 先求函数在任意点 x 的微分?
dy?(x3)?Dx?3x2Dx?
再求函数当 x?2? Dx?0?02时的微分?
dy|x?2? Dx?0.02?3?22?0.02?0.243x2Dx| x?2,Dx?0.02
下页上页 下页 铃结束返回首页因为当 y?x时?
dy?dx?(x)?Dx?Dx?
所以通常把自变量 x 的增量 Dx称为自变量的微分? 记作
dx? 即
dx?Dx?
因此? 函数 y?f(x)的微分又可记作
dy?f?(x)dx?
自变量的微分下页上页 下页 铃结束返回首页
结论在 f?(x0)?0的条件下? 以微分 dy?f?(x0)Dx近似代替增量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)时? 其误差为 o(dy)?
因此? 当 |Dx|很小时? 有 近似等式 Dy?dy?
当 f?(x0)?0时? 有根据等价无穷小的性质? Dy?dy?o(dy)?
增量与微分的关系
1lim)(1)(limlim
00000
DD? D?D
D?D?D dx
y
xfxxf
y
dy
y
xxx
首页上页 下页 铃结束返回首页二、微分的几何意义当 |Dx|很小时? |Dy?dy|
比 |Dx|小得多?
因此? 在点 M的邻近?
我们可以用切线段来近似代替曲线段?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量?
dy是过点 (x0? f(x0))的切线上点的纵坐标的增量?
当 x从 x0变到 x0?Dx时?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、基本微分公式与微分运算法则
d(xm)?mxm?1dx
d(sin x)?cos xdx
d(cos x)sin xdx
d(tan x)?sec2xdx
d(cot x)csc2xdx
d(sec x)?sec x tan xdx
d(csc x)csc x cot xdx
d(a x)?ax ln adx
d(e x)?exdx
(xm)mxm?1
(sin x)cos x
(cos x)sin x
(tan x)sec2 x
(cot x)csc2x
(sec x)sec x tan x
(csc x)csc x cot x
(a x)ax ln a
(e x)?ex
微分公式,导数公式,
下页
1.基本初等函数的微分公式上页 下页 铃结束返回首页
axxa ln
1)( lo g
xx
1)(ln
21
1)( a r c s in
xx
21
1)( a r c c o s
xx
21
1)( a r c ta n
xx
21
1)c o ta r c(
xx
dxaxxd a ln1)( lo g?
dxxxd 1)( ln?
dxxxd 21 1)( a r c s i n
dxxxd 21 1)( a r c c o s
dxxxd 21 1)( a r c ta n
dxxxd 21 1)c o ta r c(
下页微分公式,导数公式,
上页 下页 铃结束返回首页
2.函数和、差、积、商的微分法则公式 d(u?v)?vdu?udv 的证明?
因为
d(uv)?(u?v?uv?)dx?u?vdx?uv?dx?
而 u?dx?du? v?dx?dv?
所以 d(uv)?vdu?udv?
(u?v)uv?
(Cu)Cu?
(u?v)u?v?uv?
)0()( 2 vv vuvuvu
d(u?v)?du?dv
d(Cu)?Cdu
d(u?v)?vdu?udv
)0()( 2 vdxv u d vv d uvud
求导法则 微分法则下页上页 下页 铃结束返回首页设 y?f(u)及 u?j(x)可微? 则复合函数 y?f[j(x)]的微分为
dy?y?xdx?f?(u)j?(x)dx?
因为 j?(x)dx?du? 所以? 复合函数 y?f[j(x)]的微分公式也可以写成
dy?f?(u)du 或 dy?y?udu?
3.复合函数的微分法则由此可见? 无论 u是自变量还是另一个变量的可微函数? 微分形式 dy?f?(u)du保持不变? 这一性质称为微分形式不变性?
下页上页 下页 铃结束返回首页在求复合函数的导数时? 可以不写出中间变量?
例 3 y?sin(2x?1)? 求 dy?
2cos(2x?1)dxcos(2x?1)?2dx
cos(2x?1)d(2x?1)dy?d(sin u)?cos udu
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f?(u)du?
解 把 2x?1看成中间变量 u? 则例 4
例 4? )1l n ( 2xey 求 dy?
解? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 dxexe xx 2212
解解? )1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 dxexe xx 2212 x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 222 2 dxexe xx 2212
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例 5 y?e1?3xcos x? 求 dy?
e1?3x(3cos x?sin x)dx?
(cos x)e1?3x(?3dx)?e1?3x(?sin xdx)
dy?d(e1?3xcos x)?cos xd(e1?3x)?e1?3xd(cos x)
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f?(u)du?
应用积的微分法则? 得解下页上页 下页 铃结束返回首页例 6 在括号中填入适当的函数? 使等式成立?
(1) d( )?xdx? (2) d( )?cos w t dt?
(2)因为 d(sin w t)?w cos w tdt? 所以
(1)因为 d(x2)?2xdx? 所以解
)21()(21 22 xdxdxdx 即 xdxxd?)21( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdxd x 即 xd xxd?)
2
1( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdx d x 即 x d xxd?)
2
1( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdx d x 即 x d xxd?)
2
1( 2?
一般地? 有 x d xCxd )21( 2 ( C 为任意常数 )?
) s in1() (s in1 c os tdtdtd t wwwww ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ) s in1() ( s in c o s tdttd t wwww
因此 td tCtd c o s) s i n1( www ( C 为任意常数 )?
首页上页 下页 铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算当函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f?(x)?0? 且 |Dx|很小时?
我们有
Dy?dy?f?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?dy?f?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx?
若令 x?x0?Dx? 即 Dx?x?x0? 那么又有
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?
特别当 x0?0时? 有 f(x)?f(0)?f?(0)x?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 有一批半径为 1cm 的球? 为了提高球面的光洁度? 要镀上一层铜? 厚度定为 0?01cm? 估计一下每只球需用铜多少 g (铜的密度是 8?9g/cm3)?
求函数增量的近似公式? f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx
镀层的体积为
DV?V(R0?DR)?V(R0)
V?(R0)DR?4pR02DR
4?3?14?12?0?01?0?13(cm3)?
于是镀每只球需用的铜约为
0?13?8?9?1?16(g)?
解 已知球体体积为? R0?1cm? DR?0?01cm?
334 RV p?
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 已知 30? 30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?D x?
求函数值的近似公式? f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx
例 8 利用微分计算 sin 30?30?的近似值?
sin x0? cos x0 Dx
即 sin 30?300?5076?
sin 30?30sin(x0?Dx)
解
3606
c os
6
s i n ppp
5 0 7 6.03 6 02 321 p?
解? 已知 30?30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?Dx? 解? 已知 30?30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?D x?
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(2)sin x?x (x用弧度作单位来表达 )?
(3)tan x?x(x用弧度作单位来表达 )?
(4)ex?1?x?
(5)ln(1?x)?x?
常用的近似公式 (假定 |x|是较小的数值 )?
求函数在 x?0附近的值的近似公式? f(x)?f(0)?f?(0)x
( 1 ) xnxn 111
例 9 例 3,计算 05.1 的近似值?
解? 已知 xnxn 111 故
025.105.021105.0105.1
解
025.105.021105.0105.1 025.105.021105.0105.1
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绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为 A? 其近似值为 a? 那么 |A?a|叫做 a的绝对误差?
绝对误差 | A? a | 与 | a | 的比值 || || a aA? 叫做 a 的相对误差?
2.误差估计
间接测量误差?
由于测量仪器的精度,测量的条件和测量的方法等各种因素的影响? 测得的数据往往带有误差? 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差? 我们把它叫做间接测量误差?
下页上页 下页 铃结束返回首页如果某个量的精确值是 A? 测得它的近似值是 a? 又知道它的误差不超过 dA,|A?a|?dA? 则 dA叫做测量 A的绝对误差限?
|| a Ad 叫做测量 A 的相对误差限 ( 简称 绝对误差 )?
绝对误差限与相对误差限若 x是直接测量值? |Dx|?dx?而 y?f(x)? 那么由
Dy?dy?y?Dx?
有 |Dy|?|dy|?|y?|?|Dx|?|y?|?dx?
所以测量 y的绝对误差为 dy?|y?|?d x?
提问,
测量 y的相对误差是什么？
下页上页 下页 铃结束返回首页已知 D?60?03? dD?0?05? 所以例 10 设测得圆钢截面的直径 D?60?03mm?测量 D的积时?试估计面积的误差?
绝对误差限 Dd? 0? 05? 利用公式 24 DA p? 计算圆钢的截面解? DDDAdAA DDD 2 p?
解
|D A |?|dA | DDDD dppD 2||2?
7 1 5.405.003.602 2 pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
7 1 5.405.003.602 2 ppd DA D
(mm2)?
7 5.405.003.602 2 pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
%17.0
03.60
05.02
2
DD
D
A
D
D
A d
dpd
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
|D A |? |dA | DDDD dppD 2||2? |D A |? |dA | DD dppD 2||2?
解? DDAdAA DDD 2 p? 解? DDDAA DD 2 p?
结束
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引例一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0?Dx?
考查 此薄片的面积 A 的改变情况?
因为 A?x2? 所以金属片面积的改变量为
DA?(x0?Dx)2?(x0)2
2x0Dx?(Dx)2?
A?x02
x0
x0
Dx
Dxx0Dx
x0Dx
(Dx)2
当 Dx?0时? (Dx)2?o(Dx )?
DA的主要部分是 Dx的线性函数
2x0Dx? 2x0Dx是 DA的近似值?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 y?f(x)在某区间内有定义? x0及 x0?Dx在这区间内? 如果函数的增量
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)
可表示为
Dy?ADx?o(Dx)?
其中 A是不依赖于 Dx的常数? o(Dx)是比 Dx高阶的无穷小?
那么称函数 y?f(x)在点 x0是可微的? 而 ADx叫做函数 y?f(x)
在点 x0相应于自变量增量 Dx的微分? 记作 dy? 即
dy?ADx?
微分的定义下页上页 下页 铃结束返回首页函数 f(x)在点 x0可微? 函数 f(x)在点 x0可导?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f?(x0)Dx?
可微与可导的关系
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
这是因为? 一方面另一方面其中 a?0(当 Dx?0)? 且 A?f(x0)是常数? aDx?o(Dx)?
AxfxyxxoAxyxoxAy xDD?DDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?DDDDDD
D
aa )()()(lim 000
0?
AxfxyxxoAxyxoxAy xDD?DDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00? AxfxyxxoAxyxoxAy xDDDD?D?D?D?D )(lim)()( 00?
xxxfyxfxyxfxy
x
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D
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0?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?DDDDDD
D
aa )()()(lim 000
0?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 y?f(x)在任意点 x 的微分? 称为函数的微分? 记作 dy 或 df(x)? 即
dy?f?(x)Dx?
例如? dcos x?(cos x)?Dxsin x Dx?
dex?(e x)?Dx?exDx?
函数 f(x)在点 x0可微? 函数 f(x)在点 x0可导?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f?(x0)Dx?
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
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可微与可导的关系上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 y?x2在 x?1和 x?3处的微分?
dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?
函数 y?x2在 x?3处的微分为
dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?
例 2 求函数 y?x3当 x?2? Dx?0?02时的微分?
y?f(x)在点 x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
解 函数 y?x2在 x?1处的微分为解 先求函数在任意点 x 的微分?
dy?(x3)?Dx?3x2Dx?
再求函数当 x?2? Dx?0?02时的微分?
dy|x?2? Dx?0.02?3?22?0.02?0.243x2Dx| x?2,Dx?0.02
下页上页 下页 铃结束返回首页因为当 y?x时?
dy?dx?(x)?Dx?Dx?
所以通常把自变量 x 的增量 Dx称为自变量的微分? 记作
dx? 即
dx?Dx?
因此? 函数 y?f(x)的微分又可记作
dy?f?(x)dx?
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结论在 f?(x0)?0的条件下? 以微分 dy?f?(x0)Dx近似代替增量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)时? 其误差为 o(dy)?
因此? 当 |Dx|很小时? 有 近似等式 Dy?dy?
当 f?(x0)?0时? 有根据等价无穷小的性质? Dy?dy?o(dy)?
增量与微分的关系
1lim)(1)(limlim
00000
DD? D?D
D?D?D dx
y
xfxxf
y
dy
y
xxx
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比 |Dx|小得多?
因此? 在点 M的邻近?
我们可以用切线段来近似代替曲线段?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量?
dy是过点 (x0? f(x0))的切线上点的纵坐标的增量?
当 x从 x0变到 x0?Dx时?
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d(xm)?mxm?1dx
d(sin x)?cos xdx
d(cos x)sin xdx
d(tan x)?sec2xdx
d(cot x)csc2xdx
d(sec x)?sec x tan xdx
d(csc x)csc x cot xdx
d(a x)?ax ln adx
d(e x)?exdx
(xm)mxm?1
(sin x)cos x
(cos x)sin x
(tan x)sec2 x
(cot x)csc2x
(sec x)sec x tan x
(csc x)csc x cot x
(a x)ax ln a
(e x)?ex
微分公式,导数公式,
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1.基本初等函数的微分公式上页 下页 铃结束返回首页
axxa ln
1)( lo g
xx
1)(ln
21
1)( a r c s in
xx
21
1)( a r c c o s
xx
21
1)( a r c ta n
xx
21
1)c o ta r c(
xx
dxaxxd a ln1)( lo g?
dxxxd 1)( ln?
dxxxd 21 1)( a r c s i n
dxxxd 21 1)( a r c c o s
dxxxd 21 1)( a r c ta n
dxxxd 21 1)c o ta r c(
下页微分公式,导数公式,
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2.函数和、差、积、商的微分法则公式 d(u?v)?vdu?udv 的证明?
因为
d(uv)?(u?v?uv?)dx?u?vdx?uv?dx?
而 u?dx?du? v?dx?dv?
所以 d(uv)?vdu?udv?
(u?v)uv?
(Cu)Cu?
(u?v)u?v?uv?
)0()( 2 vv vuvuvu
d(u?v)?du?dv
d(Cu)?Cdu
d(u?v)?vdu?udv
)0()( 2 vdxv u d vv d uvud
求导法则 微分法则下页上页 下页 铃结束返回首页设 y?f(u)及 u?j(x)可微? 则复合函数 y?f[j(x)]的微分为
dy?y?xdx?f?(u)j?(x)dx?
因为 j?(x)dx?du? 所以? 复合函数 y?f[j(x)]的微分公式也可以写成
dy?f?(u)du 或 dy?y?udu?
3.复合函数的微分法则由此可见? 无论 u是自变量还是另一个变量的可微函数? 微分形式 dy?f?(u)du保持不变? 这一性质称为微分形式不变性?
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例 3 y?sin(2x?1)? 求 dy?
2cos(2x?1)dxcos(2x?1)?2dx
cos(2x?1)d(2x?1)dy?d(sin u)?cos udu
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f?(u)du?
解 把 2x?1看成中间变量 u? 则例 4
例 4? )1l n ( 2xey 求 dy?
解? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 dxexe xx 2212
解解? )1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 dxexe xx 2212 x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 222 2 dxexe xx 2212
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例 5 y?e1?3xcos x? 求 dy?
e1?3x(3cos x?sin x)dx?
(cos x)e1?3x(?3dx)?e1?3x(?sin xdx)
dy?d(e1?3xcos x)?cos xd(e1?3x)?e1?3xd(cos x)
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f?(u)du?
应用积的微分法则? 得解下页上页 下页 铃结束返回首页例 6 在括号中填入适当的函数? 使等式成立?
(1) d( )?xdx? (2) d( )?cos w t dt?
(2)因为 d(sin w t)?w cos w tdt? 所以
(1)因为 d(x2)?2xdx? 所以解
)21()(21 22 xdxdxdx 即 xdxxd?)21( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdxd x 即 xd xxd?)
2
1( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdx d x 即 x d xxd?)
2
1( 2? )
2
1()(
2
1 22 xdxdx d x 即 x d xxd?)
2
1( 2?
一般地? 有 x d xCxd )21( 2 ( C 为任意常数 )?
) s in1() (s in1 c os tdtdtd t wwwww ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ) s in1() ( s in c o s tdttd t wwww
因此 td tCtd c o s) s i n1( www ( C 为任意常数 )?
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1.函数的近似计算当函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f?(x)?0? 且 |Dx|很小时?
我们有
Dy?dy?f?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?dy?f?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx?
若令 x?x0?Dx? 即 Dx?x?x0? 那么又有
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?
特别当 x0?0时? 有 f(x)?f(0)?f?(0)x?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 有一批半径为 1cm 的球? 为了提高球面的光洁度? 要镀上一层铜? 厚度定为 0?01cm? 估计一下每只球需用铜多少 g (铜的密度是 8?9g/cm3)?
求函数增量的近似公式? f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx
镀层的体积为
DV?V(R0?DR)?V(R0)
V?(R0)DR?4pR02DR
4?3?14?12?0?01?0?13(cm3)?
于是镀每只球需用的铜约为
0?13?8?9?1?16(g)?
解 已知球体体积为? R0?1cm? DR?0?01cm?
334 RV p?
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 已知 30? 30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?D x?
求函数值的近似公式? f(x0?Dx)?f(x0)?f?(x0)Dx
例 8 利用微分计算 sin 30?30?的近似值?
sin x0? cos x0 Dx
即 sin 30?300?5076?
sin 30?30sin(x0?Dx)
解
3606
c os
6
s i n ppp
5 0 7 6.03 6 02 321 p?
解? 已知 30?30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?Dx? 解? 已知 30?30? 3606 pp 6 0 p?x? 360p?D x?
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(2)sin x?x (x用弧度作单位来表达 )?
(3)tan x?x(x用弧度作单位来表达 )?
(4)ex?1?x?
(5)ln(1?x)?x?
常用的近似公式 (假定 |x|是较小的数值 )?
求函数在 x?0附近的值的近似公式? f(x)?f(0)?f?(0)x
( 1 ) xnxn 111
例 9 例 3,计算 05.1 的近似值?
解? 已知 xnxn 111 故
025.105.021105.0105.1
解
025.105.021105.0105.1 025.105.021105.0105.1
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绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为 A? 其近似值为 a? 那么 |A?a|叫做 a的绝对误差?
绝对误差 | A? a | 与 | a | 的比值 || || a aA? 叫做 a 的相对误差?
2.误差估计
间接测量误差?
由于测量仪器的精度,测量的条件和测量的方法等各种因素的影响? 测得的数据往往带有误差? 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差? 我们把它叫做间接测量误差?
下页上页 下页 铃结束返回首页如果某个量的精确值是 A? 测得它的近似值是 a? 又知道它的误差不超过 dA,|A?a|?dA? 则 dA叫做测量 A的绝对误差限?
|| a Ad 叫做测量 A 的相对误差限 ( 简称 绝对误差 )?
绝对误差限与相对误差限若 x是直接测量值? |Dx|?dx?而 y?f(x)? 那么由
Dy?dy?y?Dx?
有 |Dy|?|dy|?|y?|?|Dx|?|y?|?dx?
所以测量 y的绝对误差为 dy?|y?|?d x?
提问,
测量 y的相对误差是什么？
下页上页 下页 铃结束返回首页已知 D?60?03? dD?0?05? 所以例 10 设测得圆钢截面的直径 D?60?03mm?测量 D的积时?试估计面积的误差?
绝对误差限 Dd? 0? 05? 利用公式 24 DA p? 计算圆钢的截面解? DDDAdAA DDD 2 p?
解
|D A |?|dA | DDDD dppD 2||2?
7 1 5.405.003.602 2 pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
7 1 5.405.003.602 2 ppd DA D
(mm2)?
7 5.405.003.602 2 pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
%17.0
03.60
05.02
2
DD
D
A
D
D
A d
dpd
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
|D A |? |dA | DDDD dppD 2||2? |D A |? |dA | DD dppD 2||2?
解? DDAdAA DDD 2 p? 解? DDDAA DD 2 p?
结束
