§ 3.2 洛必达法则还有其它类型的未定式? 0,,00,1?,?0?
在函数商的极限中? 如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大? 那么极限可能存在? 也可能不存在? 这种极
0
0－或
－?限称为未定式? 记为上页 下页 铃结束返回未定式举例 首页
未定式上页 下页 铃结束返回首页如果函数 f(x)和 g(x)满足如下条件?
(1) f(x)和 g(x)都是当 x?a时的无穷小 (或无穷大 )?
(2) f(x)和 g(x)在点 a的某去心邻域内都可导且 g?(x)?0?
定理证明说明：
把定理中的,x?a,换成,x,? 把条件 (2)换成
“当 |x|>N时 f(x)和 g(x)都可导且 g?(x)?0”? 结论仍然成立?
定理 (洛必达法则 )
( 3 ) )( )(lim xg xf
ax?
存在 ( 或为无穷大 )?
那么 )( )(l i m xg xf
ax? )(
)(l i m
xg
xf
ax?

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“零比零”型未定式的定值法解解例 1
例 1?,求 bxaxx s ins inlim 0? ( b? 0)?
解? babxb axabxaxbxax
xxx

c o s
c o slim
)( s in
)( s inlim
s in
s inlim
000
例 2
例 2,求 123lim 23 31 xxx xxx?
解? )1( )23(lim123lim 23 3
123
3
1



xxx
xx
xxx
xx
xx
2
3
26
6lim
123
33lim
12
2
1

x
x
xx
x
xx?
解? babxaxbxaxbxax
xxx

c o s
c o slim
)( s in
)( s inlim
s in
s inlim
000
解? babxb axabxaxbxax
xxx

c o s
c o slim
)( s in
)( s inlim
s in
s inlim
000
解? bxb axabxaxbxax
xxx

cos
coslim
)(sin
)(sinlim
sin
sinlim
00
解? )1( )23lim123lim 23 3
123
3
1



xxx
x
xx
xx
xx
2
3
26
6lim
13
33lim
12
2
1 x
x
xx
x
xx? 2
3
6lim123
33
12
2
1

x
x
x
x
xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解解例 3
例 3? 求 30 s inlim x xxx
解? 30 s inlim x xxx 20 3c o s1lim x xx x xx 6s inlim 0 61
例 4
例 4? 求
x
x
x 1
a r c ta n
2lim

解?
x
x
x 1
a r c ta n
2lim

2
2
1
1
1
lim
x
x
x?

1
1
lim
2
2
x
x
x
解? 30 s inlim x xxx 20 3c o s1lim x xx x xx 6s inlim 0 61 解? 30 s inlim x xxx 20 3c o s1lim x xx x x6s in0? 61 解? 30 sinlim x xxx 20 3co1im x x xxx 6sinlim0 61
解?
x
x
x 1
a r c ta n
2lim

2
2
1
1
1
lim
x
x
x?

1
1
lim
2
2
x
x
x
解?
x
x
a c ta n
2lim

2
2
1
1
1
lim
x
x
x?

1
1
lim
2
2
x
x
x
解?
x
x
x 1
arctan
2lim

2
2
1
1
1
lim
x
x
x?

1
1
lim
2
2

x
x
下页
“零比零”型未定式的定值法上页 下页 铃结束返回首页
“无穷比无穷”型未定式的定值法解解例 5
例 5? 求 n
x x
xlnlim

( n > 0 )?
解? n
x x
xlnlim
1
1
lim?

n
x nx
x 01lim
nx nx
例 6
例 6? 求 xnx exlim ( n 为正整数 > 0 )?
解? xnx exlim xnx enx 1lim x nx e xnn2 2)1(lim
0!lim xnx en
解? n
x x
xlnlim
1
1
lim?

n
x nx
x 01lim
nx nx
解? n
x x
xlnlim
1
1
lim?

n
x nx
x 01lim
nx nx
解? n
x x
xlnim
1
1
lim?

n
x
x 01lim
nx nx
解? xnx exlim xnx enx 1lim x nx e xnn 2 2)1(lim 解? xnx exlim xx nx 1lim x nx e xnn 2 2)1(lim 解? xnx exlim xnx enx 1lim x nx e xnn2 2)1(lim
0!lim xnx en
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其它类型未定式的定值法未定式 0,,00,1?,?0都可以转化为,零比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式?
解解例 7
例 7? 求 xx nx lnlim 0 ( n > 0 )?
解? xx n
x
lnlim
0 nx x
x

lnlim
0 10
1
lim

n
x nx
x 0lim
0

n
x n
x
解? xx n
x
lnlim
0 nx x
x

lnlim
0 10
1
lim

n
x nx
x 0
0
nx n? 解? xx n
x
lnlim
nx x
x

lnlim
0 10
1
lim

n
x nx
x 0lim
0

n
x n
x
解? xx n
x
lnlim
0 nx x
x

lnlim
0 10
1
lim

n
x nx
x 0lim
0

n
x n
x
解? xxnlnlim
0 nx x
x

lnlim
0 10
1
lim
nnx
x 0lim
0

n
xn
x
例 8
例 8? 求 xx x0lim
解? xx x0lim 1lim 0ln0 ee xxx (根据例 7)? 解? xx x0lim 1lim 0ln0 ee xxx (根据例 7 )? 解? xx x0lim 1lim 0ln0 exxx ( 根据例 7 )?
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 9
例 9? 求 )t a n( s e clim
2
xx
x

解? )t a n( s e clim
2
xx
x
x
x
x c o s
s in1lim
2


0s inc o slim
2

x
x
x?
未定式 0,,00,1?,?0都可以转化为,零比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式?
解 )t a n( s e clim
2
xx
x
x
x
x c o s
s in1lim
2


0s inc o slim
2

x
x
x?
解? )t a n( e clim
2
xx
x
x
x
x s
inlim
2

0s inc o slim
2

x
x
x?
解? )tan(seclim
2
xx
x
x
x
x cos
sin1lim
sin
coslim
2

x
x
x?
下页
其它类型未定式的定值法上页 下页 铃结束返回首页
1? 洛必达法则是求未定式的一种有效方法? 但最好能与其它求极限的方法结合使用? 例如能化简时应尽可能先化简? 可以应用等价无穷小替代或重要极限时? 应尽可能应用? 这样可以使运算简捷?
应注意的问题解例 10
例 10? 求 xx xxx s inta nlim 20
解? xx xxx s inta nlim 20 30 t a nlim x xxx 220 3 1s e clim x xx
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
31ta ns e clim31 2
0

x
xx
x
解? xx xxx s inta nlim 20 30 t a nlim x xxx 220 3 1s e clim x xx 解? x xx sta nlim 20? 30li xx 220 3 1s e clim x xx
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
31ta ns e clim31 2
0

x
xx
x
x xx
x 6
tansec2lim 2
0?
31tanseclim31 2
x
x
x
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2? 本节定理给出的是求未定式的一种方法? 当定理条件满足时? 所求的极限当然存在 (或为?)? 但定理条件不满足时? 所求极限却不一定不存在?
所以不能用洛必达法则? 但其极限是存在的?
解例 11
例 11? 求 x xxx s inlim
解? 因为极限 )( )s i n(lim
x
xx
x 1
c o s1l i m x
x

不存在?
x
xx
x
s inlim?
1)
s in1(lim
x
x
x?
解? 因为极限 )( )s in(lim
x
xx
x 1
c o s1lim x
x

不存在? 解? 因为极限 )(
)s in(lim

x
xx
x 1
c o1lim x
x

不存在?
xx
x
inlim
1)
s in1(lim
x
x
x? x
xx
x
silim?
1)
sin1(lim
xx?
结束
应注意的问题