一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径
§ 3.7 曲率曲线的弯曲线程度与哪些因素有关,怎样度量曲线的弯曲程度？
上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、弧微分
曲线的基点与正向设函数 f(x)在区间 (a? b)内具有连续导数? 在曲线 y?f(x)
上取固定点 M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向?
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s>0s<0
有向弧段 的值MM0
(
对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称弧 )如下? s 的绝对值等于这弧段的长度? 当有向弧段 MM0
(
的方向与曲线的正向一致时 s>0? 相反时 s<0?
显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x)?
下页一、弧微分上页 下页 铃结束返回首页
弧微分公式设 M和 N为曲线 y?f(x)(a<x<b)上的两点? 其横坐标分别为 x和 x?Dx? 并设 Ds?s(x?Dx)?s(x)?
因为当 Dx?0时? Ds ~ MN? 又 Dx与 Ds同号? 所以由此得弧微分公式?
2
0
22
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首页上页 下页 铃结束返回首页二、曲率及其计算公式提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度?
下页观察与思考：
观察曲线的弯曲程度与哪些因素有关? 怎样衡量曲线的弯曲程度？
上页 下页 铃结束返回首页记 sK
s D
D?
D
0
l i m? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率?
记 sK DD 称 K 为 弧段 MN 的平均曲 率?
下页设 M和 N是光滑曲线 C上的两点? M和 N分别应于弧 s和 s?Ds?
以 M和 N为切点的切线的倾角分别为?和D
在 0lim?D s sDD dsd? 存在的条件下? dsdK
曲率及其计算公式上页 下页 铃结束返回首页记 sK
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l i m? 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率?
在 0lim?D s sDD dsd? 存在的条件下? dsdK
曲率及其计算公式设曲线 C的方程为 y?f(x)? 且 f(x)具有二阶导数?
又知 ds? 21 y dx? 从而得曲率的计算公式
232 )1(
||
y
y
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dxyydxydxyd 222 1t a n1s e c dxyydxyyd 222 1t a ns e c dxyyydxyd 222 1t a n1s e c
所以 sec2?dydx?因为 tany
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例 1 计算等边双曲线 xy?1在点 (1? 1)处的曲率?
曲率的计算公式：
曲线在点 (1? 1)处的曲率为因此 y?|x?11? y|x?1?2?
解? 由 xy 1 得
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下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 抛物线 y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大？
解 由 y?ax2?bx?c? 得
y2ax?b? y2a?
代入曲率公式? 得显然? 当 2ax?b?0时曲率最大?
因此? 抛物线在顶点处的曲率最大? 此处 K?|2a|?
232 ])2(1[
|2|
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曲率最大时? x ab2? 对应的点为抛物线的顶点?
下页
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y
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曲率的计算公式：
上页 下页 铃结束返回首页讨论：
3?半径为 R的圆上任一点的曲率是什么？
1?直线 y?ax?b上任一点的曲率是什么？
2?若曲线的参数方程为 x?j(t)? y?y(t)? 那么曲率如何计算？
提示：
1? 设直线方程为 y?ax?b? 则 ya? y0? 于是 K?0?
3? 圆的参数方程为 x?Rcos t? y?Rsin t?
2/322 )]()([
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首页上页 下页 铃结束返回首页三、曲率圆与曲率半径上述 圆叫做曲线在点 M
处的曲率圆? 其圆心叫做曲率中心? 其半径 r叫做曲率半径?
曲率与曲率半径关系
曲率圆与曲率半径设曲线在点 M处的曲率为 K(K?0)?
在曲线 凹的一侧作一个与曲线相切于 M且半径为
r?K?1的圆?
r? K1? K? r1?
下页曲率圆曲率半径曲率中心上页 下页 铃结束返回首页例 3 设工件表面的截线为抛物线 y?0?4x2? 现在要用砂轮磨削其内表面? 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径?
抛物线顶点处的曲率半径为
r?K?1?1?25?
因此,选用砂轮的半径不得超过 1?25单位长? 即直径不得超过 2?50单位长?
y0?8x? y0?8?
y?|x?0?0? y|x?0?0?8?
把它们代入曲率公式? 得
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yK
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结束
§ 3.7 曲率曲线的弯曲线程度与哪些因素有关,怎样度量曲线的弯曲程度？
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曲线的基点与正向设函数 f(x)在区间 (a? b)内具有连续导数? 在曲线 y?f(x)
上取固定点 M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向?
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对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称弧 )如下? s 的绝对值等于这弧段的长度? 当有向弧段 MM0
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显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x)?
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弧微分公式设 M和 N为曲线 y?f(x)(a<x<b)上的两点? 其横坐标分别为 x和 x?Dx? 并设 Ds?s(x?Dx)?s(x)?
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观察曲线的弯曲程度与哪些因素有关? 怎样衡量曲线的弯曲程度？
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解 由 y?ax2?bx?c? 得
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代入曲率公式? 得显然? 当 2ax?b?0时曲率最大?
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1?直线 y?ax?b上任一点的曲率是什么？
2?若曲线的参数方程为 x?j(t)? y?y(t)? 那么曲率如何计算？
提示：
1? 设直线方程为 y?ax?b? 则 ya? y0? 于是 K?0?
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处的曲率圆? 其圆心叫做曲率中心? 其半径 r叫做曲率半径?
曲率与曲率半径关系
曲率圆与曲率半径设曲线在点 M处的曲率为 K(K?0)?
在曲线 凹的一侧作一个与曲线相切于 M且半径为
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解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径?
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因此,选用砂轮的半径不得超过 1?25单位长? 即直径不得超过 2?50单位长?
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