§ 4,2 换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页积分表一、第一类换元法下页
定理 1(换元积分公式 )
设 f(u)具有原函数,且 u?j(x)可导,则有换元公式
)(])([)()]([ xuduufdxxxf jjj
设 f(u)的原函数为 F(u),则
CuFduuf )()(?
又因为
CxFxdFdxxxf )]([)]([)()]([ jjjj
证所以
F?[j(x)]j?(x)dxdF[j(x)]?f[j(x)]j?(x)dx,
CxFxdFdxxxf )]([)]([)()]([ jjj CxFxdxxxf )]([)]([)()]([ jjjj
)( )( ])([])([ xuxu duufCuF jj )( )( ])([])([ xuxu duufCuF jj
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定理 1(换元积分公式 )
设 f(u)具有原函数,且 u?j(x)可导,则有换元公式
)(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj
CxFCuF xu )]([])([ )( jj?
设 f(u)具有原函数 F(u),则
换元积分过程
)(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj )(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj
CxFCuF xu )]([])([ )( jj?
)(])([)()]([ xuduufdxxxf jjj
上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c o s2 xxddxxxx d x
例 1
Cuu du s inc os? s in 2 x? C?
例 2 )23(23 121)23(23 12123 1 xdxdxxxdxx
例 2
Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21?
例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222
例 3
CeCe xu 2?
例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c s2 xxddxxxx d x 例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c o s2 xxddxxxx d x
Cuu du s inc os?s in 2 x?C? Cuu du s inc os? s in 2 x? C?
例 2 )23(23 121)23(23 1123 1 xdxdxxxdxx 例 2 )23(23 121)23(23 12123 1 xdxdxxxdxx
Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21? Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21?
例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 例 3 xddxxedxxe xxx )()(2 22 222 例 3 duexdedxxexe uxxx )()(2 22 222
CeCe xu 2?
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxdxxx
例 5, xdxdxxxxdx c osc os1c oss inta n
例 4
Cuduu ||ln1ln|c os x|?C?
例 5
CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121?
Cxx dx |c os|lnt a n,Cxx dx |s i n|lnc ot?
积分公式：
例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxxx 例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxdxxx
CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121? CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121?
例 5, xdxdxxxx d x c o sc o s1c o ss inta n 例 5, xdxdxxxx x c o sc o s1c ssta n
Cuduu ||ln1 ln |c o s x |? C? Cuu |ln1 ln | c o s x |? C?
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 6
例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 22222 )(1
11
)(1
111
Caxa a r c ta n1?
积分公式：
例 7 当 a?0时,
dx
a
xa
dx
xa 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
Caxadxxa a r c ta n11 22,Caxdx
xa
a r c s i n1 22?
例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 2222 )(1
11
)(1
111 例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 22222 )(1
11
)(1
111
dx
a
xa
dx
a 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
dx
a
xa
dx
xa 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
a
xaxa 2)(1
11 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 8
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 9 dxaxaxadxax )11(211 22
]11[21 dxaxdxaxa
])(1)(1[2 1 axdaxaxdaxa
Caxaxa |]|ln||[ l n21
Cax axa ||ln21?
Cax axadxax ||ln211 22?
例 9 dxaxaxadxax )11(212
积分公式：
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 9
例 7 Caxaaxdaxadxax sh chch?
例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21(
Cx |ln21|ln21?
例 11 Cexdexdedxxe xxxx 3333 323322?
例 10
例 11
例 7 Caxaaxdaxadxax sh chch? 例 Caxaaxdadxax sh chch?
例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21( 例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln2lnln21(
例 1 1 Cexdexdedxxe xxxx 333 323322? 例 1 1 Cexdexdedxxe xxxx 3333 323? 例 1 1 Cexdxddxxe xxxx 3333 323322?
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表含三角函数的积分,
例 12
例 13
例 12 xdxxxdx s ins ins in 23 xdx c o s)c o s1( 2
xxdxd c o sc o sc o s 2 Cxx 3c o s31c o s?
例 13 xxdxx dxx s inc oss inc oss in 4252
xdxx s i n)s i n1(s i n 222
xdxxx s i n)s i ns i n2( s i n 642
Cxxx 753 s i n71s i n52s i n31
例 12 x dxxx dx s ins ins in 23 xdx c o s)c o s1( 2 例 12 x dxxx dx s ins ins in 23 xdx c o s)o s1( 2
xxdxd c o sc o sc o s 2 Cxx 3c o s31c o s?
例 13 xxdxx dxx s inc oss ic oss in 4252
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 14
例 15
例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s2 xd xdxdxxxd x
Cxxxxddx 2s in412122c o s4121?
例 15 dxxx d x 224 )( c o sc o s dxx 2)]2c o s1(21[
dxxx )2c o s2c o s21(41 2
dxxx )4c o s212c o s223(41
Cxxx )4s i n812s i n23(41
Cxxx 4s i n3212s i n4183?
例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s 2 x d xdxdxxx d x 例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s 2 x d xdxdxxx d x
Cxxxxddx 2s in412122c o s4121?
例 15 dxxx d x 224 )( c o sc o s dxx 2)]2c o s1(21[ 例 15 dxxx d x 224 )( c sc o s dxx 2)]2c o s1(21[
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 17 dx
x
xdx
s in
1c s c
2
c os
2
tan
2
2
c os
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 16 dxxxx d xx )5c o s( c o s212c o s3c o s
例 16
例 17
Cxx 5s i n101s i n21?
CxxCx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
ta n|ln
2
ta n
2
ta n
例 16 dxxxx d xx )5c o s( o s212c o s3c o s
例 17 dx
x
x d x
s in
1c s c
2
c o s
2
ta n
2
2
c o s
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 17 dx
x
x d x
s in
1c s c
2
c o s
2
t a n
2
2
c o s
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 17 dx
x
x d x
s in
1c
2
c o s
2
t a n
2
c o
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
x
CxxCx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
t a n|ln
2
t a n
2
t a n
Cxxx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
t a n|ln
2
t a n
2
t a n
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c?
积分公式：
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 18
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c?
例 18 dxxxdx )2c sc (sec?
Cxx |)2 c o t()2 c s c (|ln
ln|sec x?tan x|?C?
例 18 dxxx d x )2c s c (e c?
Cxxx d x |t a ns e c|lns e c?
积分公式：
首页上页 下页 铃结束返回首页积分表二、第二类换元法
定理 2
设 x?j(t)是单调的、可导的函数,并且 j?(t)?0?
又设 f [j(t)]j?(t)具有原函数 F(t),则有换元公式其中 t?j?1(x)是 x?j(t)的反函数?
这是因为,由复合函数和反函数求导法则,?
)()]([1)()]([)(})]([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttFxF jjjj?
CxFtFdtttfdxxf )]([)()()]([)( 1jjj?
下页
))]([1)()]([)(})]([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttFxF jjjj? )()]([1)()]([)(}([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttxF jjj? )()]([1)()]([(})]([{ 1 xft
dt
dxttfdx
dttFxF jjj?
上页 下页 铃结束返回首页积分表
常用的变换令 )2 2 ( s i n ttax,则
tatataxa coscossin1 2222,dx?acos tdt?
令 )2 2 ( t a n ttax,则
tatataax secsectan1 2222,dx?asec2tdt?
令 x?ash t,则
tatataax chch1sh 2222,dx?ach tdt?
tatataxa c o sc o ss in1 2222,dx? a o s t d t?
tatataax s e cs e cta n1 2222,dx? a s c 2 t d t?
tatataax chch1sh 2222,dx? a c h t d t?
下页令 )2 0( s e c ttax,则 当 x? a 时,
tatataax tantan1sec 2222,dx?asec t?tan tdt? tatataax t a nt a n1s e c 2222,dx a s e c t?t a n t d t?
tataxa coscossin1 2222,dx?acos tdt?
tatataax tatan1sec 2222,dx?asec t?tan tdt?
ttataax secsectan1 2222,dx?asec2 tdt?
tatataax chch1sh 2222,dx?ach td?
上页 下页 铃结束返回首页积分表
Ca xaaxaaxa 2222 2a r c s i n2
td tatd tatadxxa tax 22s i n22 c o sc o sc o s 令
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 19
例 19 求 dxxa 22 ( a > 0 )?
解
tdtatdtatadxxa tax 22in22 coscoscos 令 td tatd tataxa tax 22s i n2 c o sc o sc o s 令下页
Ctta )2s in4121(2 Cttata c o ss in22 22
Cxaxaxa 222 21a r c s in2?
Cta )2s in4121(2 Cttata c o ss in22 22
dttat d ta 2 2c o s1c o s 222 dttt d ta 2 2c o s1c o s 22
注? 进行变换和逆变换均要根据此图?
积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 20
例 20 求 22 ax dx ( a > 0 )?
解法一
(C1?C?lna)?
Ctttd tdtta ta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
s e c
s e c 2t a n
22
令 Cttd tdt
ta
ta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
s
se tan
2
令 Ctttd tdt
ta
ta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
s e c
s e c 2t n
22
令下页
Ctttdt |tansec|lnsec
Ca axxCa axax 2222 ln)ln (
122 )ln ( Caxx,
Cttt d t |t a ns e c|lns e c
Ca axxCa axax 2222 ln)ln (
积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
1222 )ln (]1)(ln [ CaxxCa
x
a
x
提示：
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 20
例 20 求 22 ax dx ( a > 0 )?
解法二
CaxCtdtdtta ta
ax
dx tax
a r s h
c h
c h sh
22
令
(C1?C?lna)?
taataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 2222,t dtadx ch tataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 22222,tdtadx ch
CaxCtdtta ta
ax
dx tax
arsh
c h
c h sh
22
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
a
tax
a r s h
c h
c h sh
2
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
ax
dx tx
a r s h
c h
c h sh
22
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
ax
dx tax
arsh
h
h sh
22
令
1222 )ln (]1)(ln [ CaxxCa
x
a
x
)1ln (a r s h 2 xxx?
下页积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
例 21
例 23 求?
22 ax
dx ( a > 0 )?
解 当 x>a时,
Ctttd tdtta tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令
(C1?C?lna)?
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
Ctttdtdtta tta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
n
tanse sec
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta nsec|lnse
ta n
ta nsec sec
22
令 Ctttdt
t
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns c
ta n
ta ns e c s e c
22
令下页积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表当 x<?a时,
Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
2222
令
12222 ||ln||ln CaxxCaxx
(C1?C?2lna)?
Caxxax dx ||ln 2222?
综合起来有
Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
2222
令 Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
222
令 Cauu
au
du
x
dx ux
||ln 22
2222
令
12222 ||ln||ln CaxxCaxx
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
例 21
例 23 求?
22 ax
dx ( a > 0 )?
解 当 x>a时,
Ctttd tdtta tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令
(C1?C?lna)?
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
Ctttdtdtta tta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
n
tanse sec
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta nsec|lnse
ta n
ta nsec sec
22
令 Ctttdt
t
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns c
ta n
ta ns e c s e c
22
令积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
补充积分公式结束
Cxx dx |c os|lnt a n,?
Cxx dx |s i n|lnc ot,?
Cxxx d x |t a ns e c|lns e c,?
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c,
Caxadxxa a r c ta n11 22,?
Cax axadxax ||ln211 22,
Caxdx
xa
a r c s i n1
22,?
Caxx
ax
dx
)l n ( 22
22,
Caxx
ax
dx
||ln 22
22?
积分表
定理 1(换元积分公式 )
设 f(u)具有原函数,且 u?j(x)可导,则有换元公式
)(])([)()]([ xuduufdxxxf jjj
设 f(u)的原函数为 F(u),则
CuFduuf )()(?
又因为
CxFxdFdxxxf )]([)]([)()]([ jjjj
证所以
F?[j(x)]j?(x)dxdF[j(x)]?f[j(x)]j?(x)dx,
CxFxdFdxxxf )]([)]([)()]([ jjj CxFxdxxxf )]([)]([)()]([ jjjj
)( )( ])([])([ xuxu duufCuF jj )( )( ])([])([ xuxu duufCuF jj
上页 下页 铃结束返回首页积分表 下页一、第一类换元法
定理 1(换元积分公式 )
设 f(u)具有原函数,且 u?j(x)可导,则有换元公式
)(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj
CxFCuF xu )]([])([ )( jj?
设 f(u)具有原函数 F(u),则
换元积分过程
)(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj )(])([)()]([)()]([ xuduufxdxfdxxxf jjjjj
CxFCuF xu )]([])([ )( jj?
)(])([)()]([ xuduufdxxxf jjj
上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c o s2 xxddxxxx d x
例 1
Cuu du s inc os? s in 2 x? C?
例 2 )23(23 121)23(23 12123 1 xdxdxxxdxx
例 2
Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21?
例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222
例 3
CeCe xu 2?
例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c s2 xxddxxxx d x 例 1 )2(2c o s)2(2c o s2c o s2 xxddxxxx d x
Cuu du s inc os?s in 2 x?C? Cuu du s inc os? s in 2 x? C?
例 2 )23(23 121)23(23 1123 1 xdxdxxxdxx 例 2 )23(23 121)23(23 12123 1 xdxdxxxdxx
Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21? Cudxu ||ln21121 Cx |23|ln21?
例 3 duexdedxxedxxe uxxx )()(2 22 222 例 3 xddxxedxxe xxx )()(2 22 222 例 3 duexdedxxexe uxxx )()(2 22 222
CeCe xu 2?
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxdxxx
例 5, xdxdxxxxdx c osc os1c oss inta n
例 4
Cuduu ||ln1ln|c os x|?C?
例 5
CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121?
Cxx dx |c os|lnt a n,Cxx dx |s i n|lnc ot?
积分公式：
例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxxx 例 4,)1(121)1(1211 22222 xdxdxxxdxxx
CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121? CxCuduu 2
32
2
3
2
1
)1(313121?
例 5, xdxdxxxx d x c o sc o s1c o ss inta n 例 5, xdxdxxxx x c o sc o s1c ssta n
Cuduu ||ln1 ln |c o s x |? C? Cuu |ln1 ln | c o s x |? C?
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 6
例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 22222 )(1
11
)(1
111
Caxa a r c ta n1?
积分公式：
例 7 当 a?0时,
dx
a
xa
dx
xa 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
Caxadxxa a r c ta n11 22,Caxdx
xa
a r c s i n1 22?
例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 2222 )(1
11
)(1
111 例 6,
a
xd
a
xadx
a
xadxxa 22222 )(1
11
)(1
111
dx
a
xa
dx
a 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
dx
a
xa
dx
xa 222 )(1
111 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
a
xaxa 2)(1
11 C
a
x
a
xd
a
x
a r c s in
)(1
1
2
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 8
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 9 dxaxaxadxax )11(211 22
]11[21 dxaxdxaxa
])(1)(1[2 1 axdaxaxdaxa
Caxaxa |]|ln||[ l n21
Cax axa ||ln21?
Cax axadxax ||ln211 22?
例 9 dxaxaxadxax )11(212
积分公式：
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj CxFCuFduufxdxfdxxxf )]([)()()()]([)()]([ jjjjj
例 9
例 7 Caxaaxdaxadxax sh chch?
例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21(
Cx |ln21|ln21?
例 11 Cexdexdedxxe xxxx 3333 323322?
例 10
例 11
例 7 Caxaaxdaxadxax sh chch? 例 Caxaaxdadxax sh chch?
例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21( 例 10 xxdxxdxx dx ln21 )ln21(21ln2lnln21(
例 1 1 Cexdexdedxxe xxxx 333 323322? 例 1 1 Cexdexdedxxe xxxx 3333 323? 例 1 1 Cexdxddxxe xxxx 3333 323322?
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表含三角函数的积分,
例 12
例 13
例 12 xdxxxdx s ins ins in 23 xdx c o s)c o s1( 2
xxdxd c o sc o sc o s 2 Cxx 3c o s31c o s?
例 13 xxdxx dxx s inc oss inc oss in 4252
xdxx s i n)s i n1(s i n 222
xdxxx s i n)s i ns i n2( s i n 642
Cxxx 753 s i n71s i n52s i n31
例 12 x dxxx dx s ins ins in 23 xdx c o s)c o s1( 2 例 12 x dxxx dx s ins ins in 23 xdx c o s)o s1( 2
xxdxd c o sc o sc o s 2 Cxx 3c o s31c o s?
例 13 xxdxx dxx s inc oss ic oss in 4252
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 14
例 15
例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s2 xd xdxdxxxd x
Cxxxxddx 2s in412122c o s4121?
例 15 dxxx d x 224 )( c o sc o s dxx 2)]2c o s1(21[
dxxx )2c o s2c o s21(41 2
dxxx )4c o s212c o s223(41
Cxxx )4s i n812s i n23(41
Cxxx 4s i n3212s i n4183?
例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s 2 x d xdxdxxx d x 例 14 )2c o s(212 2c o s1c o s 2 x d xdxdxxx d x
Cxxxxddx 2s in412122c o s4121?
例 15 dxxx d x 224 )( c o sc o s dxx 2)]2c o s1(21[ 例 15 dxxx d x 224 )( c sc o s dxx 2)]2c o s1(21[
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 17 dx
x
xdx
s in
1c s c
2
c os
2
tan
2
2
c os
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 16 dxxxx d xx )5c o s( c o s212c o s3c o s
例 16
例 17
Cxx 5s i n101s i n21?
CxxCx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
ta n|ln
2
ta n
2
ta n
例 16 dxxxx d xx )5c o s( o s212c o s3c o s
例 17 dx
x
x d x
s in
1c s c
2
c o s
2
ta n
2
2
c o s
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 17 dx
x
x d x
s in
1c s c
2
c o s
2
t a n
2
2
c o s
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
xx
例 17 dx
x
x d x
s in
1c
2
c o s
2
t a n
2
c o
2
s in2
1
2 xx
xd
dx
x
CxxCx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
t a n|ln
2
t a n
2
t a n
Cxxx
x
xd
|c o tc s c|ln|
2
t a n|ln
2
t a n
2
t a n
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c?
积分公式：
下页上页 下页 铃结束返回首页积分表例 18
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c?
例 18 dxxxdx )2c sc (sec?
Cxx |)2 c o t()2 c s c (|ln
ln|sec x?tan x|?C?
例 18 dxxx d x )2c s c (e c?
Cxxx d x |t a ns e c|lns e c?
积分公式：
首页上页 下页 铃结束返回首页积分表二、第二类换元法
定理 2
设 x?j(t)是单调的、可导的函数,并且 j?(t)?0?
又设 f [j(t)]j?(t)具有原函数 F(t),则有换元公式其中 t?j?1(x)是 x?j(t)的反函数?
这是因为,由复合函数和反函数求导法则,?
)()]([1)()]([)(})]([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttFxF jjjj?
CxFtFdtttfdxxf )]([)()()]([)( 1jjj?
下页
))]([1)()]([)(})]([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttFxF jjjj? )()]([1)()]([)(}([{ 1 xftf
dt
dxttfdx
dttxF jjj? )()]([1)()]([(})]([{ 1 xft
dt
dxttfdx
dttFxF jjj?
上页 下页 铃结束返回首页积分表
常用的变换令 )2 2 ( s i n ttax,则
tatataxa coscossin1 2222,dx?acos tdt?
令 )2 2 ( t a n ttax,则
tatataax secsectan1 2222,dx?asec2tdt?
令 x?ash t,则
tatataax chch1sh 2222,dx?ach tdt?
tatataxa c o sc o ss in1 2222,dx? a o s t d t?
tatataax s e cs e cta n1 2222,dx? a s c 2 t d t?
tatataax chch1sh 2222,dx? a c h t d t?
下页令 )2 0( s e c ttax,则 当 x? a 时,
tatataax tantan1sec 2222,dx?asec t?tan tdt? tatataax t a nt a n1s e c 2222,dx a s e c t?t a n t d t?
tataxa coscossin1 2222,dx?acos tdt?
tatataax tatan1sec 2222,dx?asec t?tan tdt?
ttataax secsectan1 2222,dx?asec2 tdt?
tatataax chch1sh 2222,dx?ach td?
上页 下页 铃结束返回首页积分表
Ca xaaxaaxa 2222 2a r c s i n2
td tatd tatadxxa tax 22s i n22 c o sc o sc o s 令
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 19
例 19 求 dxxa 22 ( a > 0 )?
解
tdtatdtatadxxa tax 22in22 coscoscos 令 td tatd tataxa tax 22s i n2 c o sc o sc o s 令下页
Ctta )2s in4121(2 Cttata c o ss in22 22
Cxaxaxa 222 21a r c s in2?
Cta )2s in4121(2 Cttata c o ss in22 22
dttat d ta 2 2c o s1c o s 222 dttt d ta 2 2c o s1c o s 22
注? 进行变换和逆变换均要根据此图?
积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 20
例 20 求 22 ax dx ( a > 0 )?
解法一
(C1?C?lna)?
Ctttd tdtta ta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
s e c
s e c 2t a n
22
令 Cttd tdt
ta
ta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
s
se tan
2
令 Ctttd tdt
ta
ta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
s e c
s e c 2t n
22
令下页
Ctttdt |tansec|lnsec
Ca axxCa axax 2222 ln)ln (
122 )ln ( Caxx,
Cttt d t |t a ns e c|lns e c
Ca axxCa axax 2222 ln)ln (
积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
1222 )ln (]1)(ln [ CaxxCa
x
a
x
提示：
CxFCtFdtttfdxxf tx )]([)()()]([ )( 1)( jjjj
例 20
例 20 求 22 ax dx ( a > 0 )?
解法二
CaxCtdtdtta ta
ax
dx tax
a r s h
c h
c h sh
22
令
(C1?C?lna)?
taataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 2222,t dtadx ch tataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 22222,tdtadx ch taataax chsh 22222,tdtadx ch
CaxCtdtta ta
ax
dx tax
arsh
c h
c h sh
22
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
a
tax
a r s h
c h
c h sh
2
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
ax
dx tx
a r s h
c h
c h sh
22
令 C
a
xCtdtdt
ta
ta
ax
dx tax
arsh
h
h sh
22
令
1222 )ln (]1)(ln [ CaxxCa
x
a
x
)1ln (a r s h 2 xxx?
下页积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
例 21
例 23 求?
22 ax
dx ( a > 0 )?
解 当 x>a时,
Ctttd tdtta tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令
(C1?C?lna)?
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
Ctttdtdtta tta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
n
tanse sec
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta nsec|lnse
ta n
ta nsec sec
22
令 Ctttdt
t
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns c
ta n
ta ns e c s e c
22
令下页积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表当 x<?a时,
Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
2222
令
12222 ||ln||ln CaxxCaxx
(C1?C?2lna)?
Caxxax dx ||ln 2222?
综合起来有
Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
2222
令 Cauu
au
du
ax
dx ux
||ln 22
222
令 Cauu
au
du
x
dx ux
||ln 22
2222
令
12222 ||ln||ln CaxxCaxx
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
例 21
例 23 求?
22 ax
dx ( a > 0 )?
解 当 x>a时,
Ctttd tdtta tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令
(C1?C?lna)?
122
22 ||ln||ln CaxxC
a
ax
a
x
Ctttdtdtta tta
ax
dx tax
|tansec|lnsec
n
tanse sec
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns e c
ta n
ta ns e c s e c
22
令 Ctttd tdt
ta
tta
ax
dx tax
|ta nsec|lnse
ta n
ta nsec sec
22
令 Ctttdt
t
tta
ax
dx tax
|ta ns e c|lns c
ta n
ta ns e c s e c
22
令积分表上页 下页 铃结束返回首页积分表
补充积分公式结束
Cxx dx |c os|lnt a n,?
Cxx dx |s i n|lnc ot,?
Cxxx d x |t a ns e c|lns e c,?
Cxxx d x |c o tc s c|lnc s c,
Caxadxxa a r c ta n11 22,?
Cax axadxax ||ln211 22,
Caxdx
xa
a r c s i n1
22,?
Caxx
ax
dx
)l n ( 22
22,
Caxx
ax
dx
||ln 22
22?
积分表
