一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式
§ 5.2 微积分基本公式上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设物体从某定点开始作直线运动,在 t时刻物体所经过的路程为 S(t),速度为 v?v(t)?S?(t)(v(t)?0),则在时间间隔 [T1,T2]内物体所经过的路程 S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数 v(t)在区间 [T1,T2]上的定积分等于 v(t)
的原函数 S(t)在区间 [T1,T2]上的增量,
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
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1?
,
即 )()()( 122
1
TSTSdttvTT,
即首页上页 下页 铃结束返回首页二、积分上限的函数及其导数
积分上限的函数设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,x?[a,b],我们称
dxxfxa )(?,或 dttfxa )(?
为积分上限的函数,
定理 1(积分上限函数的导数 )
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()(
在 [a,b]上可导,并且
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例 1 设 f(x)在 [0,)内连续且 f(x)>0.证明函数
x
x
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在 (0,)内为单调增加函数,
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下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 设 f(x)在 [0,)内连续且 f(x)>0.证明函数
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从而 F?(x)>0(x>0),因此 F(x)在 (0,)内为单调增加函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页提示：
例 7 求 2
1
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0
2
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x
,
例 2
解 这是一个零比零型未定式,由罗必达法则
2
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1
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上页 下页 铃结束返回首页定理的重要意义：
一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,
就是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,
如果函数 f ( x ) 在区间 [ a,b ] 上连续,则函数 dxxfx xa )()(
定理 2
首页上页 下页 铃结束返回首页三、牛顿莱布尼茨公式若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
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定理 3(牛顿莱布尼茨公式 )
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证明 设 dttfx xa )()(,则 也 是 f ( x ) 的 原 函数,
证明因为 F(x)和?(x)都是 f(x)的原函数,所以存在常数 C,使
F(x)(x)?C.
由 F(a)(a)?C及?(a)?0,得 C?F(a),F(x)(x)?F(a).
由 F(b)(b)?F(a),得?(b)?F(b)?F(a),即下页上页 下页 铃结束返回首页牛顿莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系,
三、牛顿莱布尼茨公式若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
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定理 3(牛顿莱布尼茨公式 )
为了方便起见,可把 F ( b )? F ( a ) 记成 baxF )]([,于是
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下页上页 下页 铃结束返回首页若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba,
解解例 3
例 1 计算?10 2 dxx,
3
10
3
11
3
1]
3
1[ 331
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例 4
例 2 计算 231 1 xdx,
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2
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下页上页 下页 铃结束返回首页解 这是求由曲线 y?sin x,直线 x?0,x及 x轴所围成的曲边梯形的的面积,
若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 原 函数,则 )()()]([)( aFbFxFdxxf baba,
解例 5
例 3 计算 12 1 dxx,
解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 xdxx,解 2ln2ln1ln|]|[ln1 1212 xdxx,解 2ln2ln1ln|]|[ ln1 1212 xdxx,
例 6 计算正弦曲线 y?sin x在 [0,?]上与 x轴所围成的平面图形的面积,
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下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a5m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？
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当汽车停止时,有
v(t)?v0?at?10?5t.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)?10?5t?0,
汽车刹车时的初速度为解
m / s10m / s3 6 0 01 0 0 036k m /h360v,
下页提示,首先要计算从开始刹车到停车所需的时间 T,然后计算速度 v(t)在时间区间 [0,T]上的定积分,
上页 下页 铃结束返回首页例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a5m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
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当汽车停止时,有
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汽车刹车时的初速度为解
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结束
§ 5.2 微积分基本公式上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设物体从某定点开始作直线运动,在 t时刻物体所经过的路程为 S(t),速度为 v?v(t)?S?(t)(v(t)?0),则在时间间隔 [T1,T2]内物体所经过的路程 S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数 v(t)在区间 [T1,T2]上的定积分等于 v(t)
的原函数 S(t)在区间 [T1,T2]上的增量,
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
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积分上限的函数设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,x?[a,b],我们称
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定理 1(积分上限函数的导数 )
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证明 设 dttfx xa )()(,则 也 是 f ( x ) 的 原 函数,
证明因为 F(x)和?(x)都是 f(x)的原函数,所以存在常数 C,使
F(x)(x)?C.
由 F(a)(a)?C及?(a)?0,得 C?F(a),F(x)(x)?F(a).
由 F(b)(b)?F(a),得?(b)?F(b)?F(a),即下页上页 下页 铃结束返回首页牛顿莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系,
三、牛顿莱布尼茨公式若 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则
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解例 5
例 3 计算 12 1 dxx,
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下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 汽车以每小时 36km速度行驶,到某处需要减速停车,
设汽车以等加速度 a5m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？
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