§ 5.3 定积分的换元法和分部积分法上页 下页 铃结束返回首页一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法上页 下页 铃结束返回首页一、定积分的换元法假设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,函数 x=?(t)满足条件,
(1)?(a)=a,?(?)=b;
(2)?(t)在 [a,?](或 [?,a])上具有连续导数,且其值域不越出 [a,b],则有
dtttfdxxfba )()]([)(a?=
定理证明
定理
—— 换元公式,
下页上页 下页 铃结束返回首页
= 20s i n0 22 c o sc o s
td tatadxxa taxa 令解例 1 计算a dxxa0 22 ( a > 0 )?
例 1
提示：
tataaxa c o ss i n 22222 =?=?,t dtadx c os=? tataaxa c o ss in 22222 =?=?,t dtadx c os=?
== 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
dttat d ta
22
0
2
4
1]2s in
2
1[
2 att
a =?=?
= 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
dttat d ta
22
0
2
4
1]2sin
2
1[
2 att
a =?=?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页
20sin0 2 oscos
tdatadxxa taxa 令 20s i n0 22 c o sc o s
td tatadxxa taxa 令当 x = 0 时 t = 0,当 x = a 时 2?=t?
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算 x d xx s i nc o s 520
例 2
解
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520=
xxdx dx sc o ss inc o s 520520=
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520=
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 ==?=x?
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 ==?=x?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1][ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
6
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
xxdd xx cc o ss inc o s 520520=
或提示：
当 x = 0 时 t = 1,当 2?=x 时 t = 0?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
提示：
换元一定要换积分限,不换元积分限不变?
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 3
例 3 计算0 53 s i ns i n dxxx?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 = dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 =
= 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
= 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
提示：
|c o s|s i n)s i n1(s i ns i ns i n 232353 xxxxxx =?=
在 ]2,0[? 上 | c o s x |= c o s x,在 ],2[ 上 | c o s x |=? c o s x?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页
5
4)
5
2(
5
2]s i n
5
2[]s i n
5
2[
2
2
5
2
0
2
5
==?=
xx? 54)52(52]s in52[]s in52[
2
2
5
2
0
2
5
==?=
xx?
解例 3
例 3 计算0 53 s i ns i n dxxx?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 = dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 =
= 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
= 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示：
解=?
=? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解例 4
例 4 计算 dxxx40 12 2?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 ==?= tt?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 ==?= tt?
2
12?= tx,dx = td t; 当 x = 0 时 t= 1,当 x = 4 时 t= 3?
2
12?= tx,dx = td t ; 当 x 0 时 t = 1,当 x = 4 时 t = 3?
解=?
3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解=
=? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解=?
=? 3
1
212
0
)3(21
2
12
2 dtttd tdx
x
x tx令
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页
=?== aaa dxxfdxxfxfdxxfxf 000 )(2)]()([)]()([?
证明例 5 证明,若 f(x)在 [?a,a]上连续且为偶函数,则
=? aa a dxxfdxxf 0 )(2)(?
证明 因为 dxxfdxxfdxxf aaa a )()()( 00=,
而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
所以当 f(x)为偶函数时,有
=? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfxf 0000 )()()( ) 令,而 =?==? aaatx dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxf 0000 )()() 令,
讨论：
若 f ( x ) 在 [? a,a ] 上连续且为奇函数,问 =a a dxxf )(？
下页
=?== aaa dxxfdxxfxfdxxfxf 000 )(2)]()([)]()([ =?== aaa dxxfdxxfxfxfxf 000 )(2)]()([)]()([?
上页 下页 铃结束返回首页证明例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
( 1 ) = 2020 )( c o s)( s i n
dxxfdxxf ;
证明 ( 1 ) 令 tx?= 2?,则
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0=
=?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
dxxfdttf?
dttfxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0=
=?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
dxxfdttf?
下页上页 下页 铃结束返回首页
(2)令 x=t?因为例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
( 1 ) = 2020 )( c o s)( s i n
dxxfdxxf ;
证明
= 00 )][ s in ()()( s in dttftdxxxf
== 00 )( s in)()][ s i n ()( dttftdttft
= 00 )( s i n)( s i n dtttfdttf
= 00 )( s i n)( s i n dxxxfdxxf
所以 = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
= 00 )][ s i n ()()( s i n dttftdxxxf
== 00 )( s in)()][ s in ()( dttftdttft
下页上页 下页 铃结束返回首页提示：
解 设 x?2=t,则
==? 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2=?=
ee
t t?
=? 20012141 c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t==? 200 12 141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2=?=
ee
t t?
例 7
例 7 设函数
<<
=
01 c o s1 1
0
)(
2
xx
xxe
xf
x
,计算4
1
)2( dxxf
当 x=1时 t=?1,当 x=4时 t=2?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、定积分的分部积分法设函数 u(x),v(x)在区间 [a,b]上具有连续导数?
分部积分过程：
由 (uv)?=u?v?uv?,
得 uv?=(uv)u?v,
等式两端在区间 [a,b]上积分得
v d xuuvdxvu bababa= ][,或 v d uuvu d v bababa= ][? v d xuuvdxvu bababa= ][,或 v d uuvu d v bababa= ][?
这就是定积分的分部积分公式?
][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
下页上页 下页 铃结束返回首页
][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
分部积分过程：
解例 8
例 1 计算 x d xa r c s in2
1
0
解 x d xa r c s in2
1
0? xxdxx a r c s in]a r c s in[
2
1
0
2
1
0=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x?
=
=
12312]1[12 2
1
0
2== x?
解 x d xa r c s i n2
1
0? xxdxx a r c s i n]a r c s i n[
2
1
0
2
1
0=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x?
=
=
12312]1[12 2
1
0
2=?=?x?
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 2 计算?10 dxe x?
例 9
][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
分部积分过程：
解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?=? ttt eedtete?
解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 == 1010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?=? ttt eedtete?
下页上页 下页 铃结束返回首页解
=?20 2 )s i n( s i n)1(
dxxxn nn
例 10
例 1 0 求?= 20 s in? x d xI nn?
解== 20 120 c o ss ins in xxdx d xI nnn
=? 2020 2 s i n)1(s i n)1(
x d xnx d xn nn
nn InIn )1()1( 1=?,
由此得 21= nn InnI?
由此得
= 20 1201 s i nc o s]s i n[ c o s
xxdxx nn
= 20 22 s i nc o s)1(
x d xxn n
解== 20 120 c o ss ins in xxdx d xI nnn
练习 结束
(1)?(a)=a,?(?)=b;
(2)?(t)在 [a,?](或 [?,a])上具有连续导数,且其值域不越出 [a,b],则有
dtttfdxxfba )()]([)(a?=
定理证明
定理
—— 换元公式,
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= 20s i n0 22 c o sc o s
td tatadxxa taxa 令解例 1 计算a dxxa0 22 ( a > 0 )?
例 1
提示：
tataaxa c o ss i n 22222 =?=?,t dtadx c os=? tataaxa c o ss in 22222 =?=?,t dtadx c os=?
== 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
dttat d ta
22
0
2
4
1]2s in
2
1[
2 att
a =?=?
= 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
dttat d ta
22
0
2
4
1]2sin
2
1[
2 att
a =?=?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页
20sin0 2 oscos
tdatadxxa taxa 令 20s i n0 22 c o sc o s
td tatadxxa taxa 令当 x = 0 时 t = 0,当 x = a 时 2?=t?
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算 x d xx s i nc o s 520
例 2
解
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520=
xxdx dx sc o ss inc o s 520520=
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520=
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 ==?=x?
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 ==?=x?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1][ 1
0
61
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
6
1]
6
1[ 1
0
6
0
50
1
5cos ==== tdttdtttx令?
xxdd xx cc o ss inc o s 520520=
或提示：
当 x = 0 时 t = 1,当 2?=x 时 t = 0?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
提示：
换元一定要换积分限,不换元积分限不变?
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 3
例 3 计算0 53 s i ns i n dxxx?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 = dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 =
= 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
= 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
提示：
|c o s|s i n)s i n1(s i ns i ns i n 232353 xxxxxx =?=
在 ]2,0[? 上 | c o s x |= c o s x,在 ],2[ 上 | c o s x |=? c o s x?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页
5
4)
5
2(
5
2]s i n
5
2[]s i n
5
2[
2
2
5
2
0
2
5
==?=
xx? 54)52(52]s in52[]s in52[
2
2
5
2
0
2
5
==?=
xx?
解例 3
例 3 计算0 53 s i ns i n dxxx?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 = dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 =
= 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
= 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示：
解=?
=? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解例 4
例 4 计算 dxxx40 12 2?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 ==?= tt?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 ==?= tt?
2
12?= tx,dx = td t; 当 x = 0 时 t= 1,当 x = 4 时 t= 3?
2
12?= tx,dx = td t ; 当 x 0 时 t = 1,当 x = 4 时 t = 3?
解=?
3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解=
=? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解=?
=? 3
1
212
0
)3(21
2
12
2 dtttd tdx
x
x tx令
dtttfdxxf txba )()]([ )( )(a =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t =? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页
=?== aaa dxxfdxxfxfdxxfxf 000 )(2)]()([)]()([?
证明例 5 证明,若 f(x)在 [?a,a]上连续且为偶函数,则
=? aa a dxxfdxxf 0 )(2)(?
证明 因为 dxxfdxxfdxxf aaa a )()()( 00=,
而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
所以当 f(x)为偶函数时,有
=? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfxf 0000 )()()( ) 令,而 =?==? aaatx dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而=?==? aaatxa dxxfdttfdttfdxf 0000 )()() 令,
讨论：
若 f ( x ) 在 [? a,a ] 上连续且为奇函数,问 =a a dxxf )(？
下页
=?== aaa dxxfdxxfxfdxxfxf 000 )(2)]()([)]()([ =?== aaa dxxfdxxfxfxfxf 000 )(2)]()([)]()([?
上页 下页 铃结束返回首页证明例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
( 1 ) = 2020 )( c o s)( s i n
dxxfdxxf ;
证明 ( 1 ) 令 tx?= 2?,则
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0=
=?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
dxxfdttf?
dttfxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0=
=?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
dxxfdttf?
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(2)令 x=t?因为例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
( 1 ) = 2020 )( c o s)( s i n
dxxfdxxf ;
证明
= 00 )][ s in ()()( s in dttftdxxxf
== 00 )( s in)()][ s i n ()( dttftdttft
= 00 )( s i n)( s i n dtttfdttf
= 00 )( s i n)( s i n dxxxfdxxf
所以 = 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf?
= 00 )][ s i n ()()( s i n dttftdxxxf
== 00 )( s in)()][ s in ()( dttftdttft
下页上页 下页 铃结束返回首页提示：
解 设 x?2=t,则
==? 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2=?=
ee
t t?
=? 20012141 c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t==? 200 12 141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2=?=
ee
t t?
例 7
例 7 设函数
<<
=
01 c o s1 1
0
)(
2
xx
xxe
xf
x
,计算4
1
)2( dxxf
当 x=1时 t=?1,当 x=4时 t=2?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、定积分的分部积分法设函数 u(x),v(x)在区间 [a,b]上具有连续导数?
分部积分过程：
由 (uv)?=u?v?uv?,
得 uv?=(uv)u?v,
等式两端在区间 [a,b]上积分得
v d xuuvdxvu bababa= ][,或 v d uuvu d v bababa= ][? v d xuuvdxvu bababa= ][,或 v d uuvu d v bababa= ][?
这就是定积分的分部积分公式?
][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
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][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
分部积分过程：
解例 8
例 1 计算 x d xa r c s in2
1
0
解 x d xa r c s in2
1
0? xxdxx a r c s in]a r c s in[
2
1
0
2
1
0=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x?
=
=
12312]1[12 2
1
0
2== x?
解 x d xa r c s i n2
1
0? xxdxx a r c s i n]a r c s i n[
2
1
0
2
1
0=
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1
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0 xdxdxx
x?
=
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12312]1[12 2
1
0
2=?=?x?
下页上页 下页 铃结束返回首页解例 2 计算?10 dxe x?
例 9
][][==?== v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa?
分部积分过程：
解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?=? ttt eedtete?
解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 == 1010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?=? ttt eedtete?
下页上页 下页 铃结束返回首页解
=?20 2 )s i n( s i n)1(
dxxxn nn
例 10
例 1 0 求?= 20 s in? x d xI nn?
解== 20 120 c o ss ins in xxdx d xI nnn
=? 2020 2 s i n)1(s i n)1(
x d xnx d xn nn
nn InIn )1()1( 1=?,
由此得 21= nn InnI?
由此得
= 20 1201 s i nc o s]s i n[ c o s
xxdxx nn
= 20 22 s i nc o s)1(
x d xxn n
解== 20 120 c o ss ins in xxdx d xI nnn
练习 结束
