一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系
§ 7.1 向量及其运算四、利用坐标作向量的线性运算上页 下页 铃结束返回首页五、向量的模、方向解、投影上页 下页 铃结束返回首页一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量,
向量有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示向量的方向,
向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
向量的表示法下页上页 下页 铃结束返回首页一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量,
向量
向量可用粗体字母,或加箭头的书写体字母表示,
以 A为起点,B为终点的有向线段所表示的向量记作 AB.→
例如,a,r,v,F 或?a,?r,?v,?F,
向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
向量的表示法下页与起点无关的向量,称为自由向量,
简称向量,
自由向量上页 下页 铃结束返回首页如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是相等的,记为 a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合,
向量的相等下页
>>>
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向量的模向量的大小叫做向量的模,
向量 a,?a,?AB 的模分别记为 | a |,||?a,||?AB,
单位向量模等于 1的向量叫做单位向量,
零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的,
模等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 或?0,
如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是相等的,记为 a=b.
向量的相等下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
a//b//c
零向量认为是与任何向量都平行,
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
共线向量与共面向量下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
零向量认为是与任何向量都平行,
共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
设有 k(k?3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果 k
个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、向量的线性运算设有两个向量 a与 b,平移向量,使 b的起点与 a的终点重合,
则从 a的起点到 b的终点的向量 c称为向量 a与 b的和,记作 a+b,
即 c=a+b.
1.向量的加法
c=a+b
三角形法则 平行四边形法则下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的加法的运算规律
(1)交换律 a+b=b+a;
(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c).
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向量的减法向量 b与 a的差规定为
b-a=b+(-a),
负向量
三角不等式
|a+b|?|a|+|b|,
|a-b|?|a|+|b|,
等号在 b与 a同向或反向时成立,
与向量 a的模相同而方向相反的向量叫做 a的负向量,记为 -a.
下页上页 下页 铃结束返回首页当?=0时,|?a|=0,即?a为零向量,
向量 a与实数?的乘积记作?a,规定?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当?>0时与 a相同,当?<0时与 a相反,
>>>
2.向量与数的乘法当?=-1时,有 (-1)a=-a.当?=1时,有 1a=a;
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(1)结合律?(?a)=?(?a)=()a;
(2)分配律 (?+?)a=?a+?a;
(a+b)=?a+?b.
向量与数的乘积的运算规律
向量的单位化于是 a=|a|ea.
当?=0时,|?a|=0,即?a为零向量,
向量 a与实数?的乘积记作?a,规定?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当?>0时与 a相同,当?<0时与 a相反,
2.向量与数的乘法当?=-1时,有 (-1)a=-a.当?=1时,有 1a=a;
设 a?0,则向量 是与 a同方向的单位向量,记为 ea.
||a
a
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1
形对角线的交点,
例 1 在平行四边形 A B C D 中,设 a=?AB,b=?AD,试用
a 和 b 表 示向量?MA,?MB,?MC,?MD,其中 M 是平行四边
-===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+-=
MA ;
)(21 ba+=-= MAMC,
于是因为 ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= MDMB,
解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以
-===+ MAAMAC 22ba, -=== MAAMAC 22ba,
)(21 ba+=-= MAMC,)(21 ba +=-= MA,
)(21 ba +-=
MA ;
因为 ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )( ba --= MDMB,所以 )(21 ab-=?MD ; )(21 ba-== MDMB,所以 )(21 ab-?MD ; )(21 a== MDMB,所以 )(21 ab=?MD )(21 ba -=-?MDMB,
下页上页 下页 铃结束返回首页设向量 a?0,那么,向量 b平行于 a的充分必要条件是,存在唯一的实数?,使 b=?a.>>>
定理 1(向量平行的充要条件 )
定理证明给定一个点 O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴 Ox.
对于轴上任一点 P,必有唯一的实数 x,使?OP = x i,并 且并且轴上的点 P与实数 x有一一对应的关系,
点 P?实数 x.
实数 x称为轴上点 P的坐标,
数轴与点的坐标首页上页 下页 铃结束返回首页说明：
三、空间直角坐标系
空间直角坐标系
y轴
z轴原点
x轴在空间取定一点 O和三个两两垂直的单位向量 i,j,k,就确定了三条都以 O为原点的两两垂直的数轴,依次记为 x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 ),统称为坐标轴,它们构成一个空间直角坐标系,称为 Oxyz坐标系,
(2)数轴的的正向通常符合右手规则,
(1)通常把 x轴和 y轴配置在水平面上,而 z轴则是铅垂线 ;
下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种 平面称为坐标面,
坐标面三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种 平面称为坐标面,
坐标面三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母 I,II、
III,IV等表示,
下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的坐标分解式
++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
以 OM为对角线,三条坐标轴为棱作长方体,有任给向量 r,对应有点 M,使 r=?OM,
设 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
则 kjir zyxOM ++==?,
下页
++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
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向量的坐标分解式则 kjir zyxOM ++==?,
上式称为向量 r的坐标分解式,
xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
点 M,向量 r与三个有序 x,y,z
之间有一一对应的关系任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
),,( zyxzyxOMM?++== kjir,
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向量的坐标分解式则 kjir zyxOM ++==?,
上式称为向量 r的坐标分解式,
xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
向量 称为点 M关于原点 O的向径,
=OMr
下页上页 下页 铃结束返回首页坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征,例如,
点 M在 yOz面上,则 x=0;
点 M在 zOx面上的点,y=0;
点 M在 xOy面上的点,z=0.
点 M在 x轴上,则 y=z=0;
点 M在 y轴上,有 z=x=0;
点 M在 z轴上的点,有 x=y=0.
点 M为原点,则 x=y=z=0.
坐标轴上及坐标面上点的特征首页上页 下页 铃结束返回首页提示：
四、利用坐标作向量的线性运算下页
a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
a =(?ax)i+(?ay)j+(?az)k.
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
上页 下页 铃结束返回首页四、利用坐标作向量的线性运算例 2 求解以向量为未知元的线性方程组
=-
=-
byx
ayx
23
35,
例 2
其中 a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).
解 如同解二元一次线性方程组,可得
x=2a-3b,y=3a-5b.
以 a,b的坐标表示式代入,即得
x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),
y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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利用坐标判断两个向量的平行设 a=(ax,ay,az)?0,b=(bx,by,bz),因为
b//a? b=?a,
即 b//a?(bx,by,bz)=?(ax,ay,az),
所以 b//a?
下页
z
z
y
y
x
x
a
b
a
b
a
b ==,
四、利用坐标作向量的线性运算设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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) 1,1,1 ( 212121 ++++++= zzyyxx,
从而 )(1 1 ++= OBOAOM
因此 )( -=- OMOBOAOM?,
解 由于 -= OAOMAM, -= OMOBMB,
解例 3 已知两点 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2)以及实数-1,
在 直 线 AB 上 求 一 点 M,使 = MBAM?,
这就是点 M的坐标,
由于解 由于 -= OAOMAM, -= OMOBMB,
首页上页 下页 铃结束返回首页五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式设 向 量 r = ( x,y,z ),作 r=?OM,则
++== OROQOPOMr,
按勾股定理可得
222 |||||||||| OROQOPOM ++==r,
由 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
222|| zyx ++=r,
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1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
-= OAOBAB
=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是点 A与点 B间的距离为
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
下页五、向量的模、方向角、投影上页 下页 铃结束返回首页例 4 求证以 M1(4,3,1),M2 (7,1,2),M3 (5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
所以 |M2M3|=|M1M3|,即 DM1M2M3为等腰三角形,
|M1M3|2 =6,=(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2
=6,=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2|M2M3|2
=14,=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2|M1M2|2解 因为下页五、向量的模、方向角、投影上页 下页 铃结束返回首页解之得 914=z,于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
例 5 在 z轴上求与点 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)等距离的点,
1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2
设所求的点为 M(0,0,z),解 依题意有 |MA|2=|MB|2,
=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
下页五、向量的模、方向角、投影解之得 914=z,于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
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14)2(13|| 222 =-++=?AB,
例 6 已知两点 A(4,0,5)和 B(7,1,3),求与 方向相同的单位向量 e.
AB
解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,
解解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,解 因 为 )2,1,3()5 0,4()3,,7( -=-=?AB,
所 以 )2,1,3(
14
1
||
-==?
AB
ABe,
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2.方向角与方向余弦
两个向量的夹角下页当把两个非零向量 a与 b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过?的夹角称为向量 a与 b的夹角,记作 (a,^b)或
(b,^a).
如果向量 a与 b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在 0与?之间任意取值,
类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角,
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向量的方向角和方向余弦下页非零向量 r与三条坐标轴的夹角?,?,?称为向量 r的方向角,
cos?,cos?,cos? 称为向量 r的方向余弦,
||c o s r
x=?,
||c o s r
y=?,
||c o s r
z=?,
设 r=(x,y,z),则
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s,
显然以向量 r的方向余弦为坐标的向量就是与 r同方向的单位向量 er.
cos2?+cos2?+cos2?=1.
因此上页 下页 铃结束返回首页
3
2 =,
3
=,
4
3 =,
2
1c o s -=?,
2
1c o s =?,
2
2c o s -=? ;
下页解
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s,
例 3 设已知两点 )2,2,2( A ) 和 B (1,3,0),计算向量例 7
AB 的模、方向余弦和方向角,
解 )2,1,1()20,23,21( --=---=?AB ;
2)2(1)1(|| 222 =-++-=?AB ;
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3.向量在轴上的投影设点 O及单位向量 e确定 u轴,
任 给 向 量 r,作 r=?OM,
再过点 M作与 u轴垂直的平面交 u轴于点 M?,则向量
MO 称为向量 r 在 u 轴上的分向量,
设 e?=MO,则数? 称为向量 r 在 u 轴上的投影,记作
Prjur或 (r)u.
下页上页 下页 铃结束返回首页向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条坐标轴上的投影,即
ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua).
性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
性质 1
(a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中?为向量与 u轴的夹角 ;
投影的性质
3.向量在轴上的投影结束
§ 7.1 向量及其运算四、利用坐标作向量的线性运算上页 下页 铃结束返回首页五、向量的模、方向解、投影上页 下页 铃结束返回首页一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量,
向量有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示向量的方向,
向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
向量的表示法下页上页 下页 铃结束返回首页一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量,
向量
向量可用粗体字母,或加箭头的书写体字母表示,
以 A为起点,B为终点的有向线段所表示的向量记作 AB.→
例如,a,r,v,F 或?a,?r,?v,?F,
向量用一条有方向的线段 (称为有向线段 )表示,
向量的表示法下页与起点无关的向量,称为自由向量,
简称向量,
自由向量上页 下页 铃结束返回首页如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是相等的,记为 a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合,
向量的相等下页
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向量的模向量的大小叫做向量的模,
向量 a,?a,?AB 的模分别记为 | a |,||?a,||?AB,
单位向量模等于 1的向量叫做单位向量,
零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的,
模等于 0 的向量叫做零向量,记作 0 或?0,
如果向量 a和 b的大小相等,且方向相同,则说向量 a和 b是相等的,记为 a=b.
向量的相等下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
a//b//c
零向量认为是与任何向量都平行,
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
共线向量与共面向量下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行,
向量 a与 b平行,记作 a//b.
零向量认为是与任何向量都平行,
共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上,因此,两向量平行又称两向量共线,
设有 k(k?3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果 k
个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面,
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则从 a的起点到 b的终点的向量 c称为向量 a与 b的和,记作 a+b,
即 c=a+b.
1.向量的加法
c=a+b
三角形法则 平行四边形法则下页上页 下页 铃结束返回首页
向量的加法的运算规律
(1)交换律 a+b=b+a;
(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c).
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向量的减法向量 b与 a的差规定为
b-a=b+(-a),
负向量
三角不等式
|a+b|?|a|+|b|,
|a-b|?|a|+|b|,
等号在 b与 a同向或反向时成立,
与向量 a的模相同而方向相反的向量叫做 a的负向量,记为 -a.
下页上页 下页 铃结束返回首页当?=0时,|?a|=0,即?a为零向量,
向量 a与实数?的乘积记作?a,规定?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当?>0时与 a相同,当?<0时与 a相反,
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2.向量与数的乘法当?=-1时,有 (-1)a=-a.当?=1时,有 1a=a;
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(1)结合律?(?a)=?(?a)=()a;
(2)分配律 (?+?)a=?a+?a;
(a+b)=?a+?b.
向量与数的乘积的运算规律
向量的单位化于是 a=|a|ea.
当?=0时,|?a|=0,即?a为零向量,
向量 a与实数?的乘积记作?a,规定?a是一个向量,它的模
|?a|=|?||a|,它的方向当?>0时与 a相同,当?<0时与 a相反,
2.向量与数的乘法当?=-1时,有 (-1)a=-a.当?=1时,有 1a=a;
设 a?0,则向量 是与 a同方向的单位向量,记为 ea.
||a
a
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形对角线的交点,
例 1 在平行四边形 A B C D 中,设 a=?AB,b=?AD,试用
a 和 b 表 示向量?MA,?MB,?MC,?MD,其中 M 是平行四边
-===+ MAAMAC 22ba,
)(21 ba+-=
MA ;
)(21 ba+=-= MAMC,
于是因为 ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )(21 ba -=-= MDMB,
解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以
-===+ MAAMAC 22ba, -=== MAAMAC 22ba,
)(21 ba+=-= MAMC,)(21 ba +=-= MA,
)(21 ba +-=
MA ;
因为 ==+- MDBD 2ba,
所以 )(21 ab -=?MD ; )( ba --= MDMB,所以 )(21 ab-=?MD ; )(21 ba-== MDMB,所以 )(21 ab-?MD ; )(21 a== MDMB,所以 )(21 ab=?MD )(21 ba -=-?MDMB,
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定理 1(向量平行的充要条件 )
定理证明给定一个点 O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴 Ox.
对于轴上任一点 P,必有唯一的实数 x,使?OP = x i,并 且并且轴上的点 P与实数 x有一一对应的关系,
点 P?实数 x.
实数 x称为轴上点 P的坐标,
数轴与点的坐标首页上页 下页 铃结束返回首页说明：
三、空间直角坐标系
空间直角坐标系
y轴
z轴原点
x轴在空间取定一点 O和三个两两垂直的单位向量 i,j,k,就确定了三条都以 O为原点的两两垂直的数轴,依次记为 x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 ),统称为坐标轴,它们构成一个空间直角坐标系,称为 Oxyz坐标系,
(2)数轴的的正向通常符合右手规则,
(1)通常把 x轴和 y轴配置在水平面上,而 z轴则是铅垂线 ;
下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种 平面称为坐标面,
坐标面三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种 平面称为坐标面,
坐标面三个坐标面分别称为 xOy面,yOz面和 zOx面,
卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母 I,II、
III,IV等表示,
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向量的坐标分解式
++=++== OROQOPNMPNOPOMr,
以 OM为对角线,三条坐标轴为棱作长方体,有任给向量 r,对应有点 M,使 r=?OM,
设 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
则 kjir zyxOM ++==?,
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上式称为向量 r的坐标分解式,
xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
点 M,向量 r与三个有序 x,y,z
之间有一一对应的关系任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
),,( zyxzyxOMM?++== kjir,
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向量的坐标分解式则 kjir zyxOM ++==?,
上式称为向量 r的坐标分解式,
xi,yj,zk称为向量 r沿三个坐标轴方向的分向量,
任给向量 r,存在点 M及 xi,yj,zk,使
有序数 x,y,z称为向量 r的坐标,
记作 r=(x,y,z);
有序数 x,y,z也称为点 M的坐标,
记为 M(x,y,z).
向量 称为点 M关于原点 O的向径,
=OMr
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点 M在 yOz面上,则 x=0;
点 M在 zOx面上的点,y=0;
点 M在 xOy面上的点,z=0.
点 M在 x轴上,则 y=z=0;
点 M在 y轴上,有 z=x=0;
点 M在 z轴上的点,有 x=y=0.
点 M为原点,则 x=y=z=0.
坐标轴上及坐标面上点的特征首页上页 下页 铃结束返回首页提示：
四、利用坐标作向量的线性运算下页
a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
a =(?ax)i+(?ay)j+(?az)k.
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
上页 下页 铃结束返回首页四、利用坐标作向量的线性运算例 2 求解以向量为未知元的线性方程组
=-
=-
byx
ayx
23
35,
例 2
其中 a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).
解 如同解二元一次线性方程组,可得
x=2a-3b,y=3a-5b.
以 a,b的坐标表示式代入,即得
x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),
y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).
设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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利用坐标判断两个向量的平行设 a=(ax,ay,az)?0,b=(bx,by,bz),因为
b//a? b=?a,
即 b//a?(bx,by,bz)=?(ax,ay,az),
所以 b//a?
下页
z
z
y
y
x
x
a
b
a
b
a
b ==,
四、利用坐标作向量的线性运算设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a=(?ax,?ay,?az),a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz),
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) 1,1,1 ( 212121 ++++++= zzyyxx,
从而 )(1 1 ++= OBOAOM
因此 )( -=- OMOBOAOM?,
解 由于 -= OAOMAM, -= OMOBMB,
解例 3 已知两点 A(x1,y1,z1)和 B(x2,y2,z2)以及实数-1,
在 直 线 AB 上 求 一 点 M,使 = MBAM?,
这就是点 M的坐标,
由于解 由于 -= OAOMAM, -= OMOBMB,
首页上页 下页 铃结束返回首页五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式设 向 量 r = ( x,y,z ),作 r=?OM,则
++== OROQOPOMr,
按勾股定理可得
222 |||||||||| OROQOPOM ++==r,
由 ixOP =?,jyOQ =?,kzOR =?,
有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,
于是得向量模的坐标表示式
222|| zyx ++=r,
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1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
-= OAOBAB
=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是点 A与点 B间的距离为
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
下页五、向量的模、方向角、投影上页 下页 铃结束返回首页例 4 求证以 M1(4,3,1),M2 (7,1,2),M3 (5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
所以 |M2M3|=|M1M3|,即 DM1M2M3为等腰三角形,
|M1M3|2 =6,=(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2
=6,=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2|M2M3|2
=14,=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2|M1M2|2解 因为下页五、向量的模、方向角、投影上页 下页 铃结束返回首页解之得 914=z,于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
例 5 在 z轴上求与点 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)等距离的点,
1.向量的模与两点间的距离公式设向量 r=(x,y,z),作,则
222|| zyx ++=r,
设有点 A(x1,y1,z1)和点 B(x2,y2,z2),则
212212212 )()()(|||| zzyyxxABAB -+-+-==?,
即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2
设所求的点为 M(0,0,z),解 依题意有 |MA|2=|MB|2,
=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
下页五、向量的模、方向角、投影解之得 914=z,于 是,所求的点为 )914,0,0(M,
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14)2(13|| 222 =-++=?AB,
例 6 已知两点 A(4,0,5)和 B(7,1,3),求与 方向相同的单位向量 e.
AB
解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,
解解 因 为 )2,1,3()5,0,4()3,1,7( -=-=?AB,解 因 为 )2,1,3()5 0,4()3,,7( -=-=?AB,
所 以 )2,1,3(
14
1
||
-==?
AB
ABe,
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2.方向角与方向余弦
两个向量的夹角下页当把两个非零向量 a与 b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过?的夹角称为向量 a与 b的夹角,记作 (a,^b)或
(b,^a).
如果向量 a与 b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在 0与?之间任意取值,
类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角,
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向量的方向角和方向余弦下页非零向量 r与三条坐标轴的夹角?,?,?称为向量 r的方向角,
cos?,cos?,cos? 称为向量 r的方向余弦,
||c o s r
x=?,
||c o s r
y=?,
||c o s r
z=?,
设 r=(x,y,z),则
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s,
显然以向量 r的方向余弦为坐标的向量就是与 r同方向的单位向量 er.
cos2?+cos2?+cos2?=1.
因此上页 下页 铃结束返回首页
3
2 =,
3
=,
4
3 =,
2
1c o s -=?,
2
1c o s =?,
2
2c o s -=? ;
下页解
rerr == ||
1)c o s,c o s,( c o s,
例 3 设已知两点 )2,2,2( A ) 和 B (1,3,0),计算向量例 7
AB 的模、方向余弦和方向角,
解 )2,1,1()20,23,21( --=---=?AB ;
2)2(1)1(|| 222 =-++-=?AB ;
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3.向量在轴上的投影设点 O及单位向量 e确定 u轴,
任 给 向 量 r,作 r=?OM,
再过点 M作与 u轴垂直的平面交 u轴于点 M?,则向量
MO 称为向量 r 在 u 轴上的分向量,
设 e?=MO,则数? 称为向量 r 在 u 轴上的投影,记作
Prjur或 (r)u.
下页上页 下页 铃结束返回首页向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 ax,ay,az就是 a在三条坐标轴上的投影,即
ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.
性质 3
(?a)u=?(a)u (即 Prju(?a)=?Prjua).
性质 2
(a+b)u=(a)u+(b)u(即 Prju(a+b)=Prjua+Prjub);
性质 1
(a)u=|a|cos? (即 Prjua=|a|cos?),其中?为向量与 u轴的夹角 ;
投影的性质
3.向量在轴上的投影结束
