二、两向量的向量积一、两向量的数量积
§ 7.2 数量积 向量积上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、两向量的数量积设一物体在常力 F作用下沿直线从点 M1移动到点 M2,以 s
表示位移,
数量积的物理背景由物理学知道,力 F所作的功为
W?|F||s|cos?,
其中?为 F与 s的夹角,
下页上页 下页 铃结束返回首页对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义根据数量积,力 F所作的功 W就是力 F与位移 s的数量积,
即 W?F?s.
下页一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页
数量积与投影由于 |b|cos|b|cos(a,^ b),
下页当 a?0时,|b|cos(a,^ b)是向量 b在向量 a
的方向上的投影,于是
a·b?|a|Prjab,
同理,当 b?0时,a·b?|b|Prjba,
所以,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页
数量积的性质
(1) a·a?|a|2.
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a·b?0,则 a?b;
反之,如果 a?b,则 a·b?0.
如果认为零向量与任何向量都垂直,则
a?b?a·b?0,
下页对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页
数量积的运算律
(1)交换律,a·b?b·a;
(2)分配律,(a?b)·c?a·c?b·c.
下页
>>>
(3)(?a)·b?a·(?b)(a·b),
(?a)·(?b)(a·b),
其中?,?为数,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页例 1 试用向量证明三角形的余弦定理,
要证 c2?a2?b2-2abcos?,
则有 c?a-b,
从而 |c|2?c?c?(a-b)(a-b)
a?a?b?b-2a?b
|a|2?|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即 c2?a2?b2-2abcos?.
证明 在 DABC中,∠ BCA,|CB|?a,|CA|?b,|AB|?c,
下页记?CB? a,?CA? b,?AB? c,则有上页 下页 铃结束返回首页提示：
数量积的坐标表示下页
a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,
a·b?(axi?ay j?azk)·(bxi?by j?bzk)
axbxi·i?axbyi·j?axbzi·k
aybx j·i?ayby j·j?aybz j·k
azbxk·i?azbyk·j?azbzk·k
axbx?ayby?azbz,
a·b?axbx?ayby?azbz,设 a?(ax,ay,az ),b?(bx,by,bz ),则上页 下页 铃结束返回首页 下页
数量积的坐标表示
a·b?axbx?ayby?azbz,设 a?(ax,ay,az ),a?(bx,by,bz ),则设(a,^ b),则当 a?0,b?0时,有
向量夹角余弦的坐标表示提示,
a ·b?|a||b|cos?,
222222||||
c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba ba?,
222222||||
c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba ba?,
上页 下页 铃结束返回首页例 2 已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和 B(2,1,2),求?AMB.
从 M到 A的向量记为 a,从 M到 B的向量记为 b,则?AMB
就是向量 a与 b的夹角,
下页
2011|| 222a,
2101|| 222b,
所以 2122 1||||c o s ba baA M B,
从而 3 A M B,
因为 a?b?1?1?1?0?0?1?1,
b?(2,1,2)-(1,1,1)
a?(2,2,1)-(1,1,1)?(1,1,0),
(1,0,1),
解上页 下页 铃结束返回首页从而,所求 液体的质量为
PAv·n.
体积为
A|v|cosAv·n.
这柱体的高为
|v|cos?,
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、
斜高为 |v|的斜柱体,
例 3 在流速为 (常向量 )v的 液体内有一个平面区域 A,n为垂直于 A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向 n所指一方的液体的质量 P(液体的密度为?).
首页上页 下页 铃结束返回首页二、两向量的向量积下页背景知识设向量 c是由两个向量 a与 b按下列方式定出,
c的模 |c|?|a||b|sin(a,^ b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则从 a转向 b来确定,
向量积的定义右手规则那么,向量 c叫做向量 a与 b的向量积,记作 a?b,即
c?a?b,
上页 下页 铃结束返回首页
向量积的定义二、两向量的向量积下页向量 a与 b的向量积 c?a?b:
|c|?|a||b|sin(a,^b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则从 a转向 b来确定,
向量积的性质
(1) a?a?0;
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a?b?0,则 a//b;
反之,如果 a//b,则 a?b?0.
如果认为零向量与任何向量都平行,则
a//b?a?b?0,
上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中
i?i?j?j?k?k
i?j j?k k?i
(1) 交换律,a?b?-b?a;
(2) 分配律,(a?b)?c?a?c?b?c;
(3) (?a)?b?a?(?b)(a?b)(?为数 ),
向量积的运算律讨论：
提示：
i?i?j?j?k?k?0,
i?j?k,j?k?i,k?i?j.
下页上页 下页 铃结束返回首页
向量积的坐标表示设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则提示：
a?b?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
下页
azbxk?i?azbyk?j,
a?b?(axi?ay j?az k)?(bxi?by j?bzk)
axbyi?j?axbzi?k?aybx j?i?aybz j?k
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
i?i?j?j?k?k?0,i?j?k,j?k?i,k?i?j.
上页 下页 铃结束返回首页
aybzi?azbx j?axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
利用三阶行列式符号,上式可写成
记忆方法
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k.
下页
向量积的坐标表示设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
a?b?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
上页 下页 铃结束返回首页例 4 设 a?(2,1,-1),b?(1,-1,2),计算 a?b,
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
解?2i-j-2k-k-4j-i?i-5j-3k,
下页
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
211
112
-
-
kji
ba
上页 下页 铃结束返回首页由于?AB? ( 2,2,2),?AC? ( 1,2,4),
解 三角形 ABC的面积例 5 已知三角形 ABC的三个顶点分别是 A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三角形 ABC的面积,
下页因此
421
222
kji
ACAB? 4 i- 6 j? 2 k,
||
2
1s i n||||
2
1 ACABAACABS
ABCD,
||
2
1s in||||
2
1 ACABAACABS
ABCD,
由于?AB? ( 2,2,2),?AC? ( 1,2,4),
因此
421
222
kji
ACAB?4i-6j?2k,因此
421
222
kji
ACAB? 4 i- 6 j? 2 k,
于是 142)6(421|264|21 222--?D kjiABCS,于是 142)(421|264|21 222?--?D kjiABCS,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
例 6 设刚体以等角速度?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的线速度,
刚体绕 l轴旋转时,我们可以用在 l轴上的一个向量?表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出,即以右手握住 l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是?的方向,
下页解轴上任取一点 O作向量 r?,并以?表示设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
与 r的夹角,那么
OM
上页 下页 铃结束返回首页设线速度为 v,那么由物理学可知
|v|?|?|a?|?||r|sin? ;
a?|r|sin?,
v垂直于?与 r,且 v的指向是使?,r,v符合右手规则,因此有
vr,
结束例 6 设刚体以等角速度?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的线速度,
解轴上任取一点 O作向量 r?,并以?表示设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
与 r的夹角,那么
OM
§ 7.2 数量积 向量积上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、两向量的数量积设一物体在常力 F作用下沿直线从点 M1移动到点 M2,以 s
表示位移,
数量积的物理背景由物理学知道,力 F所作的功为
W?|F||s|cos?,
其中?为 F与 s的夹角,
下页上页 下页 铃结束返回首页对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义根据数量积,力 F所作的功 W就是力 F与位移 s的数量积,
即 W?F?s.
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数量积与投影由于 |b|cos|b|cos(a,^ b),
下页当 a?0时,|b|cos(a,^ b)是向量 b在向量 a
的方向上的投影,于是
a·b?|a|Prjab,
同理,当 b?0时,a·b?|b|Prjba,
所以,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页
数量积的性质
(1) a·a?|a|2.
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a·b?0,则 a?b;
反之,如果 a?b,则 a·b?0.
如果认为零向量与任何向量都垂直,则
a?b?a·b?0,
下页对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
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数量积的运算律
(1)交换律,a·b?b·a;
(2)分配律,(a?b)·c?a·c?b·c.
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>>>
(3)(?a)·b?a·(?b)(a·b),
(?a)·(?b)(a·b),
其中?,?为数,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
数量积的定义一、两向量的数量积上页 下页 铃结束返回首页例 1 试用向量证明三角形的余弦定理,
要证 c2?a2?b2-2abcos?,
则有 c?a-b,
从而 |c|2?c?c?(a-b)(a-b)
a?a?b?b-2a?b
|a|2?|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即 c2?a2?b2-2abcos?.
证明 在 DABC中,∠ BCA,|CB|?a,|CA|?b,|AB|?c,
下页记?CB? a,?CA? b,?AB? c,则有上页 下页 铃结束返回首页提示：
数量积的坐标表示下页
a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,
a·b?(axi?ay j?azk)·(bxi?by j?bzk)
axbxi·i?axbyi·j?axbzi·k
aybx j·i?ayby j·j?aybz j·k
azbxk·i?azbyk·j?azbzk·k
axbx?ayby?azbz,
a·b?axbx?ayby?azbz,设 a?(ax,ay,az ),b?(bx,by,bz ),则上页 下页 铃结束返回首页 下页
数量积的坐标表示
a·b?axbx?ayby?azbz,设 a?(ax,ay,az ),a?(bx,by,bz ),则设(a,^ b),则当 a?0,b?0时,有
向量夹角余弦的坐标表示提示,
a ·b?|a||b|cos?,
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222222||||
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上页 下页 铃结束返回首页例 2 已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和 B(2,1,2),求?AMB.
从 M到 A的向量记为 a,从 M到 B的向量记为 b,则?AMB
就是向量 a与 b的夹角,
下页
2011|| 222a,
2101|| 222b,
所以 2122 1||||c o s ba baA M B,
从而 3 A M B,
因为 a?b?1?1?1?0?0?1?1,
b?(2,1,2)-(1,1,1)
a?(2,2,1)-(1,1,1)?(1,1,0),
(1,0,1),
解上页 下页 铃结束返回首页从而,所求 液体的质量为
PAv·n.
体积为
A|v|cosAv·n.
这柱体的高为
|v|cos?,
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、
斜高为 |v|的斜柱体,
例 3 在流速为 (常向量 )v的 液体内有一个平面区域 A,n为垂直于 A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向 n所指一方的液体的质量 P(液体的密度为?).
首页上页 下页 铃结束返回首页二、两向量的向量积下页背景知识设向量 c是由两个向量 a与 b按下列方式定出,
c的模 |c|?|a||b|sin(a,^ b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则从 a转向 b来确定,
向量积的定义右手规则那么,向量 c叫做向量 a与 b的向量积,记作 a?b,即
c?a?b,
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向量积的定义二、两向量的向量积下页向量 a与 b的向量积 c?a?b:
|c|?|a||b|sin(a,^b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则从 a转向 b来确定,
向量积的性质
(1) a?a?0;
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a?b?0,则 a//b;
反之,如果 a//b,则 a?b?0.
如果认为零向量与任何向量都平行,则
a//b?a?b?0,
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i?i?j?j?k?k
i?j j?k k?i
(1) 交换律,a?b?-b?a;
(2) 分配律,(a?b)?c?a?c?b?c;
(3) (?a)?b?a?(?b)(a?b)(?为数 ),
向量积的运算律讨论：
提示：
i?i?j?j?k?k?0,
i?j?k,j?k?i,k?i?j.
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向量积的坐标表示设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则提示：
a?b?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
下页
azbxk?i?azbyk?j,
a?b?(axi?ay j?az k)?(bxi?by j?bzk)
axbyi?j?axbzi?k?aybx j?i?aybz j?k
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
i?i?j?j?k?k?0,i?j?k,j?k?i,k?i?j.
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aybzi?azbx j?axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
利用三阶行列式符号,上式可写成
记忆方法
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k.
下页
向量积的坐标表示设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
a?b?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
zyx
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bbb
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设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
解?2i-j-2k-k-4j-i?i-5j-3k,
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解 三角形 ABC的面积例 5 已知三角形 ABC的三个顶点分别是 A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三角形 ABC的面积,
下页因此
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222
kji
ACAB? 4 i- 6 j? 2 k,
||
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2
1 ACABAACABS
ABCD,
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2
1s in||||
2
1 ACABAACABS
ABCD,
由于?AB? ( 2,2,2),?AC? ( 1,2,4),
因此
421
222
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ACAB?4i-6j?2k,因此
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ACAB? 4 i- 6 j? 2 k,
于是 142)6(421|264|21 222--?D kjiABCS,于是 142)(421|264|21 222?--?D kjiABCS,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
例 6 设刚体以等角速度?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的线速度,
刚体绕 l轴旋转时,我们可以用在 l轴上的一个向量?表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出,即以右手握住 l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是?的方向,
下页解轴上任取一点 O作向量 r?,并以?表示设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
与 r的夹角,那么
OM
上页 下页 铃结束返回首页设线速度为 v,那么由物理学可知
|v|?|?|a?|?||r|sin? ;
a?|r|sin?,
v垂直于?与 r,且 v的指向是使?,r,v符合右手规则,因此有
vr,
结束例 6 设刚体以等角速度?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的线速度,
解轴上任取一点 O作向量 r?,并以?表示设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
与 r的夹角,那么
OM
