一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面
§ 7,5 曲面及其方程上页 下页 铃结束返回首页四、二次曲面上页 下页 铃结束返回首页一、曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹,
那么,方程 F(x,y,z)?0就叫做曲面 S的方程,而曲面 S就叫做方程 F(x,y,z)?0的图形,
(1)曲面 S上任一点的坐标都满足方程
F(x,y,z)?0;
(2)不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)?0,
曲面方程的定义如果曲面 S与三元方程
F(x,y,z)?0
有下述关系,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 建立球心在点 M0(x0,y0,z0)、半径为 R的球面的方程,
解 设 M(x,y,z)是球面上的任一点,那么
|M0M|?R,
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2.
因为球面上的点的坐标一定满足上述方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程,所以上述方程就是所求的球面的方程,
下页即 Rzzyyxx 202020 )()()(,
上页 下页 铃结束返回首页例 2 设有点 A(1,2,3)和 B(2,?1,4),求线段 AB的垂直平分面的方程,
由题意知道,所求的平面就是与 A和 B等距离的点的几何轨迹,
设 M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有
|AM|?|BM|,
等式两边平方,然后化简得
2x?6y?2z?7?0,
这就是所求的平面的方程,
下页解即 222222 )4()1()2()3()2()1( zyxzyx,
上页 下页 铃结束返回首页
(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程 ;
(2)已知坐标 x,y和 z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状,
研究曲面的两个基本问题通过配方,原方程可以改写成
(x?1)2?(y?2)2?z2?5.
一般地,三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0
的图形就是一个球面,
首页例 3 方程 x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？
解这是一个球面方程,球心在点 )0,2,1(0?M,半径为 5?R,
上页 下页 铃结束返回首页二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
这就是所求旋转曲面的方程,
设 M(x,y,z)为曲面上任一点,它是曲线 C上点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得到的,因此有如下关系等式下页
0),( 11?zyf,1zz?,221 || yxy,0),( 11?zyf,1z?,221|| yxy,0),( 11?zyf,z,221 || yxy,
从而得 0),( 22 zyxf,
上页 下页 铃结束返回首页旋转曲面的方程为下页二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
提问,
曲线 f(y,z)?0绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？
0),( 22 zyxf,
上页 下页 铃结束返回首页将方程 z? y c o t? 中的 y 改成 22 yx,得例 4 试建立顶点在坐标原点 O,旋转轴为 z轴,半顶角为?
的圆锥面的方程,
解 在坐标面 yOz内,与 z轴夹角为?的直线的方程为
z?ycot?,
或 z2?a2(x2?y2),
这就是所求的圆锥面的方程,其中 a?cot?,
下页曲线 f(y,z)?0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面 的方程为
0),( 22 zyxf,
c o t22 yxz,
上页 下页 铃结束返回首页绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为解双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面首页例 5 将 z Ox 坐标面上的双曲线 12222 czax 分别绕 x 轴和 z
轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程,
例 5
12
22
2
2
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
cza yx,12
22
2
2
c
zy
a
x,1
2
2
2
22
cza yx,
上页 下页 铃结束返回首页三、柱面在空间直角坐标系中,过 xOy面上的圆 x2?y2?R2作 平行于 z轴的直线 l,则直线 l上的点都满足方程 x2?y2?R2,这说明直线 l 一定在 x2?y2?R2表示的曲面上,
例 6 方程 x2?y2?R2表示怎样的曲面？
因此这个曲面可以看成是由平行于 z轴的直线 l沿 xOy面上的圆 x2?y2?R2
移动而形成的,
这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆
x2?y2?R2叫做它的准线,这平行于 z轴的直线 l叫做它的母线,
下页解上页 下页 铃结束返回首页平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L形成的轨迹叫做柱面,定曲线 C叫做柱面的准线,动直线 L叫做柱面的母线,
柱面上面我们看到,不含 z的方程
x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于 z轴,它的准线是 xOy面上的圆 x2?y2?R2.
一般地,只含 x,y而缺 z的方程
F(x,y)?0,在空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是
xOy面上的曲线 C:F(x,y)?0.
下页上页 下页 铃结束返回首页方程 y2?2x表示母线平行于 z轴的柱面,它的准线是 xOy面上的抛物线 y2?2x,该柱面叫做抛物柱面,
方程 x?y?0表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是 xOy面的直线 x?y?0,所以它是过 z轴的平面,
柱面举例下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,方程 G(x,z)?0和方程 H(y,z)?0分别表示什么柱面？
方程 x?z?0表示什么柱面？
讨论方程 G(x,z)?0表示母线平行于 y轴的柱面,
方程 H(y,z)?0表示母线平行于 x轴的柱面,
方程 x?z?0表示母线平行于 y轴的柱面,其准线是 zOx面上的直线 x?z?0,所以它是过 y轴的平面,
提示首页上页 下页 铃结束返回首页四、二次曲面
1.椭圆锥面由 方 程 22
2
2
2 z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆锥面,
截痕
1)()( 2222 btyatx,
倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面 abyza yx 22
22
,
当 t?0时,截痕为平面 z?t上的椭圆当 t?0时,截痕为一点 (0,0,0);
椭圆锥面与平面 z?t的截痕,
椭圆锥面的形成
>>>研究曲面的截痕法
>>>研究曲面的伸缩变形法
>>>
下页动画上页 下页 铃结束返回首页倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿 aby,
2.椭球面由 方程 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭 球 面,
倍轴方向伸缩沿把球面 aczazyx 2222,
得旋转椭球面
1222
22
cza yx,
得椭球面
1222
2
2
2
c
z
b
y
a
x,
椭球面的形成下页上页 下页 铃结束返回首页
3.单叶双曲面由 方程 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 单叶双曲面,
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x 绕 z 轴旋转,
单叶双曲面的形成得旋转单叶双曲面
1222
22
cza yx,
倍轴方向伸缩再把旋转单叶双曲面沿 aby,
得单叶双曲面
1222
2
2
2
c
z
b
y
a
x,
下页上页 下页 铃结束返回首页由 方程 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 双 叶双曲面,
4.双叶双曲面
双叶双曲面的形成把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x 绕 x 轴旋转,
绕 x 轴旋转,
12
22
2
2
c
yz
a
x,
倍轴方向伸缩再把旋转双叶双曲面沿 cby,
得双叶双曲面
1222
2
2
2
c
z
b
y
a
x,
得旋转双叶双曲面下页上页 下页 铃结束返回首页由 方程 zbyax 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆抛物面,
5.椭圆抛物面
椭圆抛物面的形成把 z O x 面上的抛物 线 zax?2
2
绕 z 轴旋转,
得旋转抛物面
za yx2
22
,
倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿 aby,
得椭圆抛物面
zbyax 2
2
2
2
,
下页上页 下页 铃结束返回首页
6.双曲抛物面由 方程 zbyax 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 双 曲 抛物面,
双曲抛物面与平面 x?t的截痕 l 为平面 x?t上的抛物线
截痕
2
2
2
2
a
tz
b
y,
当 t 变化时,l 的形状不变,位置只作平移,而 l 的项点的轨迹 L为平面 y?0
上的抛物线
2
2
a
xz?,>>>
结束动画
§ 7,5 曲面及其方程上页 下页 铃结束返回首页四、二次曲面上页 下页 铃结束返回首页一、曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹,
那么,方程 F(x,y,z)?0就叫做曲面 S的方程,而曲面 S就叫做方程 F(x,y,z)?0的图形,
(1)曲面 S上任一点的坐标都满足方程
F(x,y,z)?0;
(2)不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)?0,
曲面方程的定义如果曲面 S与三元方程
F(x,y,z)?0
有下述关系,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 建立球心在点 M0(x0,y0,z0)、半径为 R的球面的方程,
解 设 M(x,y,z)是球面上的任一点,那么
|M0M|?R,
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2.
因为球面上的点的坐标一定满足上述方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程,所以上述方程就是所求的球面的方程,
下页即 Rzzyyxx 202020 )()()(,
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由题意知道,所求的平面就是与 A和 B等距离的点的几何轨迹,
设 M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有
|AM|?|BM|,
等式两边平方,然后化简得
2x?6y?2z?7?0,
这就是所求的平面的方程,
下页解即 222222 )4()1()2()3()2()1( zyxzyx,
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(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程 ;
(2)已知坐标 x,y和 z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状,
研究曲面的两个基本问题通过配方,原方程可以改写成
(x?1)2?(y?2)2?z2?5.
一般地,三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0
的图形就是一个球面,
首页例 3 方程 x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？
解这是一个球面方程,球心在点 )0,2,1(0?M,半径为 5?R,
上页 下页 铃结束返回首页二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴,
设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
这就是所求旋转曲面的方程,
设 M(x,y,z)为曲面上任一点,它是曲线 C上点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得到的,因此有如下关系等式下页
0),( 11?zyf,1zz?,221 || yxy,0),( 11?zyf,1z?,221|| yxy,0),( 11?zyf,z,221 || yxy,
从而得 0),( 22 zyxf,
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设 yOz平面上有一曲线 C,它的方程为 f(y,z)?0,曲线 C绕 z
轴旋转一周得到一个旋转曲面,
提问,
曲线 f(y,z)?0绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？
0),( 22 zyxf,
上页 下页 铃结束返回首页将方程 z? y c o t? 中的 y 改成 22 yx,得例 4 试建立顶点在坐标原点 O,旋转轴为 z轴,半顶角为?
的圆锥面的方程,
解 在坐标面 yOz内,与 z轴夹角为?的直线的方程为
z?ycot?,
或 z2?a2(x2?y2),
这就是所求的圆锥面的方程,其中 a?cot?,
下页曲线 f(y,z)?0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面 的方程为
0),( 22 zyxf,
c o t22 yxz,
上页 下页 铃结束返回首页绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为解双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面首页例 5 将 z Ox 坐标面上的双曲线 12222 czax 分别绕 x 轴和 z
轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程,
例 5
12
22
2
2
c
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a
x,1
2
2
2
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22
2
2
c
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x,1
2
2
2
22
cza yx,
上页 下页 铃结束返回首页三、柱面在空间直角坐标系中,过 xOy面上的圆 x2?y2?R2作 平行于 z轴的直线 l,则直线 l上的点都满足方程 x2?y2?R2,这说明直线 l 一定在 x2?y2?R2表示的曲面上,
例 6 方程 x2?y2?R2表示怎样的曲面？
因此这个曲面可以看成是由平行于 z轴的直线 l沿 xOy面上的圆 x2?y2?R2
移动而形成的,
这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆
x2?y2?R2叫做它的准线,这平行于 z轴的直线 l叫做它的母线,
下页解上页 下页 铃结束返回首页平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L形成的轨迹叫做柱面,定曲线 C叫做柱面的准线,动直线 L叫做柱面的母线,
柱面上面我们看到,不含 z的方程
x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于 z轴,它的准线是 xOy面上的圆 x2?y2?R2.
一般地,只含 x,y而缺 z的方程
F(x,y)?0,在空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是
xOy面上的曲线 C:F(x,y)?0.
下页上页 下页 铃结束返回首页方程 y2?2x表示母线平行于 z轴的柱面,它的准线是 xOy面上的抛物线 y2?2x,该柱面叫做抛物柱面,
方程 x?y?0表示母线平行于 z轴的柱面,其准线是 xOy面的直线 x?y?0,所以它是过 z轴的平面,
柱面举例下页上页 下页 铃结束返回首页在空间直角坐标系中,方程 G(x,z)?0和方程 H(y,z)?0分别表示什么柱面？
方程 x?z?0表示什么柱面？
讨论方程 G(x,z)?0表示母线平行于 y轴的柱面,
方程 H(y,z)?0表示母线平行于 x轴的柱面,
方程 x?z?0表示母线平行于 y轴的柱面,其准线是 zOx面上的直线 x?z?0,所以它是过 y轴的平面,
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1.椭圆锥面由 方 程 22
2
2
2 z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆锥面,
截痕
1)()( 2222 btyatx,
倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面 abyza yx 22
22
,
当 t?0时,截痕为平面 z?t上的椭圆当 t?0时,截痕为一点 (0,0,0);
椭圆锥面与平面 z?t的截痕,
椭圆锥面的形成
>>>研究曲面的截痕法
>>>研究曲面的伸缩变形法
>>>
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2.椭球面由 方程 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 椭 球 面,
倍轴方向伸缩沿把球面 aczazyx 2222,
得旋转椭球面
1222
22
cza yx,
得椭球面
1222
2
2
2
c
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b
y
a
x,
椭球面的形成下页上页 下页 铃结束返回首页
3.单叶双曲面由 方程 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 所 表示 的 曲 面 称 为 单叶双曲面,
把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x 绕 z 轴旋转,
单叶双曲面的形成得旋转单叶双曲面
1222
22
cza yx,
倍轴方向伸缩再把旋转单叶双曲面沿 aby,
得单叶双曲面
1222
2
2
2
c
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x,
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2
2
2
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c
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x 所 表示 的 曲 面 称 为 双 叶双曲面,
4.双叶双曲面
双叶双曲面的形成把 z O x 面上的双曲线 12
2
2
2
c
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a
x 绕 x 轴旋转,
绕 x 轴旋转,
12
22
2
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x,
倍轴方向伸缩再把旋转双叶双曲面沿 cby,
得双叶双曲面
1222
2
2
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x,
得旋转双叶双曲面下页上页 下页 铃结束返回首页由 方程 zbyax 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 椭圆抛物面,
5.椭圆抛物面
椭圆抛物面的形成把 z O x 面上的抛物 线 zax?2
2
绕 z 轴旋转,
得旋转抛物面
za yx2
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倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿 aby,
得椭圆抛物面
zbyax 2
2
2
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6.双曲抛物面由 方程 zbyax 2
2
2
2
所 表示 的 曲 面 称 为 双 曲 抛物面,
双曲抛物面与平面 x?t的截痕 l 为平面 x?t上的抛物线
截痕
2
2
2
2
a
tz
b
y,
当 t 变化时,l 的形状不变,位置只作平移,而 l 的项点的轨迹 L为平面 y?0
上的抛物线
2
2
a
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结束动画
