一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例
§ 7.8 空间直线及其方程上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页分析,点 M在直线 L上?点 M同时在这两个平面上,
点 M的坐标同时满足这两个平面的方程,
一、空间直线的一般方程空间直线可以看作是两个平面的交线,
设直线 L是平面?1和?2的交线,平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0,
这就是空间直线的一般方程,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
来表示,
那么直线 L可以用方程组首页上页 下页 铃结束返回首页二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量,
方向向量直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,
当直线 L上一点 M0(x0,y0,x0)和它的一方向向量 s=(m,n,p)为已知时,直线 L
的位置就完全确定了,
确定直线的条件下页上页 下页 铃结束返回首页
直线的对称式方程求通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线的方程,
(x-x0,y-y0,z-z0)//s,
从而有这 就是直线的方程,叫做直线的对称式方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
直线的任一方向向量 s的坐标 m,n,p叫做这直线的一组 方向数,向量 s的方向余弦叫做该直线的 方向余弦,
则从 M0到 M的向量平行于方向向量,
设 M(x,y,z)为直线上的任一点,
下页
>>>注上页 下页 铃结束返回首页通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线方程,
直线的参数方程设 pzzn yym xx 000 -=-=- = t,得 方 程 组
+=
+=
+=
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
,
此方程组就是直线的参数方程,
下页
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
设 pzznyymxx 000 -=-=- =t,得 方 程 组上页 下页 铃结束返回首页提示：
先求直线上的一点,再求这直线的方向向量 s.
提示：
当 x = 1 时,有 =+- -=+ 23 2zy zy,此 方 程 组 的 解 为 y = - 2,z = 0,
提示：
kji
kji
kjikjis 34
312
111
)32()( --=
-
=+-?++=,
提示：
令 tzyx =-=-+=- 31 24 1,有 x = 1 + 4 t,y = - 2 - t,z = - 3 t,
于是 (1,-2,0)是直线上的一点,
在直线的一般方程中 令 x=1,解以平面 x+y+z=-1和 2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:
=4i-j-3k.s=(i+j+k)?(2i-j+3k)
可得 y=-2,z=0.
所给直线的对称式方程为下页例 1
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 =+- =++ 432 1zyx zyx,
31
2
4
1
-=-
+=- zyx,
所给直线的参数方程为 x=1+4t,y=-2-t,z=-3t.
上页 下页 铃结束返回首页三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角 (通常指锐角 )叫做两直线的夹角,
设直线 L1和 L2的方向向量分别为
s1=(m1,n1,p1)和 s2=(m2,n2,p2),
那么 L1和 L2的夹角 j满足下页
|),c o s (|c o s 2^1 ss=j
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=,
上页 下页 铃结束返回首页方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
例 2 求直线 L 1,1 341 1 +=-=- zyx 和 L 2,12 22 -=-+= zyx 的夹角,
例 2
解 两直线的方向向量分别为设两直线的夹角为 j,则
(1,-4,1)和 (2,-2,-1).
下页
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
所以 4?j =,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
上页 下页 铃结束返回首页
两直线垂直与平行的条件设有两直线
L1?L2?m1m2+n1n2+p1p2=0;则首页方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
L 1,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx -=-=-,L
2,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx -=-=-,
L 1 // L 2?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ==,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角 j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为 90?.
设直线的方向向量为 s=(m,n,p),平面的法线向量为 n=(A,B,C),则 直线与平面的夹角 j满足下页
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
|),(2| ^ ns-=?j,|),c o s (|s i n ^ ns=j,
上页 下页 铃结束返回首页方向向量为 (m,n,p)的直线 与 法线向量为 (A,B,C)的平面的夹角 j满足
直线与平面垂直和平行的条件设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//Am+Bn+Cp=0.
下页
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
L pCnBmA == ;
上页 下页 铃结束返回首页例 3 求过点 (1,-2,4)且与平面 2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程,
平面的法线向量 (2,-3,1)可以作为所求直线的方向向量,由此可得所求直线的方程为首页解
1
4
3
2
2
1 -=
-
+=- zyx,
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//Am+Bn+Cp=0.
L pCnBmA == ;
上页 下页 铃结束返回首页平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s.
五、杂例例 4 求与两平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行且过点
(-3,2,5)的直线的方程,
解因为所以,所求直线的方程为下页
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,
1
5
3
2
4
3 -=-=+ zyx,
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?=,)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis +-=
-
-=--?-=,
上页 下页 铃结束返回首页
x=2+t,y=3+t,z=4+2t,
代入平面方程中,得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.
解上列方程,得 t=-1.
将 t=-1代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为
x=1,y=2,z=2.
解 所给直线的参数方程为下页例 5
例 5 求直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 与平面 2 x + y + z - 6 = 0 的交点,
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
提示：
求出两直线的交点是关键,而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点,
>>>
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
所求直线的方程为上页 下页 铃结束返回首页分析：
因为 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,所以对于任何一个 l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,
分析：
对于不同的 l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线 L,即 这个方程表示通过直线 L的一族平面,
分析：
另一方面,任何通过直线 L的平面也一定包含在上述通过
L的平面族中,
平面束考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
下页其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为上页 下页 铃结束返回首页上述方程表示通过定直线 L的所有平面的全体,称为平面束,
下页
平面束考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为上页 下页 铃结束返回首页提示,
我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面,此平面与已知平面的交线就是 所求的投影直线,
提示,
这是平面束的法线向量 (1+l,1-l,-1+l)与已知平面的法线向量 (1,1,1)的数量积,
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为下页的方程,
例 7
例 7 求直线 =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线上页 下页 铃结束返回首页即 y-z-1=0.2y-2z-2=0,
于是 得到与已知平面垂直的平面的方程为解得 l=-1.
所以投影直线的方程为结束
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为的方程,
例 7
例 7 求直线 =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
=++
=--
0
01
zyx
zy,
§ 7.8 空间直线及其方程上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页分析,点 M在直线 L上?点 M同时在这两个平面上,
点 M的坐标同时满足这两个平面的方程,
一、空间直线的一般方程空间直线可以看作是两个平面的交线,
设直线 L是平面?1和?2的交线,平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0,
这就是空间直线的一般方程,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
来表示,
那么直线 L可以用方程组首页上页 下页 铃结束返回首页二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量,
方向向量直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,
当直线 L上一点 M0(x0,y0,x0)和它的一方向向量 s=(m,n,p)为已知时,直线 L
的位置就完全确定了,
确定直线的条件下页上页 下页 铃结束返回首页
直线的对称式方程求通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线的方程,
(x-x0,y-y0,z-z0)//s,
从而有这 就是直线的方程,叫做直线的对称式方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
直线的任一方向向量 s的坐标 m,n,p叫做这直线的一组 方向数,向量 s的方向余弦叫做该直线的 方向余弦,
则从 M0到 M的向量平行于方向向量,
设 M(x,y,z)为直线上的任一点,
下页
>>>注上页 下页 铃结束返回首页通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线方程,
直线的参数方程设 pzzn yym xx 000 -=-=- = t,得 方 程 组
+=
+=
+=
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
,
此方程组就是直线的参数方程,
下页
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
设 pzznyymxx 000 -=-=- =t,得 方 程 组上页 下页 铃结束返回首页提示：
先求直线上的一点,再求这直线的方向向量 s.
提示：
当 x = 1 时,有 =+- -=+ 23 2zy zy,此 方 程 组 的 解 为 y = - 2,z = 0,
提示：
kji
kji
kjikjis 34
312
111
)32()( --=
-
=+-?++=,
提示：
令 tzyx =-=-+=- 31 24 1,有 x = 1 + 4 t,y = - 2 - t,z = - 3 t,
于是 (1,-2,0)是直线上的一点,
在直线的一般方程中 令 x=1,解以平面 x+y+z=-1和 2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:
=4i-j-3k.s=(i+j+k)?(2i-j+3k)
可得 y=-2,z=0.
所给直线的对称式方程为下页例 1
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 =+- =++ 432 1zyx zyx,
31
2
4
1
-=-
+=- zyx,
所给直线的参数方程为 x=1+4t,y=-2-t,z=-3t.
上页 下页 铃结束返回首页三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角 (通常指锐角 )叫做两直线的夹角,
设直线 L1和 L2的方向向量分别为
s1=(m1,n1,p1)和 s2=(m2,n2,p2),
那么 L1和 L2的夹角 j满足下页
|),c o s (|c o s 2^1 ss=j
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
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1
212121 ||
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=,
上页 下页 铃结束返回首页方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
例 2 求直线 L 1,1 341 1 +=-=- zyx 和 L 2,12 22 -=-+= zyx 的夹角,
例 2
解 两直线的方向向量分别为设两直线的夹角为 j,则
(1,-4,1)和 (2,-2,-1).
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2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
2
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1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
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==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
所以 4?j =,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
上页 下页 铃结束返回首页
两直线垂直与平行的条件设有两直线
L1?L2?m1m2+n1n2+p1p2=0;则首页方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
2
2
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212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
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L 1,
1
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p
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xx -=-=-,L
2,
2
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2
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L 1 // L 2?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ==,
上页 下页 铃结束返回首页提示：
四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角 j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为 90?.
设直线的方向向量为 s=(m,n,p),平面的法线向量为 n=(A,B,C),则 直线与平面的夹角 j满足下页
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||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
|),(2| ^ ns-=?j,|),c o s (|s i n ^ ns=j,
上页 下页 铃结束返回首页方向向量为 (m,n,p)的直线 与 法线向量为 (A,B,C)的平面的夹角 j满足
直线与平面垂直和平行的条件设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//Am+Bn+Cp=0.
下页
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||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
L pCnBmA == ;
上页 下页 铃结束返回首页例 3 求过点 (1,-2,4)且与平面 2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程,
平面的法线向量 (2,-3,1)可以作为所求直线的方向向量,由此可得所求直线的方程为首页解
1
4
3
2
2
1 -=
-
+=- zyx,
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//Am+Bn+Cp=0.
L pCnBmA == ;
上页 下页 铃结束返回首页平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s.
五、杂例例 4 求与两平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行且过点
(-3,2,5)的直线的方程,
解因为所以,所求直线的方程为下页
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,
1
5
3
2
4
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512
401
)52()4( kji
kji
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--
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512
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)52()4( kji
kji
kjikis +-=
-
-=--?-=,
上页 下页 铃结束返回首页
x=2+t,y=3+t,z=4+2t,
代入平面方程中,得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.
解上列方程,得 t=-1.
将 t=-1代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为
x=1,y=2,z=2.
解 所给直线的参数方程为下页例 5
例 5 求直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 与平面 2 x + y + z - 6 = 0 的交点,
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
提示：
求出两直线的交点是关键,而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点,
>>>
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
0
2
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- zyx,即
=-
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,
所求直线的方程为上页 下页 铃结束返回首页分析：
因为 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,所以对于任何一个 l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,
分析：
对于不同的 l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线 L,即 这个方程表示通过直线 L的一族平面,
分析：
另一方面,任何通过直线 L的平面也一定包含在上述通过
L的平面族中,
平面束考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
下页其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为上页 下页 铃结束返回首页上述方程表示通过定直线 L的所有平面的全体,称为平面束,
下页
平面束考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为上页 下页 铃结束返回首页提示,
我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面,此平面与已知平面的交线就是 所求的投影直线,
提示,
这是平面束的法线向量 (1+l,1-l,-1+l)与已知平面的法线向量 (1,1,1)的数量积,
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为下页的方程,
例 7
例 7 求直线 =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线上页 下页 铃结束返回首页即 y-z-1=0.2y-2z-2=0,
于是 得到与已知平面垂直的平面的方程为解得 l=-1.
所以投影直线的方程为结束
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为的方程,
例 7
例 7 求直线 =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
=++
=--
0
01
zyx
zy,
