§ 8.2 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页一、偏导数的定义及其计算法类似地,可定义 函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数,
偏导数的定义下页设函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义,若极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(lim 0000
0
存在,则称此极限为函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,
记作
0
0
yy
xxx
z
,
0
0
yy
xxx
f
,
0
0
yy
xxxz
,或 f x ( x 0,y 0 ),
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导数的符号
0
0yy xxx
z
,
0
0yy xxx
f
,
0
0yy xxxz,),( 00 yxf x,
如果函数 z?f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)处对 x的偏导数都存在,那么 f(x,y)对 x的偏导数是 x,y的函数,这个函数称为函数 z?f(x,y)对 x的偏导函数 (简称 偏导数 ),记作
x
z
,
x
f
,
xz,或 ),( yxf x,
偏导函数上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导数的符号
0
0yy xxx
z
,
0
0yy xxx
f
,
0
0yy xxxz,),( 00 yxf x,
x
z
,
x
f
,
xz,或 ),( yxf x,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
偏导函数的符号
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数,
例如,三元函数 u?f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导数定义为
x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
),,(),,(lim),,(
0
,
其中 (x,y,z)是函数 u?f(x,y,z)的定义域的内点,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可,
下页
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
讨论?
下列求偏导数的方法是否正确？
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
yxxz 32,yxyz 23,
例 1 求 z?x2?3xy?y2在点 (1,2)处的偏导数,
解例 2 求 z?x2sin2y的偏导数,
解下页
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
,
82312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,82312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,
yxxz 2sin2,yxyz 2cos22,yxxz 2sin2,yxyz 2cos22,
2312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,82312
2
1
y
xx
z,7213
2
1
y
x,
yxxz 2s in2,yxyz 2c o s2 2?,xxz 2s in2 yxyz 2c o s2 2,
yxxz 32,yxyz 23,yxxz 32,yxyz 23,yxxz 32 yxyz 23,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页解证下页例 3
例 3 设 )1,0( xxxz y,求证? zyzxxzyx 2ln 1,
证 1 yyxxz,xxyz y ln,证 1 yxxz,xxyz y ln,
zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,zxxxxxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,zxxxxyxxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,
例 4
例 4 求 222 zyxr 的偏导数,
解
r
x
zyx
x
x
r?
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zy
x
x
r?
22
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r?
22
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证本例说明一个问题? 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商,
下页例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R为常数 ),求证?
1 pTTVVp,
证 因为 VRTp?,2VRTVp 证 因为 VRTp?,2VRTVp
p
RTV?,
p
R
T
V?
R
pVT?,
R
V
p
T?
所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,
p
RTV?,
p
R
T
V?
R
pVT?,
R
V
p
T?
所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,所以 12 pVRTRpRVRTpTTVVp,所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页
偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
z?f(x,y0) z?f(x0,y)
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续,例如首页
.0 0
,0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
但函数在点 (0,0)并不连续,在点 (0,0),有 fx(0,0)?0,fy(0,0)?0,
提示：
0)0,(?xf,0),0(?yf?
0)]0,([)0,0( xfdxdf x,0)],0([)0,0( yfdydf y,
提示,当点 P(x,y)沿直线 y?kx趋于点 (0,0)时,有
2222
2
022
)0,0(),( 1
limlim kkxkx kxyx xy
x
kxy
yx?
,
因此,函数 f(x,y)在 (0,0)的极限不存在,当然也不连续,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页二、高阶偏导数
二阶偏导数如果函数 z?f(x,y)的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数 z?f(x,y)的二阶偏导数,
函数 z?f(x,y)的二阶偏导数有四个?
其中 fxy(x,y),fyx(x,y)称为混合偏导数,
类似地可定义三阶、四阶以及 n阶偏导数,
下页
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
,
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页解
2
2)(
x
z
x
z
x?
,
yx
z
x
z
y
2)(,
xy
z
y
z
x
2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y?
,
此例中两个混合偏导数是相等的,
下页解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92?
例 6 设 z? x 3 y 2? 3 xy 3? xy? 1,求 22x z,33x z,xy z 2 和 yx z 2,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyxz,196 222 yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyz,196 222 yyxxy z,196 222 yxyx z,196 222 yyxxyz,196 222 yyx z,196 222 yyxxy z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页定理 如果 二阶混合偏导数 xy z 2 及 yx z 2 在区域 D 内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
定理解
2
2)(
x
z
x
z
x?
,
yx
z
x
z
y
2)(,
xy
z
y
z
x
2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y?
,
解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92?
例 6 设 z? x 3 y 2? 3 xy 3? xy? 1,求 22x z,33x z,xy z 2 和 yx z 2,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyxz,196 222 yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyz,196 222 yyxxy z,196 222 yxyxz,196 222 yyxxyz,196 222 yyx z,196 222 yyxxy z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证下页证 因为 )l n (21ln 2222 yxyxz,所以
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
,
因此 0)()( 222 22222 222222 yx xyyx yxyzxz,
证 因为 )ln(21ln 2222 yxyxz,所以
2y
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
,
22
22
22
22
2 )()(
2)(
yx
xy
yx
xxyz
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyy
y
z
,
222
22
22
22
2 )()(
2)(
yx
yx
yx
yyyxz
,
因此 0)()( 222 22222 222222 yx xyyx yxyzxz,因此 0)()( 222
22
222
22
2
2
2
2?
yx
xy
yx
y
y
z
x
z,因此 0
)()( 222
22
222
2
2
2
2
2?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z,
例 7
例 7 验证函数 22ln yxz 满足方程 02222 y zx z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u
,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u
,
证? 322 11 rxrxrxrrxu,
证例 8
例 8 证明函数 ru 1? 满足方程 0222222 z uy ux u,
其中 222 zyxr,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
343
2 3131
r
x
rx
r
r
x
x
,
提示?
6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u?
,6
2
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrx
r
rxxr
r
x
xx
u?
,6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u?
,
证 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrrxrrxu,
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 结束因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u
033)(33 5 235 2223 rrrr zyxr,
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u
033)(33 5235 2223 rrrr zyxr,
同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u
,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u
,
证? 322 11 rxrxrxrrxu,
证例 8
例 8 证明函数 ru 1? 满足方程 0222222 z uy ux u,
其中 222 zyxr,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
343
2 3131
r
x
rx
r
r
x
x
,
证 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrrxrrxu,
偏导数的定义下页设函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义,若极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(lim 0000
0
存在,则称此极限为函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,
记作
0
0
yy
xxx
z
,
0
0
yy
xxx
f
,
0
0
yy
xxxz
,或 f x ( x 0,y 0 ),
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导数的符号
0
0yy xxx
z
,
0
0yy xxx
f
,
0
0yy xxxz,),( 00 yxf x,
如果函数 z?f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)处对 x的偏导数都存在,那么 f(x,y)对 x的偏导数是 x,y的函数,这个函数称为函数 z?f(x,y)对 x的偏导函数 (简称 偏导数 ),记作
x
z
,
x
f
,
xz,或 ),( yxf x,
偏导函数上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导数的符号
0
0yy xxx
z
,
0
0yy xxx
f
,
0
0yy xxxz,),( 00 yxf x,
x
z
,
x
f
,
xz,或 ),( yxf x,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
偏导函数的符号
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数,
例如,三元函数 u?f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导数定义为
x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
),,(),,(lim),,(
0
,
其中 (x,y,z)是函数 u?f(x,y,z)的定义域的内点,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可,
下页
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),( 0000
000
,
偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(lim),(
0
,
讨论?
下列求偏导数的方法是否正确？
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
yxxz 32,yxyz 23,
例 1 求 z?x2?3xy?y2在点 (1,2)处的偏导数,
解例 2 求 z?x2sin2y的偏导数,
解下页
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
,
82312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,82312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,
yxxz 2sin2,yxyz 2cos22,yxxz 2sin2,yxyz 2cos22,
2312
2
1
y
xx
z,72213
2
1
y
xy
z,82312
2
1
y
xx
z,7213
2
1
y
x,
yxxz 2s in2,yxyz 2c o s2 2?,xxz 2s in2 yxyz 2c o s2 2,
yxxz 32,yxyz 23,yxxz 32,yxyz 23,yxxz 32 yxyz 23,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页解证下页例 3
例 3 设 )1,0( xxxz y,求证? zyzxxzyx 2ln 1,
证 1 yyxxz,xxyz y ln,证 1 yxxz,xxyz y ln,
zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,zxxxxxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,zxxxxyxxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1,
例 4
例 4 求 222 zyxr 的偏导数,
解
r
x
zyx
x
x
r?
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zy
x
x
r?
22
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r?
22
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r
222
r
y
zyx
y
y
r?
222
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证本例说明一个问题? 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商,
下页例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R为常数 ),求证?
1 pTTVVp,
证 因为 VRTp?,2VRTVp 证 因为 VRTp?,2VRTVp
p
RTV?,
p
R
T
V?
R
pVT?,
R
V
p
T?
所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,
p
RTV?,
p
R
T
V?
R
pVT?,
R
V
p
T?
所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,所以 12 pVRTRpRVRTpTTVVp,所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页
偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
z?f(x,y0) z?f(x0,y)
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页
偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续,例如首页
.0 0
,0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
但函数在点 (0,0)并不连续,在点 (0,0),有 fx(0,0)?0,fy(0,0)?0,
提示：
0)0,(?xf,0),0(?yf?
0)]0,([)0,0( xfdxdf x,0)],0([)0,0( yfdydf y,
提示,当点 P(x,y)沿直线 y?kx趋于点 (0,0)时,有
2222
2
022
)0,0(),( 1
limlim kkxkx kxyx xy
x
kxy
yx?
,
因此,函数 f(x,y)在 (0,0)的极限不存在,当然也不连续,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页二、高阶偏导数
二阶偏导数如果函数 z?f(x,y)的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数 z?f(x,y)的二阶偏导数,
函数 z?f(x,y)的二阶偏导数有四个?
其中 fxy(x,y),fyx(x,y)称为混合偏导数,
类似地可定义三阶、四阶以及 n阶偏导数,
下页
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
,
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页解
2
2)(
x
z
x
z
x?
,
yx
z
x
z
y
2)(,
xy
z
y
z
x
2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y?
,
此例中两个混合偏导数是相等的,
下页解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92?
例 6 设 z? x 3 y 2? 3 xy 3? xy? 1,求 22x z,33x z,xy z 2 和 yx z 2,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyxz,196 222 yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyz,196 222 yyxxy z,196 222 yxyx z,196 222 yyxxyz,196 222 yyx z,196 222 yyxxy z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 下页定理 如果 二阶混合偏导数 xy z 2 及 yx z 2 在区域 D 内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
定理解
2
2)(
x
z
x
z
x?
,
yx
z
x
z
y
2)(,
xy
z
y
z
x
2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y?
,
解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92? 解 yyxxz 322 33,xxyyxyz 23 92?
例 6 设 z? x 3 y 2? 3 xy 3? xy? 1,求 22x z,33x z,xy z 2 和 yx z 2,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyxz,196 222 yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
2
2
2 6xy
x
z?
,2
3
3 6y
x
z?
196 222 yyxyz,196 222 yyxxy z,196 222 yxyxz,196 222 yyxxyz,196 222 yyx z,196 222 yyxxy z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页证下页证 因为 )l n (21ln 2222 yxyxz,所以
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
,
因此 0)()( 222 22222 222222 yx xyyx yxyzxz,
证 因为 )ln(21ln 2222 yxyxz,所以
2y
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
y
z
,
22 yx
x
x
z
,
22 yx
y
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
,
22
22
22
22
2 )()(
2)(
yx
xy
yx
xxyz
,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyy
y
z
,
222
22
22
22
2 )()(
2)(
yx
yx
yx
yyyxz
,
因此 0)()( 222 22222 222222 yx xyyx yxyzxz,因此 0)()( 222
22
222
22
2
2
2
2?
yx
xy
yx
y
y
z
x
z,因此 0
)()( 222
22
222
2
2
2
2
2?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z,
例 7
例 7 验证函数 22ln yxz 满足方程 02222 y zx z,
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u
,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u
,
证? 322 11 rxrxrxrrxu,
证例 8
例 8 证明函数 ru 1? 满足方程 0222222 z uy ux u,
其中 222 zyxr,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
343
2 3131
r
x
rx
r
r
x
x
,
提示?
6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u?
,6
2
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrx
r
rxxr
r
x
xx
u?
,6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u?
,
证 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrrxrrxu,
下页上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 结束因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u
033)(33 5 235 2223 rrrr zyxr,
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u
033)(33 5235 2223 rrrr zyxr,
同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u
,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u
,
证? 322 11 rxrxrxrrxu,
证例 8
例 8 证明函数 ru 1? 满足方程 0222222 z uy ux u,
其中 222 zyxr,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u
,
5
2
343
2 3131
r
x
rx
r
r
x
x
,
证 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrxrxrrxu,证? 322 11 rxrrxrrxu,
