§ 8.4 多元复合函数的求导法则上页 下页 铃结束返回首页设 z? f ( u? v )? 而 u ( t )? v ( t )? 如何求
dt
dz？
设 z? f ( u? v )? 而 u ( x? y )? v ( x? y )? 如何求
x
z
和
y
z
？
上页 下页 铃结束返回首页设 z?f(u? v? w)? u(t)? v(t)? w?w(t)? 则下页
>>>
定理 1 如果函数 u(t)及 v(t)都在点 t可导? 函数 z?f(u? v)
在对应点 (u? v)具有连续偏导数? 则复合函数 z?f[?(t)(t)]在点
t可导?且有
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz?


定理 1的推广
dt
dw
w
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz



中间变量为一元函数的情形上述 dtdz 称为全导数?
上页 下页 铃结束返回首页
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z





y
v
v
z
y
u
u
z
y
z





dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz?

设 z?f(u?v)? u(t)? v(t)?则定理 2 如果函数 u(x?y)? v(x?y)都在点 (x?y)具有对 x及
y的偏导数?函数 z?f(u?v)在对应点 (u?v)具有连续偏导数?则复合函数 z?f[?(x?y)(x?y)]在点 (x?y)的两个偏导数存在?且有
中间变量为多元函数的情形
定理 1的推广设 z?f(u?v? w)? u(x?y)? v(x?y)? w?w(x? y)?则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z







y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z







下页上页 下页 铃结束返回首页
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z





y
v
v
z
y
u
u
z
y
z





设 z?f(u?v)? u(x? y)? v(x?y)?则例 1 设 z? e u s i n v? u? x y? v? x? y? 求 xz 和 yz
例 1
解 xvvzxuuzxz
解
exy[y sin(x?y)?cos(x?y)]eusin v?1?eucos v?y
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z




eusin v?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]1?eucos v?x
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz?

设 z?f(u?v)? u(t)? v(t)?则下页上页 下页 铃结束返回首页
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z





y
v
v
z
y
u
u
z
y
z





设 z?f(u?v)? u(x? y)? v(x?y)?则
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz?

设 z?f(u?v)? u(t)? v(t)?则
( 1 ) 设 z? f ( u? v )? u ( x? y )? v ( y )? 则 xz？ yz？
( 2 ) 设 z? f ( u? x? y )? 且 u ( x? y )? 则 xz？ yz？
讨论?
提示?
( 1 ) xuuzxz dydvvzyuuzyz
( 2 ) xfxuufxz yfyuufyz
( 1 ) xuuzxz dydvvzyuuzyz
( 2 ) xfxuufxz yfyuufyz
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页设 z?f(u?x? y)?且 u(x?y)?则
x
f
x
u
u
f
x
z



y
f
y
u
u
f
y
z



例 2 设 u? f ( x? y? z ) 222 zyxe 而 z? x 2 s i n y? yuxu 和求?
例 2
yxyxeyxx 2422 s i n22 )s i n21(2
解 xzzfxfxu yxzexe zyxzyx s in222 222222
y
z
z
f
y
f
y
u



yxzeye zyxzyx c os22 2222222
yxyxeyyxy 2422 s i n4 )c o ss i n(2
解解 xzzfxfxu yxzexe zyxzyx s in222 222222 解 zfxfxu yxze zyxzyx s in2 222222 解 xzzfxfu yxzexe zyxzyx sin22 22222
y
z
z
f
y
f
y
u



yxzeye zyxzyx c os22 2222222
z
f
y
f
y
u?


yxze zyxzyx c os2 2222222 yzz
f
y
f
y
u



yxzeye zyxzyx cos22 22222
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etcos t?etsin t?cos t
v?cos t?u?et?(?sin t)
下页解解 tzdtdvvzdtduuzdtdz
et(cos t?sin t)?cos t?
例 3 设 z? uv? s i n t? 而 u? e t? v? c o s t? 求全导数 dtdz?
上页 下页 铃结束返回首页引入记号?
u
vuff
),(
1? vu
vuff

),(
12? 同理有 2f 11f 22f 等?
提示?
1211111 fxyfz
v
v
f
z
u
u
f
z
f





121111 fxyfz
v
v
f
z
u
u
f
z
f





1211111 fxyfz
v
v
f
z
u
z
f




提示
2221222 fxyfz
v
v
fu
u
f



2221222 fxyfz
v
v
f
z
u
u
ff




2221222 fxyfz
v
v
f
z
u
u
f



解 令 u?x?y?z? v?xyz? 则 w?f(u? v)?
22221211 )( fzxyfyfzxyf
下页例 4 设 w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数?
求 xw 及 zx w 2?
21 fyzfx
v
v
f
x
u
u
f
x
w





21 fyzfx
v
v
f
x
u
u
f
x
w





z
fyzfy
z
ffyzf
zzx
w




2
2121
2 )(
z
fyzfy
z
ffyzf
zzx
w




2
2121
2 )(
2222121211 fzxyfyzfyfxyf 2222121211 zxyfyzffxyf 2222121211 fzxyfyzfyfxyf
上页 下页 铃结束返回首页其中 x c o s θ? y s i n θ? 22 yx xya r c t a n
应用复合函数求导法则?得
x
u
x
u
x
u



2
yuxu


s inc o s yuu


y
u
y
u
y
u



2
xuyu


c o ss in

uu?
2
2
222 )(1)()()(




uu
y
u
x
u?
22 )()( yuxu
例 5 设 u?f(x?y)具有连续的偏导数?把 转换成极坐标系中的形式?
两式平方后相加?得解 u?f(x?y)?f(?cossin?)?F()?
x
u
xx
u



2
yuxu


s inc o s yuu


x
u
x
u



2
yux


s inc o s yuu


y
u
yy
u



2
xuyu


c o ss in

uu?
y
u
y
u



2
xuy


c o ss in

uu?
2
2
222 )(1)()()(




uu
y
u
x
u?
下页上页 下页 铃结束返回首页设 z?f(u? v)具有连续偏导数? 则有全微分
全微分形式不变性如果 z?f(u? v)具有连续偏导数? 而 u(x? y)? v(x? y)也具有连续偏导数? 则下页
dvvzduuzdz
dyyzdxxzdz
dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz )()(
)()( dyyvdxxvvzdyyudxxuuz
dvvzduuz
上页 下页 铃结束返回首页由此可见? 无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v的函数?
它的全微分形式是一样的? 这个性质叫做全微分形式不变性?
下页设 z?f(u? v)具有连续偏导数? 则有全微分
全微分形式不变性如果 z?f(u? v)具有连续偏导数? 而 u(x? y)? v(x? y)也具有连续偏导数? 则
dvvzduuzdz
dyyzdxxzdz dvvzduuz
上页 下页 铃结束返回首页例 6 设 z?eusinv? u?xy? v?x?y? 利用全微分形式不变性求全微分?
解
exy[ysin(x?y)?cos(x?y)]dx
(yeusinv?eucosv)dx?(xeusinv?eucosv)dy
eusinv
eusinv
exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]dy?
dv?eucosv du
(dx?dy)?eucosv (ydx?xdy)
结束
dvvzduuzdz