一、方向导数二、梯度
§ 8.7 方向导数与梯度上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
提示?
||
)()(lim
0
0
0|| 0 PP
PfPf
PP
即极限取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
方向导数上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
存在,则称此极限为函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l的方向导数,记为
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
方向导数上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
方向导数方向导数就是函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)
处沿方向 l的变化率?
上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
方向导数如果函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数都存在,且有
定理 (方向导数的计算 )
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
下页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页沿 x 轴负向时,c o s 1,c o s 0,xflf
讨论?
函数 f(x,y)在点 P沿 x轴正向和负向,沿 y轴正向和负向的方向导数如何?
提示?
下页函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
沿 x 轴正向时,c o s,c o s 0,xflf
上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 z?xe2y在点 P(1,0)处沿从点 P到点 Q(2,?1)的方向的方向导数?
解所以所求方向导数为下页函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
解? )1,1(PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21(le?
因为函数可微分,且
1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z?
解? )1,1(PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21(le?
1)0,1(2)0,1( yexz,2)0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2),1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0, yxeyz,)0,(2)0,( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z? 2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z?
上页 下页 铃结束返回首页 下页对于三元函数 f(x,y,z)来说,它在空间一点 P0(x0,y0,z0)沿
el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
如果函数 f(x,y,z)在点 (x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿着方向 el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
),,( 000 zyxl
f
t
zyxftztytxf
t
),,()c o s,c o s,c o s(lim 000000
0
),,( 000 zyxl
f
) c os,,() c os,,() c os,,(
000000000 zyxfzyxfzyxf zyx
上页 下页 铃结束返回首页例 2 求 f(x,y,z)?xy?yz?zx在点 (1,1,2)沿方向 l的方向导数,
其中 l的方向角分别为 60?,45?,60
解 与 l同向的单位向量为
)21,2 2,21()60c o s,45c o s,60( c o sle?
因为函数可微分,且所以
)235(21212223213
)2,1,1(
lf? )235(21212223213
)2,1,1
lf? )235(21212223213
)2,1,1(
lf?
fx(1,1,2)?(y?z)|(1,1,2)?3,
fy(1,1,2)?(x?z)|(1,1,2)?3,
fz(1,1,2)?(y?x)|(1,1,2)?2,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、梯度
梯度的定义下页设函数 z?f(x,y)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数,
则对于每一点 P0(x0,y0)?D,都可确定一个向量
fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j,
这向量称为函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度,记作 gradf(x0,y0),
即
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
上页 下页 铃结束返回首页
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
二、梯度
梯度的定义下页函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则
),( 00 yxl
f
c o s),(c o s)(
0000 yxfyxf yx,
gradf(x0,y0)?el
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
上页 下页 铃结束返回首页二、梯度
梯度的定义下页函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
可以看出方向导数就是梯度在射线 l上的投影,当方向 l与梯度的方向一致时,方向导数取得最大值? 所以沿梯度方向是函数 f(x,y)在这点增长最快的方向?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则上页 下页 铃结束返回首页函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值?
下页二、梯度
梯度的定义函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则上页 下页 铃结束返回首页提示?
下页
梯度与等值线的关系对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线?
等值线 f(x,y)?c是曲面 z?f(x,y)被平面 z?c所截得的曲线
cz
yxfz ),(
在 xOy面上的投影?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx?
n?
上页 下页 铃结束返回首页 下页这表明梯度 gradf(x0,y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,
nnfyxf),( 00g r a d?
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx?
n?
梯度与等值线的关系而沿这个方向的方向导数等于 |gradf(x0,y0)|,于是上页 下页 铃结束返回首页 下页
nnfyxf),( 00g r a d?
梯度与等值线的关系函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同,它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线,梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数?
上页 下页 铃结束返回首页
三元函数的梯度下页设函数 f(x,y,z)在空间区域 G内具有一阶连续偏导数,函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度 gradf(x,y,z)定义为
grad f(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j?fz(x,y,z)k?
三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值?
函数 f(x,y,z)在点 P的梯度的方向与过点 P的等量面 f(x,y,
z)?c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数?
提示?
曲面 f(x,y,z)?c称为函数 u?f(x,y,z)的等量面?
上页 下页 铃结束返回首页因为 222
)(
2
yx
x
x
f
,
222 )(
2
yx
y
y
f
,
下页例 3 求 22 1 yx?g r a d?
解 这里 22 1),( yxyxf
于是 grad f(1,?1,2)
例 4 设 f(x,y,z)?x2?y2?z2,求 grad f(1,?1,2)?
解 grad f?(fx,fy,fz)?(2x,2y,2z),
(2,?2,4)?
解 这里 22 1),( yxyxf
因为 222
)(
2
yx
x
x
f
,
222 )(
2
yx
y
y
f
,
所以 22 1
yx?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
yx
x
所以 22 1
yx?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
yx
x
上页 下页 铃结束返回首页
数量场与向量场如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场?
下页一个数量场可用一个数量函数 f(M)来确定?
一个向量场可用一个向量函数 F(M)来确定,而
F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k,
其中 P(M),Q(M),R(M)是点 M的数量函数?
上页 下页 铃结束返回首页
势与势场向量函数 gradf(M)确定了一个向量场 (梯度场 ),它是由数量场 f(M)产生的? 通常称函数 f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场?
必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场?
下页
数量场与向量场如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场?
上页 下页 铃结束返回首页 结束例 5 试求数量场 rm 所产生的梯度场,其中常数 m > 0,
222 zyxr 为原点 O 与点 M ( x,y,z) 间的距离?
解 32)( rmxxrrmrmx,
同理 3)( rmyrmy,3)( rmzrmz
从而 )(2 kji rzryrxrmrmg r a d?
记 kjie rzryrxr,它是 与
OM 同方向的单位向量,则
rr
m
r
m e
2g r a d?
解 32)( rmxxrrmrmx,
从而 )(2 kji rzrxrmrmg r a d?
记 kjie rzryrxr,它是 与
OM 同方向的单位向量,则
§ 8.7 方向导数与梯度上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
提示?
||
)()(lim
0
0
0|| 0 PP
PfPf
PP
即极限取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
方向导数上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
存在,则称此极限为函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l的方向导数,记为
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
取 P(x0?tcos?,y0?tcos?)?U(P0),如果极限
方向导数上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数下页设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
方向导数方向导数就是函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)
处沿方向 l的变化率?
上页 下页 铃结束返回首页一、方向导数设函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域 U(P0)内有定义,
l是 xOy平面上以 P0(x0,y0)为始点的一条射线,与 l同方向的单位向量为 el?(cos?,cos?)?
),( 00 yxl
f
t
yxftytxf
t
),()c o s,c o s(lim 0000
0
方向导数如果函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数都存在,且有
定理 (方向导数的计算 )
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
下页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页沿 x 轴负向时,c o s 1,c o s 0,xflf
讨论?
函数 f(x,y)在点 P沿 x轴正向和负向,沿 y轴正向和负向的方向导数如何?
提示?
下页函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
沿 x 轴正向时,c o s,c o s 0,xflf
上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 z?xe2y在点 P(1,0)处沿从点 P到点 Q(2,?1)的方向的方向导数?
解所以所求方向导数为下页函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
解? )1,1(PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21(le?
因为函数可微分,且
1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z?
解? )1,1(PQ,与 l 同向的单位向量为 )21,21(le?
1)0,1(2)0,1( yexz,2)0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2),1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0, yxeyz,)0,(2)0,( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,1)0,1(2)0,1( yexz,22 )0,1(2)0,1( yxeyz,
2
2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z? 2)
2
1(2
2
11
)0,1(
l
z?
上页 下页 铃结束返回首页 下页对于三元函数 f(x,y,z)来说,它在空间一点 P0(x0,y0,z0)沿
el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为函数 f(x,y)在点 P0沿方向 l (el?(cos?,cos?))的方向导数?
c o s),(c o s),( 0000
),( 00
yxfyxflf yx
yx
如果函数 f(x,y,z)在点 (x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿着方向 el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数为
),,( 000 zyxl
f
t
zyxftztytxf
t
),,()c o s,c o s,c o s(lim 000000
0
),,( 000 zyxl
f
) c os,,() c os,,() c os,,(
000000000 zyxfzyxfzyxf zyx
上页 下页 铃结束返回首页例 2 求 f(x,y,z)?xy?yz?zx在点 (1,1,2)沿方向 l的方向导数,
其中 l的方向角分别为 60?,45?,60
解 与 l同向的单位向量为
)21,2 2,21()60c o s,45c o s,60( c o sle?
因为函数可微分,且所以
)235(21212223213
)2,1,1(
lf? )235(21212223213
)2,1,1
lf? )235(21212223213
)2,1,1(
lf?
fx(1,1,2)?(y?z)|(1,1,2)?3,
fy(1,1,2)?(x?z)|(1,1,2)?3,
fz(1,1,2)?(y?x)|(1,1,2)?2,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、梯度
梯度的定义下页设函数 z?f(x,y)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数,
则对于每一点 P0(x0,y0)?D,都可确定一个向量
fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j,
这向量称为函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度,记作 gradf(x0,y0),
即
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
上页 下页 铃结束返回首页
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
二、梯度
梯度的定义下页函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则
),( 00 yxl
f
c o s),(c o s)(
0000 yxfyxf yx,
gradf(x0,y0)?el
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
上页 下页 铃结束返回首页二、梯度
梯度的定义下页函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
可以看出方向导数就是梯度在射线 l上的投影,当方向 l与梯度的方向一致时,方向导数取得最大值? 所以沿梯度方向是函数 f(x,y)在这点增长最快的方向?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则上页 下页 铃结束返回首页函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值?
下页二、梯度
梯度的定义函数 z?f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度?
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j?
梯度与方向导数
),( 00 yxl
f
cos),(cos),(
0000 yxfyxf yx,
|gradf(x0,y0)|?cos(gradf(x0,y0),^el)?
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分,el?(cos?,cos?)是与方向 l同方向的单位向量,则上页 下页 铃结束返回首页提示?
下页
梯度与等值线的关系对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线?
等值线 f(x,y)?c是曲面 z?f(x,y)被平面 z?c所截得的曲线
cz
yxfz ),(
在 xOy面上的投影?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx?
n?
上页 下页 铃结束返回首页 下页这表明梯度 gradf(x0,y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,
nnfyxf),( 00g r a d?
对于二元函数 z?f(x,y),xOy面上的曲线 f(x,y)?c称为函数 z?f(x,y)的等值线?
若 fx,fy不同时为零,则等值线 f(x,y)?c
上任一点 P0(x0,y0)处的一个单位法向量为
)),(),,((
),(),(
1
0000
00
2
00
2 yxfyxfyxfyxf yx
yx?
n?
梯度与等值线的关系而沿这个方向的方向导数等于 |gradf(x0,y0)|,于是上页 下页 铃结束返回首页 下页
nnfyxf),( 00g r a d?
梯度与等值线的关系函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同,它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线,梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数?
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三元函数的梯度下页设函数 f(x,y,z)在空间区域 G内具有一阶连续偏导数,函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度 gradf(x,y,z)定义为
grad f(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j?fz(x,y,z)k?
三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值?
函数 f(x,y,z)在点 P的梯度的方向与过点 P的等量面 f(x,y,
z)?c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数?
提示?
曲面 f(x,y,z)?c称为函数 u?f(x,y,z)的等量面?
上页 下页 铃结束返回首页因为 222
)(
2
yx
x
x
f
,
222 )(
2
yx
y
y
f
,
下页例 3 求 22 1 yx?g r a d?
解 这里 22 1),( yxyxf
于是 grad f(1,?1,2)
例 4 设 f(x,y,z)?x2?y2?z2,求 grad f(1,?1,2)?
解 grad f?(fx,fy,fz)?(2x,2y,2z),
(2,?2,4)?
解 这里 22 1),( yxyxf
因为 222
)(
2
yx
x
x
f
,
222 )(
2
yx
y
y
f
,
所以 22 1
yx?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
yx
x
所以 22 1
yx?
gr ad ji 222222
)(
2
)(
2
yx
y
yx
x
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数量场与向量场如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场?
下页一个数量场可用一个数量函数 f(M)来确定?
一个向量场可用一个向量函数 F(M)来确定,而
F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k,
其中 P(M),Q(M),R(M)是点 M的数量函数?
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势与势场向量函数 gradf(M)确定了一个向量场 (梯度场 ),它是由数量场 f(M)产生的? 通常称函数 f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场?
必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场?
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数量场与向量场如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的数量
f(M),则称在这空间区域 G内确定了一个数量场?
如果对于空间区域 G内的任一点 M,都有一个确定的向量
F(M),则称在这空间区域 G内确定了一个向量场?
上页 下页 铃结束返回首页 结束例 5 试求数量场 rm 所产生的梯度场,其中常数 m > 0,
222 zyxr 为原点 O 与点 M ( x,y,z) 间的距离?
解 32)( rmxxrrmrmx,
同理 3)( rmyrmy,3)( rmzrmz
从而 )(2 kji rzryrxrmrmg r a d?
记 kjie rzryrxr,它是 与
OM 同方向的单位向量,则
rr
m
r
m e
2g r a d?
解 32)( rmxxrrmrmx,
从而 )(2 kji rzrxrmrmg r a d?
记 kjie rzryrxr,它是 与
OM 同方向的单位向量,则
