一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分
§ 9.2 二重积分的计算法上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、利用直角坐标计算二重积分如果区域 D可以表示为不等式
j1(x)?y?j2(x),a?x?b,
则称区域 D为 X型区域,
X型区域与 Y型区域如果区域 D可以表示为不等式
y1(y)?x?y2(y),c?y?d,
则称区域 D为 Y型区域,
有的区域 既 是 X型区域又是 Y型区域,而有的区域既不是 X型区域又不是
Y型区域,但它总可以表示为若干个 X
型区域和 Y型区域的并,
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
z?f(x,y)为顶,以区域 D为底的曲顶柱体的体积,
此时 二重积分?dyxf
D
),( 在几何上表示以曲面 z? f ( x,y )
提示截面是以区间 [j1(x0),j2(x0)]为底,以曲线 z?f(x0,y)为曲边的曲边梯形,
提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法,
)( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
二重积分的计算对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为曲顶柱体体积为下页
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
上页 下页 铃结束返回首页即
dxdyyxfdyxfV b
a
x
x
D
]),([),( )( )(21jj?,
注?计算一般二重积分只需取消 f(x,y)?0的限制,
下页
)( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
二重积分的计算对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为曲顶柱体体积为
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
上页 下页 铃结束返回首页
dxdyyxfdyxf b
a
x
x
D
]),([),( )( )(21jj?,
ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
,
如果 D是 X型区域? D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},则上式也可以记为如果 D是 Y型区域? D?{(x,y)|y1(y)?x?y2(y),c?y?d},则下页
二重积分的计算
先对 x后对 y
的二次积分
dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
dc yy dxyxfdy )( )(21 ),(yy,
先对 y后对 x
的二次积分上页 下页 铃结束返回首页
dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
,
ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
,
如果 D是 X型区域? j1(x)?y?j2(x),a?x?b,则
计算二重积分的步骤如果 D是 Y型区域? y1(y)?x?y2(y),c?y?d,则
(1)画出积分区域 D的草图,
(2)用不等式组表示积分区域 D,
(3)把二重积分表示为二次积分?
(4)计算二次积分,
下页上页 下页 铃结束返回首页解 画出区域 D,
方法一,把 D看成是 X型区域?
于是
D? 1?x?2,1?y?x,
下页围成的闭区域,
例 1 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? 1,x? 2 及 y? x 所
21 1 ][ x
D
dxxydydxy?
21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 xx,
21 1 ][ x
D
dxx y d yd?
21 321 12 (21]2[ xdxyx x 89]24[21 2124 xx, 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 x,
注?
21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy?,
积分还可以写成
21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy?,
上页 下页 铃结束返回首页
21 2 ][ y
D
dyxydxdxy?
D? 1?y?2,y?x?2,
下页解 画出区域 D,
方法二,把 D看成是 Y型区域?
围成的闭区域,
例 1 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? 1,x? 2 及 y? x 所于是
21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 yy,
21 2 ][ y
D
dyx y d xd?
21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8 2142 y, 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 yy,
上页 下页 铃结束返回首页分析 积分区域可表示为 X型区域
D1?y?1,?1?x<y,
D1?x?1,x?y?1,
积分区域也可表示为 Y型区域下页及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算?dyxy
D
221,其中 D 是由直线 y? 1,x 1
或
1 1 1 2222 11 y
D
dxyxy d ydyxy?,
于 是 有
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy?,
提问?哪个二次积分容易计算？
上页 下页 铃结束返回首页 下页解 积分区域可表示为 X型区域
D1?x?1,x?y?1,
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算?dyxy
D
221,其中 D 是由直线 y? 1,x 1
于 是 有
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy?,
1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
2
1)1(
3
2 1
0
3 dxx,
1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
上页 下页 铃结束返回首页分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中积分区域也可表示为下页所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
D 1? 0? x? 1,xyx D 2? 1? x? 4,xy2,
D1?y?2,y2?x?y?2,
上页 下页 铃结束返回首页 下页
D 1? 0? x? 1,xyx D 2? 1? x? 4,xy2,
分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中积分区域也可表示为
D1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
于是
4
1 2
1
0
x
x
x
x
D
x y d ydxx y d ydxdxy?,
或
2
1
2
2
y
y
D
x y d xdydxy?,
提问?哪个二次积分容易计算？
上页 下页 铃结束返回首页 下页解 积分区域可表示为 D1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
2 1 22yy
D
x y d xdydxy?
21 22 2]2[ dyyx yy 21 52 ])2([21 dyyyy
8
55]
623
4
4[2
1 2
1
6234
yyyy,
21 22 2]2[ dyyx yy 21 52 ])2([21 dyyyy
上页 下页 铃结束返回首页提示? 由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的 8倍,
例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为下页为底,以 曲 面 22 xRz 顶的曲顶柱体,
第一卦限部分是以 区 域 }0,0|),{( 22 RxxRyyxD 为底,
dxRV
D
228
R xR dyxRdx0 0 22228
上页 下页 铃结束返回首页首页例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
dxRV
D
228
R xR dyxRdx0 0 22228
R xR dxyxR0 022 22][8
3
0
22
3
16)(8 RdxxRR,
上页 下页 铃结束返回首页二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分,其 积分区域 D或其被积函数用极坐标变量
r,q 表达比较简单,这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分,
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域i的面积为?
下页
iiiiii q?q 22 21)(21
iiii q )2(21
iiiii q?
2
)(
iii q,
iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
上页 下页 铃结束返回首页则有 iiiiii qq s i n,c o s,于是下页我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域i的面积为?
iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
在 i 内取点 ),( ii q?,设其 直角坐标为 (? i,? i ),
iiiiiii
n
i
iii
n
i
ff qq?q
)s i n,c o s (lim),(lim
1010
,
即 qq?q ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),(,
则有 iiiiii qq sin,cos,于是上页 下页 铃结束返回首页
q?q?qqq?q?
qj
qj
dfdddf
D
)(
)(
2
1
)s in,c o s()s in,c o s(,
即 qq?q ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),(,
在极坐标系下的二重积分
在极坐标系下二重积分的计算如果积分区域可表示为 D?j1(q)j2(q),q,则下页
q?q?qqq?q?
qj
qj
dfdddf
D
)(
)(
2
1
)s i n,c o s()s i n,c o s(,
上页 下页 铃结束返回首页提示?
下页
( 2 )q?q?qqq?q? qj? dfdddf
D
)(020 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
讨论?
区域如下图,如何确定积分限?
(1) (2)
( 2 )q?q?qqq?q? qj? dfdddf
D
)(020 )s in,c o s()s in,c o s(,
( 1 )q?q?qqq?q? qj?
dfdddf
D
)(0 )s in,c o s()s in,c o s(,( 1 )q?q?qqq?q? qj dfdddf
D
)(0 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 5 计算
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为?0a,0?q?2?.
于是
DD
yx dded x d ye q 222 于是
DD
yx dded x d ye q 222
上页 下页 铃结束返回首页
qq dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22
下页利用上述结果可以计算广义积分 dxe x 20,
解例 5 计算
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为?0a,0?q?2?.
于是
DD
yx dded x d ye q 222 于是
DD
yx dded x d ye q 222
qq dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22
)1()1(21 22 20 aa edeq?,)1()1(21 22 20 aa edeq?,
>>>
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0 2 a c o s q,2 0?q,
下页例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为上页 下页 铃结束返回首页 结束例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
)322(332)s in1(332 220 32qq
ada,)322(332)s in1(332 220 32qq
ada,
于是 2
0
co s2
0
2222 4444
q
qq a
D
dadddaV 于是 20 co s20 2222 4444
q
qq a
D
dadddaV
0 2 a c o s q,2 0?q,
§ 9.2 二重积分的计算法上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、利用直角坐标计算二重积分如果区域 D可以表示为不等式
j1(x)?y?j2(x),a?x?b,
则称区域 D为 X型区域,
X型区域与 Y型区域如果区域 D可以表示为不等式
y1(y)?x?y2(y),c?y?d,
则称区域 D为 Y型区域,
有的区域 既 是 X型区域又是 Y型区域,而有的区域既不是 X型区域又不是
Y型区域,但它总可以表示为若干个 X
型区域和 Y型区域的并,
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
z?f(x,y)为顶,以区域 D为底的曲顶柱体的体积,
此时 二重积分?dyxf
D
),( 在几何上表示以曲面 z? f ( x,y )
提示截面是以区间 [j1(x0),j2(x0)]为底,以曲线 z?f(x0,y)为曲边的曲边梯形,
提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法,
)( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
二重积分的计算对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为曲顶柱体体积为下页
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
上页 下页 铃结束返回首页即
dxdyyxfdyxfV b
a
x
x
D
]),([),( )( )(21jj?,
注?计算一般二重积分只需取消 f(x,y)?0的限制,
下页
)( )( 00 02 01 ),()( xx dyyxfxA jj,
设 f(x,y)?0,D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},
二重积分的计算对于 x0?[a,b],曲顶柱体在 x?x0的截面面积为曲顶柱体体积为
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
ba dxxAV )( dxdyyxfba xx ]),([ )( )(21jj,
上页 下页 铃结束返回首页
dxdyyxfdyxf b
a
x
x
D
]),([),( )( )(21jj?,
ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
,
如果 D是 X型区域? D?{(x,y)|j1(x)?y?j2(x),a?x?b},则上式也可以记为如果 D是 Y型区域? D?{(x,y)|y1(y)?x?y2(y),c?y?d},则下页
二重积分的计算
先对 x后对 y
的二次积分
dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
dc yy dxyxfdy )( )(21 ),(yy,
先对 y后对 x
的二次积分上页 下页 铃结束返回首页
dc yy
D
dydxyxfdyxf )(
)(
2
1
]),([),( y
y
,
ba xx
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),( j
j
,
如果 D是 X型区域? j1(x)?y?j2(x),a?x?b,则
计算二重积分的步骤如果 D是 Y型区域? y1(y)?x?y2(y),c?y?d,则
(1)画出积分区域 D的草图,
(2)用不等式组表示积分区域 D,
(3)把二重积分表示为二次积分?
(4)计算二次积分,
下页上页 下页 铃结束返回首页解 画出区域 D,
方法一,把 D看成是 X型区域?
于是
D? 1?x?2,1?y?x,
下页围成的闭区域,
例 1 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? 1,x? 2 及 y? x 所
21 1 ][ x
D
dxxydydxy?
21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 xx,
21 1 ][ x
D
dxx y d yd?
21 321 12 (21]2[ xdxyx x 89]24[21 2124 xx, 21 321 12 )(21]2[ dxxxdxyx x 89]24[21 2124 x,
注?
21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy?,
积分还可以写成
21 121 1 xx
D
y d yx d xx y d ydxdxy?,
上页 下页 铃结束返回首页
21 2 ][ y
D
dyxydxdxy?
D? 1?y?2,y?x?2,
下页解 画出区域 D,
方法二,把 D看成是 Y型区域?
围成的闭区域,
例 1 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? 1,x? 2 及 y? x 所于是
21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 yy,
21 2 ][ y
D
dyx y d xd?
21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8 2142 y, 21 321 22 )22(]2[ dyyydyxy y 89]8[ 2142 yy,
上页 下页 铃结束返回首页分析 积分区域可表示为 X型区域
D1?y?1,?1?x<y,
D1?x?1,x?y?1,
积分区域也可表示为 Y型区域下页及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算?dyxy
D
221,其中 D 是由直线 y? 1,x 1
或
1 1 1 2222 11 y
D
dxyxy d ydyxy?,
于 是 有
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy?,
提问?哪个二次积分容易计算？
上页 下页 铃结束返回首页 下页解 积分区域可表示为 X型区域
D1?x?1,x?y?1,
及 y?x所围成的闭区域,
例 2 计算?dyxy
D
221,其中 D 是由直线 y? 1,x 1
于 是 有
1 221
1
22 11
x
D
dyyxydxdyxy?,
1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
2
1)1(
3
2 1
0
3 dxx,
1 1 31 1 12322 )1|(|31])1[(31 dxxdxyx x
上页 下页 铃结束返回首页分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中积分区域也可表示为下页所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
D 1? 0? x? 1,xyx D 2? 1? x? 4,xy2,
D1?y?2,y2?x?y?2,
上页 下页 铃结束返回首页 下页
D 1? 0? x? 1,xyx D 2? 1? x? 4,xy2,
分析 积分区域可表示为 D?D1+D2,其中积分区域也可表示为
D1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
于是
4
1 2
1
0
x
x
x
x
D
x y d ydxx y d ydxdxy?,
或
2
1
2
2
y
y
D
x y d xdydxy?,
提问?哪个二次积分容易计算？
上页 下页 铃结束返回首页 下页解 积分区域可表示为 D1?y?2,y2?x?y?2,
所围成的闭区域,
例 3 计算?dxy
D
,其中 D 是由直线 y? x? 2 及抛物线 y 2? x
2 1 22yy
D
x y d xdydxy?
21 22 2]2[ dyyx yy 21 52 ])2([21 dyyyy
8
55]
623
4
4[2
1 2
1
6234
yyyy,
21 22 2]2[ dyyx yy 21 52 ])2([21 dyyyy
上页 下页 铃结束返回首页提示? 由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的 8倍,
例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为下页为底,以 曲 面 22 xRz 顶的曲顶柱体,
第一卦限部分是以 区 域 }0,0|),{( 22 RxxRyyxD 为底,
dxRV
D
228
R xR dyxRdx0 0 22228
上页 下页 铃结束返回首页首页例 4 求两个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立体的体积,
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2?y2?R2及 x2?z2?R2.
所求立体的体积为
dxRV
D
228
R xR dyxRdx0 0 22228
R xR dxyxR0 022 22][8
3
0
22
3
16)(8 RdxxRR,
上页 下页 铃结束返回首页二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分,其 积分区域 D或其被积函数用极坐标变量
r,q 表达比较简单,这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分,
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域i的面积为?
下页
iiiiii q?q 22 21)(21
iiii q )2(21
iiiii q?
2
)(
iii q,
iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
上页 下页 铃结束返回首页则有 iiiiii qq s i n,c o s,于是下页我们用从极点 O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D分为 n个小闭区域,
小区域i的面积为?
iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,iiiiii q?q 22 2
1)(
2
1
iii q,
其中 i? 表示相邻两圆弧的 半径的平均值,
在 i 内取点 ),( ii q?,设其 直角坐标为 (? i,? i ),
iiiiiii
n
i
iii
n
i
ff qq?q
)s i n,c o s (lim),(lim
1010
,
即 qq?q ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),(,
则有 iiiiii qq sin,cos,于是上页 下页 铃结束返回首页
q?q?qqq?q?
qj
qj
dfdddf
D
)(
)(
2
1
)s in,c o s()s in,c o s(,
即 qq?q ddfdyxf
DD
)s i n,c o s(),(,
在极坐标系下的二重积分
在极坐标系下二重积分的计算如果积分区域可表示为 D?j1(q)j2(q),q,则下页
q?q?qqq?q?
qj
qj
dfdddf
D
)(
)(
2
1
)s i n,c o s()s i n,c o s(,
上页 下页 铃结束返回首页提示?
下页
( 2 )q?q?qqq?q? qj? dfdddf
D
)(020 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
讨论?
区域如下图,如何确定积分限?
(1) (2)
( 2 )q?q?qqq?q? qj? dfdddf
D
)(020 )s in,c o s()s in,c o s(,
( 1 )q?q?qqq?q? qj?
dfdddf
D
)(0 )s in,c o s()s in,c o s(,( 1 )q?q?qqq?q? qj dfdddf
D
)(0 )s i n,c o s()s i n,c o s(,
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 5 计算
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为?0a,0?q?2?.
于是
DD
yx dded x d ye q 222 于是
DD
yx dded x d ye q 222
上页 下页 铃结束返回首页
qq dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22
下页利用上述结果可以计算广义积分 dxe x 20,
解例 5 计算
D
yx d x d ye 22,其中 D 是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域,
在极坐标系中,闭区域 D可表示为?0a,0?q?2?.
于是
DD
yx dded x d ye q 222 于是
DD
yx dded x d ye q 222
qq dedde aa 02020 0 ]21[ ][ 22
)1()1(21 22 20 aa edeq?,)1()1(21 22 20 aa edeq?,
>>>
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0 2 a c o s q,2 0?q,
下页例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为上页 下页 铃结束返回首页 结束例 6 求球体 x2?y2?z2?4a2被圆柱面 x2?y2?2ax所截得的 (含在圆柱面内的部分 )立体的体积,
解 由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍,
D
d x d yyxaV 22244,
其中 D 为半圆周 22 xaxy 及 x 轴所围成的闭区域,
在极坐标系中 D可表示为
)322(332)s in1(332 220 32qq
ada,)322(332)s in1(332 220 32qq
ada,
于是 2
0
co s2
0
2222 4444
q
qq a
D
dadddaV 于是 20 co s20 2222 4444
q
qq a
D
dadddaV
0 2 a c o s q,2 0?q,
