一、三重积分的概念二、三重积分的计算
§ 9.3 三重积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设 f(x? y? z)是空间有界闭区域?上的有界函数?
将?任意分成 n个小闭区域
v1v2vn
其中?vi表示第 i个小闭区域?也表示它的体积?
在每个小闭区域?vi上任取一点 (?iii)? 作作和一、三重积分的概念下页
三重积分的定义
iiii
n
i
vf?
),,(
1
如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数 f(x? y? z)在闭区域?上的三重积分? 记作 dvzyxf
),,(?
上页 下页 铃结束返回首页 下页一、三重积分的概念
三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf
),,(lim),,(
10
三重积分中的各部分的名称?
———— 积分号?
f(x? y? z)—— 被积函数?
f(x? y? z)dv— 被积表达式?
dv ———— 体积元素?
x? y? z——— 积分变量?
———— 积分区域?
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直角坐标系中的三重积分一、三重积分的概念
三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf
),,(lim),,(
10
在直角坐标系中?如果用平行于坐标面的平面来划分
则?vixi?yi?zi? 因此也把体积元素记为 dv?dxdydz?三重积分记作
d x d y d zzyxfdvzyxf ),,(),,(?
三重积分的性质与二重积分的性质类似?
三重积分的性质首页上页 下页 铃结束返回首页二、三重积分的计算下页
1?利用直角坐标计算三重积分
{(x?y? z)| z1(x? y)?z?z2(x?y)? y1(x)?y?y2(x)?a?x?b}?
则
b
a
yxz
yxz
xy
xy
dzzyxfdydxdvzyxf ),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
),,(),,(?
>>>
设积分区域为
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 计算三重积分 d x d y d zx
其中? 为三个坐标面及平面 x?2y?z?1所围成的闭区域?
区域?可表示为?解
0? z? 1? x? 2 y? )1(210 xy 0? x? 1?
于是
1
0
2
1
0
21
0
x yx
x d zdydxd x d y d zx
10 210 )21(x dyyxx d x
10 32 481)2(41 dxxxx?
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先二重积分后定积分的方法下页一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分?
设积分区域为
{(x?y? z)|(x? y)?Dz? c1?z?c2}?
其中 Dz是竖坐标为 z的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域?则
zD
c
c
d x d yzyxfdzdvzyxf ),,(),,( 2
1
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算三重积分 d x d y d zz
2? 其中? 是由椭球面
1222222 czbyax 所围成的空间闭区域?
空间区域?可表为?解
2
2
2
2
2
2 1
c
z
b
y
a
x c? z? c?
32
2
2
15
4)1( a b cdzz
c
zab c
c
于是
c c
D z
d x d ydzzd x d y d zz 22
下页上页 下页 铃结束返回首页
点的柱面坐标下页
2?利用柱面坐标计算三重积分设 M(x? y? z)为空间内一点? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P( )? 则这样的三个数?,?,z就叫做点 M的柱面坐标?这里规定?,?,z的变化范围为?
0< 02<z<
直角坐标与柱面坐标的关系
xcos ysin z?z?
柱面坐标系中的体积元素
dvd?d?dz?
提示?
简单来说? dxdy dxdydz?dxdy?dzd?d?dzd?d
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柱面坐标系中的三重积分下页
dzddzfd x d y d zzyxf ),s i n,c o s(),,(?
点的柱面坐标
2?利用柱面坐标计算三重积分设 M(x? y? z)为空间内一点? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P( )? 则这样的三个数?,?,z就叫做点 M的柱面坐标?这里规定?,?,z的变化范围为?
0< 02<z<
直角坐标与柱面坐标的关系
xcos ysin z?z?
柱面坐标系中的体积元素
dvd?d?dz?
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20 20 4 2 z d zdd
提示的 上边界曲面为 z?4?下边界曲面为 z?x2?y2?用极坐标可表示为 z2?所以?2?z?4?
提示 在 xOy面上的 投影区域为 x2?y2?4? 用极坐标可表示为?
02? 02
下页例 3 利用柱面坐标计算三重积分
z d x d y d z? 其中? 是由曲面 z?x2?y2与平面 z?4所围成的闭区域?
闭区域?可表示为?解
2?z?4? 02? 02
于是
dzddzz d x d y d z 于是
dzddzz d x d y d z
20 20 4 )16(21 dd 364]618[221 206220 20 4 )16(21 dd 364]618[221 206220 20 4)16(21 dd 364]61[221 2062
上页 下页 铃结束返回首页这样的三个数 r,?,?叫做点 M的球面坐标?这里 r,?,?的变化范围为
0?r<0< 02
下页
3?利用球面坐标计算三重积分
球面坐标系中的三重积分
点的球面坐标
直角坐标与球面坐标的关系
球面坐标系中的体积元素
dv?r2sin?drd?d
设 M(x? y? z)为空间内一点? 则点 M也可用这样三个有次序的数 r,?,?来确定?如图?
x?rsin?cos y?rsin?sinz?rcos
dd r drrrrfdvzyxf s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(),,( 2
上页 下页 铃结束返回首页提示?
20 0 co s20 2 s ina drrdd
下页例 4 求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积?
解 该立体所占区域?可表示为?
0?r?2acos
于是所求立体的体积为
dd r drd x d y d zV s in2
dd r drd x d y d zV s in2
此球面的方程为 x2?y2?(z?a)2?a2?即 x2?y2?z2?2az?
在球面坐标下此球面的方程为 r2?2arcos即 r?2acos
002
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0 co s20 2s in2 a drrd
20 0 co s20 2 s ina drrdd
例 4 求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积?
解 该立体所占区域?可表示为?
于是所求立体的体积为
0 33 s inc o s316 da )c o s1(34 43 aa 0 33 s inc o s316 da )c o s1(34 43 aa
dd r drd x d y d zV s in2
dd r drd x d y d zV s in2
0?r?2acos 002
结束
§ 9.3 三重积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设 f(x? y? z)是空间有界闭区域?上的有界函数?
将?任意分成 n个小闭区域
v1v2vn
其中?vi表示第 i个小闭区域?也表示它的体积?
在每个小闭区域?vi上任取一点 (?iii)? 作作和一、三重积分的概念下页
三重积分的定义
iiii
n
i
vf?
),,(
1
如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数 f(x? y? z)在闭区域?上的三重积分? 记作 dvzyxf
),,(?
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三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf
),,(lim),,(
10
三重积分中的各部分的名称?
———— 积分号?
f(x? y? z)—— 被积函数?
f(x? y? z)dv— 被积表达式?
dv ———— 体积元素?
x? y? z——— 积分变量?
———— 积分区域?
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直角坐标系中的三重积分一、三重积分的概念
三重积分的定义
iiii
n
i
vfdvzyxf
),,(lim),,(
10
在直角坐标系中?如果用平行于坐标面的平面来划分
则?vixi?yi?zi? 因此也把体积元素记为 dv?dxdydz?三重积分记作
d x d y d zzyxfdvzyxf ),,(),,(?
三重积分的性质与二重积分的性质类似?
三重积分的性质首页上页 下页 铃结束返回首页二、三重积分的计算下页
1?利用直角坐标计算三重积分
{(x?y? z)| z1(x? y)?z?z2(x?y)? y1(x)?y?y2(x)?a?x?b}?
则
b
a
yxz
yxz
xy
xy
dzzyxfdydxdvzyxf ),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
),,(),,(?
>>>
设积分区域为
>>>
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 计算三重积分 d x d y d zx
其中? 为三个坐标面及平面 x?2y?z?1所围成的闭区域?
区域?可表示为?解
0? z? 1? x? 2 y? )1(210 xy 0? x? 1?
于是
1
0
2
1
0
21
0
x yx
x d zdydxd x d y d zx
10 210 )21(x dyyxx d x
10 32 481)2(41 dxxxx?
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先二重积分后定积分的方法下页一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分?
设积分区域为
{(x?y? z)|(x? y)?Dz? c1?z?c2}?
其中 Dz是竖坐标为 z的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域?则
zD
c
c
d x d yzyxfdzdvzyxf ),,(),,( 2
1
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算三重积分 d x d y d zz
2? 其中? 是由椭球面
1222222 czbyax 所围成的空间闭区域?
空间区域?可表为?解
2
2
2
2
2
2 1
c
z
b
y
a
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32
2
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15
4)1( a b cdzz
c
zab c
c
于是
c c
D z
d x d ydzzd x d y d zz 22
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点的柱面坐标下页
2?利用柱面坐标计算三重积分设 M(x? y? z)为空间内一点? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P( )? 则这样的三个数?,?,z就叫做点 M的柱面坐标?这里规定?,?,z的变化范围为?
0< 02<z<
直角坐标与柱面坐标的关系
xcos ysin z?z?
柱面坐标系中的体积元素
dvd?d?dz?
提示?
简单来说? dxdy dxdydz?dxdy?dzd?d?dzd?d
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柱面坐标系中的三重积分下页
dzddzfd x d y d zzyxf ),s i n,c o s(),,(?
点的柱面坐标
2?利用柱面坐标计算三重积分设 M(x? y? z)为空间内一点? 并设点 M在 xOy面上的投影 P
的极坐标为 P( )? 则这样的三个数?,?,z就叫做点 M的柱面坐标?这里规定?,?,z的变化范围为?
0< 02<z<
直角坐标与柱面坐标的关系
xcos ysin z?z?
柱面坐标系中的体积元素
dvd?d?dz?
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20 20 4 2 z d zdd
提示的 上边界曲面为 z?4?下边界曲面为 z?x2?y2?用极坐标可表示为 z2?所以?2?z?4?
提示 在 xOy面上的 投影区域为 x2?y2?4? 用极坐标可表示为?
02? 02
下页例 3 利用柱面坐标计算三重积分
z d x d y d z? 其中? 是由曲面 z?x2?y2与平面 z?4所围成的闭区域?
闭区域?可表示为?解
2?z?4? 02? 02
于是
dzddzz d x d y d z 于是
dzddzz d x d y d z
20 20 4 )16(21 dd 364]618[221 206220 20 4 )16(21 dd 364]618[221 206220 20 4)16(21 dd 364]61[221 2062
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0?r<0< 02
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3?利用球面坐标计算三重积分
球面坐标系中的三重积分
点的球面坐标
直角坐标与球面坐标的关系
球面坐标系中的体积元素
dv?r2sin?drd?d
设 M(x? y? z)为空间内一点? 则点 M也可用这样三个有次序的数 r,?,?来确定?如图?
x?rsin?cos y?rsin?sinz?rcos
dd r drrrrfdvzyxf s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(),,( 2
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20 0 co s20 2 s ina drrdd
下页例 4 求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积?
解 该立体所占区域?可表示为?
0?r?2acos
于是所求立体的体积为
dd r drd x d y d zV s in2
dd r drd x d y d zV s in2
此球面的方程为 x2?y2?(z?a)2?a2?即 x2?y2?z2?2az?
在球面坐标下此球面的方程为 r2?2arcos即 r?2acos
002
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0 co s20 2s in2 a drrd
20 0 co s20 2 s ina drrdd
例 4 求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积?
解 该立体所占区域?可表示为?
于是所求立体的体积为
0 33 s inc o s316 da )c o s1(34 43 aa 0 33 s inc o s316 da )c o s1(34 43 aa
dd r drd x d y d zV s in2
dd r drd x d y d zV s in2
0?r?2acos 002
结束
